螺杆真空泵内部工作过程分析分为泄漏过程分析和气体运输过程分析两部分。

变螺距螺杆真空泵转子结构及泄漏通道，如图1 所示。在此结构体系中，转子的左侧界定为低压侧，右侧则为高压侧。

在图1中，红色区域代表的是一个完整的工作腔体区域。L1 是由转子与泵腔之间的间隙形成的泄漏通道；L2 是由转子齿顶与齿根之间的间隙形成的泄漏通道；L3 为齿顶齿根过渡段啮合间隙（凸面间隙）所形成的泄漏通道；L4 是由转子尖点啮合接触线间隙（凹面间隙）形成的泄漏通道^[9]。

主从转子与泵腔形成多个相对独立的密闭空间，称为螺杆真空泵的工作腔。随着主从螺杆的同步反向旋转，相对独立的工作腔从吸气口向排气口移动，完成一个完整的工作过程。本研究聚焦于一个真空泵工作腔的完整工作过程，在综合级间返流泄漏因素的基础上，将抽气过程细分为吸气阶段、压缩阶段、反冲阶段以及排气阶段。

为降低计算成本，构建更实用的泄漏模型。在节将对L1-L4泄漏通道结构简化处理，并构建基于时间变量、涵盖分子流、粘滞流以及过渡流这三种流态的泊肃叶流动模型与库爱特流动模型，并构建螺杆真空泵内部泄漏模型^[6]。

通道内泄漏气体的流动类型可按克努森数（$ Kn $）进行判断，$ Kn $按如下方式求解：

式中，$ t $表示当前运行时间，$ L $为特征长度，本文取泄漏通道高度即间隙值$ \delta $，$ \lambda $为分子平均自由程，计算公式为：

式中，$ {k_B} $玻尔兹曼常数，$ T(t) $为当前时刻气体温度，$ d $为气体分子直径，$ {p_1} $和$ {p_2} $分别为进出口的压力。

当$ Kn > 1 $时气体处于自由分子流区，$ Kn < 0.01 $时气体处于粘滞区，$ 0.01 \leqslant Kn \leqslant 1 $时，气体处于过渡流区。

L1泄漏通道由齿顶间隙形成，泄漏通道长度设为$ {L_1} $。图2（a）展示了L1泄漏通道的位置与结构，该通道由齿顶面与壳体内壁面的间隙形成。此间隙可简化为“平行平板窄缝模型”，如图2（b）所示。

由于齿顶间隙$ {\delta _1} $相比于泄漏长度$ {L_1} $和泄漏宽度$ {B_1} $均较小，泄漏流动长度$ {L_1} $与齿厚$ W $的关系为：

式中，$ \theta (t) $为当前时刻齿顶螺旋线的螺旋升角，可由以下方程求解：

式中，$ {R_1} $为转子齿顶圆半径，$ P(t) $为当前时刻转子螺距。“平行平板窄缝模型”的三种流态的泄漏量计算公式如下^[10]：

式中，$ {G_{P1}} $表示了L1通道内泊肃叶返流流量，$ {G_{m1}} $表示L1通道内分子流态下的泊肃叶返流流量，$ {G_{v1}} $为粘滞流态下的泊肃叶返流流量。其中$ {\textit{z}} $的计算可参考文献[10]。式（5）中$ {G_{v1}} $计算公式如下：

式（5）中$ {G_{m1}} $计算公式如下^[11]：

其中$ Q(x) $修正参数可参考文献[11]。

主从转子分别以角速度$ \omega $和$ - \omega $转动，转子齿顶与腔体表面之间存在速度差，且转子转动方向与泄漏方向相反。因此，L1通道内速度差引起的库埃特流动泄漏流量$ {G_{c1}} $为^[6]：

故齿顶与泵腔间隙泄漏通道的总泄漏量$ {G_{L1}} $为：

L2通道为主从转子齿顶与齿根间隙形成，如图3（a）所示。其中红色区域表示当前级工作腔，蓝色区域表示下一级工作腔。该通道进口长度取为齿顶齿根接触线长度，设为$ {L_2} $。L2通道简化成两圆柱壁面间的狭缝通道，具体由图3（b）所示，泄漏方向由下向上，两圆柱半径大小分别为齿顶圆半径$ {R_1} $与齿根圆半径$ {R_2} $。

L2漏通道理论泄漏长度为0，$ {L_2} $通道泊肃叶流动返流流量同样根据式（5）求解。其中，$ {L_2} $通道内分子流态下的泄漏质量流量$ {G_{{m}2}} $为^[12]：

