展开型定向战斗部由4个完全相同的子战斗部组成，4个子战斗部通过铰链连接。展开型定向战斗部的作用过程主要包括2个关键阶段：(1) 子战斗部在辅助装药的爆炸驱动作用下展开，使破片朝向目标方向，即展开定向阶段；(2) 主装药爆炸形成破片毁伤目标，即爆炸毁伤阶段。为便于分析，如图1所示，将子战斗部简化为4个由壳体、主装药和破片层组成的棱柱体，4个棱柱体通过铰链连接成为一个较为复杂的结构体。于是战斗部的展开定向过程就可以简化为爆炸驱动作用下复杂结构体的展开问题。

复杂结构体在炸药爆炸驱动作用下的展开过程主要包括2个阶段，如图1所示：第1阶段是结构在辅助装药爆炸驱动作用下获得初始速度；第2阶段是结构获得初始速度后继续展开过程，该过程中会达到一个命中目标的最佳展开姿态（最佳展开姿态即破片命中目标效果最佳时的展开姿态）。

棱柱体获得角速度后继续展开的过程中，受空气阻力、铰链的摩擦阻力和自身重力影响。由于棱柱体在爆生气体作用下获得的角速度非常大，在毫秒级的时间内即可完成展开过程，在这极短的时间内，棱柱体的角速度和角加速度的变化不大，因此，讨论时将展开过程视为理想多刚体运动学问题，并作如下假设：

(1) 将棱柱体视为等效密度均匀的刚体，即在爆生气体作用下不发生形变；

(2) 铰链光滑，不考虑摩擦阻力；

(3) 忽略空气阻力对棱柱体的作用；

(4) 忽略棱柱体的重力对展开过程的影响。

基于以上假设，棱柱体的展开过程即可简化为多刚体的动力学问题。针对棱柱体的展开问题这样一个完整的约束系统来说，由于广义坐标的变分相互独立，可推导出与系统自由度数相同的一组独立的运动学微分方程，从而使问题大大简化，因此，选用第二类拉格朗日方程来建立展开模型。

棱柱体的质量、质心位置以及棱柱体绕质心的转动惯量等参数是确定初始角速度和建立展开过程的动力学方程所必要的，因此，需要对棱柱体的这些物理量进行计算。

如图2所示，棱柱体主要包括金属壳体区域S₁、主装药区域S₂、铰链S₃、破片区域S₄，且每个区域的密度都是均匀的。设金属壳体的密度为ρ₁，主装药的密度为ρ₂，铰链的密度为ρ₃，破片密度为ρ₄，棱柱体的半径为R，金属壳体的厚度为h₁，铰链宽度为h₂，铰链厚度为2r，棱柱体的质量为M，金属壳体的质量为m₁，主装药的质量为m₂，铰链的质量为m₃，破片的质量为m₄。

棱柱体的质心C的坐标(x_c, y_c)可以表示为

式中：M_x为质点系对x轴的静矩，M_y为质点系对y轴的静矩。

式中：n=4，dσ为微元的面积。

将式(3)～式(6)代入式(2)，得到

棱柱体的质量M可表示为

其中

将式(9)～式(12)代入式(8)即可得到棱柱体的质量M。将式(7)和式(8)代入式(1)即可求得x_c，根据棱柱体的对称性可知y_c=x_c，通过以上推导即可得到棱柱体的质心C的坐标。

因为棱柱体质心的坐标太复杂，直接求解棱柱体绕质心的转动惯量J_C会很困难。根据转动惯量的平行定理可知，刚体绕任意轴的转动惯量等于刚体绕过质心且与该轴平行的轴的转动惯量加上刚体质量与两轴之间距离平方的乘积。因此，可以先求出棱柱体绕z轴的转动惯量J_z，通过J_z得到J_C以简化求解过程。根据转动惯量的定义可知

