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罗茨泵作为核心容积式转子泵，早期用作真空泵，凭借结构紧凑、排量稳定、极限真空度高的优势，广泛应用于真空镀膜、半导体晶圆制造、石油化工反应釜抽真空、新能源电池干燥等真空领域[1-3]，还因适用物料粘度范围广，既能处理几百厘泊到几十万厘泊的低粘度介质，也能适配半固体状态物料，目前在农业机械、灌溉、市政、医药、食品、造纸、港口等领域也有广泛应用[4-6]。其工作原理是通过一对同步反向旋转的转子形成周期性容积腔，实现介质的吸入、压缩与排出；而转子轮廓构造直接决定容积腔密封性、啮合流畅性及能量损耗，是影响泵容积效率、运行稳定性与能耗的关键因素[7-9]。在罗茨转子轮廓中，圆弧轮廓因加工简便、啮合间隙易控、磨损小等特点，成为工业主流方案[10-12]，其设计核心在于圆心位置的选取，目前已有位于常见“叶顶对称轴（顶轴）[13]”和不常见“叶谷对称轴（谷轴）[14]”的两种典型位置，文献[15]又给出了针对抛物线转子的“节圆外中轴”和“节圆内中轴”两种创新位置，受此启发圆弧转子也可以采用这种构造方法。然而，目前对同尺寸下这四种圆弧轮廓转子的性能差异缺乏系统认知，尤其缺少叶属性、流量特性与流体仿真的多维度耦合分析，难以支撑适配工况的转子选型。国内研究近年取得局部进展，但存在明显缺口：李玉龙等[16-19]推导了圆心位于顶轴或谷轴的转子容积利用系数、脉动系数的等公式，却未涵盖位于节圆内、外中轴上的圆弧转子；时杉杉等[15]发现后两种创新转子的低转动惯量优势，却未分析对性价比、容积效率、压力/流量波动等实际情况的影响；且国内研究多停留在理论计算或单一指标测试，例为减少径向泄漏的转子顶凸台设计[20]，为降低脉动系数的3扭叶设计[21-22]，为实现轻量化的形状系数最大化设计[23-24]及其最大形状系数计算[25-26]，但这些单一性能设计存在对其他性能尤其整体性能的影响认识不足，缺乏“轮廓属性−理论流量−CFD（计算流体动力学，Computational Fluid Dynamics）仿真/实验验证−工况适配”的完整研究链，对介质黏度的调控机制研究不足。国外研究更多关注圆弧转子泵工作过程及其模型方面[27-28]。均未针对同尺寸下四种圆心位置轮廓开展系统性能对比，也未量化介质黏度对轮廓−性能关联的影响。当前研究存在三大核心不足：一是因这四种圆弧轮廓缺乏统一构造方程与性能评价体系，故相应的叶截面积、转动惯量等关键属性无法直接对比；二是流量特性依赖理论公式，未通过CFD仿真验证泄漏损失，理论与实际流量的偏差机制不明；三是未深入分析四种轮廓泄漏通道结构对压力波动的影响，介质黏度的调控作用未量化。针对上述问题，本文以同尺寸（叶数均为2、形状系数均为1.31、节圆半径均为100 mm）四种圆弧轮廓转子（A：顶轴圆心、B：节圆外中轴圆心、C：节圆内中轴圆心、D：谷轴圆心）为研究对象，通过构建统一轮廓构造方程，量化叶属性差异，CFD仿真分析不同介质（相对低黏度的空气、相对高黏度的水）下的性能，揭示不同轮廓构造对泵性能的影响规律，提出基于介质黏度的选型策略，为罗茨泵高效设计提供支撑。
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以C型转子的轮廓构造为例，其半叶轮廓由节圆外顶过渡圆弧as、工作轮廓ms、节圆内圆弧工作轮廓me及根过渡圆弧eg四部分组成，如图1所示。
其中，o为转子中心，oa、om、og为顶轴、中轴、谷轴，as、eg的圆心为oa、og与节圆的交点；r为节圆半径（mm），γ=π/(2z)为叶形半角，z为叶数，（rad）；k为se上任一点，对应的相位角矢量、啮合法径矢量、传动角分别为θ、ρ、α，rad、mm、rad，且−γ≤θ≤γ；当k位于me上时，θ、ρ为负，否则为正。
四种转子的ρ、α均由圆弧工作轮廓的几何关系求解。B型虽与C型的轮廓构造相同，但因存在非工作用过渡圆弧，故称为“非全工作轮廓构造”；A、D型除无过渡轮廓外，其余与B、C型一致，称为“全工作轮廓构造”，此时廓点s、e分别位于顶、谷轴上。
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在图1所示的xoy直角坐标系中，由点k(x,y)的横坐标x、纵坐标y，得工作轮廓se的统一方程为
文献[16,29]中已给出A、D型的ρ、α关于θ和形状系数ε的函数表达式，以及最大形状系数ε*、容积利用系数λ的函数表达式[14,25-26]；后续理论推导也得到了B、C型的ρ、α、ε*、λ解析计算式，限于篇幅与论文重点，本文直接采用该结果。其中，ε为顶圆半径oa与节圆半径r的比值(ε=oa/r)。
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2叶四种转子的ε*为1.67、1.318、1.765、1.586，故统一取z=2，ε=1.31，r=100 mm，以消除参数差异对性能对比的干扰。
