平方晶格反铁磁体可采用${J_1} \text- {J_2}$模型来描述. 在这个模型中, $ {J_1} $和$ {J_2} $皆大于零, 为反铁磁交换作用. 因此, 它被认为是一个阻挫系统. 一些材料的磁性质可采用该模型来描述. 如铜基高温超导材料的磁性质可以采用$ {J_2}/{J_1} $较小时的${J_1} \text- {J_2}$模型来描述^[1-3], 而铁基超导材料的磁性质则可采用$ {J_2}/{J_1} $较大时的$ {J_1} - {J_2} $模型来描述^[4-6]. 需要注意的是, 实际材料一般是层状结构, 层间耦合相互作用通常是不能忽略的, 这在以往的研究中已经得到了证实^[1-6].

理论上, 对于一个考虑了层间耦合相互作用的${J_1} \text- {J_2} \text- {J_{\text{c}}}$(这里$ {J_{\text{c}}} $是层间耦合相互作用)模型是非常重要的. 根据Mermin-Wagner定理^[7], 各向同性的二维平方晶格${J_1} \text- {J_2}$模型在有限温度时是不存在长程有序的, 但如果引入了层间耦合相互作用, 无论它多弱, 系统都将存在长程有序. 因此, 对于研究非零温度二维平方晶格${J_1} \text- {J_2}$模型的磁性质, 引入$ {J_{\text{c}}} $是重要的.

由于该模型的重要性, 人们已经采用不同方法对它进行了细致的研究. 如旋转不变格林函数法^[8]、有效场理论^[9]、线性自旋波理论^[10]、高温系列展开法^[11]、团簇平均场理论^[12]和耦合团簇方法^[13]. 这些研究都集中在其基态性质, 对其在有限温度时的研究非常有限. 基于此, 本文聚焦其在有限温度的磁性质. 鉴于实际材料通常存在各向异性, 模型引入了单离子各向异性D. 同时, 注意到已有的研究大多考虑层间耦合为反铁磁的情况^[9-12], 对于其铁磁情况很少涉及^[13], 本文将全面考虑这两种层间耦合相互作用对系统相变的影响. 结果显示: 只要参数$ {J_{\text{c}}} $和D不同时为零, 当$ {J_2} = {J_1}/2 $时, AF1态和AF2态具有相同的相变温度并且共存; 当$ {J_2} \ne $$ {J_1}/2 $时, 尽管AF1-AF2态有不同相变温度, 但它们也可以共存. 对于这两种情况, 当温度低于相变点时, AF1-AF2态之间可以发生相转换.

考虑一个双层平方晶格阻挫模型, 其磁构型有1种, 如图1所示. 其哈密顿量可以采用如下形式来描述:

这里, $ {J_1} $, $ {J_2} $, $ {J_{\text{c}}} $分别是描述自旋间最近邻、次近邻和层间耦合相互作用的参数. 令$ {J_1} $和$ {J_2} $取正值, 对应于反铁磁交换作用.$ {J_{\text{c}}} $的取值可正可负, 分别对应反铁磁和铁磁交换作用, 其中反铁磁交换作用对应的模型为图1(a)和图1(b), 铁磁交换作用对应的模型为图1(c)和图1(d). 在结果与讨论部分, 取$ {J_1} = 1 $.$\langle ij \rangle$, $ [ij] $, $ \{ ij\} $分别表示对最近邻、次近邻和层间最近邻格点求和.D为单离子各向异性参数. 由于晶格中自旋取向向上和向下的数目相等, 于是根据晶格中自旋取向将其分成两个子晶格, 取向相同为一个子晶格. 选取z轴为量子化轴, 则子晶格磁化强度定义为自旋算符的统计平均, 即$ {m_{{\text{up}}}} = \langle S_{{\text{up}}}^z\rangle $, $ {m_{{\text{dwon}}}} = \langle S_{{\text{dwon}}}^z\rangle $. 在没有外场的情况下, 它们之间存在如下关系: $ m = {m_{{\text{up}}}} = - {m_{{\text{dwon}}}} $.

根据格林函数方法的一般步骤, 首先要构建格林函数. 由于本文研究的模型存在4种磁构型, 基于格林函数方法给出每一个模型的推导过程过于繁琐. 因此, 这里以图1(a)的磁构型为例, 给出其磁化强度和相变温度解析表达式的推导过程, 其余3种磁构型将不再赘述.