其中

将式(14)～式(17)代入式(13)即可得到转动惯量$ {J_{\textit{z}}} $。

由转动惯量的平行定理可知

将式(1)、式(8)、式(13)代入式(18)，即可求得棱柱体绕质心的转动惯量J_C。

对于复杂结构体展开过程的第1阶段，辅助装药爆炸后产生高压爆轰产物，爆轰产物膨胀充满整个辅助装药槽，棱柱体在爆生气体的膨胀作用下获得一个很高的初始角速度。由于结构的对称性，这里只考虑上半部分棱柱体和辅助装药，如图3所示，$ {l_1} $为棱柱质心$ {C_2} $到$ {O_2} $的距离，$ {l_2} $为$ {O_2} $到$ O $的距离，$ b $为装药槽的深度，棱柱体Ⅰ和棱柱体Ⅱ在两部分辅助装药作用下分别获得初始角速度$ {\omega _1} $、$ {\omega _2} $，为便于理论分析，对该过程作出如下假设：

(1) 在炸药与棱柱体组成的系统中，化学能的转换过程实现了炸药能量向气体产物和棱柱体动能的完全转化，从而使它们获得速度和角速度；

(2) 产物气体的速度沿棱柱体径向呈线性分布，棱柱体壳体与爆生气体接触点的速度等于该点处的气体速度；

(3) 炸药爆炸后，爆炸产物膨胀遵循JWL方程，且各个位置的密度均匀；

(4) 炸药爆炸后会产生高速、高压的爆轰产物，爆轰产物迅速膨胀形成冲击波，结构体在爆轰产物和冲击波的作用下，在极短时间内获得极高的加速度，展开速度也在极短时间内达到很高值，当相邻2个结构体分离后，爆轰产物迅速泄压，此后对结构体的加速作用很小，可认为此时结构体的加速过程完成。在分析过程中，只考虑这段加速阶段。由于冲击波速度远大于稀疏波速度，在此加速阶段稀疏波并未对该过程产生影响，因此，在构建本模型时，忽略化学反应区之后产生的稀疏波对系统的影响。

根据1.3节中的假设1，由能量守恒可知，炸药化学能全部转化为爆轰产物的内能，随着爆轰产物的膨胀，其内能将转换为爆轰产物和各个棱柱体的动能，故有

式中：$ {E_0} $为单位质量炸药的化学能，$ {U_{\text{r}}} $为爆轰产物膨胀后剩余的内能，$ {E_{{\text{kp}}}} $为棱柱体的动能，$ {E_{{\text{kg}}}} $为爆轰产物的动能，$ {E_{\text{k}}} $为棱柱体与爆轰产物的动能之和。

根据1.3节中的假设3，爆轰产物的膨胀过程遵循JWL方程，即等熵膨胀过程，其形式为

式中：p为爆轰产物的压力，A、B、C、R₁、R₂及ω为待定常数，V为爆轰产物的相对比容。

根据热力学方程，内能U可以表示为

可得到JWL状态方程的等熵内能关系式

式中：U_S(V)为爆轰产物的等熵内能，炸药爆轰完成瞬间可视为瞬时定容爆轰，即V=1，此时为爆轰驱动的初始状态，则有

炸药爆轰完成后完全转换为爆轰产物，爆轰产物膨胀并充满整个辅助装药槽，若继续膨胀，相邻棱柱体将分离。相邻2个棱柱体分离之前，爆轰产物的能量转换规律可用式(19)描述。一旦棱柱体发生分离，尽管实际情况下爆轰产物仍对棱柱体有短暂的驱动作用，但是由于爆轰产物已经迅速泄压，因此，可近似认为此时已达到驱动终态，棱柱体也将获得一个初速度，在此瞬间$ {V_{\text{r}}} ={\rho _1}/ {\rho _2}$。

该时刻爆轰产物的剩余内能为

由式(19)、式(23)和式(24)可得棱柱体的动能与爆轰产物的动能，即

对于棱柱体Ⅰ，辅助装药1的爆轰过程瞬间完成，随后爆轰产物膨胀并迅速充满辅助装药槽，此瞬间爆生气体只保持y方向的速度，棱柱体也获得了相应的初速度，根据1.3节中的假设1，能量守恒方程可表示为

