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正压标准漏孔是一种出口端为一个大气压，进口端高于大气压，在压差的驱动作用下会产生一定漏率的泄漏元件。目前，正压标准漏孔内部结构大多数为金属毛细管、压扁型金属、多孔泡沫金属、激光打孔微小通道等，且适用于多种不同类型气体通过。正压标准漏孔广泛应用于半导体制造、医疗器械、新能源汽车、食品包装、管道气密性检测、航空航天等重要领域 [1-2]。
对于正压标准漏孔研究，一方面学者通过实验的方法，分析了不同型号的漏孔在不同进气压力下漏率的变化趋势，通过幂函数模型来预测正压标准漏孔的漏率和气源压力之间的关系，这对于计量中漏孔的校准工作提供了指导作用[3]。相应地，一些学者通过实验的方法研究了不同类型气源以及压力对标准漏孔漏率的影响，实验结果发现，在粘滞流状态下，正压标准漏孔的漏率在进气压力相同的模式下，漏率大小主要由气体黏度的大小决定[4-6]。此外，还有学者在相同的雷诺数下对各尺度小孔流体克努森数不同和相同的情况进行分析，进而通过克努森数间接判断流态[7]。基于上述前人研究成果，一些学者通过数值模拟的方法，来进一步研究由多孔介质填充的正压标准漏孔漏率的影响。将多孔介质填充于通道型标准漏孔中分别分析了不同类型的气源，恒定变化孔隙率和孔径、正压标准漏孔长度等参数对漏率的影响，模拟结果发现不同的气体进入正压标准内部，因黏度的差异而产生不同的漏率，在粘滞流状态时，相同进气压力下，气体黏度越大获得的漏率越小[8]。这一模拟结果与上述实验方法研究的结论相同。此外，一些学者还通过数值模拟方法，分析了不同的温度与进气压力、恒定变化的孔隙率和孔径共同作用对漏率的影响，并建立三维曲面图进行全面分析，数值结果发现，正压标准漏孔的漏率随着温度的升高而降低[9]。
综上所述，对于正压标准漏率的研究大多采用实验和数值模拟的方法，研究不同参数对正压标准漏孔漏率的影响。在实际中，由于正压标准漏孔内部结构复杂，且内部孔隙率或者孔径是恒定变化，内部不同位置处压力降呈现线性变化趋势，气体通过恒定孔隙的正压标准漏孔时，因没有缓冲作用，会对正压标准漏孔前端部分结构造成损坏，对最终测得漏率的稳定性和重复性差。因此，设计由多孔介质填充的正压标准漏孔，且多孔介质的孔隙率沿着流体流动方向呈现一种渐变或梯变模式，且孔隙率是逐渐降低或阶梯式降低。这种设计有效地避免了正压标准漏孔前端受压力冲击，对于较大压力差起到一定缓冲作用，最终漏率大小由末端正压标准漏孔内部孔隙率大小决定，从而实现漏率的有效控制和稳定性。
因此，文章在前人研究的基础之上，将多孔介质填充于正压标准漏孔中，内部多孔介质的孔隙率沿着水平方向呈现渐变和梯变模式，渐变孔隙率和梯变孔隙率通过用户自定义函数来实现。将数值结果与已发表的实验文章进行对照以验证结果的可行性。在进气压力：
$ p_{_{\mathrm{in}}} $ = 200 kPa ~1000 kPa、大气压$ p\mathrm{_{_{atm}}} $ = 101325 Pa、 温度$ {T}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{t}} $ = 295 K、孔径$ {d}_{\mathrm{p}} $ =80 nm条件下，分别研究和分析正压标准漏孔在不同进气压力下，内部渐变孔隙率、梯变孔隙率、正压标准漏孔末端长度、不同气体和混合气体对渐变孔隙率结构的正压标准漏孔漏率的影响，并给出不同渐变和梯变孔隙率结构下的压力场分布。该项研究对于半导体密封防潮验证、新能源汽车电池包气密检测、正压标准漏孔内部结构优化和设计以及漏率的控制提供一定的借鉴作用。 -
正压标准漏孔的物理模型如图1所示，其中图1（a）为物理模型的几何尺寸，在大气压为101325 Pa的条件下，温度为295 K的气体，由直径d=10 mm的正压标准漏孔进口流入，气体经过渐变或梯变孔隙率的多孔泡沫金属结构，多孔泡沫金属材料为铜，多孔泡沫金属区域外由厚度为
$ {d}_{\mathrm{T}} $ =2 mm 的不锈钢包裹，标准漏孔的长度x=60 mm，其中标准漏孔前半段长度$ {\Delta x}_{1} $ 的区域内，多孔泡沫金属孔隙率呈现渐变或梯变结构；标准漏孔后半段长度$ {\Delta x}_{2} $ 区域内，多孔泡沫金属孔隙率维持恒定。途径多孔泡沫金属内部梯变或渐变多孔结构以及恒定多孔结构后，气体从正压标准漏孔出口端流出。渐变孔隙率结构如图1（b）所示，梯变孔隙率结构如图1（c）所示；在x方向上多孔泡沫金属渐变或梯变孔隙率与流体进口距离之间的关系如下表1所示。 -
文章主要分析了在气体温度295 K条件下，渐变孔隙率、梯变孔隙率、正压标准漏孔末端长度、不同气体对正压标准漏孔漏率的影响机理进行研究和讨论。气体在不同压力差以及不同气体的分子直径存在差异，从而具有不同的气体流态。因此，在进口气体温度295 K大气压力为101325 Pa条件下，根据克努森数[7]
$ K_{\mathrm{\mathit{n}}} $ 来判断气体的流态。其中，
