量子关联^[1-8]作为量子计算和量子信息中一种非常重要的物理资源, 通过对量子关联的研究, 能更清楚地刻画蕴含在量子态之间的非经典关联特性, 以及复合量子系统各子系统之间的关联程度. 量子纠缠作为量子关联中的重要组成部分, 首先, 关于量子纠缠态的判别问题已经提出了许多有用的纠缠判据: 约化判据^[9] 、重排判据^[10]、控制判据^[11]、纠缠Witness判据^[12]等; 其次, 在刻画量子态之间的纠缠程度方面, 提出了许多纠缠测度: 形成纠缠测度^[13]、concurrence纠缠测度^[14]、相对熵纠缠测度^[15]等. 但量子关联远不止纠缠, 为了更好地刻画量子态之间的关联程度, 已经提出了许多定义良好的关联测度, 如累积关联测度^[16], 量子失协关联测度^[17], 基于Tsallis熵的量子关联测度^[18]等. 相对熵作为研究量子关联非常重要的一个物理量, 目前, 人们提出了越来越多的基于相对熵的关联测度, 以便更清楚地刻画蕴含在量子态之间的关联特性以及刻画复合量子系统各子系统之间的关联程度.

在2008年, Datta^[19]提出了min相对熵的定义, 其定义如下:

其中, $\rho \geqslant 0, \sigma \geqslant 0, {\rm{Tr}}\rho \leqslant 1$, ${\varPi _\rho } = \displaystyle\sum\nolimits_{{i_1}, {i_2}, \cdots , {i_k}} ({\varPi _{{i_1}}} \otimes {\varPi _{{i_2}}} \otimes \cdots \otimes {\varPi _{{i_k}}}) \rho ({\varPi _{{i_1}}} \otimes {\varPi _{{i_2}}} \otimes \cdots \otimes {\varPi _{{i_k}}})$, $ {\varPi _{{i_j}}} $表示对第$ {i_j} $个子系统上的量子操作, min相对熵的性质如下:

1) 非负性. ${D_{\min }}(\rho \parallel \sigma ) \geqslant 0, {D_{\min }}(\rho \parallel \sigma ) = 0 \Leftrightarrow \rho = \sigma $.

2) 酉不变性. 对任意酉算子$ U $, ${D_{\min }}(\rho \parallel \sigma ) = {D_{\min }}(U\rho {U^\dagger }\parallel U\sigma {U^\dagger })$.

3) 在完全正的保迹映射(CPTP)下量子相对熵保持单调性. 对任意满足CPTP的算子$\varPsi$, 都有:${D_{\min }}(\rho \parallel \sigma ) \geqslant {D_{\min }}(\varPsi (\rho )\parallel \varPsi (\sigma ))$.

4) 联合凸性. ${D_{\min }}\left(\displaystyle\sum\nolimits_i {{p_i}} {\rho _i}\parallel \displaystyle\sum\nolimits_i {{p_i}} {\sigma _i}\right) \leqslant \displaystyle\sum\nolimits_i {{p_i}} {D_{\min }}({\rho _i}\parallel {\sigma _i})$, $ {\rho _i}, {\sigma _i} $为任意量子态, $\displaystyle\sum\nolimits_i {{p_i}} =1$.

目前提出的量子关联测度比较少, 因此, 提出一个新的两体复合量子系统下的关联测度以及将关联测度由两体推到k体分划下是非常有意义的. 本文主要考虑在两体复合系统和k体分划下, 分别给出基于min相对熵的两体和k体分划下关联测度的定义, 并且证明了其满足量子关联测度的一些必要性质. 近几年, 虽然量子信道的应用越来越广泛, 但是并没有将量子信道与量子关联测度联系起来, 本文将量子信道与量子关联测度联系起来, 进而给出了量子信道对k体分划下的关联测度$ {E_k}(\rho \parallel \sigma ) $的影响.

给出两体和k体分划下关联测度的定义之前, 首先提出一些基本定义.

