电容薄膜真空计根据结构设计和测量方式的不同，主要可分为绝对式和差动式^[3]，本文研究对象是绝对式电容薄膜真空计。

电容薄膜真空计通过金属膜片形变导致电容变化实现压力的间接测量，其物理本质是气体分子对膜片的动量传递。当真空系统内压力变化时，薄膜在压差作用下发生形变，导致电容极板间距改变，进而引起电容量变化，根据平行板电容公式，未施加压力时电容C的表达式为^[4]：

测量电路检测微小的电容变化量，并将其转化为数字信号进行输出，单片机主控单元在接收到数字信号并处理后，输出0 V~10 V的模拟电压信号。

本文采用比对法真空校准装置进行CDG校准实验，根据公式（2）确定待测真空计精度为±0.25%F.S.，精度计算公式为：

式中，$ p\mathrm{_{ind.std}} $为标准真空计的压力值，Pa；$ p\mathrm{_{ind.UUC}} $为待测真空计的压力值，Pa。

如图1为装置系统原理图，该系统性能可满足量程为133322 Pa的CDG测量真空度使用要求，即从0.1 Pa到满量程范围内任意压力密封1 min情况下，压力变化率不大于1%。系统主要由以下三部分组成：连接标准CDG和待测CDG的真空压力腔体；由分子泵（TG350FVAB）、干泵（nXDS15i）和蝶阀构成的抽气系统；三种不同额定值的气体流量计外接氮气瓶构成的充气系统；真空腔体容积约为30 L。

实验采用MKS627F13TBE1B电容薄膜真空计作为标准真空计进行比对测试实验。启动抽气系统，将真空腔抽至真空状态（标准真空计示数为0 Pa）后，打开上位机与两个真空计的通讯接口，上位机同时采集标准CDG输出的电压信号和待测CDG的差分电容信号。设置气体流量计的进气量，为真空腔充填氮气。等待真空腔内的压力充至133322 Pa时停止进气，即可得到待测CDG差分电容信号曲线和标准CDG电压信号曲线，如图2（a）、图2（b）所示，图中包含各自的局部放大图。

得到待测CDG的差分电容信号和标准CDG输出的电压信号后，上位机对差分电容和标准电压进行二次多项式拟合，并将多项式系数写入待测CDG的主控芯片中。如图3为二次多项式拟合后的残差分布图。

在理想的模型拟合中，残差应满足“均值为0、无趋势、无周期性、小幅度随机波动”的特征^[5]。但图中，残差随时间呈现明显的趋势性、规律性波动，随机波动幅度较大。这说明模型拟合存在严重不足，并且输入信号存在大量的干扰。反观图2中差分电容曲线和标准CDG的电压曲线，可印证这一现象。差分电容曲线的非线性导致模型拟合不足，电压曲线中存在大量干扰误差，影响拟合精度。

在电容薄膜真空计的校准系统中，标准CDG输出的电压信号作为压力的线性参考基准，其精度直接影响最终校准曲线的准确性。然而，实际采集的标准CDG电压信号不可避免地会受到各种噪声干扰，如电源纹波、电磁兼容（EMC）噪声、模数转换器（ADC）量化噪声、热噪声等^[6]。这些噪声都会叠加在理想线性电压信号上的随机波动，导致后续拟合过程不稳定，拟合曲线偏离真实关系曲线，引入校准误差。简单滤波方法（如移动平均）虽然能平滑部分高频噪声，但对噪声特性的适应性差，引入了相位滞后且无法有效滤除特定频段噪声。卡尔曼滤波（Kalman Filter，KF）作为一种最优递归估计算法^[7]，能够根据系统的动态模型和噪声统计特性，实时、自适应地估计被噪声污染信号的真实状态^[8-9]，适合处理此类线性动态系统中的噪声问题。

理想情况下，在CDG校准过程中标准CDG电压信号应随采样时间线性变化（对应压力的线性变化）。因此，本文设计一个适用于线性动态系统的KF模型。由于标准电压信号的主要变化趋势是线性的，所以采用一个包含电压值和电压变化率的状态向量。这允许KF不但能估计当前电压，而且能跟踪其变化趋势，提高预测精度。

定义状态向量：

式中，$ {x}_{k} $表示k时刻系统状态；$ {V}_{k} $为k时刻标准CDG输出的电压值；$ V{'}_{k} $为k时刻电压变化速率。

在相邻采样点间，电压变化率近似恒定。所以其状态转移矩阵为：

通过以上内容可确定状态转移方程，基于当前系统状态预测下一个系统状态：

式中，$ {\omega }_{k} $为过程噪声，能够影响系统状态的不可测量的输入；$ {\hat{x}}_{k+1,k} $为k时刻对k+1时刻系统状态的预测；$ {\hat{x}}_{k,k} $是n时刻系统状态向量的估计。状态转移方程用方程组来描述：