式中：m_e1为辅助装药1的轴向单位长度的质量，E_k为单位质量辅助装药1用于驱动的有效能量，ρ(y)为爆轰产物的线密度，v(y)为爆生气体在y方向的速度。E_kp的表达式为

根据爆生气体膨胀速度遵循线性规律，可得棱柱体Ⅰ处爆生气体的速度v₁(y)

由气体均匀膨胀假设，有

将式(27)～式(29)代入式(26)，可得

由此可得

同理可得辅助装药2的爆轰产物充满整个辅助装药槽2时棱柱体的动能，从而得到

式中：m_e2为辅助装药2的轴向单位长度的质量。

上述推导过程是基于1.3节假设1中炸药的化学能完全转化为结构的动能得到的，在实际炸药爆炸加载过程中，由于爆轰产物很快就会因为结构分离而泄漏，爆轰产物作用于结构的时间很短，因此，只有一部分炸药的能量转化为结构的动能，在计算结构的转动初速度时需要考虑炸药的能量利用率，记炸药的能量利用率为η，则可得到

对于第2阶段即复杂结构体展开过程，棱柱体获得初速度后继续展开，其展开过程的一般位置如图4所示，在铰链处建立Oxy坐标系。棱柱体Ⅰ和棱柱体Ⅱ在辅助装药爆轰作用下分别以角速度$ {\omega _1} $和$ {\omega _2} $绕轴转动，棱柱体Ⅰ绕垂直于Oxy平面且过O点的轴转过的角度为$ \alpha $，棱柱体质心与相邻铰链连线和棱柱体直角边之间的夹角为β，棱柱体Ⅱ绕轴$ {O_2} $转过的角度为$ \chi $。

在Oxy坐标系中，棱柱体Ⅰ的质心$ {C_1} $点的坐标为

将式(35)对时间$ t $求一阶导数

棱柱体Ⅱ的质心$ {C_2} $点的坐标为

将式(37)对时间$ t $求一阶导数

则图4中系统的动能为

将式(36)、式(38)代入式(39)，并将质点速度用角速度表示，可得

根据1.1节假设4，在展开过程中忽略棱柱体的重力，则可认为系统的势能为常数，不妨设势能为零，则系统的拉格朗日函数$ L $为

将式(41)代入第二类拉格朗日方程

得到

式(43)和式(44)为展开型定向战斗部典型结构的第二类拉格朗日方程组。通常来说，该类型二元二次微分方程组的求解难度较大，为便于求解，令$ \dfrac{{{\text{d}}\alpha }}{{{\text{d}}t}} = u $，$ \dfrac{{{\text{d}}\chi }}{{{\text{d}}t}} = v $，$ Q = \dfrac{{{l_1}}}{{{l_2}}}+\dfrac{{{J_C}}}{{M{l_1}{l_2}}} $，$ K = \dfrac{{{l_1}}}{{{l_2}}}+\dfrac{{{l_2}}}{{{l_1}}}+\dfrac{{{J_C}}}{{M{l_1}{l_2}}} $，$ \psi = \beta - \dfrac{\text{π} }{4} $，则式(43)和式(44)可化成

联立式(45)和式(46)可求得

于是就可以将式(45)和式(46)组成的二元二次微分方程组转换成与之等价的四元一次常微分方程组，即

这样就极大地简化了问题。

若令$ {x_1} = \alpha $，$ {x_2} = \chi $，$ {x_3} = u $，$ {x_4} = v $，则方程组(48)可进一步化为正规方程组