定义2.1 (完全乘积态定义)　设$H = {H_1} \otimes {H_2} \otimes \cdots \otimes {H_m}$, $ \dim {H_i} < + \infty $, $ S(H) $表示$ H $上全体密度算子组成的集合, $ \rho \in S(H) $, 如果:

其中, ${\rho _i} = {\rm{Tr}}{_{\overline {{H_i}} }}(\rho )$, 则称$ \rho $为完全乘积态, 记为$\rho \in {S_\text{F-P}}(H)$.

定义2.2^[20] (k体分划的定义)　令$H = \mathop \bigotimes \limits_{i = 1}^n {H_i}$, 其中$ {H_i} $为第$ i $子系统对应的Hilbert空间, $\{ 1, 2, \cdots , k\}$是Hilbert空间$ H $的一个集合, $ \left\{ {{A_k}} \right\} $表示$ \{ 1, 2, \cdots , k\} $的子集. 通过对集合$ \{ 1, 2, \cdots , k\} $进行k体分划, 得到$ {A_1}|{A_2}| \cdots |{A_k} $, 并把其称作Hilbert空间$ H $的一个k体分划, 当其满足下列条件:

1) ${A_i} \cap {A_j}\; = \;\emptyset$$(i, j \;\in \;\{ 1, 2, \cdots , k\} , \;i \;\ne\; j)$且$\mathop \bigcup \limits_{i = 1}^k {A_i} = \{ 1, 2, \cdots , n\}$.

2) $ {H^{{A_1}}} \otimes {H^{{A_2}}} \otimes \cdots \otimes {H^{{A_k}}} = H $, 其中${H^{{A_i}}} = \mathop \bigotimes \limits_{j = 1}^{{k_i}} {H_{{n_{ij}}}}$, ${A_i} = \{ {n_{i1}}, {n_{i2}}, \cdots , {n_{i{k_i}}}\}$且${n_{i1}} < {n_{i2}} < \cdots < \ {n_{i{k_i}}}$.

定义2.3 (k经典态定义)　设$H=H_{1} \otimes H_{2} \otimes \cdots \otimes H_{m}$, dim$ H $$ < + \infty $, $ S(H) $表示$ H $中所有量子态组成的集合, $ \rho \in S(H) $, $ {A_1}|{A_2}| \cdots |{A_k} $是Hilbert空间$ H $的一个k体分划, 若存在$\{ \varPi _{{i_1}}^{{A_1}}\} , \{ \varPi _{{i_2}}^{{A_2}}\} ,\;\; \{ \varPi _{{i_3}}^{{A_3}}\} ,\;\ \cdots ,\;\ \{ \varPi _{{i_k}}^{{A_k}}\}$分别是子系统${H_{{A_1}}}, {H_{{A_2}}}, \cdots , {H_{{A_K}}}$上的正交投影组成的完备的投影测量集, 对于任意的k体分划$ \mathbb{A} $, 记:

如果${\varPi ^\mathbb{A}}(\rho ) = \rho$, 则称$ \rho $为k经典态, 进而$ \rho $可以被表示为

其中$ \{ {p_{{i_1}, {i_2}, \cdots , {i_k}}}\} $是概率分布. 当k = m时, ${\varPi _\rho } =$ $\displaystyle\sum\nolimits_{{i_1}, {i_2}, \cdots , {i_m}} {({\varPi _{{i_1}}} \otimes {\varPi _{{i_2}}} \otimes \cdots \otimes {\varPi _{{i_m}}})} \rho ({\varPi _{{i_1}}} \otimes {\varPi _{{i_2}}} \otimes \cdots \otimes {\varPi _{{i_m}}})$, 若$ {\varPi _\rho } = \rho $, 则称$ \rho $为完全经典态.