协方差外推方程：

式中，$ {P}_{k,k} $为当前状态估计的协方差矩阵；$ {P}_{k+1,k} $为k时刻对k+1时刻状态估计的协方差矩阵；Q为过程噪声矩阵。

估计协方差矩阵为：

式中，$ {p}_{V} $是电压值V估计的方差；$ {p}_{\dot{V}} $是电压变化率估计的方差；$ {p}_{V\dot{V}} $和$ {p}_{\dot{VV}} $为电压值和电压变化率的协方差。

前文已经确定了状态转移矩阵F，现在确定过程噪声Q矩阵。假设噪声模型是离散的，即噪声在每个采样点不同，但在采样点之间恒定，

确定测量方程：

式中，$ {Z}_{k} $为观测向量；$ {v}_{k} $为观测噪声，服从零均值高斯分布；H为观测矩阵，由系统状态向量可得到$ {{\boldsymbol{H}}}=\left[\begin{matrix}1 & 0\\ \end{matrix}\right] $。

计算卡尔曼增益：

$ {K}_k $为卡尔曼增益；$ {P}_{k,k-1} $为k−1时刻对k时刻状态估计的协方差矩阵，R为测量噪声协方差矩阵；

通过卡尔曼增益系数$ {K}_k $，修正测量值和预测值之间的预测偏差，得到电压值的最优解$ {\hat{x}}_{k,k} $：

式中，$ {\hat{x}}_{k,k} $为标准CDG输出电压值的最优解，$ {\hat{x}}_{k,k-1} $为k−1时刻对k时刻系统状态的估计值。

图4为标准CDG输出电压信号经过卡尔曼滤波处理后的曲线图，与图2b未经卡尔曼滤波处理的电压信号曲线形成了鲜明对比。经过处理后，电压信号整体的线性趋势被完整保留，局部放大图中的随机波动被明显抑制，信号平滑度得以提升。电压的线性上升趋势和前文设计的卡尔曼滤波线性状态转移模型相互契合，确保滤波器能稳定跟踪信号趋势，得到更符合预期规律的滤波信号。

电容薄膜真空计的工作原理是基于平行板电容的传感机制。当压力变化时，电容薄膜会发生形变，该形变直接改变两电极间的极板间距，进而导致电容值的改变^[10]。电容与压力之间的关系并非是简单的线性关系，而是存在一定的非线性，其成因可从多维度展开分析。

从弹性薄膜的形变特性来看，在小压力区间内，弹性薄膜所受压力差较小，其形变以弯曲形变为主要形式，而在大压力区间内，薄膜会同时发生弯曲和拉伸；从电容响应的压力区间特性分析，在低压力区间和高压力区间，相同的压力变化量所引起电容的变化量可能不同^[11]；不同压力区间，内外圈压力的变化量也不相同。

此外，由于待测真空计采集的电容信号为差分电容信号，内圈与外圈电容作差同样会引入非线性因素。如图5所示，分别为内圈电容信号与外圈电容信号随压力变化曲线，内外圈电容的变化范围、趋势有明显差异，这是导致差分信号曲线呈现明显非线性的主要原因。

采用多项式拟合对标准电容薄膜真空计的电压信号和待测电容薄膜真空计的差分电容信号进行建模，利用最小二乘法最小化拟合值和实测值之间的误差平方和，求解多项式的最优系数。

设待拟合多项式为：

其中，V为标准CDG电压，C为待测CDG差分电容，n为多项式阶数，$ {a}_{i} $为待求系数。测试m组校准数据（C_j，V_j）（j=1，2，…，m），定义误差平方和为：

对$ {S} $求各系数$ {a}_{i} $的偏导数并令其为零，得到线性方程组，求解该方程组即可获得使误差平方和最小的系数矩阵，实现多项式对关系的最优拟合。

图3为二次多项式拟合后残差分布图，其趋势为明显的“上升−下降−上升”三段式变化，符合三次函数的特征。残差的函数趋势远超过波动幅度，整体偏离0，说明二次多项式函数模型拟合不足，这也是残差偏大的核心原因。