正规方程组的建立将为数值求解提供方便。

在结构体展开过程中，当展开角度在某范围内时，破片的飞行轨迹会穿过目标，即破片命中目标，称破片命中目标时结构体的展开姿态为命中姿态。打击目标时，通常期望击中目标的核心部位以提高毁伤概率，一般目标的核心部位集中在某一区域，本研究将目标的核心部位简化为一个圆柱体。选取如图5所示的目标与结构体的相对位置对命中过程进行讨论，在铰链中心点O处建立直角坐标系Oxy，目标的质心O₃与点O以及结构体闭合状态时的中心点在一条直线上，目标半径为R_t，目标与O之间的距离为d₃，棱柱体的相关几何参数如图2和图3所示。

为方便分析命中过程，需作如下假设：

(1) 每个棱柱体均能产生一个密集且均匀排布的破片群；

(2) 不考虑破片的飞散角；

(3) 破片的运动轨迹（如图5中AC₁，C₁为棱柱的质心位置）穿过目标即认为该棱柱体产生的破片群命中目标；

(4) 忽略展开角速度对破片速度的影响，即破片沿直线飞出。

记O₃到棱柱体Ⅰ产生的破片群的飞行轨迹AC₁的距离为d₁，O₃到棱柱体Ⅱ产生的破片群的飞行轨迹BC₂的距离为d₂，$ {d_1} \leqslant {R_{\rm t}} $表示棱柱体Ⅰ产生的破片命中目标，$ {d_2} \leqslant {R_{\rm t}} $表示棱柱体Ⅱ产生的破片命中目标。

$ A $点的坐标为

棱柱体Ⅰ产生的破片群的轨迹方程为

其中

同理可得棱柱体Ⅱ产生的破片群的轨迹方程

其中

则$ {d_1} $和$ {d_2} $为

若令$ d = {d_1}+{d_2} $，则可以根据d的大小判断展开姿态是否达到最佳命中姿态：当棱柱体Ⅰ和棱柱体Ⅱ的破片群均命中目标时，d越小，则表示命中效果越好，当d取最小值时，结构体达到最佳命中姿态。

第1节已经推导出了结构体展开过程的微分方程以及棱柱体展开初始角速度与辅助装药量的关系式，可以对式(49)进行求解。由于式(49)属于非线性偏微分方程组，很难求得解析解，可通过数值方法求得方程的数值解，以下将采用龙格-库塔方法对展开过程的微分方程进行求解。为验证理论模型的合理性，利用ANSYS/LS-DYNA软件建立了结构展开的仿真模型。仿真模型与理论计算模型的几何参数以及各部分材料设置保持一致，相关参数如表1所示，各参数符号的含义与图2中的符号相对应，所列参数是根据文献[16]中实验模型参数确定的，以便于数值模型与理论模型的验证。

采用ALE算法进行数值模拟。选用LY-12铝合金作为金属壳体材料，45钢作为破片和铰链材料，上述材料均采用刚体模型（MAT_RIGID）描述，相关材料参数如表2所示，其中：E为杨氏模量，ν为泊松比，σ_s为屈服应力，G为剪切模量。考虑到主装药在展开过程中不起爆，选择弹塑性材料模型（MAT_PLASTIC_KINEMATIC）表征其物理行为，相关材料参数如表3所示。辅助装药采用JWL状态方程描述，辅助装药的材料参数如表4所示，其中：p_CJ为CJ压力，A、B、R₁、R₂、ω为JWL状态方程参数。采用数值模拟方法对文献[16]中的实验工况进行数值模拟，得到辅助装药量为15 g时结构的展开过程，结果如图6所示。从图6可以看出：数值模拟得到的展开姿态变化与实验结果基本一致；实验结果显示结构在14.7 ms时基本展平，而数值模拟结果显示结构在13.7 ms时基本展平，相对误差为6.8%。以上结果说明所采用的数值方法及模型参数较为合理。

