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基于雪崩三极管的Marx电路设计是研制固态脉冲源产生纳秒脉冲的有效技术之一，雪崩三极管在其中作为开关器件使用。由于其出色的动态雪崩特性和紧凑的尺寸，雪崩三极管具有纳秒级的开关速度。虽然由于硅材料的原因，雪崩三极管的额定电压被限制在几百伏，但基于多个雪崩三极管级联的Marx电路可产生kV级别的电压脉冲。雪崩三极管的基本结构与普通三极管相同，其开关过程必须依次经历雪崩击穿和二次击穿。由于雪崩三极管有瞬时大功率的特性，工作时热效应突出，而其性能参数与工作过程受温度影响显著，因此在散热方面存在很大的挑战。Robert等人[1]提出了一种用于非局部弱雪崩的紧凑模型，相较于传统模型引入了温度系数，可以准确地再现三极管的弱雪崩特性。Chen等人[2]通过分析雪崩三极管的开通特性原理，实验研究了不同温度和工作条件下雪崩三极管的开通特性和输出脉冲变化。结果表明，温度升高会影响载流子雪崩倍增过程，导致基极触发雪崩三极管的开启速度变慢并降低压降。Wen等人[3]通过相应的物理模型分析了雪崩三极管工作过程电流路径的变化和温度分布。结果表明，由于位移电流不足，电流路径很容易被限制在器件边缘并导致局部过热损坏主结，热失控退化的器件在关断期间完全失效。
在常温的半导体材料中，声子U散射对导热起主导作用，声子输运以扩散输运为主，傅里叶导热定律成立。当系统特征长度小于或接近声子平均自由程或是系统维度从三维降到准一维或准二维时，傅里叶导热定律不再适用。许多非傅里叶导热现象已在前期的实验、理论与数值研究中被发现。
大量的实验、数值和理论结果表明，在低维系统或纳米尺度中存在尺寸效应，即热导率与系统尺寸相关。为了验证上述理论，研究者们开展了大量数值和实验研究。Zhang等人[4]发现单壁碳纳米管的热导率随长度的增加而指数发散。Herry等人[5]发现聚乙烯单链的热导率很高，在一定条件下随长度增大而增大。Chang等人[6]通过实验首次证明单根多壁碳纳米管的热导率与管长相关，并且当管子长度增加到10 µm时，热导率也没有收敛。在此基础上，Chang等人将单根碳纳米管的管子长度增加到毫米量级[7]，实验测得的热导率依旧不收敛。Yang等人[8]发现在微纳尺度的纳米线中，傅里叶导热定律也不成立。当线长小于声子平均自由程时，声子为弹道输运，热导率随长度线性增大；当线长大于声子平均自由程时，声子处于弹道输运和扩散输运之间。在二维系统中，研究发现热导率随系统尺寸的对数发散。Wang等人[9]发现热导率随着原子链的长度对数发散。Xu等人[10]直接测量悬空单层石墨烯，研究了热导率与长度的关系。对于固定宽度的石墨烯，热导率随体系长度逐渐增大，并且符合对数曲线。
除此以外，部分学者研究了系统热导率和热源大小的关系。Siemens等人[11]通过实验测量了纳米尺度的热系统。结果表明在纳米尺度热源中，傅里叶导热定律不成立。Minnich等人[12]通过实验测得的热导率数据无法根据热导率、纳米热源和声子平均自由程之间的理论关系反算出不同频率下的声子平均自由程。
本文旨在通过将声子BTE与TCAD进行电热耦合模拟来解决传统傅里叶导热定律在预测器件内微纳尺度热传输方面的局限性。针对硅基三极管FMMT417进行电热耦合数值模拟，对主要发热区域基于LBM方法对声子散射的非傅里叶导热过程建立数值模型。FMMT417是一种商用雪崩晶体管，它是一种特殊设计的具有薄n0区的NPN双极结型晶体管，由于n0区薄而轻掺杂，导通后的串联电阻小，容易产生大电流。格子玻尔兹曼方法（Lattice Boltzmann Method, LBM）是一种基于介观模拟尺度的数值计算方法，具有程序简洁、易于并行计算、边界条件处理简单等优势。由于声子BTE本身为玻尔兹曼方程，对于格子玻尔兹曼方法具有适应性，仅需进行格子离散，无需其他处理，适合使用格子玻尔兹曼方法进行求解。该方法缺点为不适用于过小尺寸的结构（数倍晶格常数），且受限于弛豫时间的量级，对于较大时间尺度的模拟计算成本较高。
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FMMT417三极管的结构参数如图1所示，根据Cheng等人的研究[13]，垂直于二维面方向的有效厚度取100 μm时，具有较准确的电学仿真结果。对该结构进行TCAD的数值模拟。
发射极恒接地，集电极偏置电压270 V，外接30 kΩ限流电阻，基极加触发信号，根据FMMT417三极管的技术手册[14]，击穿发生的临界基极电压Ub,critical=0.9 V，三极管能承受的最大基极电压Ub,max=6 V，此处采用6 V作为模拟条件。N型区掺杂浓度1018 cm−3，p型区掺杂浓度2×1017 cm−3，n0过渡层掺杂浓度5×1014 cm−3[13]。
对于电热耦合模拟，包含以下控制方程：
泊松方程
式中：ε为材料介电常数，ϕ为电势，p和n分别为空穴和电子的浓度，ND和NA分别为供体和受体的掺杂浓度，q为元电荷。
电子-空穴守恒方程
式中：Jp和Jn分别为由空穴和电子引起的电流密度，R为电子与空穴的净复合率。
漂移-扩散模型
式中：μp和μn分别为空穴和电子的迁移率，Dp和Dn分别为空穴和电子的扩散系数，E为电场强度。
