以抽速为50 L/s的单头螺杆真空泵的左右转子为研究对象，其三维模型如图1所示，转子的基本几何参数见表1，螺杆转子的转速为2900 r/min。

螺杆真空泵运转过程中转子的传热现象主要有对流传热和热传导两种方式，对流传热主要包括泵腔内运转气流与转子的对流换热、转子与转子轴心冷却水的对流换热和吹扫冷却时冷却气体与转子的对流换热，热传导为转子的金属热传导。

流体和固体的对流换热符合能量守恒定律，流体散发的热量等于固体壁面吸收的热量，本文重点关注固体转子表面的温度分布，因此对流换热过程应该满足牛顿冷却定律，即^[14]：

式中，$ q $为转子表面的热流密度，$ h_{\mathrm{g\mathrm{ }}} $为流体与转子之间的对流换热系数，$ T_{\mathrm{gi}} $为流体的温度，$ T\mathrm{_{pi}} $为转子表面的温度。

转子为金属结构，且排气侧由于反冲导致温度升高，而进气侧温度较低，所以将会有热传导物理现象的发生，热传导过程满足傅立叶定律^[18]：

式中，$ \lambda $为导热系数，$ \dfrac{{{\mathrm{d}}T}}{{{\mathrm{d}}r}} $为温度梯度。

根据热变形分析理论，采用有限元软件对双螺杆真空泵转子的热变形问题进行求解分析可以得到转子的温度分布情况以及热力变形。当一个物体达到热平衡后有：

其中，$ \left[ {{{{K}}_{\text{T}}}} \right] $表示传导矩阵，$ \left\{ Q \right\} $表示热流向量，$ \left\{ T \right\} $表示温度向量。

其中，$ \left[ R \right] $、$ \left[ B \right] $和$ \left[ D \right] $表示物体的整体刚度矩阵、几何矩阵和弹性矩阵，$ \{ F\} $为由温度场引起的等效热载荷向量，$ \left\{ u \right\} $表示单元节点的位移，$ \left\{ \sigma \right\} $和$ \left\{ \varepsilon \right\} $分别表示单元节点的应力和应变。

根据经典力学理论，双螺杆真空泵转子的运动方程为：

其中，$ M $和$ C $分别表示转子的质量和阻尼矩阵，$ K $表示转子的刚度系数矩阵，$ \mathop X\limits^{ \bullet \bullet } $、$ \mathop X\limits^ \bullet $和$ X $分别表示转子的加速度矢量、速度矢量和位移矢量，$ f\left( t \right) $为时变载荷向量。

根据课题组前期工作^[19]，在排气侧转子最后一个导程加载温度180℃，对流换热系数80.7 W/m²·K；转子其他级加载温度30℃，对流换热系数1.7 W/m²·K；其他部位加载常温25℃，由于转子高速旋转，对流换热系数15 W/m²·K。

由于螺杆转子的轴向变形量较大，在设计转子轴系结构时进气侧允许转子轴向伸长，排气侧轴向固定。本文在排气侧轴承处添加圆柱约束，设置轴向、切向和径向三个方向上的约束为固定；在进气端轴承处同样添加圆柱约束，设置轴向位移为自由，切向和径向方向上为固定；根据螺杆转子的转速在电机输入轴端设置转速303.53 rad/s。转子的材料为QT500-7，其物性参数见表2所示。

由于网格的疏密会影响计算结果，因此在分析之前首先进行网格无关性验证。以左旋转子为例，生成不同数量的网格进行仿真计算，得到左旋转子的最高温度和平均网格质量与网格数量的关系如图2所示。由图2可以发现，随着网格数量的增加，左旋转子的最高温度和平均网格质量呈现增加的趋势。当网格数量超过128万之后，最高温度和平均网格质量变化较小，由于网格数量太多会增加计算时间，为了兼顾计算精度和计算时间，本文选取网格数量为128万的那套网格用于后续研究。选用的网格如图3所示。