通过UGNX软件的表达式录入方程（1）和ρ、α函数表达式/解析计算式并赋值，生成规律曲线以构建叶模型，再测量有轴孔与无轴孔的叶截面积S、S'，mm2，及叶体质心半径R，mm，如图2所示。其中，通过给出的壳壁线(Wall)可直观展示转子顶径向泄漏通道的几何结构，尤其能直观比较出四种转子径向泄漏（径漏）楔形通道结构的开口度；叶体质心位置R由所构建的3D叶模型通过“体测量”得到。
四种转子的叶属性值，如表1所示。其中，δS、δI、δλ分别为相对于A型的S、λ、有轴孔叶转动惯量I的增减百分比。轴孔半径rz为40 mm，S'可面测量得到、也可有S−0.5πrz2计算得到。I=转子密度·转子宽度b·S'·R2，kg·mm2，用以表征转子旋转时的惯性大小。
由表1可见，从轻量化（λ越大越好）、材料成本控制（S越小越好）及运行稳定性（I越小越好）角度，四种转子的排序为B>C>A>D，B型的理论优势最为显著。
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文献[17,29]指出，理论排量和平均出口流量与ε2λ成正比，流量脉动系数与ε2λ成反比，限于篇幅，本文直接采用该结果。因此：
（1）B型较A型，理论排量和平均出口流量增加4.26%，流量脉动质量提高4.2%；
（2）C型较A型，理论排量和平均出口流量增加3.47%，流量脉动质量提高3.5%；
（3）D型较A型，理论排量和平均出口流量减少0.61%，流量脉动质量降低0.5%。
可见，流量特性的排序与λ的排序一致，B型的流量特性理论优势最为显著。
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（1）仿真软件。采用CFD专业软件Pumplinx。
（2）几何模型。通过UGNX软件绘制主/从转子体及其壳壁片体、进/出口腔体，如图3（a）所示。
（3）几何参数。节圆半径r=100 mm，转子宽度b=300 mm，轴孔半径rz=40 mm，泵内径漏、啮漏、侧漏间距均为0.3 mm，壳壁半径131.15 mm。其中，啮漏间距由主/从转子体面内偏置0.15 mm实现。
（4）仿真参数。
●介质1 （低黏度）：空气，动力黏度1.853×10−5 Pa·s，密度1.293 kg/m3，体积弹性模量1.4×105 Pa，因空气流动性强，转子顶圆周线速度（等于ωrε）阈值（避免介质填充不足与汽蚀的最大转速）高，ω=2πn/60为转子旋转角速度，n（单位：rpm）为转速，仿真转速采用1000 rpm；
●介质2 （高黏度）：水，动力黏度0.001003 Pa·s，密度998 kg/m3，体积弹性模量2.2×109 Pa，n=400 rpm；因水相对的弱流动性，转子顶圆周线速度阈值低，仿真转速采用400 rpm。
● 进/出口压力：分别为101325 Pa、121325 Pa（进出口压差20 kPa）；
● 仿真转数3，每叶迭代次数500。
（5）网格模型。将几何模型导出为STL格式，在Pumplinx中依序按角度分割几何体，毫米转米的单位转换；主/从转子体生成专用转子网格，进/出口腔体生成通用网格，通过MGI连接边界形成一体化连续网格，如图3（b）所示。其中，转子网格采用高级模式，侧漏间距0.0003 m，间距内径rz=0.04 m，间距外径（壳壁半径）0.13115 m，中心距0.2 m。
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设置两个“Stationary”监控点分别用于监测进、出口压力，一个“Prescribe Motion”监控点用于监测工作压力，如图3（c）所示。其中，“Prescribe Motion”监控点位于转子啮合区域中心，相应的同步旋转坐标(x',y',z')公式为：
式中，time为仿真运行时间的系统变量（s），r(2−ε)=0.069 m为转子根圆半径，除time外，其余变量包括π均采用实际数值。
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空气介质仿真的5部分曲线，如图4所示，涵盖进出口流量（单位：m3/s）、平均体积流量（单位：GPM，1GPM（加仑/分钟）=63090 mm3/s）、功率、转子合压力及监控点工作压力等参数，注：流量、功率以“流出/输出泵”为正，反之则为负。
（1）监控工作压力。需重点关注F、T附近的回流冲击的压力峰值pF、挤压膨胀压力pT的波动。
（2）功率及其均值。包括作用在主/从转子上的瞬时功率和平均功率四部分曲线。
（3）转子上合压力。主要包括影响轴承寿命的作用在主从转子上X（值可正可负）、Y（值为正）方向合压力。
（4）进/出口流量。包括进/出口瞬时流量，值可正可负；
（5）进/出口均流量。包括平均进/出口流量，值可正可负。
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工作压力波动直接引发瞬时功率、合压力及进/出口流量等的波动，例如回流冲击的压力峰值pF、挤压膨胀压力pT的位置（位于F、T附近），也为转矩/功率、径向压合力及进出口流量的极值位置，如图4所示。因此工作压力及其波动的分析与控制等价于其他性能参数的分析与控制。