电热耦合模拟的控制方程的求解由TCAD软件完成，该软件采用有限元法和有限差分法对不同物理量进行离散，迭代法进行求解。
焦耳热计算公式如下
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声子BTE的数学形式如下
式中：f=f(x, K, p, t)是声子的分布函数，它与几何空间位置x、波矢K、声子偏振分支p和时间相关，v是声子的群速度，波矢K满足
式中：s是波矢空间的单位方向矢量，K与v满足
式中：ω为声子频率。
声子BTE方程左端第一项是声子分布函数的时间演化项，左端第二项是声子迁移项，方程右端第一项是声子散射的平衡态分布项，右端第二项是源项。声子散射项较为复杂，一种简单的处理方式是采用弛豫时间近似模型
式中：τR和τN分别是R散射和N散射的等效弛豫时间，
$f_{\mathrm{R}}^{ \mathrm{eq}} $ 和$f_{\mathrm{N}}^{ \mathrm{eq}} $ 分别是R散射和N散射的平衡态分布，遵循玻色-爱因斯坦分布式中：kB为玻耳兹曼常数，u为声子的漂移速度，计算式如下
式中：T0为初始温度，C为材料热容，e为声子能量分布函数，计算式如下
式中：
$f_{\mathrm{ref}}^{\mathrm{eq}} $ 为参考温度Tref下的平衡态声子分布函数，feq计算式如下当系统中的N散射远远强于边界散射，且边界散射远远强于R散射时，声子输运处于声子水动力学区域，声子N散射不可忽略。在硅、锗等体块材料中，声子水动力学区域的温度范围很窄，仅在极低温下（30 K以下）存在。因此对于常温及高温下的Si材料，N散射可忽略，声子BTE简化为单弛豫时间模型
式中：D为声子态密度，计算式如下
源项的计算式如下
宏观的温度与热流值由微观量转换得到
声子谱具有三个声学支和三个光学支。因为光学支对热传导的贡献很小，所以在计算声子散射时只考虑声学支。考虑一个纵波声学支（Longitudinal acoustic，LA）和两个简并的横波声学支（Degenerate transverse acoustic，TA）。声学支的色散关系通过二次多项式[15]来近似，色散关系如下
|K|的取值需要在第一布里渊区才有意义，因此|K|需要满足下式
式中：a为材料的晶格常数。
声子散射过程的弛豫时间通过Terris等人给出的经验公式[16]计算得到
在LBM方法下，采用经典D2Q9的格子进行离散，则s的各个分量即为格子的9个方向矢量。对于不同方向的权重系数，由于声子非实物粒子，原地不动的声子不具有物理意义，因此权重系数w0=0。由于材料的各向同性，各方向的声子应产生相同的贡献，由于5、6、7、8方向的声子计算时在x轴方向和y轴方向均被计入，因此其余方向的权重系数取值如下
对|K|采用以下方式进行离散
式中：ΔL为网格尺度。
对于网格划分，玻耳兹曼方程的适用条件需要满足统计要求，因此网格尺度存在下限，即网格尺度应大于材料的晶格常数a，也即每个网格内应存在多个晶胞，且在该离散方式下需满足|K|的取值要求，因此网格尺度满足
对于计算过程中涉及的所有积分，采用梯形积分格式。
对于碰撞过程，采用显式格式进行迭代
对于迁移过程，同样采用显式格式进行迭代
根据碰撞过程与迁移过程的收敛性可知，对于时间步长dt的取值要求要满足下式
边界条件由定温边界与绝热边界构成，对于定温边界，满足下式
对于绝热边界，采用镜面反射条件，对于左侧绝热边界，满足下式
对于右侧绝热边界，满足下式
对于上侧绝热边界，满足下式
每个时间步下声子发生一次碰撞过程，一次迁移过程，一次对边界条件的处理，然后进入下一个时间步。
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在TCAD中进行网格无关性验证，以焦耳热功率为特征参数，得到如表1所示结果，在不同网格密度下，单元数
9113 的网格设置已为网格独立解。在非傅里叶导热中进行网格无关性验证，以峰值最高温度为特征参数，得到如表2所示结果，在不同网格密度下，单元数
2093 的网格设置已为网格独立解。 -
采用文献中的经典结果对模型进行定量验证[17-19]。验证计算的硅膜厚度不同，在垂直于厚度方向的薄膜内施加固定温度梯度，低温侧温度300 K，计算长度100 μm，温差0.1 K。可以看出，由于边界散射的影响，硅薄膜的面内热导率随厚度减小而减小。使用本方法预测的结果与经典文献中的实验结果在图2中。结果表明，基于本方法的模拟捕捉到了微纳尺度下的尺寸效应，且与实验数据匹配，这表明本方法具有良好的准确性。
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三极管雪崩工作状态的电学模拟结果如图3、图4所示，电流密度最高的区域为基极与发射极之间，由于过渡层发生击穿，有电流漏向集电极，形成电流密度次高区域。该电流密度分布与文献[13]结果一致。
由于基极与发射极间的高电流密度区域空间尺度较小，而载流子掺杂浓度较大，产生的热功率较小且相对均匀，该区域焦耳热功率密度作均匀定值处理。低掺杂的过渡层成为主要发热区域，在过渡层中，热功率分布与电流密度分别一致。由图5、图6可知，在该工况下，焦耳热功率密度沿y轴的分布接近线性。焦耳热功率密度沿x轴分布具有峰值，经过数据拟合，得到过渡层的归一化几何尺寸焦耳热功率密度分布为