本文首先考虑两体复合量子系统, 设$H = {H_1} \otimes {H_2}$, $ \dim H < + \infty $, 其中$ {H_1}, {H_2} $分别是与量子系统1, 2相对应的可分复Hilbert空间. 记$ S(H) $表示$ H $上全体密度算子组成的集合, ${S_\text{F-P}}(H)$表示$ H $中所有完全乘积态组成的集合, ${S_\text{F-C}}(H)$表示$ H $中所有完全经典态组成的集合.

定义2.4　$ H = {H_1} \otimes {H_2} $, $ \dim H < + \infty $, $\rho \in S(H)$, $ \rho $相对于min相对熵的关联测度定义为

其中, ${\varPi _\rho }$表示对$ \rho $进行投影后的量子态.

定理2.5　$ H = {H_1} \otimes {H_2} $, $ \dim H < + \infty $, $\rho \in S(H)$, $ {U_1}, {U_2} $分别是$ {H_1}, {H_2} $上的酉算子, 有

证明　已知酉变换在迹操作中保持不变, 即:

引理2.6^[19]　设$ \rho , \sigma \in S(H) $, min相对熵是非负的, 即$ {D_{\min }}(\rho \parallel \sigma ) \geqslant 0 $, $ \rho = \sigma $当且仅当

定理2.7　$ H = {H_1} \otimes {H_2} $, $ \dim H < + \infty $, $\rho \in S(H)$, 则$ E(\rho \parallel \sigma ) \geqslant 0 $, $ E(\rho \parallel \sigma ) = 0 $当且仅当$\rho \in {S_\text{F-P}}(H)$.

证明　由引理2.6可知$ {D_{\min }}(\rho \parallel \sigma ) \geqslant 0 $, 所以$E(\rho \parallel \sigma ) = \mathop {\min }\nolimits_{\sigma { \in _{{S_\text{F-P}}}}} {D_{\min }}(\rho \parallel \sigma ) \geqslant 0$, 接下来证明$ E(\rho \parallel \sigma ) = 0 $当且仅当$\rho \in {S_\text{F-P}}(H)$, 已知$\sigma \in {S_{F - P}}(H)$, 当$ E(\rho \parallel \sigma ) = 0 $时, 有$ {D_{\min }}(\rho \parallel \sigma ) = 0 $, 由引理2.6可知, 一定存在一个$\rho = \sigma \in {S_\text{F-P}}(H)$, 反之, 若$\rho \in {S_\text{ - P}}(H)$, 已知$\sigma \in {S_\text{F-P}}(H)$, 因为$ {D_{\min }}(\rho \parallel \sigma ) \geqslant 0 $, $ E(\rho \parallel \sigma ) $取$ {D_{\min }}(\rho \parallel \sigma ) $的最小值, 即当$ {D_{\min }}(\rho \parallel \sigma ) = 0 $时, 取得的$ E(\rho \parallel \sigma ) = 0 $.

引理2.8^[19]　设$ H = {H_1} \otimes {H_2} $, $ \dim H < + \infty $, $\rho , \sigma \in S(H)$, y为一个完全正的保迹映射,

则:

定理2.9　$ H = {H_1} \otimes {H_2} $, $ \dim H < + \infty $, $ \rho , \sigma \in S(H) $, y为一个完全正的保迹映射, 则:

证明　由引理2.8可得定理2.9显然成立.

定理2.5, 2.7, 2.9分别证明了两体下基于min相对熵的量子关联测度满足酉不变性、非负性、在完全正的保迹映射下的单调性, 接下来给出在k体分划下基于min相对熵的量子关联测度的定义, 并且证明这个关联测度满足酉不变性、非负性、在完全正的保迹映射下的单调性.