表2仅列出关键数据：pF（回流压力峰值）、pT的最小值pTmin与最大值pTmax，Pa，平均功率P，N，平均出口流量Q，GPM。其中，P为主/从转子平均功率之和，ξ=Q/P为泵单位功率流量性价比系数，GPM/W，δT为波动极差（pTmax−pTmin）与进出口压差的比；δF为pF与出口压力的比。
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由表2可知，四种转子单位功率流量的性价比系数较为接近，排序为A>B>D>C，A型的性价比优势显著，B、C、D型较A型分别下降1.0%、2.4%、1.4%。
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结合2.2节理论流量特性（B、C、D型较A型理论排量分别+4.26%、+3.47%、−0.61%）与表2仿真结果（B、C、D型较A型平均出口流量分别+0.73%、−1.18%、−4.58%），通过“理论平均出口流量的增减率−仿真平均出口流量增减率”计算泵内泄漏增减率：
● B型较A型：+3.53%；
● C型较A型：+4.65%；
● D型较A型：+3.97%。
可见，泵内泄漏排序为C>D>B>A，C型泄漏最大，A型泄漏最小。
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对于非全工作轮廓构造的B、C型，当转子顶轴/根轴与其配对的转子根轴/顶轴重合于中心线时，在转子的顶/根过渡圆弧与配对转子的根/顶的过渡圆弧间，就形成了一个扇形圆环形的余隙通道，如图5中B、C型所示。需注意：A、D型中因无顶/根过渡圆弧，通道则为“凸−凹”楔形结构，如图5中A、D型所示。
随着转子副的连续旋转，该位置附近小区域内介质因压缩、膨胀无法及时排出、补充，会产生类似齿轮泵困油现象[30]的挤压膨胀压力。其中，ε越大，扇形角κ越大，通道路径越长，挤压膨胀现象越严重；r越大，通道路径也越长，挤压膨胀现象也越严重。
因空气流动性强，四种转子的挤压膨胀现象均不明显（表2中pTmin~pTmax范围较小）。挤压膨胀压力波动极差率排序为A(128%)>B=D(114%)>C(108%)，说明低黏度空气介质下，转子轮廓构造对挤压膨胀压力波动的影响较小。
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当转子顶在出口腔打开后的小区域内，会出现π/(2z)的周期性回流冲击现象，如图6所示。
空气流动性强使得四种转子的回流冲击现象均不明显，回流冲击压力峰值波动率均在101%~ 102%之间（表2），说明低黏度介质（如空气）下，转子轮廓构造对回流冲击压力波动的影响甚微。
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水介质仿真的关键曲线，如图7所示；相应的关键数值，如表3所示。
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（1）性价比。四种转子的单位功率流量性价比系数差距显著，排序为D>A>C>B。其中，D型性价比最优（较A型增加1.4%），B型最低（较A型下降29.5%）。
（2）内泄漏。采用与前述空气介质仿真相同的分析方法，B、C、D型较A型的泵内泄漏增减率分别为+3.66%、+3.39%、+2.77%，排序为B>C>D>A，B型泄漏最大，A型泄漏最小。
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（1）挤压膨胀现象。四种转子均出现严重的挤压膨胀现象，挤压膨胀压力极差波动率的排序为B(4942%)>C(3298%)> A≈D(679%、678%)。可见，高黏度水介质下，转子轮廓构造对挤压膨胀影响极大—全工作轮廓（A、D型）受黏度的影响相对较轻且较为一致，而非全工作轮廓（B、C型）则受黏度的影响相对较大且差异明显；常见渐开线转子（E型）也存在类似问题，如图7中E曲线、表3中E数据所示。
（2）回流冲击现象。四种转子均仅出现轻微回流冲击现象，回流冲击压力峰值波动率排序为B(118%)> A(104%)>C=D(103%)，说明高黏度水介质下，转子轮廓构造对回流冲击压力的影响较小。
综上，转子轮廓构造对回流现象影响较小，对挤压膨胀现象影响极大；介质黏度是影响回流与挤压膨胀现象（尤其挤压膨胀）的主要因素：低黏度介质时，应优选非全工作轮廓（B、C型）转子，且其叶相对较低的转动惯量可实现相对较高的稳定运行；高黏度介质时，应优选全工作轮廓（A、D型）转子，并辅以小径向尺寸（低形状系数、小节圆半径）及低转速，以缓解回流与挤压膨胀现象带来的性能波动，及克服进口介质因流动性带来的供给不足问题。
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（1） 转子叶属性与理论流量特性方面。非全工作轮廓（B、C型）转子优势显著：较A型转子，B、C型的叶转动惯量分别降低23.0%、17.8%，轻量化与稳定性更优；B型理论排量A型增加4.26%，流量脉动改善4.2%，综合性能及流量特性排序均为B>C>A>D。