$ {K}_{{b}} $ 为Boltzmann常数，即1.380649×10 −23 J/K；$ T $ 为热力学温度，单位为K；$ L $ 为特征长度，此处表示正压标准漏孔的直径，即10 mm；d为气体分子直径，p为进出口的压力差。经计算可知，在压力选取200 kPa−1000 kPa范围内，获得的克努森数小于 0.001，即气体流态为粘滞流。因此，综合上述分析讨论，作如下假设：（1）正压标准漏孔内部流动的流体为不可压缩流、二维稳态、层流；
（2）多孔泡沫金属是各向同性的，多孔泡沫金属被流体浸透且流体为粘滞流；
（3）流体与泡沫金属之间以及固体壁面之间无热量的传递，忽略了重力和辐射效应的影响。
基于上述假设，流体在多孔泡沫金属区域流动的方程如下[10]：
连续性方程：
动量方程：
上式（2）−（4）中，ε为多孔泡沫金属的孔隙率，多孔泡沫金属孔隙率的渐变或梯度变化如表1所示。
$ u $ 和$ v $ 分别为水平和垂直方向上的速度，单位均为m/s；$ \rho $ 和p以及$ \mu $ 分别为气体的密度和进气压力以及动力粘度，单位分别为：kg/m3、Pa、kg/(m·s)；K和CF分别为多孔泡沫金属的渗透率和惯性阻力系数[11]，公式如下：上式（5）−（7）中，
$ {d}_{\mathrm{p}} $ 为多孔泡沫金属的孔径，即$ {d}_{\mathrm{p}} $ =80 nm。边界条件：
（1）气体进口
（2）气体出口
式中，T为温度，单位为K。
（3）多孔泡沫金属内部梯变和渐变孔隙率结构[12]：
$ {\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial n}\right|}_{n+}={\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial n}\right|}_{n-} $ ，$ {\left.\overrightarrow{u}\right|}_{n+}={\left.\overrightarrow{u}\right|}_{n-} $ ，其中n是法向量，下标“+”和“−”表示界面处的方向。 -
文章中，多孔泡沫金属内部渐变孔隙率和梯度变化孔隙率通过用户自定义函数（UDFs）[13]来实现，采用标准初始化且收敛标准为
$ {10}^{-6} $ 。流体在多孔泡沫金属内部流动的连续方程和动量方程以及边界条件采用 SIMPLE 算法进行数值求解；压力和动量方程均采用二阶迎风格式。为了减少漏率误差和计算时间成本，文章选择了4个不同的网格数来验证网格的质量以减小误差的影响，即网格数分别为：1725、3870、22175、60505。正压标准漏孔漏率值随网格数变化的曲线如图2所示。
从图2中可以看出，正压标准漏孔漏率值随着网格数的增加而减小，在网格数分别为22175和60505情况下，获得的漏率值相等。网格数的增加对泄漏率的影响逐渐降低，继续增大网格数，对漏率结果几乎无影响。因此，为了节约内存空间和时间，文章选择网格数为22175进行展开研究。
此外，为了验证目前数学模型的正确性，图3将模拟结果与已发表的实验文章[4]进行对照。在温度（20±1）℃，相对湿度为（35~45）%以及大气压为102.30 kPa，标准漏孔进气压力分别为300 kPa、350 kPa、400 kPa、450 kPa、500 kPa、550 kPa、600 kPa的实验条件下，研究了氮气通过正压标准漏孔漏率的变化规律。从图3中可以发现，实验结果与模拟结果获得的漏率最大相对误差在±15%之内。因此，数值结果与实验结果基本一致，说明以上阐述的数学模型是可行的。
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文章主要研究了在进气压力：
$ p_{_{\mathrm{in}}} $ = 200 kPa ~1000 kPa、大气压$ p_{_{\mathrm{atm}}} $ = 101325 Pa、 温度$ {T}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{t}} $ = 295 K、孔径$ {d}_{\mathrm{p}} $ =80 nm条件下，分别研究和分析了正压标准漏孔内部渐变孔隙率、渐变孔隙结构正压标准漏孔末端长度、梯变孔隙率、不同气体对渐变孔隙率结构的正压标准漏孔漏率的影响，并给出不同渐变和梯变孔隙率结构下的压力场分布。 -
如图4所示，正压标准漏孔的总长度X=0.06 m， 在0.00 m−0.04 m之间具有渐变孔隙率结构，即孔隙率ε=0.9−0.2、ε=0.9−0.3、ε=0.9−0.4、ε=0.9−0.5渐变，在0.04 m−0.06 m之间具有恒定孔隙率结构，即ε=0.2、ε=0.3、ε=0.4、ε=0.5。此外，还给出了在0.00 m−0.06 m之间具有恒定孔隙率，即ε=0.2、ε=0.3、ε=0.4、ε=0.5。分别分析了渐变孔隙率结构对正压标准漏率的影响；不同水平位置处压力的变化曲线；渐变孔隙率结构的正压标准漏孔内部压力场分布。