为了得到系统子晶格磁化强度, 构建如下格林函数^[14,15]:

其中u是Callen参数^[16]. 然后建立格林函数运动方程, 在推导运动方程的过程中, 将会出现一组不闭合的高阶格林函数方程组. 为了求得高阶格林函数, 继续推导其运动方程, 这样又会得到更高阶的格林函数组. 如此反复, 将会得到一系列不闭合高阶格林函数方程组. 为了使格林函数方程组闭合, 必须采用退耦使方程组闭合. 本文采用Tyablikov退耦近似^[14,15], 即

对于单离子各向异性, 采用Anderson-Callen退耦近似^[17], 即

其中

其中$ {m_{\text{F}}} $表示子晶格磁化强度.

令

式中N是晶格格点数. 对波矢k求和遍及第一布里渊区. 当$ u = 0 $时$ {\varTheta _{\text{F}}}(0) = 2{m_{\text{F}}} $. 应用谱定理, 对$ \langle S_i^ - S_i^ + \rangle $进行空间傅里叶变换得到$ \langle S_i^ - S_i^ + \rangle (k) $, 即

其中

其中$ {\kappa _{\text{B}}} $是玻尔兹曼常数. 为了方便, 令$ {\kappa _{\text{B}}} = 1 $, 则系统所有的量, 包括交换常数、磁化强度、温度皆是一个无量纲的量. 晶格结构因子$ {\gamma _{1 xk}} = \cos {k_x} $; $ {\gamma _{1 yk}} = \cos {k_y} $; $ {\gamma _{2 k}} = \cos {k_x}\cos {k_y} $; $ {\gamma _{{\text{c}}k}} = \cos {k_z} $. 利用关系$ \langle S_i^ - S_i^ + \rangle = S(S + 1) - \langle S_i^z\rangle - \langle {(S_i^z)^2}\rangle $, 得到子晶格磁化强度的表达式^[14-19]:

其中

当温度趋于相变点时, m是一个小量, 则(11)式的自旋波谱也是一个小量. 对(11)式右边进行泰勒展开得:

在这种情况下, (10)式可近似为

联合(12)式和(13)式, 可得系统相变温度的解析表达式:

从(14)式可以看出, 系统相变温度的大小是依赖参数取值的. 为了详细理解参数对系统相变温度的影响, 图2给出了参数$ {J_{\text{c}}} $和D取不同值时, 相变温度$ {T_N} $与$ {J_2} $之间的变化关系. 首先考虑系统是各向同性的情况, 即$ D = 0 $, 见图2(a)和图2(d) . 它是系统的相图, 被分成了3个区域, 即每条实线是顺磁相P和AF1态的边界线, 每条虚线是顺磁相P和AF2 态的边界线, 顺磁相P位于线上方. 只要$ |{J_{\text{c}}}| \ne 0 $, AF1与AF2态在$ {J_2} = 0.5 $处重叠. 注意: 由于本文取了$ {J_1} = 1 $, 它对应的关系实际上是$ {J_2} = {J_1}/2 $. 从图2可以看出, 当$ |{J_{\text{c}}}| $从0.01到1取值时(注意: 对于各向同性系统, 当$ {J_{\text{c}}} = 0 $时, 模型描述的是一个各向同性的二维平方晶格反铁磁体, 此时系统在有限温度时是不存在长程有序的^[7], 这也是图2(a)和图2(d) 中$ {J_{\text{c}}} $取有限值的原因), 系统的相变温度$ {T_N} $随着$ |{J_{\text{c}}}| $增大而升高. 这是因为, 当$ |{J_{\text{c}}}| $从0增加时, 不仅增多了最近邻键的数目, 而且也增强了其强度, 使得系统更加有序, 导致了一个大的相变温度. 对于确定的$ |{J_{\text{c}}}| $值, AF1态的$ {T_N} $随着$ {J_2} $的增大而减小, 而AF2态的$ {T_N} $随着$ {J_2} $的增大而增大. 这是因为, 当$ {J_2} = 0 $时, 哈密顿量描述的是一个普通的反铁磁体. 当$ {J_2} $的值从零增加时, 系统引入了阻挫, $ {J_1} $和$ {J_2} $之间开始出现相互竞争, 且它们之间相互竞争的强度会随着$ {J_2} $的增大而增强, 这使得系统更加无序, 导致了一个较小的$ {T_N} $值. 当$ {J_2} = 0.5 $时, 它们之间的竞争强度达到最大. 因此, 当$ {\text{0}} \leqslant {J_2} \leqslant 0.5 $时, 系统对应的是AF1态. 当$ {J_2} $从0.5进一步增大时, $ {J_1} $和$ {J_2} $之间的竞争强度开始变弱, $ {J_2} $的作用将变得越发重要. 因此, $ {T_N} $随着$ {J_2} $的增大而变大, 此时对于$ {J_2} \geqslant 0.5 $, 系统对应的是AF2态. 换句话讲, $ {J_2} = 0.5 $是AF1态与AF2态的分界点.