式中，$ {L_2} $为L2漏通道宽度，即主从转子齿厚之和；$ {\delta _2} $为L2泄漏通道间隙，$ {R_1} $、$ {R_2} $分别为齿顶圆半径和齿根圆半径。粘滞流态下泄漏质量流量为^[13]：

式中，$ \tau $为泄漏通道出口与进口压力比，$ \alpha $和$ \xi $为修正参数，计算方法可参考文献[13]。

由于主从转子同步反向旋转，L2通道两圆柱面也存在速度差引起的库埃特流动返流，该返流流量为^[6]：

式中，$ \omega $为转子转速。综上所述，L2通道内造成的总泄漏流量为：

L3通道为齿顶齿根过渡段啮合间隙（凸面间隙）形成的泄漏通道，如图4（a）所示。其中红色区域表示当前级工作腔，蓝色区域表示下一级工作腔。该通道的几何结构源于转子凸面，可将其简化为图4（b）展示的狭缝泄漏通道，此通道由两个圆柱面内切而成。

其中，两圆柱面的特征半径$ {\rho _1} $与$ {\rho _2} $可由转子端面型线计算得到，泄漏通道宽度为齿顶齿根过渡段接触线的长度$ {L_3} $。$ {L_3} $计算公式可根据经验公式计算，公式如下：

式中，$ X $为啮合面与螺杆径向方向的夹角，计算公式如下：

式中，$ P(t) $为螺距大小，$ {\phi _p} $为齿形面对应的端面型线所对应的圆心角。L3泄漏通道泊肃叶返流和库埃特返流计算方式与L2泄漏通道处基本相同，区别在于圆柱面位置分布，具体计算公式可参考文献[12-13]。

L4通道为转子齿尖啮合间隙（凹面间隙）所形成的泄漏通道，如图5（a）所示。该通道几何结构由转子凹面形成，可将该通道结构视为如图5（b）所示的尖点狭缝通道。

该狭缝通道泄漏流量可由经验公式计算^[14]：

式中，$ \chi $和A-D计算可参考文献[14]。将上述四通道泄漏流量求和，得到总泄漏量：

螺杆真空泵工作过程的建模主要分为两个部分：泄漏过程建模和运输过程建模。第二节中给出了螺杆真空泵内部泄漏通道模型。本节将完成螺杆真空泵内部运输过程模型的构建。为简化模型，螺杆真空泵运输过程模型基于以下假设^[15-16]：

（1）螺杆真空泵运行处于稳态工况；

（2）吸排气腔体空间无限大，压力稳定；

（3）同一时刻，工作腔内部气体压力分布均匀；

（4）忽略气体与外界热量交换，工作过程为绝热过程；

（6）被抽气体视为理想气体，遵循理想气体状态方程；

（7）当工作腔进入排气阶段，腔内气体压力瞬间变为外界压力；

在上述假设条件的基础上，螺杆真空泵的工作进程可细分为以下四个阶段：吸气阶段、压缩阶段、反冲阶段、排气阶段。

使用$ \tau $代表转子旋转一周所需时间。当主从螺杆转子形成的工作腔与螺杆泵进气口连通时，气体进入到工作腔，这一过程为吸气过程。在吸气阶段，工作腔内的气体，由吸入的外界气体与上一级返流气体共同构成。吸气阶段时间为螺杆转子旋转两周所需的时间，直到该工作腔不再与吸气口接触，吸气阶段结束。吸气阶段工作腔内气体的热力状态与时间的动态关系如下：

气体质量变化：

式中，$ {M_a} $为吸气腔内初始质量，$ G(t + \tau ) $表示在当前运行时间上级的泄漏流速，$ {q_{{\text{in}}}} $表示吸气速度。气体内能变化：

式中，$ {U_0} $表示吸气腔内初始内能，$ {C_v} $表示比热容，$ T(t + \tau ) $表示从上级泄漏的气体温度。根据理想气体公式可以得到气体温度变化：

气体压力变化：

当工作腔不再与进气口接触，工作腔体积逐渐变小，进入压缩阶段。在压缩阶段，工作腔内气体的来源为吸入的外界气体和上一级返流气体的总和与下一级泄漏气体的差值。压缩阶段持续时间为螺杆转子旋转三周所需时间，在工作腔与泵排气口相通之前，压缩阶段终止。压缩阶段工作腔内气体的热力状态与时间的动态关系如下：

气体质量变化：

气体内能变化：

气体温度变化：

气体压力变化：

当工作腔与泵排气口相通的一瞬间为反冲阶段。与其他阶段相比，气体反冲阶段几乎瞬间完成，因此在理论建模中时间长度忽略不计。为简化模型，忽略质量和内能在反冲阶段的变化，仅计算温度和压力的变化。

