非厄米概念和拓扑思想之间的协同效应, 即非厄米系统的拓扑性质是近年来一个非常活跃的研究领域^[1–5]. 特别是, 在非厄米系统中发现了许多厄米系统无对应的特殊拓扑性质. 例如, 在非厄米拓扑相中普遍存在的特殊点^[2,4–8]、超越通常体边对应关系^[9–16]的缺陷边缘态^[14,15], 以及非厄米系统在开边界情形下本征态以指数衰减形式定域在其边界附近的非厄米趋肤效应^[3,17–31]. 其中, 非厄米趋肤效应定义了非布洛赫的体边对应关系, 并建立了基于广义布里渊区的非布洛赫能带理论. 因而, 非厄米Su-Schrieffer-Heeger (SSH)链^[32]的非厄米趋肤效应引起人们极大的研究兴趣, 并且该特性已经在拓扑电路^[9]、光子晶格^[10,19,23]、力学超材料^[11]、光波导^[17]、光子晶体^[18]、冷原子^[21]、声子晶体^[22]中观察到. 虽然在经典和量子模拟器中实验设计非厄米模型取得了巨大进展, 但是在实验和理论上如何探测非厄米SSH链的缺陷边缘态仍然是非厄米物理学的重要课题之一. 例如, 在一个耗散Aharonov-Bohm链中, 态的边界动力学特性可以用来探测其非平庸拓扑边缘态^[33]. 最近, 在厄米SSH链系统中, 利用电子在零能附近透射率峰个数随着其与源极、漏极之间隧穿耦合强度的变化可以用来判断该系统是否具有非平庸拓扑态^[34–36]. 但是, 如何基于电子输运特性探测非厄米SSH链的缺陷边缘态仍然是一个开放的课题. 特别是, 非厄米SSH链的非平庸拓扑边缘态对其非厄米趋肤效应的影响尚未被揭示.

本文将研究非厄米SSH链非平庸拓扑边缘态和趋肤效应依赖的电子输运性质, 并探寻如何基于电子输运特性探测其非平庸拓扑边缘态和趋肤效应. 研究发现, 电子在零能附近透射率峰的峰值是否远小于或者远大于1, 可以用来判断非厄米SSH链是左趋肤效应还是右趋肤效应, 并且非厄米趋肤效应在非平庸拓扑边缘态区域内被进一步增强. 另外, 非厄米SSH链的非平庸拓扑边缘态可以通过逐渐改变其与源极、漏极之间的电子隧穿耦合强度, 观察电子在零能附近反射率谷的数目变化来判断.

一般情形下, 一维SSH链系统的非厄米性通过格点上的增益/损耗平衡和两个格点之间的不对称定向跳跃这两种方式进行设计^[1–3]. 在本文中, 考虑后一种设计方案, 即两个格点之间的非互易跳跃, 如图1所示, 则在紧束缚近似下非厄米SSH链的哈密顿量可表示为^{[13–15,32,37]}

其中, $ d_{n, {\text{A}}}^\dagger $($ d_{n, {\text{B}}}^\dagger $)和$ {d_{n, {\text{A}}}} $($ {d_{n, {\text{B}}}} $)分别表示在第$ n $个原胞的A子格(B子格)上产生和湮灭一个电子; $ \upsilon - \gamma $表示胞内电子从A子格到B子格的跳跃振幅, 相应地, $ \upsilon + \gamma $则表示胞内电子从B子格到A子格的跳跃振幅; $ w $表示胞间电子的跳跃振幅; $ N $是非厄米SSH链的原胞总数.

当非厄米SSH链与左、右导线耦合时, 左、右电极的哈密顿量和其相应的电子隧穿耦合哈密顿量可以表示为

式中, $ a_{\alpha , j}^\dagger $和$ {a_{\alpha , j}} $分别表示在$\alpha $导线的第$ j $个原子上产生和湮灭一个电子, 其中, $\alpha = {\text{L}}$和$\alpha = {\text{R}}$分别表示左电极(源极)和右电极(漏极); $ {t_0} $为左、右导线上相邻原子之间的跳跃振幅, $ {t_{\text{L}}} $和$ {t_{\text{R}}} $分别表示非厄米SSH链与左、右电极之间的电子隧穿耦合振幅. 因此, 所研究系统的总哈密顿量可以表示为

为计算电子通过非厄米SSH链的反射率和透射率, 假设电子从左导线(源极)入射. 利用每个子格(原子)的瓦尼尔态, 将与左、右导线耦合的非厄米SSH链的波函数$ \left| \psi \right\rangle $写为^[34–36]

其中, $ \left| {\alpha , j} \right\rangle $表示$\alpha $导线上第$ j $个原子的瓦尼尔态, $ {a_{\alpha , j, k}} $则表示相应的瓦尼尔态$ \left| {\alpha , j} \right\rangle $的概率幅; $ \left| {n, \beta } \right\rangle $表示非厄米SSH链第$ n $个原胞内$ \beta $子格($ \beta = {\text{A, }} {\text{B}} $)的瓦尼尔态, $ {d_{n, \beta , k}} $则表示相应的瓦尼尔态$ \left| {n, \beta } \right\rangle $的概率幅, $ k $为入射电子的波矢. 将与左、右导线耦合的非厄米SSH链的哈密顿量(5)式和其波函数(6)式代入定态薛定谔方程$ H\left| \psi \right\rangle = E\left| \psi \right\rangle $, 这里$ E = 2{t_0}\cos \left( {ka} \right) $表示入射电子的能量, $ a $为相应的晶格常数, 由方程两边同一瓦尼尔态的系数相等并利用传输矩阵方法可得