两螺杆转子的温度场如图4所示。由图4（a）知，左旋转子的温度最大值是在排气侧的分度圆最外侧，最高温度为169.78℃，最小值在电机轴的输入端，最低温度为53.666℃，这是由于电机轴端离反冲气体冲击位置较远，而且与电机轴相连的这边轴细而长，与外界环境有更多的换热。由图4（b）知，右旋转子的温度最大值是在排气侧长幅外摆线的尖点处，最高温度为177.22℃，最小值在齿轮轴段，最低温度为77.794℃。对比图4（a）和图4（b），可以发现左旋转子和右旋转子温度场分布相类似，排气侧反冲气体段的温度较高，进气端的温度较低，转子轴的最远端温度最低。

图5为两螺杆转子三个方向的热变形云图。由图5可知，左旋转子和右旋转子整体变形上都是向进气端延伸的，这是由于排气端的轴承处轴向进行了固定。另外，越靠近进气端转子变形量越大，这是由于轴向变形累计所致的，其中左旋转子和右旋转子的轴转子部分轴向变形最大值约为0.5 mm。这里要说明的是仿真云图中的变形负值是相对于坐标系而言的，其绝对值越大，说明转子坐标轴的负方向变形量越大。这一仿真结果为转子轴转子部分的轴向间隙预留提供了重要的参考依据。对于径向变形而言，其值在转子不同的轴向位置是不一样的，转子的排气端径向变形量最大，这是由于排气端温度较高，关于径向变形的研究将在3.4节进行更加深入地探讨。

由上述模拟结果可知，本文研究的螺杆真空泵的转子每一处变形都是不同的，因此需要考虑不同的变形量来留取间隙保证螺杆真空泵在工作时不发生卡死等破坏。

显然，3.3节中的云图只能观察到单方向的变形，即X、Y、Z三个方向的热变形，但是在螺杆真空泵装配间隙考虑的过程中，不同轴向位置的径向变形和轴向变形更有参考价值。为了便于观测螺杆转子径向和轴向的变形，在螺杆转子部分构造如图6所示的螺旋曲线路径（蓝色螺旋线），以此来量化转子的径向变形和轴向变形沿轴向位置的分布情况。

根据转子型线的特点，两转子的凸齿面始终在分度圆处啮合，因此可将分度圆所形成的螺旋线变形作为表征凸齿面变形的重要依据，如图6（a）所示。同时，左旋转子凹齿面的最低点与右旋转子长幅外摆线的尖点始终保持啮合，故分别以左旋转子凹齿面处的螺旋线变形和右旋转子长幅外摆线尖点处的螺旋线变形，来表征左旋转子的齿根变形和右旋转子的齿顶变形，如图6（b）所示。

分别提取两转子在上述4条螺旋线上X、Y和Z三个方向变形，Z方向的变形量即为轴向变形，由于转子轴心在Z轴，径向变形可由X和Y方向使用勾股定理求得。左右旋转子径向变形和轴向变形随轴线位置的变化曲线如图7~图10所示，其中红色曲线表示左旋转子的变形，黑色曲线表示右旋转子的变形。

由于两转子径向变形均为受热膨胀，转子间的径向总变形为两转子的径向变形之和，两转子齿间总变形随轴线位置的参考值曲线如图7和图8蓝色曲线所示，径向变形最大值为0.14 mm。另外，由图9和图10可知，左右旋转子的轴向变形基本一致，通过对两转子轴向变形进行求差即可以得到两转子轴向变形的差值如图9和图10中绿色曲线所示，该曲线基本在纵坐标为零处波动，上下波动不超过0.025 mm，因此可以认为两转子轴向变形是同步进行的。

吹扫方式即在转子的排气侧使用吹扫气体对转子进行冷却，则将吹扫气体作为返流气体进行边界条件的施加，取冷却吹扫气体温度为10℃。

排气侧的气体温度可通过下式计算^[19]

根据计算结果，吹扫的边界条件为在排气侧转子最后一个导程加载温度123.26℃ （396.41 K）替代反冲气体的温度。

本文以左旋转子为例进行研究转子排气侧冷却吹扫的效果，仿真得到左旋转子的温度场如图11所示，X、Y和Z三个方向的热变形如图12所示。

由图11可知，吹扫冷却后左旋转子的最高温度为120.37℃，和转子未冷却时的169.78℃相比，最高温度降低了49.41℃。图12表明吹扫冷却后左旋转子的X方向的最大变形为0.070636 mm，和未冷却的0.10671 mm相比，转子的X方向最大变形量减少了0.036074 mm，约为33.8%。同理，可分析Y和Z两个方向的变形情况。为了便于对比，以上分析结果如表3所示。