式中：x为归一化横坐标，y为归一化纵坐标。将该结果作为过渡层非傅里叶导热数值模拟的输入条件。
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根据TCAD电热耦合模拟结果，对三极管进行非傅里叶导热过程数值模拟。电极为300 K定温边界条件，其余面绝热。根据三极管工作特性，有效击穿时间为1 ns。由于极低的占空比，为了明确显示不同方法的温度-时间曲线，模拟时间10 ns，在第1 ns内为三极管雪崩击穿产热过程。
图7显示了三极管内部的温度情况。高焦耳热功率密度区域与高温热点对应，与预期一致。最高温度是器件性能的关键指标。图8显示了器件最高温度随时间的变化情况。我们比较了用传统的傅里叶导热定律和声子BTE获得的温度响应。结果显示，BTE模型预测的温度较傅里叶导热模型更高，尤其是高温热点区域。这是因为，在纳米尺度上，玻尔兹曼方程可以更好地解释声子输运。具有不同平均自由程的声子具有不同的输运表现。平均自由程大于等于热点尺度的声子为弹道输运状态，导致热点区域的温度高于傅里叶导热计算的温度。假设声子扩散输运的传统傅里叶导热定律在这种情况下会失败，并且常常会低估温度。
总之，在纳米尺度上，声子弹道效应变得显著，传统的傅里叶导热定律不足以准确描述热传导过程。因此，使用声子BTE模型考虑弹道热阻对于准确预测半导体温度是必要的。
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本文旨在通过将声子BTE与TCAD进行电热耦合模拟来解决传统傅里叶导热定律在预测器件内微纳尺度热传输方面的局限性。主要发现包括：
（1）雪崩三极管工作过程中，电流密度最高的区域为发射极和基极之间，次高区域为对应位置在过渡层的击穿区域，但由于不同区域的电阻差异，发热最严重的区域为低掺杂高电阻的过渡层电流密度次高区域。
（2）基于声子BTE的非傅里叶导热模型对三极管内最高温度的预测显著高于传统的傅里叶导热模型，这意味着使用传统的傅里叶导热模型可能低估器件内部的核心温度。
这些发现凸显了将非傅里叶导热效应纳入微纳尺度器件热分析的重要性，并为微纳尺度热管理提供了见解。
由于本文的电热耦合方法为单向耦合，温度对器件电学特性的影响被忽略。后续将建立热电双向耦合模型，通过迭代求解载流子输运方程与声子BTE，计入温度对载流子迁移率、复合率的影响。此外，为了更准确地捕获非傅里叶效应，将采用第一性原理计算获取硅材料的声子色散关系、弛豫时间等本征参数，替代现有经验公式，进一步提升模型对非傅里叶效应的捕获精度。
基于格子玻尔兹曼方法的雪崩三极管电热耦合数值模拟
Electrothermal coupling numerical simulation of avalanche transistors based on Lattice-Boltzmann method
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摘要: 雪崩三极管广泛应用于微波器件、脉冲电源等场景。由于其有瞬时大功率的特性，在散热方面存在很大的挑战。雪崩三极管的工作区域在微米级。在微观尺度上，经典的傅里叶热传导定律不再适用，其散热原理与宏观尺度上的散热原理有明显的不同。玻尔兹曼输运方程（BTE）在多个时空尺度上成立，可以描述微观尺度上的热输运现象。本文以声子BTE为控制方程，采用格子-玻尔兹曼方法（Lattice-Boltzmann Method，LBM）进行离散和求解，建立了微尺度下非傅里叶导热过程的介观数值模型。利用该模型模拟了雪崩三极管的加热过程。采用TCAD电热耦合仿真的焦耳热功率结果作为非傅里叶导热模型温度预测的输入条件。用非傅里叶导热模型预测的雪崩三极管峰值最高温度高于传统傅里叶导热模型的结果。Abstract:
BackgroundAvalanche transistors are extensively employed in microwave devices, pulse power supplies, and various other applications. Owing to their capability of generating instantaneous high power, significant thermal management challenges arise. The active region of an avalanche transistor operates at the micrometer scale, where classical Fourier's law of heat conduction becomes inadequate due to the breakdown of phonon diffusive transport assumptions. At such microscopic dimensions, the heat transfer mechanism deviates markedly