从图4（a）中可以看出，无论正压标准内部结构如何改变，正压标准漏孔的漏率随着进气压力的增大而增大。当正压标准漏孔内部结构为渐变孔隙率时，在进气压力相同的条件下，正压标准漏孔漏率值随着渐变孔隙率情况下斜率绝对值的增大而减小；在进气压力为600 kPa条件下，与渐变孔隙率ε=0.9−0.2，x∈[0，0.04)；ε=0.2，x∈[0.04，0.06]相比，渐变孔隙率ε=0.9−0.3，x∈[0，0.04)；ε=0.3，x∈[0.04，0.06] 、ε = 0.9−0.4，x∈[0，0.04)；ε=0.4，x∈[0.04，0.06]、ε=0.9−0.5，x∈[0，0.04)；ε=0.5，x∈[0.04，0.06]获得的漏率分别提高了52%、114%、179%。这主要是因为流体为粘滞流状态下温度恒定的气体，其粘度保持不变，相同的进气压力下，较大孔隙率结构的正压标准漏孔流动阻力较小，渗透率较大，流体更快速流过正压标准漏孔。同时，还可以发现在正压标准漏孔整个内部孔隙率恒定的条件下，即ε=0.2、0.3、0.4、0.5， x∈[0.00，0.06]；在进气压力600 kPa下获得的漏率值分别为8.26 mL/min、13.94 mL/min、20.93 mL/min、29.01 mL/min，与恒定孔隙率ε=0.2相比，获得的漏率分别提高了69%、153%、251%。此外，恒定孔隙率ε=0.2结构的正压标准漏孔比渐变孔隙率ε=0.9−0.2，x∈[0，0.04)；ε=0.2，x∈[0.04，0.06]结构的正压标准漏孔漏率低，这主要是因为进口处孔隙率ε从0.9逐渐降低到0.2，与恒定孔隙率ε=0.2结构的正压标准漏孔相比，孔隙率的逐渐降低，导致进气口处的阻力较小，气体通过相同长度漏孔所需的时间较短，从而渐变孔隙率结构获得的漏率较大。
图4（b）主要描述了在进气压力p=600 kPa 下，不同渐变孔隙率结构和恒定孔隙率结构在y = 5 mm处水平方向不同位置下的压力变化曲线。从图4（b）中可以看出，正压标准漏孔内部具有恒定的孔隙率结构时，即ε=0.2、0.3、0.4、0.5， x∈[0.00，0.06]，沿着水平方向上压力下降基本保持一致，且随着漏孔长度的增加压力降逐渐降低，且降低趋势基本一致。这主要是因为正压标准漏孔出口为大气压力，进气口高于大气压且为600 kPa，同时恒定的孔隙率结构在不同的位置处具有相同的流动阻力和渗透率，从而保持压力降一致性。与此同时，还可以发现渐变孔隙率结构的正压标准漏孔，沿流体流动方向上，压力变化曲线的曲率随着斜率绝对值的增大而增大。渐变孔隙率幅度越大获得的压力曲线曲率越大。这主要是因为渐变孔隙率从大孔隙率到小孔隙率的逐渐变化过程中，伴随着流动阻力逐渐增大以及渗透率逐渐减小的趋势。结合图4（c）可以看出，压力场分布较为明显，与渐变孔隙率ε=0.9−0.2，x∈[0，0.04)；ε=0.2，x∈[0.04，0.06]相比，ε=0.9−0.5，x∈[0，0.04)；ε=0.5，x∈[0.04，0.06]在相同位置处获得的压力相对较小。随着渐变孔隙率变化幅度的降低，在压力场分布图上可以明显看到较小压力450,000 Pa前移，整个压力场分布呈现渐变前移的趋势。表明了渐变孔隙率结构的正压标准漏孔能够控制和调节其内部不同位置处压力降的大小。
因此，对于正压标准漏孔在其应用方面，采用渐变孔隙率结构的正压标准漏孔，通过调整和控制内部不同压力降以及流动阻力和渗透率能够提供稳定的泄漏环境，提高了正压标准漏孔的精确性和稳定性，为生产和制造提供思路。
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图5主要研究了在正压标准漏孔总长度X=0.06 m，正压标准漏孔
$ {\Delta x}_{1} $ 区域内渐变孔隙率ε=0.9−0.3，末端$ {\Delta x}_{2} $ 区域内恒定孔隙率ε=0.3，即：X=$ {\Delta x}_{1} $ +$ {\Delta x}_{2} $ 条件下，不同的末端长度$ {\Delta x}_{2} $ 区域对正压标准漏孔漏率的影响。从图5（a）中可以看出，在正压标准漏孔具有相同的渐变孔隙率
$ {\Delta x}_{1} $ 区域内和相同的恒定孔隙率$ {\Delta x}_{2} $ 区域内，相同的进气压力下正压标准漏孔的漏率随着末端长度$ {\Delta x}_{2} $ 的增加而逐渐降低。在进气压力为600 kPa时，正压标准漏孔末端长度$ {\Delta x}_{2} $ =0.010 mm，0.015 mm，0.020 mm，0.025 mm条件下，获得的漏率值分别为：27.31 mL/min，24.88 mL/min，22.95 mL/min，21.18 mL/min，与正压标准漏孔末端长度$ {\Delta x}_{2} $ =0.010 mmx相比，在$ {\Delta x}_{2} $ =0.015 mm，0.020 mm，0.025 mm条件下，获得的漏率值分别降低了8.9%、15.9%、22.4%。可以看出，标准漏孔末端长度$ {\Delta x}_{2} $ 每增加0.005 mm，漏率值将下降约7%左右。这主要是因为末端$ {\Delta x}_{2} $ 区域内具有恒定的孔隙率，渗透率和惯性阻力相同，气体经过$ {\Delta x}_{2} $ 区域到达出口所需的时间随着长度的增加而增加，导致漏率降低。图5（b）主要描述了在进气压力p=600 kPa 下，不同渐变孔隙率结构和恒定孔隙率结构在y = 5 mm处水平方向上不同位置下的压力变化曲线。从图中可以看出，进气压力在正压标准漏孔内部沿着气流的流向方向逐渐降低。在正压标准漏孔水平方向x=0.040 mm处，末端