（2） 低黏度介质（空气，1000 rpm）方面。A型单位功率流量性价比最高，C型泄漏最大；四种转子挤压膨胀压力的极差波动率（108%~128%）与回流冲击波动率（101%~102%）均较小，轮廓构造的影响甚微。
（3） 高黏度介质（水，400 rpm）方面。全工作轮廓（D型）转子性价比最优（较A型增加1.4%），B型最低（较A型下降29.5%）；B、C型挤压膨胀压力的极差率（4942%、3298%）远高于A、D型（679%、678%），轮廓构造对挤压膨胀的影响极大；回流冲击波动率（103%~118%）较小，轮廓构造对回流冲击现象的影响甚微。
（4） 转子选型需匹配介质黏度方面。低黏度工况（如空气）优选B、C型，且其相对较低的叶转动惯量可实现更好的稳定运行；高黏度工况（如水）优选A、D型，辅以小径向尺寸及低转速，以缓解挤压膨胀与泵内泄漏问题，及克服介质因流动性带来的进口供给不足问题。
罗茨转子四种圆弧轮廓构造的性能对比与选型策略
Performance Comparison and Selection Strategy of Four Arc Contour Structures for Roots Rotors
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摘要: 为明确罗茨转子四种圆弧轮廓构造（A：顶轴圆心、B：节圆外中轴圆心、C：节圆内中轴圆心、D：谷轴圆心）对产品性能的量化影响及介质适配选型需求。研究先基于统一轮廓构造方程，用UGNX软件量化叶截面积、质心半径等叶属性；再以Pumplinx软件对低黏度空气（1000 rpm）、高黏度水（400 rpm）开展CFD仿真；最后分析多维度性能。表明叶属性与理论流量特性排序为 B>C>A>D，B型转动惯量较A型降23.0%、理论排量增4.26%；低黏度下A型性价比最高、C型泄漏最大，高黏度下D型性价比最优（较A型增1.4%）、B型挤压膨胀压力波动极大。四种转子性能差异显著，选型需匹配介质黏度：低黏度优选B、C型，高黏度优选A、D型并辅以小径向尺寸与低转速。Abstract: This study aims to clarify the quantitative effects of four arc contour configurations of Roots rotors (Configuration A: center of the top shaft; Configuration B: center of the outer central shaft on the pitch circle; Configuration C: center of the inner central shaft on the pitch circle; Configuration D: center of the root shaft) on product performance and the medium adaptation and selection requirements. First, based on a unified contour construction equation, UGNX software was used to quantify rotor blade attributes such as blade cross-sectional area and centroid radius. Then, Pumplinx software was employed to conduct CFD (computational fluid dynamics) simulations for low-viscosity air (at 1000 rpm) and high-viscosity water (at 400 rpm). Finally, multi-dimensional performance was analyzed. The results show that the order of blade attributes and theoretical flow characteristics is B > C > A > D. Compared with Configuration A, the moment of inertia of Configuration B decreases by 23.0% and the theoretical displacement increases by 4.26%. Under low-viscosity conditions, Configuration A has the highest cost-performance ratio, while Configuration C has the largest leakage. Under high-viscosity conditions, Configuration D achieves the optimal cost-performance ratio (1.4% higher than that of Configuration A), and