from that at macroscopic dimensions. The Boltzmann transport equation (BTE) of phonon scattering, which remains valid across multiple spatiotemporal scales, provides a robust framework for modeling non-Fourier thermal transport phenomena. PurposeThis study aims to propose a new electrothermal coupling method for simulating the working process of semiconductor devices, in order to capture the non-Fourier heat conduction effect within semiconductor materials at the micro-nanoscale, where phonon ballistic transport dominates. MethodsIn this study, the phonon BTE is adopted as the governing equation, and the Lattice-Boltzmann method (LBM) is employed for spatial and temporal discretization to establish a mesoscopic numerical model of non-Fourier heat conduction at the microscale. This model is applied to simulate the transient thermal behavior of avalanche transistors, with input conditions derived from TCAD-based electrothermal coupling simulations. ResultsThe internal temperature field of the avalanche transistor predicted by the non-Fourier conduction model is higher than that of the traditional Fourier conduction model. ConclusionsThese findings highlight the importance of incorporating the non-Fourier heat conduction effect into the thermal analysis of micro-nano scale devices. -
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图 5 过渡层焦耳热功率密度y轴分布
Figure 5. The y-axis distribution of Joule heat power density in the transition layer
图 6 过渡层焦耳热功率密度x轴分布
Figure 6. The x-axis distribution of Joule heat power density in the transition layer
图 7 非傅里叶导热峰值温度云图
Figure 7. Contour of peak temperature of non-Fourier heat conduction model
图 8 非傅里叶导热模型与傅里叶导热数值结果对比
Figure 8. Comparison of non-Fourier heat conduction model and Fourier heat conduction model
表 1 TCAD网格无关性验证
Table 1. Grid independence verification of TCAD
quantity of grids heat/W 2512 24.1 9113 23.6 34607 23.6 
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表 2 非傅里叶导热模型网格无关性验证
Table 2. Grid independence verification of non-Fourier heat conduction model
quantity of grids Tmax/K 2093 301.9 8145 301.9 50061 301.9
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图( 8) 表( 2)
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