图2(b)和图2(e) 分别讨论了当$ {J_{\text{c}}} = 0.5 $和$ {J_c} = - 0.5 $时, 不同单离子各向异性D下的$ {T_N} $与$ {J_2} $之间的变化关系. 可以看出, 对于$ D \geqslant 0 $, 两个态在$ {J_2} = 0.5 $处始终有相同的相变温度. 对于$ D > 0 $时, 两个态的相变温度曲线交叉, 且交叉区域随着D的增大而变大. 这是因为各向异性抑制了系统的阻挫, 即越大的各向异性对应着越弱的阻挫. 因此, 当D增大时, 两个态的相变温度变大, 曲线的交点也随之提升, 相应的曲线交叉区域变大. 当各向异性变弱时, 曲线交叉区域消失.

图2(b)和图2(e) 也是系统的相图, 它被分成了4个区域. 为了更清楚这4个区域所对应的态, 这里给出了$ D = 0.4 $时相图的放大图, 见图2(c)和图2(f). 可以看出, 小的$ {J_2} $值对应的是AF1态, 大的$ {J_2} $值对应的是AF2态, 曲线上方对应顺磁相P. 在$ {J_2} = 0.5 $附近, 两个态重叠, 重叠区域内两个态具有相同参数. 在重叠区域$ {J_2} = 0.5 $处, 两个态相变温度相等, 其他重叠区域则具有不同的相变温度. 尽管如此, 在重叠区域AF1态和AF2态都是系统可能的态.

图2呈现了一个事实: 只要参数$ {J_{\text{c}}} $和D不同时为零, 两个态的曲线在$ {J_2} = 0.5 $处重叠. 既然两个态在此条件下皆系统可能的态, 那么哪一个态更稳定呢? 接下来将具体回答这个问题.

对于两个态在相同体积和熵的条件下, 内能低的态更稳定. 然而, AF1态和AF2态在相同温度时的熵是不同的. 因此, 不能采用内能低来判断哪个态更稳定. 在相同体积和温度下, 自由能低的态更稳定.

系统的内能定义为$ E(T) = \langle H\rangle /N $. 自由能$ F(T) $与内能$ E(T) $有如下关系: $F(T) = E(0) - $$ T\displaystyle\int_0^T {\frac{{E(T') - E(0)}}{{T{'^2}}}} {\text{d}}T'$^[19]. 如果得到内能的解析表达式, 则可以通过数值计算得到自由能. 推导内能的解析表达式必须首先求出横向$\displaystyle\sum\nolimits_{i, j} {\langle S_i^ - S_j^ + \rangle }$和纵向$\displaystyle\sum\nolimits_{i, j} {\langle S_i^zS_j^z\rangle }$关联函数的解析表达式, 前者可以通过谱定理直接求得, 后者一般采用平均场近似得到, 即$\displaystyle\sum\nolimits_{i, j} {\langle S_i^zS_j^z\rangle } \approx \displaystyle\sum\nolimits_{i, j} {\langle S_i^z\rangle \langle S_j^z\rangle }$. 这里z为晶格配位数. 显然, 平均场近似是一种较粗糙的方式. 最近, 文献[20]给出了一种更好的处理方法, 本文采用此方式来求系统纵向关联函数. 由于其推导过程和表达式过于冗繁, 细节可参考文献[20].