通过提高多项式拟合阶数或分段拟合的方式改进拟合模型，图6分别为三次多项式拟合残差分布图和四次多项式拟合分布图。

经三次多项式拟合后，残差的系统性波动仍未消除，整体呈现“多峰多谷”的趋势，这表明三次多项式函数模型仍存在拟合不足问题，无法有效表示数据的复杂非线性。相比之下，经四次多项式拟合后，其残差图未表现出明显的全局系统性趋势，表明函数模型能有效表示数据中的非线性趋势，该拟合效果显著优于三次和二次多项式拟合结果，成功弥补低阶模型对高阶非线性的遗漏。

二次多项式拟合所得残差图呈现三段式分布特征，在采样点4000 （对应差分电容约为0.454 pF）和10000（对应差分电容约为1.4 pF）处存在两个明显的拐点，说明电容变化可能在低压、中压、高压存在阶段式变化。基于此，将数据划分为三个子区间：[0，4000)，[4000，10000]，(10000，t]（其中t为最终采样点数，因采样点个数与进气量相关，此处t=13164）。对三个区间单独进行二次多项式拟合，结果如图7所示。

分段二次多项式拟合后，(10000，13164]区间内残差振幅相对平稳，而[0，4000)，[4000，10000]两个区间的残差仍然存在拟合不足的情况，说明待测CDG差分电容信号的非线性主要由低压和中压段导致的，需提高低压和中压区间多项式拟合的阶数。对低压、中压段分别采用三次多项式拟合方法，高压段保持二次多项式拟合方法，拟合后残差分布图如图8所示。

经分压力段不同多项式拟合后的残差图与四次多项式拟合后的残差图相似，二者均消除了整体趋势性的波动，可以有效表示待测CDG差分电容信号的非线性趋势。计算二者的均方误差（MSE）：

式中，n为采样点个数；$ {y}_{i} $为实际值；$ \widehat{{y}_{i}} $为预测值。

分压力段不同多项式拟合的MSE=1.069×10⁻⁵，四次多项式拟合的MSE=1.232×10⁻⁵。两个MSE值数量级都为10⁻⁵，表明两种拟合方法对数据的整体拟合效果都很好。但是考虑到分段拟合会在分界点处产生跳跃间断点^[12]，所以采用四次多项式拟合。

本文设计了相同条件下有无卡尔曼滤波的实验，对卡尔曼滤波辅助四次多项式拟合方法的有效性进行评估。图9展示了对标准CDG输出的电压信号进行KF预处理后，再进行四次多项式拟合所得到的残差分布。可以看出残差主要集中在±0.05 V的振幅范围内，说明卡尔曼滤波有效抑制了噪声，使模型与测量数据紧密匹配。残差未呈现系统性或周期性趋势，是由于四次多项式能体现待测CDG差分电容信号与标准CDG电压信号的非线性关系。

表1通过计算不同拟合方法的均方误差（MSE）和最大绝对误差（MaxAE）来进行比对。先经过卡尔曼滤波预处理的标准CDG电压信号再进行四次多项式拟合，得到的MSE为2.845×10⁻⁶，比未经KF预处理直接进行四次多项式拟合得到的MSE降低了9.475×10⁻⁶ V²，降低了76.9%；MaxAE降低了0.0146 V，降低了48.8%。证明噪声的抑制对于用比对法校准电容薄膜真空计而言至关重要，卡尔曼滤波能有效减弱噪声对标准CDG电压信号和待测CDG差分电容信号C-V曲线的扭曲。

卡尔曼滤波通过递归估计最优状态并更新噪声协方差，抑制了多项式拟合中所引入的热噪声和真空系统中干泵等产生的机械振动噪声，确保四次多项式拟合的信号能反映真实的C-V函数关系。

表2中，分别列出了两个不同型号的待测真空计经过KF预处理四次多项式拟合前后得到的残差数据结果。在采集Ⅱ-1、Ⅱ-2待测真空计差分电容数据和标准电压数据时，均使用与前文分析所用待测真空计相同的实验环境。表中两个不同型号的待测真空计残差数据充分证明，KF预处理的四次多项式拟合方法对不同待测真空计具有通用性，更换待测真空计时无需完全重新计算。

本文探讨了电容薄膜真空计校准时产生误差的原因，包括标准CDG电压信号引入的噪声干扰和待测CDG差分电容信号引入的非线性拟合误差。针对误差问题提出了一种协同优化方法，通过卡尔曼滤波的动态估计滤除电压信号中的干扰噪声，提升参考基准精度；采用四次多项式拟合差分电容信号的非线性特性，减少模型失配误差。优化后均方误差降低79.6%、最大绝对误差降低48.8%。

此方法特点是低复杂度高精度，可以提升电容薄膜真空计的校准效率，在不牺牲响应速度的前提下提高校准精度，配合蝶阀等半导体和真空领域零部件应用，兼具理论创新性与工程实用性。