$ {\Delta x}_{2} $ =0.010 mm，0.015 mm，0.020 mm，0.025 mm分别得到的压力为：285.57 kPa，269.95 kPa，247.37 kPa，228.52 kPa；与末端$ {\Delta x}_{2} $ =0.010 mm 相比，末端$ {\Delta x}_{2} $ =0.015 mm，0.020 mm，0.025 mm获得的压力分别降低了5.5%，13.4%，19.9%。这主要是因为在相同的进气压力下，较长的末端长度，漏孔内部阻力相对较大，压降损失效果显著，从而呈现在相同的位置处压力逐渐降低的趋势。正如图5（c）所示，在相同的位置处，可获得不同的压力。在压力云图中还可以看出，正压标准漏孔末端长度越长，在末端得到的压力降越小。因此，通过优化和设计漏孔末端长度以及正压标准漏孔内部孔隙率结构的变化，可以改变压降的变化。一方面能控制正压标准漏孔内部水平方向不同位置阻力的变化；另一方面有效控制正压标准漏孔漏率的稳定性，弥补了传统漏孔漏率不稳定的现象，有助于提升整体系统的密封性能和可操作性。
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如图6所示，在正压标准漏孔内部
$ {\Delta x}_{1} $ 区域内，孔隙率呈渐变或梯度变化，在正压标准漏孔内部$ {\Delta x}_{2} $ 区域内孔隙率恒定。分别研究和比较了正压标准漏孔内部渐变孔隙率结构和梯变孔隙率结构在不同进气压力下漏率的变化趋势；与此同时，分析了在进气压力6×105 Pa 以及在y =5 mm处，流体流动水平方向不同位置处压力的变化趋势；此外，还给出了正压标准漏孔内部渐变和梯变孔隙率结构条件下内部压力场的分布。从图6（a）中可以看出，正压标准漏孔内部孔隙率在渐变结构或梯变结构情形下，漏率随着进气压力的增大而增大。在相同的进气压力600 kPa条件下，正压标准漏孔内部
$ {\Delta x}_{1} $ 区域内孔隙率渐变$ \varepsilon $ = 0.9−17.5x， x∈[0.00，0.04），$ {\Delta x}_{2} $ 区域内孔隙率恒定$ \varepsilon $ = 0.2，x∈[0.04，0.06]以及正压标准漏孔内部$ {\Delta x}_{1} $ 区域内孔隙率渐变$ \varepsilon $ = 0.9−10.0x，x∈[0.00，0.04），$ {\Delta x}_{2} $ 区域内孔隙率恒定$ \varepsilon $ = 0.5，x∈[0.04，0.06]，其在出口获得的漏率分别为14.91 mL/min 和41.79 mL/min；即较大幅度渐变孔隙率获得的漏率比较小幅度渐变孔隙率获得的漏率提高180.3%。这主要是因为在正压标准漏孔内部$ {\Delta x}_{2} $ 区域内孔隙率$ \varepsilon $ = 0.2，x∈[0.04，0.06]获得的流动阻力大于内部$ {\Delta x}_{2} $ 区域内孔隙率$ \varepsilon $ = 0.5, x∈[0.04，0.06]获得的流动阻力，导致流体在相同的时间内往外泄露的更慢，从而引起漏率降低。与此同时，当$ {\Delta x}_{2} $ 区域内的孔隙率恒定$ \varepsilon $ = 0.2, x∈[0.04，0.06]时，$ {\Delta x}_{1} $ 区域内的孔隙率渐变$ \varepsilon $ = 0.9$ \to $ 0.2，孔隙率梯变$ \varepsilon $ = 0.9$ \to $ 0.7$ \to $ 0.5$ \to $ 0.3$ \to $ 0.2，孔隙率梯变$ \varepsilon $ = 0.9$ \to $ 0.55$ \to $ 0.2，且都在x∈[0.00，0.04）内，此时获得的漏率分别为14.91 mL/min、15.94 mL/min、19.02 mL/min。与渐变孔隙率$ \varepsilon $ = 0.9$ \to $ 0.2 获得的漏率相比，梯变孔隙率$ \varepsilon $ = 0.9$ \to $ 0.7$ \to $ 0.5$ \to $ 0.3$ \to $ 0.2以及梯变孔隙率$ \varepsilon $ = 0.9$ \to $ 0.55$ \to $ 0.2 获得的漏率分别提高了6.9%和27.6%。这主要是因为在相同的末端长度$ {\Delta x}_{2} $ 区域内孔隙率相同且恒为0.2，影响漏率大小的因素主要归因于$ {\Delta x}_{1} $ 区域内孔隙率的变化。孔隙率梯度变化幅度越大，流体在多孔介质内部流动阻力降低，导致流体通过的效率提高，漏率随之增大。从图6（b）中可以看出，在进气压力6×105 Pa以及在y =5 mm处，流体流动水平方向不同位置处的压力降随着横向长度的增加而降低。对于正压标准漏孔内部渐变的孔隙率，压力降曲线呈现光滑平稳下降趋势；对于正压标准漏孔内部梯度变化的孔隙率，压力降曲线呈现阶梯状下降趋势。渐变孔隙率结构的正压标准漏孔，因其稳定光滑的压力降，使得到的漏率值相对稳定且准确。此外，还可以发现，具有相同的末端长度下，在正压标准漏孔x=0.04 mm处，正压标准漏孔内部孔隙率梯变