由于炸药的能量利用率是未知的，为保证数值模拟与理论计算的初始角速度一致，便于理论结果与数值模拟结果的对比，以数值模拟给出的50 μs时的角速度作为理论模型的初始角速度，辅助装药总质量为150 g，其中m_e1=90 g，m_e2=60 g。由于t=50 μs时炸药已经完全爆轰，子战斗部还没有分离，因此，设t=50 μs时子战斗部的角速度为初始角速度，通过数值模拟得到此时ω₁=954 rad/s，ω₂=731 rad/s。在数值模拟和理论计算过程中，均取ω₁=954 rad/s，ω₂=731 rad/s，这样既能保证数值模拟与理论计算的初始角速度相同，也排除了炸药能量利用率的影响。

图7展示了展开型定向战斗部理论计算得到的展开过程与数值模拟结果的对比。从图7可以看出：2种方法得到的战斗部展开过程较为一致；在850 μs之前，α变化得比较明显，850 μs之后，主要是χ在变化，而α的变化不明显，1550 μs时，结构体基本处于展平状态，即破片层全部朝向同一个方向；2种方法得到的展开姿态变化规律较为一致。图8显示了α和χ的理论计算与数值模拟结果的对比。理论计算的α和χ与数值模拟结果的最大相对误差分别为4.5%和12.4%，理论计算结果与数值模拟结果基本一致。2种方法得到的α和χ的变化趋势基本一致，说明理论模型可以较好地描述结构体的展开过程。

采用得到的爆炸驱动展开模型，对文献[16]中的工况进行计算，假设炸药的能量利用率η为100%，得到的计算结果与实验结果对比见图9。可见，理论模型计算得到的展开时间随辅助药量的变化趋势较为一致，但是计算得到的展开时间比实验值小得多。这是因为在实际炸药爆炸过程中能量利用率η达不到100%，根据前人的研究成果^[2–4]，炸药在爆炸驱动过程中的能量利用率约为55%～95%。上述文献在讨论炸药的能量转换率时，被驱动结构在其飞散方向上均有一定的约束，而本研究的结构在展开方向上未添加约束，结构在很短的时间内展开分离。因此，文献中的结构驱动加速时间更长，炸药能量转换率更高，本研究取炸药能量利用率为55%。

炸药的能量利用率确定为55%后，由式(33)、式(34)及式(49)便可对展开过程求解。为验证能量利用率取值的合理性，用本研究的理论模型对文献[16]中的实验工况进行求解，并将计算结果与实验结果^[16]进行对比。文献[16]中共进行了3组实验，3组工况的辅助药量不同，通过高速摄像技术测得每组工况下结构在爆炸驱动下从闭合到展平的时间。图9给出了理论计算与实验结果对比，3组实验的最大相对误差为11.1%，表明该实验工况下炸药的能量利用率取55%较合理。图10为第2组实验工况的展开过程的理论计算结果，结构在11.2 ms时基本处于展平状态。

在典型的弹目交会条件^[21]下，采用不同加载方式对展开过程及命中目标情况进行分析。设目标为直升机，直升机的飞行速度为100 m/s，导弹的飞行速度为400 m/s，弹目交会角为180°，脱靶方位角为0°，结构体的参数仍用表1所列参数，破片群命中目标时结构体与目标的相对位置如图5所示。直升机的机高（不含旋翼）为300 cm，机宽（不含翼展）为200 cm^[22]，参考直升机的尺寸，将目标半径R_t设为100 cm，目标距离结构体的距离d₃设为1000 cm。要得到式(49)的解以及确定结构体对目标的命中姿态，还需要确定辅助装药的质量，这里将辅助装药作为自变量输入，将展开姿态以及展开时间作为因变量输出，重点探究辅助药量对展开姿态和展开时间的影响。

图11给出了不同加载方式下$ d $的变化曲线。辅助装药的总质量为16 g，根据辅助装药1（m_e1）和辅助装药2（m_e2）的质量关系，有3种不同加载方式：将m_e1=m_e2加载记为L₁，m_e1<m_e2加载记为L₂，m_e1>m_e2加载记为L₃。