反冲阶段气体温度计算分为两部分：第一部分可简化为绝热压缩，即大气对内部气体进行压缩，压缩至大气压；第二部分可简化为气体混合，即外界大气与压缩至大气压的内部气体混合。反冲温度的计算如下：

式中，$ {T_1} $为反冲前温度，$ p_1 $为反冲前压力，$ \gamma $为绝热系数，$ p\mathrm{_{out\mathrm{ }}} $为大气压力。混合后温度计算如下：

$ {T_3} $便是反冲后气体温度。气体压力变化：

当工作腔与螺杆泵排气口接触后，腔室容积继续变小，工作腔进入排气阶段。因排气阶段质量与内能的计算结果对螺杆真空泵开发无实际意义，故忽略排气阶段向前级泄漏造成的质量变化和内能变化。排气阶段耗时等同于螺杆转子旋转两周的时间，一直到工作腔体积减为零，排气阶段方才终止。排气阶段工作腔内气体的热力状态与时间的动态关系如下：

气体质量变化：

气体内能变化：

气体温度变化：

气体压力变化：

通过上述步骤，成功搭建起双螺杆真空泵内部运输过程模型。图6呈现了真空泵内部泄漏模型以及内部运输过程模型从构建到求解的完整流程。首先，从螺杆转子三维模型中，精准提取计算出齿厚、螺距等几何参数。根据转子几何结构和真空泵运行的工作状态，计算无泄漏条件下的$ p-t $和$ T - {t} $关系。利用此关系初始化真空泵内部泄漏模型，计算泄漏流量随时间变化即$ G - {t} $关系。利用此$ G - {t} $关系，计算真空泵内部运输过程模型，得到更新后的$ p-t $和$ T - {t} $关系。最后，将更新后的$ p-t $和$ T - {t} $关系作为新初始条件重复进行上述工作，直至达到收敛条件。达到收敛条件后，对数据进行处理，输出计算结果。

在本节内容中，将依据上述工作流程，对变螺距螺杆转子展开模拟计算。转子的结构参数以及工作状态参数，详见表1。将以上型线参数输入至图所示的工作过程模拟流程中，可求得如图7所示的螺距，工作腔容积与L1通道泄漏长度，L2、L3泄漏宽度随角度的变化曲线。

设定初始工况：吸气温度300 K，排气压力1 atm，转速3000 r/min，间隙设置分别0.1 mm、0.2 mm和0.3 mm。求出在0.2 mm条件下，不同入口压力条件下真空泵内部流场压力温度分布情况以及在极限真空和高入口压力条件下不同种类间隙的泄漏情况。并比较在不同间隙大小的情况下结果变化趋势。

计算所得结果见图8，该图展现了在间隙为 0.2 mm时，不同入口压力条件下气体的质量、温度以及压力分布状况。从图中能够清晰看出，在吸气阶段，气体压力与温度维持稳定，而气体质量则逐步上升。进入压缩阶段，在上级气体泄漏的影响下，质量出现上升态势，在上级气体泄漏和压缩过程共同作用下，气体质量、压力和温度均呈现攀升态势。入口压力100000 Pa结果较为特殊，因为压缩阶段内气体压力大于外部压力，所以在压缩阶段最后一转，不再产生外部气体泄漏至腔内的现象，而是腔内气体泄漏至外部。故从0.08 s开始质量便开始下降，压力增长开始变缓。在反冲阶段，气体压力骤然跃升至大气压力水平。排气阶段，气体压力稳定保持在大气压力，气体质量迅速降低，温度则无明显变化。

从图8（a）中展示了不同入口压力下的质量变化曲线可以看出，入口压力越高，吸入气体质量越大，泄漏质量占比越小。图8（b）显示，在高压入口条件下，泄漏质量占运输总质量的比例较小，内部温度和压力的主要升高因素为内压缩，因此与无泄漏模型的温度和压力分布相差不大；而在低压入口条件下，泄漏质量占比较大，内部温度和压力的变化既受内压缩影响，也受到泄漏的影响。

随着入口压力减少，图8（b）中内部温度呈上升趋势，当入口压力较低时，内部温度超过反冲混合后气体的温度。究其原因，可从泄漏角度理解，在0.08−0.10 s，即压缩阶段的最后一级，低压入口的气体压力和温度迅速上升，且温度快速升高到与反冲混合后温度接近。此时，经过最后一个腔室的压缩，最终温度高于反冲混合后的温度。

图8（c）中可以看出随着入口压力的增大，真空泵内部压力分布增大，反冲效果减小。反冲效果主要通过压力分布曲线观察得出。虽然低压入口条件下压缩后的压力较小，但由于气体质量较小，反冲混合后温度显著下降。