$ \varepsilon $ = 0.9$ \to $ 0.55$ \to $ 0.2获得压力降最大为461.27 kPa，而正压标准漏孔内部渐变孔隙率$ \varepsilon $ = 0.9$ \to $ 0.5，获得的压力降最小为287.04 kPa，这主要是因为在正压标准漏孔x=0.04 mm处，梯变模式下的孔隙率大于渐变模式下的孔隙率，导致流体在较大孔隙率下流动阻力降低，从而引起压力降提高。图6（c）展示了正压标准漏孔内部不同渐变和梯变孔隙率结构下压力场的分布。从图6（c）中可以看出，在正压标准漏孔末端长度
$ {\Delta x}_{2} $ 区域内孔隙率恒定为0.2时，在正压标准漏孔前端长度$ {\Delta x}_{1} $ 区域渐变孔隙率$ \varepsilon $ = 0.9−17.5x、梯变孔隙率$ \varepsilon $ = 0.9$ \to $ 0.7$ \to $ 0.5$ \to $ 0.3$ \to $ 0.2，获得的压力场分布较为相似；而梯变孔隙率$ \varepsilon $ = 0.9$ \to $ 0.55$ \to $ 0.2，靠近正压标准漏孔右端压力分布较高。这主要是因为梯变孔隙率$ \varepsilon $ = 0.9$ \to $ 0.55$ \to $ 0.2变化幅度比梯变孔隙率$ \varepsilon $ = 0.9$ \to $ 0.7$ \to $ 0.5$ \to $ 0.3$ \to $ 0.2大，在相同进气压力下压力会突然改变，从而引起压力增大。与此同时，在正压标准漏孔末端长度$ {\Delta x}_{2} $ 区域内孔隙率恒定为0.5时，获得的压力场分布现象与上述相似。因此，通过在正压标准漏孔内部设计一种渐变或梯变结构孔隙率的多孔介质，一方面有效控制漏率的大小，另一方面能改善正压标准漏孔内部压力场分布，减小对整体的损坏，延长正压标准漏孔的使用寿命。
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图7主要展示了Air、N2、5%H2＋95%N2（氢氮混合气体）通过渐变或梯变孔隙率结构的正压标准漏孔获得漏率的变化趋势，其中：渐变孔隙率在正压标准漏率
$ {\Delta x}_{1} $ 区域内，$ \varepsilon $ = 0.9−17.5x，x∈[0.00，0.04），$ {\Delta x}_{2} $ 区域内孔隙率恒定$ \varepsilon $ = 0.2，x∈[0.04，0.06]；梯变孔隙率在正压标准漏孔$ {\Delta x}_{1} $ ＋$ {\Delta x}_{2} $ 区域内梯度变化，即$ \varepsilon $ = 0.90，x∈[0.00，0.02），$ \varepsilon $ = 0.55，x∈[0.02，0.04），$ \varepsilon $ = 0.20，x∈[0.04，0.06]。从图7中可以看出，不同类型的气体通过渐变或梯变结构的正压标准漏孔时，得到的漏率随着进气压力的增大而增大。这主要是因为在流动阻力和渗透率不改变的条件下，压差越大获得的动能越大，在相同时间下，气体流速较快，从而在大压差下获得的漏率较高。与此同时，从图7中还可以发现，当正压标准漏孔的进口端气源为5%H2＋95%N2且进气压力分别为400 kPa、600 kPa、800 kPa时，多孔介质内部孔隙率的梯变获得漏率分别为：13.23 mL/min、19.96 mL/min、26.55 mL/min，多孔介质内部孔隙率的渐变获得漏率分别为：10.58 mL/min、15.87 mL/min、21.19 mL/min；即在进气压力分别为400 kPa、600 kPa、800 kPa条件下孔隙率的梯变比渐变获得的漏率分别高25.0%、25.8%、25.3%。而当进口端气源为5%H2＋95%N2且孔隙率梯变模式不变时，进气压力为600 kPa比进气压力为400 kPa条件下获得的漏率高50.9%，进气压力为800 kPa比进气压力为600 kPa条件下获得的漏率高33.0%；同时，当进口端气源为5%H2＋95%N2且孔隙率渐变模式不变时，进气压力为600 kPa比进气压力为400 kPa条件下获得的漏率高50.0%，进气压力为800 kPa比进气压力为600 kPa条件下获得的漏率高33.5%。可以发现，相同的进气压力下，梯变孔隙率结构获得的漏率高于渐变孔隙率结构，这主要是因为渐变孔隙率