Configuration B exhibits extremely significant pressure fluctuations caused by extrusion and expansion. The four rotor configurations show significant differences in performance, and their selection must match the medium viscosity: Configurations B and C are preferred for low-viscosity media, while Configurations A and D are preferred for high-viscosity media, supplemented by small radial dimensions and low rotational speeds.
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Key words:
- Roots rotor /
- circular arc profile /
- construction method /
- lobe attribute /
- CFD simulation /
- medium viscosity /
- suitable selection and type .
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图 2 叶模型及其截面积和质心位置测量
Figure 2. Lobe model and its cross-sectional area and center of mass position measurements
图 3 仿真模型及监控点设置。（a）几何模型，（b）网格模型，（c）监控点
Figure 3. Simulation model and monitoring points setting. (a) Geometric model, (b) grid model, (c) monitoring point
表 1 叶属性值及比较
Table 1. Lobe attributes and its comparison
叶属性 A型 B型 C型 D型 S/mm2 16434 15986 16069 16498 S'/mm2 13921 13473 13556 13985 R/mm 66.92 59.70 61.49 67.73 λ 0.390 0.4070 0.404 0.388 δS / −2.7% −2.2% 0.4% δI / −23.0% −17.8% 2.9% δλ / 4.26% 3.47% −0.61% 
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表 2 空气介质的关键仿真数据
Table 2. Key simulation data for air media
关键数据 A型 B型 C型 D型 pTmin/Pa 96464 100700 100558 99266 pTmax/Pa 122120 123527 122073 122094 pF/Pa 122625 123784 123720 122492 P/W 4388 4463 4437 4245 Q/GPM 2205 2221 2179 2104 ξ/(GPM·W−1) 0.503 0.498 0.491 0.496 δT/% 128 114 108 114 δFmax/% 101 102 102 101 δQ/% / 0.73 −1.18 −4.58
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表 3 水介质高黏度的关键仿真数据
Table 3. Key simulation data of high viscosity water medium
关键数据 A型 B型 C型 D型 E型 pTmin/Pa 61430 3650 5137 62874 6965 pTmax/Pa 197155 992032 664640 198562 331878 pFmax/Pa 126162 142630 125273 125110 127153 P/W 4010 5742 4915 3770 4254 Q/GPM 1333 1341 1334 1288 1318 ξ/(GPM·W−1) 0.332 0.234 0.271 0.342 0.310 δT/% 679 4942 3298 678 1625 δFmax/% 104 118 103 103 105 δQ/% / 13.05% −12.17 −0.13 1.63
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图( 7) 表( 3)
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