在不同间隙、相同入口压力情况下内部流场的质量、压力和温度分布不同。图9展示了压力为20 Pa情况，间隙分别为0.1 mm、0.2 mm和0.3 mm下的质量、温度和压力分布情况。从图中可以得知，随着间隙的增大，泄漏质量会随之增大；在压缩阶段前两级温度会上升，压缩阶段最后一级温度基本相同且反冲混合后气体温度随着间隙减小而减小；内部压力也会随着间隙的增大而增大，反冲效果减小。

如图10所示，入口压力为10000 Pa情况下，间隙分别为0.1 mm、0.2 mm和0.3 mm下的质量、温度和压力分布情况。从图中可以得知，随着间隙的增大，泄漏质量随之增大，甚至在0.3 mm泄漏高度条件下，压缩阶段最后一级出现质量下降的现象，说明此处向下级泄漏的质量大于上一级泄漏到次级的质量。同样可以观察到内部温度和排气温度随着间隙的增大而增大；内部压力随着间隙的增大而增大，反冲效果减小。

图11展示了在20 Pa入口压力情况下内部泄漏流流速分布情况。图11（b）和（c）展示了压缩阶段第一级和后两级泄漏情况。其中0−0.04 s为吸气阶段，没有泄漏产生，0.12−0.14 s时气体已不再与内部气体连接，故不计算泄漏量。由图中可知，在低压入口情况下，排气阶段泄漏量最大，且L1泄漏通道是主要的泄漏通道；在内部压缩阶段，主要的泄漏通道是L4泄漏通道。

图12展示了在10000 Pa入口压力情况下内部泄漏流流速分布情况，数值大小代表在当前时间向前一级泄漏的流速。其中0−0.04 s为吸气阶段，没有泄漏产生，0.12−0.14 s时气体已不再与内部气体连接，故不计算泄漏量。由图中可知，在低压入口情况下，排气阶段泄漏量最大，且GL1泄漏通道是主要的泄漏通道；在内部压缩阶段，主要的泄漏通道是GL4泄漏通道。相比于低压入口，高压入口内部泄漏流速分布更加均匀。

为验证前文所建立的螺杆真空泵内部工作过程模型，搭建真空泵试验机，如图13所示，在侧壁和排气口位置加装温度传感器。主要测定结果为排气温度变化情况极限真空下内部气体温度分布。

实验验证结果一为抽气过程的排气温度变化情况，如图14所示，图中横轴时间表示真空泵运行时间。单一传感器受干扰因素较多，但总体趋势可以看出，抽气开始时排气温度约为160℃，随后排气温度逐渐上升，最终接近190℃。与图8（c）中结果较为吻合。

实验验证结果二为极限真空下内部气体温度分布情况，如图15所示。可以看到计算结果与实验结果较为符合。

本文参照简化后的双螺杆真空泵内部泄漏通道结构，创建了螺杆真空泵泄漏模型。该模型涵盖分子流、粘滞流、过渡流这三种流态，以及泊肃叶流动与库爱特流动这两种流动形式。基于所构建的泄漏模型，开发出用于描述螺杆真空泵内部工作过程的数值模拟程序。针对变螺距转子，运用此程序计算了在不同间隙和不同入口压力条件下的压力温度分布状况，同时对不同入口压力时的泄漏情况也进行了计算分析。并对排气温度以及极限真空条件下内部温度分布结果进行实验验证。结果表明：

（1）入口压力对质量、温度和压力分布有显著影响。随着入口压力增大，吸入气体质量增大，反冲作用减弱；低压入口时，泄漏质量较大，使得泄漏对内部温度的影响变大，温度会高于反冲混合后气体温度。入口压力低于200 Pa时，全时间段温度分布变化差异较小。

（2）当间隙增大时，泄漏总质量随之增大；在压缩阶段前两级温度会上升，压缩阶段最后一级温度基本相同且反冲混合后气体温度随着间隙减小而减小；内部压力也会随着间隙的增大而增大，反冲效果减小。

（3）排气阶段产生的泄漏量最大，L1泄漏通道是主要的泄漏通道；在内部压缩阶段，L4为主要泄漏通道。且随着压力的增大泄漏量也随之增大。

（4）本文忽略了转子受热后热变形对间隙的影响，采用了全间隙同等大小的条件。这种假设会致使螺杆真空泵工作过程模型的计算结果出现偏差。未来工作将考虑转子温度分布情况及变形情况，用于计算间隙改变量进而改变泄漏量和温度压力分布情况。

（5）本文为真空泵性能分析提供了理论与技术支撑，研究结果对螺杆转子设计以及螺杆真空泵性能优化具有指导意义。