定义2.10　设$ H = {H_1} \otimes {H_2} \otimes \cdots \otimes {H_m} $, $\dim H < + \infty$, $ \rho \in S(H) $, 若存在一个k体分划$ {A_1}|{A_2}| \cdots |{A_k} $, 使得$ \rho $能被表示为$ \rho = \rho _1^{{A_1}} \otimes \rho _2^{{A_2}} \otimes \cdots \otimes \rho _k^{{A_k}} $, $ \rho _i^{{A_i}} $是子空间$ {H^{{A_i}}} $上的态, 则称$ \rho $为k乘积态, $ \rho $在k体分划下基于min相对熵的量子关联测度定义为

其中, ${S_\text{F-k}}(H)$表示$ H $上的全体k乘积态, ${\varPi _\rho }$是对$ \rho $的投影测量.

定理2.11　设$H = {H_1} \otimes {H_2} \otimes \cdots \otimes {H_m}$, $\dim H < + \infty$, $ \rho \in S(H) $, 则$ {E_k}(\rho \parallel \sigma ) \geqslant 0 $,$ {E_k}(\rho \parallel \sigma ){\text{ = }}0 $当且仅当$\rho \in {S_\text{F-k}}(H)$.

证明　由引理2.6得${E_k}(\rho \parallel \sigma ) = \min\limits_{\sigma { \in _{{S_\text{F-k}}}}} {D_{\min }}(\rho || \sigma ) \geqslant 0$, 若$ {E_k}(\rho \parallel \sigma ){\text{ = }}0 $, 且$\sigma \in {S_\text{F-k}}(H)$, 则有一个$\rho = \sigma \in {S_\text{F-k}}(H)$, 反之, $\rho \in {S_\text{F-k}}(H)$且$\sigma \in {S_\text{F-k}}(H)$, 显然可得$ {E_k}(\rho \parallel \sigma ) = 0 $.

定理2.12　设$H = {H_1} \otimes {H_2} \otimes \cdots \otimes {H_m}$, $\dim H < + \infty$, $ U = $$ {U_1} \otimes {U_2} \otimes \cdots \otimes {U_m} $,$ \rho \in S(H) $, 其中$ {U_i} $为$ {H_i} $上的酉算子, 则${E_k}(\rho \parallel \sigma ) = {E_k}(U\rho {U^\dagger }\parallel U\sigma {U^\dagger })$.

证明　

定理2.13　设$H = {H_1} \otimes {H_2} \otimes \cdots \otimes {H_m}$, $\dim H < + \infty$, $ \rho \in S(H) $, y为一个完全正的保迹

映射, 则:

证明　由引理2.8可得定理2.13显然成立.

第2节定义了两体和k体分划下基于min相对熵的关联测度, 并且证明了其满足了一些关联测度必要的性质. 该关联测度的提出涉及了投影算子, 从这一想法出发, 不禁让人联想到其他物理概念能否也通过投影来定义关联测度, 进而将其归为一类. 除min相对熵外, 量子Fisher信息同样满足非负性、酉不变性、在完全正的保迹操作下的单调性等性质, 量子Fisher信息^[21]可以表示为$F = {\rm{Tr}}\left( {\rho {L^2}} \right)$, 将其基于量子Fisher信息的关联测度定义为$E(\rho ) = \mathop {\min }\nolimits_{\left\{ {{\varPi ^\Omega }} \right\}} ({\rm{Tr}}({\varPi _\rho }{L^2}) - {\rm{Tr}}(\rho {L^2}))$, ${\varPi ^\varOmega }$表示对应$ \varOmega $系统上的正交投影组成的完备的投影测量集, 可知投影测量增加熵. 这样定义的关联测度不仅仅满足非负性、酉不变性、在完全正的保迹操作下的单调性等性质, 也满足关联测度等于零当且仅当$ \rho $为经典态. 通过该发现, 可认为本文通过投影来定义的关联测度, 实际可以作为一类关联测度的定义方式, 这一发现有助于提出更多关联测度. 这些关联测度的提出都是刻画蕴含在量子态之间的非经典关联特性, 以及复合量子系统各子系统之间的关联程度.