图2表明当$ {J_2} $在0.5附近取值时, 不同的两个态能共存, 具体见图2(c)和图2(f). 接下来, 在$ T \leqslant {T_N} $的温度范围内, 通过对比两个态自由能来探究重叠区域哪个态更稳定. 重叠区域分两种情况: 一种是两个态具有相同的相变温度, 对应$ {J_2} = $$ 0.5 $的情况; 另一种是两个态相变温度不相等, 对应$ {J_2} \ne 0.5 $的情况.

首先探讨$ {J_2} = 0.5 $的情况, 即两个态具有相同相变温度. 图3给出在$ D = 0.01 $时, $ {J_{\text{c}}} \geqslant 0 $的自由能F与温度T之间的变化关系. 可以看出, F始终随着T的升高而单调减小. 当$ {J_{\text{c}}} = 0 $时, 在温度低于相变点的温度范围内, AF2态的自由能始终小于AF1, 这表明AF2态更稳定. 当$ {J_{\text{c}}} $从0开始增大时, $ {F_{{\text{AF1}}}}(0) $与$ {F_{{\text{AF2}}}}(0) $之间的差异逐渐变小. 在$ {J_{\text{c}}}= $$ 0.153 $时, 两个态自由能在零温时相等, 即${F_{{\text{AF1}}}}(0) = $$ {F_{{\text{AF2}}}}(0)$. 尽管如此, 在$ 0 < T \leqslant {T_N} $的范围内始终有$ {F_{{\text{AF2}}}} < {F_{{\text{AF1}}}} $, 即在这种情况下AF2态更稳定. 当$ {J_{\text{c}}} $继续增大时, 两个态的自由能曲线相交. 例子见$ {J_{\text{c}}} = 0.7, 1 $. 在这种情况下, $ {F_{{\text{AF1}}}}(0) < {F_{{\text{AF2}}}}(0) $, 此时AF1态更稳定; 在相变温度附近有$ {F_{{\text{AF2}}}} < {F_{{\text{AF1}}}} $, 此时AF2态更稳定; 在交点系统将会发生一个从AF1态向AF2态转换的相变. 由于在交点处两个态的内能不等(本文没有给出此时的结果), 这表明两个态的热容在交点不连续, 即AF1-AF2之间发生的相变类型为一阶相变.

图3讨论了弱各向异性的情况, 图4给出了强各向异性的结果, 即$ D = 0.2 $. 当$ {J_{\text{c}}} = 0 $时, 两个态的自由能曲线在零温相切, 即$ {F_{{\text{AF1}}}}(0) = {F_{{\text{AF2}}}}(0) $, 在低于相变点的温度范围内始终有$ {F_{{\text{AF2}}}} < {F_{{\text{AF1}}}} $, 即在这种情况下AF2态更稳定. 当$ {J_{\text{c}}} $从0(见图4(b))开始增加时, 两个态的自由能曲线相交, 结果与图3中$ {J_{\text{c}}} = 0.7, 1 $的结果完全类似, 即在零温附近$ {F_{{\text{AF1}}}}(0) < $$ {F_{{\text{AF2}}}}(0) $, AF1态更稳定; 在相变温度附近有$ {F_{{\text{AF2}}}} < $$ {F_{{\text{AF1}}}} $, AF2态更稳定; 在交点系统将会发生一个从AF1态向AF2态转换的一阶相变. 当$ {J_{\text{c}}} $在从0.1增大时, 两个态自由能曲线在相变温度附近之间的差异开始减小. 当$ {J_{\text{c}}} $增大到0.17时, ${F_{{\text{AF1}}}}({T_N}) = $$ {F_{{\text{AF2}}}}({T_N})$, 在$ 0 \leqslant T < {T_N} $的温度范围内有$ {F_{{\text{AF1}}}} < {F_{{\text{AF2}}}} $. 在这种情况下, AF1态更稳定. 当$ {J_{\text{c}}} $从0.17继续增大, 直到0.42, 在这个范围内始终有$ {F_{{\text{AF1}}}} < {F_{{\rm AF} 2}} $, 此时AF1态更稳定, 具体的例子见图4(d). 当$ {J_{\text{c}}} > 0.42 $时, 两个态的自由能曲线相交, 即零温附近$ {F_{{\text{AF1}}}} < $$ {F_{{\text{AF2}}}} $, AF1态更稳定; 相变温度附近有$ {F_{{\text{AF2}}}} < {F_{{\text{AF1}}}} $, AF2态更稳定; 在交点系统将会发生一个从AF1态向AF2态转换的一阶相变.