$ \varepsilon $ 从 0.9逐渐降低变化至0.2，相应地压降也呈现相同的变化趋势逐渐降低；而梯变孔隙率$ \varepsilon $ 从 0.9恒定变化0.02 mm后，急剧下降至0.55，再恒定变化0.02 mm后，急剧下降至0.2，再此期间压力降在梯变交界处会突降，导致此处流速突增，从而在梯变模式下获得较高的漏率。还可以发现，当压差每增加200 kPa时，正压标准漏孔内部结构渐变或梯变孔隙率模式获得的漏率上升速率基本一致。这说明了正压标准漏孔内部孔隙率结构的变化对漏率的影响占主要因素，而压差的影响次之。此外，从图7中还可以看出，正压标准漏孔内部结构在渐变或梯变孔隙率模式下，N2和5%H2＋95%N2 （氢氮混合气体）获得的漏率随进气压力变化趋势基本吻合。这主要是因为5%H2＋95%N2 （氢氮混合气体）的黏度与N2的黏度基本一致，两种气体分别通过梯变或渐变孔隙率结构的正压标准漏孔时，其内部流动阻力和渗透率基本一致，从而获得的漏率值较为接近。还可以看出在进气压力为600 kPa条件下，空气通过多孔介质填充的正压标准漏孔，其多孔介质孔隙率分别在梯变和渐变模式下获得的漏率分别为18.87 mL/min和15.04 mL/min；与5%H2＋95%N2 （氢氮混合气体）相比，空气通过梯变和渐变孔隙率结构的正压标准漏孔获得的漏率分别降低了5.5%和5.2%。这主要是因为在温度相同的条件下，空气的黏度比5%H2＋95%N2（氢氮混合气体）的黏度大，气体在多孔介质内部流动阻力相对增大，从而阻碍了流体的流动，导致漏率降低。
不同的气体或按一定比例混合气体通过正压标准漏孔以及由多孔介质填充梯变或渐变孔隙率的正压标准漏孔，都会对漏率大小和压力降产生一定的影响。优化和设计梯变或渐变结构孔隙率的正压标准漏孔能够控制漏率的稳定性，更好的平衡检测精度和安全性、延长漏孔的使用期限。
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文章中正压标准漏孔是由多孔介质填充，其内部结构呈现梯变和渐变模式，主要采用数值模拟的方法，分析在渐变和梯变条件下漏率的变化趋势并建立数学模型。将数值方法和已发表的实验文章进行对照，验证了该模型的正确性。分别分析了不同进气压力、末端漏孔长度、梯变孔隙率、渐变孔隙率以及在渐变或梯变模式下不同气体对漏率的影响。此外，也给出了压力场分布。得到的主要结论如下：
（1）在进气压力相同且正压标准漏孔内部结构为渐变孔隙率的条件下，正压标准漏孔漏率值随着渐变孔隙率情况下斜率绝对值的增大而减小；正压标准漏孔内部具有恒定的孔隙率结构时，水平方向上压力下降基本保持一致，且随着漏孔长度的增加压力降逐渐降低；而渐变孔隙率结构的正压标准漏孔，沿流体流动方向上，压力变化曲线的曲率随着斜率绝对值的增大而增大，渐变孔隙率幅度越大获得的压力曲线曲率越大。因此，通过设计一种渐变孔隙率结构的正压标准漏孔可以确保不同位置压降逐渐降低，延长漏孔使用寿命以及漏率的稳定性。
（2）正压标准漏孔具有相同的渐变孔隙率
$ {\Delta x}_{1} $ 区域内和相同的恒定孔隙率$ {\Delta x}_{2} $ 区域内，相同的进气压力下正压标准漏孔的漏率随着末端长度$ {\Delta x}_{2} $ 的增加而逐渐降低；正压标准漏孔内部渐变的孔隙率，压力降曲线呈现光滑平稳下降趋势；对于正压标准漏孔内部梯度变化的孔隙率，压力降曲线呈现阶梯状下降趋势。渐变孔隙率结构的正压标准漏孔，因其稳定光滑的压力降，使得到的漏率值相对稳定且准确。因此设计一种渐变或梯变结构孔隙率的多孔介质，能有效控制漏率的大小，且能改善正压标准漏孔内部压力场分布，减小对整体的损坏。（3）不同类型的气体或按一定比例混合的气体通过渐变或梯变结构的正压标准漏孔时，得到的漏率随着进气压力的增大而增大；在流动阻力和渗透率不改变的条件下，压差越大获得的动能越大；在Air、N2、5%H2＋95%N2在分别以相同的进气压力通过渐变或梯变结构的正压标准漏孔时，5%H2＋95%N2获得的漏率最高，Air获得的漏率最低，由于正压标准漏孔在粘滞流假设下进行研究，因此气体的黏度越小，在相同的进气压力下获得的漏率越高。
综上可知，有效的控制正压标准漏孔的漏率以及优化正压标准漏孔内部多孔介质结构，即梯变和渐变，能够控制正压标准漏孔在不同位置处的压力降，对于正压标准漏孔未来的研发和设计以及延长正压标准漏孔使用期限，都起到推动作用。由于技术等方面的限制，本次研究的内部填充渐变或梯变孔隙率正压标准漏孔的分析，只是给出了一些理论方面的结论，但这一理论并未与实际的渐变或梯变孔隙率正压标准漏孔实例进行有效验证。在后续技术成熟的条件下，重点将实验与模拟相结合的方式，研究渐变或梯变孔隙率正压标准漏孔内部流动机理以及正压标准漏孔不同位置处漏率的校准工作。
渐变或梯变孔隙率结构的正压标准漏孔数值分析
Numerical Analysis of a Positive Pressure Standard Leak with a Graded/Stepped Porosity Structure
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摘要: 由渐变或梯变孔隙率结构的多孔介质填充的正压标准漏孔，在不同工况条件下对漏孔漏率的影响机理进一步研究。文章采用数值模拟的方法建立数学模型。分析了不同渐变和梯变孔隙率、正压标准漏孔末端长度($ {\Delta x}_{2} $)以及不同类型气体在不同的进气压力下对漏孔漏率影响，并给出了压力场分布。结果表明：在进气压力和温度相同的条件下，梯变孔隙率获得的漏率都高于渐变孔隙率和恒定孔隙率下获得的漏率；渐变孔隙率结构的正压标准漏孔，其压力变化曲线的曲率随着斜率绝对值的增大而增大；漏率随着正压标准漏孔末端长度$ {\Delta x}_{2} $的增大而降低；在粘滞流状态下气体的粘度与正压标准漏孔的漏率成反比。