轴心通水冷却顾名思义就是在转子轴心进行钻孔，然后通冷却液对转子进行冷却。本文以冷却水道孔直径为24 mm的左旋转子进行仿真分析对象，轴心冷却计算域如图13所示。

冷却水的进口设置为速度入口“Velocity inlet”，出口设置为压力出口“Pressure outlet”，压力设置为101 kPa，出口压力的大小不会影响转子温度场分布。另外，转子表面加载热源，和未冷却的转子边界相同。流体和固体接触的位置设置为流固耦合交界面，流体为20℃的水，固体材料为QT500-7。

图14展示了冷却水流速为0.4 m/s时左旋转子的温度场分布，此时转子的最高温度为129℃，并且显而易见高温分布的范围较未冷却明显减小。

本文进一步探讨了转子的冷却与轴心孔中冷却水流速的关系，以转子冷却后的最高温度作为转子冷却效果的表征，通过仿真计算得到在不同冷却水流速下转子的冷却后最高温度如表4所示。

为了便于对比，绘制如图15所示的点线图。显然，随着冷却水流速的增大转子的最大温度逐渐降低，并且降低得越来越缓慢。但是单位时间内流量与冷却水的流速是成正比，其值越大的话将会消耗外界的能量更多。因此，综合考虑冷却效果与能耗因素，在较高流速条件下继续提高冷却水流速的工程意义有限。

另外，对比图11和图14冷却吹扫和轴心通水的温度场可以发现，轴心通水冷却后的转子高温分布范围较吹扫冷却更小，轴心冷却后的转子高温基本仅位于反冲导程内；另外，轴心通水冷却后的转子最低温度为20.1℃，而吹扫冷却的最低温度为44.5℃。因此，轴心通水冷却对于螺杆真空泵转子冷却来说效果更好，不过在选择冷却类型时还需要根据实际场景，例如对冷却要求非常高且被抽空间不允许任何杂质其他掺杂的情况优先考虑轴心冷却，不过也需要考虑密封问题，如果密封失效会对被抽空间造成污染；对于抽除含溶剂蒸汽、单体气体时，吹扫冷却在降低转子温度的同时还能带走残留物，避免沉积或结焦。

本文建立了单头螺杆真空泵左旋转子和右旋转子的几何模型和有限元模型，对两转子的温度场和热变形进行了仿真分析，并研究了冷却吹扫和轴心冷却两种冷却方式的冷却效果。结果表明：

（1）就螺杆转子的温度场而言，左旋转子的温度最大值是在排气侧的分度圆最外侧，最小值在电机轴的输入端；右旋转子的温度最大值是在排气侧长幅外摆线的尖点处，最小值在齿轮轴段。

（2）针对螺杆转子的热变形，左旋转子和右旋转子轴向变形是同步，轴向变形差值不超过0.025 mm，因此可以忽略两转子相互啮合的轴向间隙，只需考虑径向变形，径向变形最大值为0.14 mm；另外，本文给出了两转子的径向变形曲线，为螺杆真空泵转子的设计和装配间隙的确定提供了理论依据。

（3）冷却吹扫和轴心冷却水冷却均能够很好地冷却螺杆真空泵的转子；同时，轴心通水冷却时，随着冷却水流速的增大转子的最大温度逐渐降低，随着水流速的增大，转子的最高温度降低得越来越缓慢。

（4）轴心通水冷却对于螺杆真空泵转子冷却来说效果更好，对比两种冷却方式冷却的转子温度场可以发现，轴心通水冷却后的转子高温分布范围较吹扫冷却更小，轴心冷却后的转子高温基本仅位于反冲导程内；另外，轴心通水冷却后的转子最低温度为20.1℃，而吹扫冷却的最低温度为44.5℃。