对于$ {J_{\text{c}}} < 0 $的情况, 数值结果显示两个态自由能之间的曲线特征与$ {J_{\text{c}}} > 0 $的情况完全类似. 因此, 结果在这里就不再赘述.

图(3)和图(4)只探讨了这一组参数中少量几组取值对两个态稳定性的影响, 人们可能期望得到这一组参数对两个态稳定性更全面的影响. 图5给出了在参数$ {J_{\text{c}}} $和D空间中, 两个态自由能在温度低于相变温度范围内的大小关系. 可以看出, 在参数$ {J_{\text{c}}} $和D空间所描述的平面内, 平面被分成了3个区域, 即区域I, II和III. 在区域I, AF2态的自由能总是小于AF1态. 相应的例子见图3中$ {J_{\text{c}}} = 0 $的曲线. 这个区域表示为$ {F_{{\text{AF2}}}} < {F_{{\text{AF1}}}} $. 因此, 在区域I, 系统的状态是AF2态. 在区域II, 两个态的自由能曲线总是相交. 相应的例子见图3、图4(b)和图4(f). 在零温附近有$ {F_{{\text{AF1}}}}(0) < {F_{{\text{AF2}}}}(0) $, 在相变温度附近有$ {F_{{\text{AF2}}}} < {F_{{\text{AF1}}}} $. 因此, 在零温附近, 系统的状态是AF1态. 当温度升高, 系统的状态将由AF1态向AF2态转换, 其相变为一阶相变. 区域III, AF1态的自由能总是小于AF2态. 相应的例子见图4(d). 这个区域表示为$ {F_{{\text{AF1}}}} < {F_{{\text{AF2}}}} $. 因此, 在区域III, 系统的状态是AF1态.

接下来探讨两个态具有不同相变温度时的稳定性, 即$ {J_2} \ne 0.5 $的情况.

图6给出了当$ {J_{\text{c}}} = 0.5 $和$ D = 0.4 $时, 不同$ {J_2} $下两个态自由能与温度之间的变化关系. 总体而言, 在$ {J_2} $值增大的过程中, 图6显示了两个明显的特征: 一个特征是AF1态的相变温度是减小的, 而AF2态的相变温度是增大的, 这一结果与图2(a)的结果是一致的; 另一个特征是AF1态的自由能曲线呈整体向上提升, 而AF2态的自由能曲线呈整体下降. 当$ {J_2} = 0.4667 $时, 在低于相变温度的范围内, AF1态的自由能总是小于AF2态, 即AF1态更稳定(见图6(a)). 随着$ {J_2} $的增大, 两个态的自由能之间的差异逐渐减小. 当$ {J_2} = 0.4675 $时, AF2态的自由能在其相变点与AF1态自由能汇合, 即在$ T < {T_N}({\text{AF2}}) $的温度范围内$ {F_{{\text{AF1}}}} < {F_{{\text{AF2}}}} $, 即AF1态更稳定(见图6(b)). 当$ 0.4675 < {J_{\text{c}}} < 0.497 $时, 两个态的自由能曲线相交(见图6(c)). 因此, 在零温附近有$ {F_{{\text{AF1}}}}(0) < {F_{{\text{AF2}}}}(0) $, 此时AF1态更稳定. 当温度升高, 系统的状态将发生由AF1态向AF2态转换的一阶相变. 当$ {J_2} $值增大到$ 0.497 $时, 结果与图6(b)类似, 即在$ T < {T_N}({\text{AF2}}) $的温度范围内有$ {F_{{\text{AF1}}}} < {F_{{\text{AF2}}}} $, 即AF1态更稳定(见图6(d)). 在$ {J_2} $的值从$ 0.497 $增大到$ 0.5155 $的过程中, AF2态的自由能曲线是先远离, 然后接近AF1态的, 但AF1态的自由能始终是小于AF2态. 在这种情况下, AF1态更稳定. 但在$ {J_2} = 0.5155 $时, 在零温时有$ {F_{{\text{AF1}}}}(0) = $$ {F_{{\text{AF2}}}}(0) $, 但$ 0 < T \leqslant {T_N} $温度的范围内有$ {F_{{\text{AF1}}}} < {F_{{\text{AF2}}}} $, 即在这种情况下, AF1态更稳定(见图6(e)). 当$ {J_2} > $$ 0.5155 $时, 两个态的自由能曲线相交(见图6(f)). 在零温附近有$ {F_{{\text{AF2}}}} < {F_{{\text{AF1}}}} $, 此时AF2态更稳定. 当温度升高, 系统的状态将发生由AF2态向AF1态转换的一阶相变.