采用L₁加载方式时：d先随时间的增加而减小，当t = 11.2 ms时达到最小值（d达到最小表示结构体展开达到最佳命中姿态），随后d又随着时间的增加而增大。从图11可以看出，对于L₁、L₂、L₃ 3种加载方式，达到最佳命中姿态时的d值存在如下关系：d_L2>d_L1>d_L3，说明L₃加载方式更有利于命中目标。这是由于采用L₁方式加载时，χ的平均速度大于α的平均速度，当χ达到命中目标的姿态时，α还未展开至可命中目标的角度。采用L₂方式加载时，χ的平均速度比等药量加载时更大，α的平均速度比等药量加载时更小，从而导致结构体达到最佳命中姿态时的d值比L₁加载时的d值更大。当采用L₃加载方式时，α的平均速度与χ的平均速度差变小，进而使结构体达到最佳命中姿态时的d值比L₁加载时的d值小。

由图11可知：当辅助装药的总质量一定时，d的极小值会随着辅助装药1的质量的增大而减小，当辅助装药1与辅助装药2的质量达到一定比值时，若继续增大辅助装药1的质量，d的极小值会增大。这表明L₃加载方式不仅更有利于命中目标，而且可以通过调整装药量得到最佳装药比，使得命中姿态达到最佳。表5列出了不同总药量时的最佳装药方式以及每种装药方式达到最佳展开姿态时的展开角度。通过分析可知，当辅助装药的总质量确定时，按m_e1/m_e2为1.5～1.7的比例设置辅助装药，结构体的命中姿态可达到最佳。

通过2.2节和2.3节的分析，确定了炸药的能量利用率以及辅助装药的最佳装填方式，以下将按照最佳装药比设置辅助装药的质量，并取炸药的能量利用率为55%，对文献[16]中的工况进行计算，得到了结构体展开时间随辅助装药质量的变化曲线，如图12所示。图12中的展开时间均为结构体展开达到最佳命中姿态时的展开时间。从图12可以看出，展开时间随着辅助装药质量的增加而缩短，但是当辅助药量进一步增加时，结构体展开时间的变化曲线逐渐变得平缓，说明不能通过无限制增大辅助装药质量的方式缩短展开时间。对于空中的直升机目标，空空导弹的最佳引爆延迟通常维持在10～30 ms范围内^{[21, 23]}，在不考虑结构损伤破坏的情况下，从图12可以看出，当药量增大到20 g时，展开时间可以缩短到10 ms以内。

为研究复杂结构体在爆炸驱动下的展开机理，以四棱柱展开型定向战斗部为研究对象，针对其在定向过程中涉及的复杂结构在爆炸驱动作用下的展开问题，基于JWL状态方程和第二类拉格朗日方程，从能量守恒出发，推导了考虑爆轰产物膨胀过程和对目标命中状态的爆炸驱动展开模型，得到了展开时间与展开姿态、辅助药量的关系模型。本研究可以为多棱柱形结构体的展开机理研究提供参考，也可以为展开型定向战斗部的展开过程提供有效的理论依据，为其引战配合设计提供参考，主要结论如下：

(1) 通过对照文献中的实验数据确定了炸药的能量利用率为55%，利用本研究所建立的理论模型预测了复杂结构体的展开时间，与已有实验数据的最大相对误差为11.1%，表明该工况下炸药能量利用率取55%较为合理，理论模型可较为精确地预测不同药量下结构的展开时间；

(2) 将理论求解的结构体展开过程与数值模拟结果进行对比，两者得到的战斗部展开过程较为一致，表明理论模型可以较好地描述结构体的展开过程；

(3) 当辅助装药的总质量一定时，按m_e1/m_e2为1.5～1.7的比例设置辅助装药，结构体可展开达到最佳命中姿态，更有利于命中目标；

(4) 当辅助装药达到一定质量后，战斗部展开时间的缩短会减缓，即不能通过无限增大辅助装药量的方式缩短展开时间，当辅助装药量增大到20 g时，战斗部展开时间可缩短至10 ms以内。