定义3.1　设$ H = {H_1} \otimes {H_2} \otimes \cdots \otimes {H_m} $为主量子系统, $ K = {K_1} \otimes {K_2} \otimes \cdots \otimes {K_m} $为辅助环境系统, $ \dim H = \dim K < + \infty $, $ {\Phi _{{A^k}}} $表示$ \mathcal{B}(H) \to \mathcal{B}(K) $的一个量子信道, 则:

其中, $ {A^k} $表示$ H $和$ K $上所有k体分划, ${\varPhi _{{A_j}}}(j = 1, 2, \cdots , k)$表示$ \mathcal{B}({H_{{A_j}}}) \to \mathcal{B}({K_{{A_j}}}) $的量子信道, $ \mathcal{B}(H) $表示所有有界线性算子的全体.

定义3.2　设$ H = {H_1} \otimes {H_2} \otimes \cdots \otimes {H_m} $为主量子系统, $ K = {K_1} \otimes {K_2} \otimes \cdots \otimes {K_m} $为辅助环境系统, $ \dim H = \dim K < + \infty $, ${\varPhi _{{A^k}}} = {\varPhi _{{A_1}}} \otimes {\varPhi _{{A_2}}} \otimes \cdots \otimes {\varPhi _{{A_k}}}$表示$ \mathcal{B}(H) \to \mathcal{B}(K) $的一个量子信道, 则可定义以下内容:

1) 如果$ \rho \in {S_{\text{F - P}}}(H) $ $ \Rightarrow $ ${\varPhi _{{A^k}}}(\rho ) \in {S_\text{F - P}}(H)$, 则称$ {\varPhi _{{A^k}}} $是保完全乘积态的.

2) 如果$ {\varPhi _{{A^k}}}(\rho ) \in {S_{\text{F - P}}}(H) $$ \Rightarrow $ $\rho \in {S_\text{F - P}}(H)$, 则称$ {\varPhi _{{A^k}}} $是反保完全乘积态的.

3) 如果$ {\varPhi _{{A^k}}}(\rho ) \in {S_{\text{F - P}}}(H) $ $ \Leftrightarrow $ $\rho \in {S_\text{F - P}}(H)$, 则称$ {\varPhi _{{A^k}}} $是双边保完全乘积态的.

定理3.3　设$ H = {H_1} \otimes {H_2} \otimes \cdots \otimes {H_m} $为主量子系统, $ K = {K_1} \otimes {K_2} \otimes \cdots \otimes {K_m} $为辅助环境系统, $ \dim H = \dim K < + \infty $, ${\varPhi _{{A^k}}} = {\varPhi _{{A_1}}} \otimes {\varPhi _{{A_2}}} \otimes \cdots \otimes {\varPhi _{{A_k}}}$表示$ \mathcal{B}(H) \to \mathcal{B}(K) $的一个量子信道, 则$ {E_k}({\varPhi _{{A^k}}}(\rho )\parallel \sigma ) \leqslant {E_k}(\rho \parallel \sigma ) $当且仅当$ {\varPhi _{{A^k}}} $是保完全乘积态的.

证明　假设$ {E_k}({\varPhi _{{A^k}}}(\rho )\parallel \sigma ) \leqslant {E_k}(\rho \parallel \sigma ) $, 但是$ {\varPhi _{{A^k}}} $不是保完全乘积态的, 则存在一个完全乘积态$\delta \in {S_\text{F-P}}(H)$, 使得${\varPhi _{{A^k}}}(\delta ) \notin {S_\text{F-P}}(H)$, 则$ {E_k}({\varPhi _{{A^k}}}(\delta )\parallel \sigma ) > 0 $, 但是$ {E_k}(\delta \parallel \sigma ) = 0 $, 这与$ {E_k}({\varPhi _{{A^k}}}(\rho )\parallel \sigma ) \leqslant {E_k}(\rho \parallel \sigma ) $是矛盾的, 因此$ {\varPhi _{{A^k}}} $是保完全乘积态的. 反之, 若$ {\varPhi _{{A^k}}} $是保完全乘积态的, 如果$\rho \in {S_\text{F-P}}(H)$, 则${E_k}({\varPhi _{{A^k}}}(\rho )\parallel \sigma ) = {E_k}(\rho \parallel \sigma ) = 0$, 如果$\rho \notin {S_\text{F-P}}(H)$, 则${E_k}(\rho \| \sigma ) > 0$, 令${E_k}(\rho \| \sigma ) = t > 0$, ${E_k}({\varPhi _{{A^k}}}(\rho )\| {\varPhi _{{A^k}}}(\sigma )) = \mathop {\min }\nolimits_{\sigma { \in _{{S_\text{F - k}}}}} {D_{\min }}({\varPhi _{{A^k}}}(\rho )\| {\varPhi _{{A^k}}}(\sigma ))$, 由引理8可知$ {D_{\min }}(\rho \parallel \sigma ) $在完全正的保迹映射下是单调的, 所以:

定理3.4　设$ H = {H_1} \otimes {H_2} \otimes \cdots \otimes {H_m} $为主量子系统, $ K = {K_1} \otimes {K_2} \otimes \cdots \otimes {K_m} $为辅助环境系统, $\dim H = \dim K < + \infty$, ${\varPhi _{{A^k}}} = {\varPhi _{{A_1}}} \otimes {\varPhi _{{A_2}}} \otimes \cdots \otimes {\varPhi _{{A_k}}}$表示$ \mathcal{B}(H) \to \mathcal{B}(K) $的一个量子信道, 则$ {E_k}({\varPhi _{{A^k}}}(\rho )\parallel \sigma ) \geqslant {E_k}(\rho \parallel \sigma ) $当且仅当$ {\varPhi _{{A^k}}} $是反保完全乘积态的.

证明　假设$ {\varPhi _{{A^k}}} $不是反保完全乘积态的, 则存在$ \rho \in {S_{\text{F - P}}}(H) $, 使得$ {\varPhi _{{A^k}}}(\rho ) \in {S_{\text{F - P}}}(H) $, 但$ \rho \notin {S_{\text{F - P}}}(H) $, 则$ {E_k}({\varPhi _{{A^k}}}(\rho )\parallel \sigma ) = 0 $, 而${E_k}(\rho \parallel \sigma ) > 0$, 与$ {E_k}({\varPhi _{{A^k}}}(\rho )\parallel \sigma ) \geqslant {E_k}(\rho \parallel \sigma ) $矛盾, 所以$ {\varPhi _{{A^k}}} $是反保完全乘积态的, 反之明显成立.

定理3.5　设$ H = {H_1} \otimes {H_2} \otimes \cdots \otimes {H_m} $为主量子系统, $ K = {K_1} \otimes {K_2} \otimes \cdots \otimes {K_m} $为辅助环境系统, $ \dim H = \dim K < + \infty $, ${\varPhi _{{A^k}}} = {\varPhi _{{A_1}}} \otimes {\varPhi _{{A_2}}} \otimes \cdots \otimes {\varPhi _{{A_k}}}$表示$ \mathcal{B}(H) \to \mathcal{B}(K) $的一个量子信道, 则$ {E_k}({\varPhi _{{A^k}}}(\rho )\parallel \sigma ) = {E_k}(\rho \parallel \sigma ) $当且仅当$ {\varPhi _{{A^k}}} $是双边保完全乘积态的.

证明　由定理3.3和定理3.4, 定理3.5显然成立.

本文分别定义了两体和k体分划下基于min相对熵的关联测度的定义, 并且证明了其满足量子关联测度的一些基本性质, 包括非负性、酉不变性、在完全正的保迹操作下的单调性, 说明了量子关联测度定义良好. 与已经提出的关联测度相比较, 本文提出并且证明了在k体分划下该关联测度也是定义良好的, 并且本文给出了量子信道对$ {E_k}(\rho \parallel \sigma ) $的影响, 对给出的性质加以证明, 从而将量子信道应用在了关联测度上.