图7给出了当$ {J_{\text{c}}} = - 0.5 $和$ D = 0.4 $时, 不同$ {J_2} $下两个态自由能与温度之间的变化关系. 由于图7呈现的结果与图6的结果类似, 这里就不再赘述.

对于$ {J_2} \ne 0.5 $的情况, 无论$ {J_{\text{c}}} $值是大于零还是小于零, 都能得到如下结论: 1)相变温度越高的态, 零温自由能越小; 两个态的相变温度差异越大, 其零温自由能的差异也越大. 2)两个态在重叠区域, 稳定性呈现4个特征: (i)当$ {J_2} < J_2^1 $时有$ {F_{{\text{AF1}}}} < {F_{{\text{AF2}}}} $, 在这种情况下, AF1态更稳定; (ii)当$ J_2^1 < {J_2} < J_2^2 $时, 两个态自由能曲线相交, 在这种情况下, 零温附近有$ {F_{{\text{AF1}}}} < {F_{{\text{AF2}}}} $, AF1态更稳定. 当温度升高, 系统的状态将发生由AF1态向AF2态转换的一阶相变; (iii)当$ J_2^2 < {J_2} < J_2^3 $时, AF1态的自由能总是小于AF2态, 此时AF1态更稳定; (iv)当$ J_2^3 < $$ {J_2} $时, 两个态自由能曲线相交, 在这种情况下, 零温附近有$ {F_{{\text{AF2}}}} < {F_{{\text{AF1}}}} $, AF2态更稳定. 当温度升高, 系统的状态将发生由AF2态向AF1态转换的一阶相变.

本文基于双时格林函数, 在Tyablikov退耦近似下, 研究了自旋为1的各向异性的双层平方晶格阻挫模型的相变行为. 结果表明: 只要参数$ {J_{\text{c}}} $和D不同时为零, AF1态和AF2态在$ {J_2} = 0.5 $处有相同的相变温度. 当$ {J_2} \ne 0.5 $时, 尽管AF1态和AF2态的相变温度不等, 但它们也能共存. 因此, 分$ {J_2} = 0.5 $与$ {J_2} \ne 0.5 $两种情况探讨AF1-AF2态之间的稳定性以及它们之间可能发生的相变.

对于$ {J_2} = 0.5 $, 参数$ {J_{\text{c}}} $和D对两个态自由能的影响可以分成3个区域. 在区域I, $ {F_{{\text{AF2}}}} < {F_{{\text{AF1}}}} $, AF2态更稳定. 在区域II, 系统的状态将发生由AF1态向AF2态转换的一阶相变. 在零温附近, AF1态更稳定. 在相变温度附近, AF2态更稳定. 在区域III, $ {F_{{\text{AF1}}}} < {F_{{\text{AF2}}}} $, AF1态更稳定.

对于$ {J_2} \ne 0.5 $, AF1态和AF2态之间存在如下关系(见图6和图7): 当$ {J_2} < J_2^1 $和$ J_2^2 < {J_2} < J_2^3 $时, $ {F_{{\text{AF1}}}} < {F_{{\text{AF2}}}} $, AF1态更稳定; 当$ J_2^1 < {J_2} < J_2^2 $和$ J_2^3 < {J_2} $时, 前者系统的状态将发生由AF1态向AF2态转换的一阶相变, 且在零温时, AF1态更稳定, 相变温度附近, AF2态更稳定; 后者系统的状态将发生由AF2态向AF1态转换的一阶相变, 且在零温时, AF2态更稳定, 相变温度附近, AF1态更稳定.