在进气压力600 kPa条件下，与恒定孔隙率ε=0.2相比，渐变孔隙率ε=0.9−0.2获得的漏率提高了86.4%；与渐变孔隙率ε=0.9−0.2相比，渐变孔隙率ε=0.9−0.5获得的漏率提高了179%，梯变孔隙率ε=0.9−0.7−0.5−0.3−0.2以及梯变孔隙率ε=0.9−0.55−0.2 获得的漏率分别提高了6.9%和27.6%。基于上述结果得到了合理的设计多孔介质孔隙率结构变化能够有效控制漏率提高漏率稳定性的结论。该项研究对正压标准漏孔的加工设计提供借鉴作用。Abstract: Further research was conducted on the influence mechanism of graded or stepped porosity structures within porous media-filled positive-pressure standard leaks on leak rate under varying operating conditions. The article employed numerical simulation to establish a mathematical model. Analysis was performed on the effects of different graded and stepped porosity configurations, the outlet length ($ {\Delta x}_{2} $) of the positive-pressure standard leak, and different types of gases under varying inlet pressures on the leak rate. The pressure field distribution was also presented. The results indicate that under the same inlet pressure and temperature conditions, leak rates obtained with stepped porosity configurations are consistently higher than those obtained with either graded porosity or constant porosity configurations. For positive-pressure standard leaks with a graded porosity structure, the curvature of the pressure change curve increases with an increase in the absolute value of the gradient slope. The leak rate decreases as the outlet length $ {\Delta x}_{2} $ increases.Under viscous flow conditions, the viscosity of the gas is inversely proportional to the leak rate of the positive-pressure standard leak. At an inlet pressure of 600 kPa, compared to a constant porosity of ε=0.2, a graded porosity configuration of ε=0.9−0.2 yielded an 86.4% increase in leak rate. Compared to the graded porosity configuration of ε=0.9−0.2, the graded porosity configuration ε=0.9−0.5 yielded a 179% increase in leak rate. The stepped porosity configurations ε=0.9−0.7−0.5−0.3−0.2 and ε=0.9−0.55−0.2 yielded increases in leak rate of 6.9% and 27.6%, respectively. Based on these findings, the study concludes that rationally designing the variation in the porosity structure of the porous medium can effectively control the leak rate and enhance its stability. This research provides valuable references for the manufacturing and design of positive-pressure standard leaks.
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Key words:
- Keywords Graded porosity /
- Stepped porosity /
- Leakage rate /
- Numerical simulation .
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图 1 正压标准漏孔物理模型。（a）物理模型几何尺寸，（b）多孔泡沫金属渐变孔隙率，（c）多孔泡沫金属梯变孔隙率
Figure 1. Physical model of positive pressure standard leakage hole. (a) Geometric dimensions of the physical model, (b) porous foam metal gradient porosity, (c) porous foam metal stepped-gradient porosity
图 2 正压标准漏孔漏率随网格数的变化
Figure 2. Variation of leak rate in positive pressure standard leaks with the grid number
图 4 正压标准漏孔内部渐变孔隙率结构。其中（a）渐变孔隙率与恒定孔隙率对漏率的影响，（b）正压标准漏孔进气压力6×105 Pa以及y =5 mm处水平方向不同位置下的压力变化曲线，以及（c）渐变孔隙率结构的正压标准漏孔在进气压力6×105 Pa 下的压力场分布
Figure 4. The internal graded porosity structure of the positive pressure standard leak, with (a) the effect of graded porosity versus constant porosity on the leak rate; (b) pressure variation curves at different horizontal positions under an inlet pressure of 6×105 Pa at y=5 mm; and (c) the pressure field distribution of the graded porosity structure under an inlet pressure of 6×105 Pa
图 5 正压标准漏孔内部渐变孔隙率结构。其中（a）不同长度
$ {\Delta x}_{2} $ 区域下对标准漏孔漏率的影响，（b）正压标准漏孔进气压力6×105 Pa以及y =5 mm处，水平方向不同位置下的压力变化曲线，以及（c）渐变孔隙率结构的正压标准漏孔末端不同长度下的压力场分布Figure 5. Internal graded porosity structure of a positive-pressure standard leak element，with the (a) influence of the different length
$ {\Delta x}_{2} $ at the leak rate of the standard leak element; (b) pressure variation curves at different horizontal positions along the y = 5 mm plane under an inlet pressure of 6×105 Pa; and (c) pressure field distributions under varying lengths of constant end porosity at the terminal section of the graded porosity structure
图 6 正压标准漏孔内部不同渐变和梯变孔隙率结构的比较。其中（a）不同进气压力对渐变和梯变孔隙结构正压标准漏孔漏率的影响，（b）正压标准漏孔进气压力6×105 Pa 以及y =5 mm处，水平方向不同位置下的压力的变化曲线，以及（c）正压标准漏孔内部不同渐变和梯变孔隙率结构压力场分布
Figure 6. Comparison of different graded and stepped porosity structures inside the positive pressure standard leak, where: (a) effect of different inlet pressures on the leak rate of the positive pressure standard leak with graded and stepped porosity structures; (b) pressure change curve at different positions in the horizontal direction at an inlet pressure of 6×105 Pa and y = 5 mm; and (c) pressure field distribution for the different graded and stepped porosity structures inside the positive pressure standard leak
图 7 不同气体对渐变或梯变孔隙率结构正压标准漏孔漏率的影响
Figure 7. The influence of different gases on the positive pressure standard leakage rate of gradient or gradient pore structures
表 1 在x方向上实现多孔泡沫金属渐变或梯变孔隙率与流体进口距离之间的关系
Table 1. The relationship between the gradient/gradually varying porosity of porous metallic foam and the distance from the fluid inlet along the x-axis
孔隙率排列情况 孔隙率（ε） 渐变孔隙率 $ {\varepsilon }_{2} < {\varepsilon }_{1} $ $\varepsilon=\dfrac{x\left(\varepsilon_2-\varepsilon_1\right)}{\Delta x_1}+\varepsilon_1 \quad\left(0 \leqslant x \leqslant \Delta x_1\right) $ 梯变孔隙率 $ {\varepsilon }_{2} < {\varepsilon }_{1} $ $ \varepsilon=\left\{\begin{array}{lr} \varepsilon_1 & \left(0 \leqslant x < \Delta x_{11}\right) \\ \varepsilon_2 & \left(\Delta x_{11} \leqslant x \leqslant \Delta x_1\right)\end{array}\right. $ 恒定孔隙率 $ {\varepsilon }_{3} < {\varepsilon }_{2} $ $ \varepsilon=\varepsilon_3\left(\Delta x_1 \leqslant x \leqslant X\right)$ 
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