其中:

为方便计算电子的反射率和透射率, 将晶格常数$ a $和导线上相邻原子之间的跳跃振幅$ {t_0} $取为$ 1 $, 并将左、右导线上第$ j $个原子的概率幅展成平面波的形式:

其中, $ r $和$ t $分别表示电子的反射和透射振幅. 将(14)式代入(7)—(9)式中, 并将$ r ,\; {d_{1, {\mathrm{A}}, k}} ,\; {d_{N, {\mathrm{B}}, k}} ,\; t $看成4个未知数, 相应地, 可以求解出$ r $和$ t $的数值. 因而, 电子的反射率和透射率可以分别表示为$ R = {\left| r \right|^2} $和$ T = {\left| t \right|^2} $.

对于非厄米SSH链, 在动量空间中, 其哈密顿量(1)式在周期性边界条件下可以表示为

其中, $ {{\boldsymbol{\psi}} _k} = {\left( {{d_{{\text{A}}, k}}, {d_{{\text{B}}, k}}} \right)^{\text{T}}} $, $ {{\boldsymbol{H}}_{{\text{NH, SSH}}}}(k) $是一个非对角矩阵:

由图2可知, 在非厄米SSH链的非平庸拓扑相变区域内, 其能量本征值为实数, 如图2(a1), (b1)以及图2(a2), (b2)所示. 因此, 可以通过相似变换来求解其非平庸拓扑相变点^[14,15,37]. 首先, 将非厄米SSH链的波函数写为

在实空间中, 本征方程$ {{\boldsymbol{H}}_{{\text{NH-SSH}}}}{\left| \varPsi \right\rangle _{{\text{NH-SSH}}}} = {E_{{\text{NH-SSH}}}}{\left| \varPsi \right\rangle _{{\text{NH-SSH}}}} $等价于

其中, $ {\left| {\bar \varPsi } \right\rangle _{{\text{NH-SSH}}}} = {{\boldsymbol S}^{ - 1}}{\left| \varPsi \right\rangle _{{\text{NH-SSH}}}} $, $ {\bar {\boldsymbol{H}}_{{\text{NH-SSH}}}} = {{\boldsymbol{S}}^{ - 1}} \times {{\boldsymbol{H}}_{{\text{NH-SSH}}}} {\boldsymbol{S}} $. 其次, 将相似变化矩阵S选取为一对角矩阵, 其对角元为

其中$ r = \sqrt {{{\left( {\upsilon - \gamma } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {\upsilon - \gamma } \right)} {\left( {\upsilon + \gamma } \right)}}} \right. } {\left( {\upsilon + \gamma } \right)}}} $. 此时, 哈密顿量$ {\bar {\boldsymbol{H}}_{{\text{NH-SSH}}}} $在$k$空间中可以表示为

其中, $ \bar \upsilon = \sqrt {\left( {\upsilon - \gamma } \right)\left( {\upsilon + \gamma } \right)} $, $ \bar w = w $, $ {{\boldsymbol \sigma}_x} $和$ {{\boldsymbol \sigma}_y} $分别为$x$和$y$分量的泡利矩阵. 相应地, 拓扑相变点的条件为$ \left| {\bar \upsilon } \right| = \left| {\bar w} \right| $, 即:

因此, 当$ \gamma \lt w $时, 拓扑相变点为$ \upsilon = \pm \sqrt {{\gamma ^2} + {w^2}} $; 当$ \gamma \gt w $时, 拓扑相变点为$ \upsilon = \pm \sqrt {{\gamma ^2} \mp {w^2}} $.

为了研究非厄米SSH链的非平庸拓扑边缘态性质, 本文采用边缘态依赖的缠绕数描述该性质, 其中, 左、右边缘态的缠绕数分别定义为$ {\overline W_{\text{L}}} = \overline W \cdot {W_{\text{L}}} $和$ {\overline W_{\text{R}}} = \overline W \cdot {W_{\text{R}}} $. 这里, $ {W_{\text{L}}} $和$ {W_{\text{R}}} $为布洛赫缠绕数, 其定义为^[14,15]

式中, $ {h_{{\text{for}}}} = \upsilon - \gamma + w{{\text{e}}^{{\text{i}}k}} $是(16)式中向前跳跃的项, 而$ {h_{{\text{back}}}} = \upsilon + \gamma + w{{\text{e}}^{ - {\rm i}k}} $则是(16)式中向后跳跃的项; $ \overline W $为非布洛赫缠绕数:

其中, $ \bar \phi (k) = {\tan ^{ - 1}}({{{{\bar h}_y}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\bar h}_y}} {{{\bar h}_x}}}} \right. } {{{\bar h}_x}}}) $. 左、右边缘态的缠绕数$ \left\{ {{{\overline W}_{\text{L}}}, {{\overline W}_{\text{R}}}} \right\} $可以完备地描述一维非厄米SSH链的边缘态性质. 当$ {\overline W_{\text{L}}} = 1 $且$ {\overline W_{\text{R}}} = 0 $时, 仅左边缘态存在; 当$ {\overline W_{\text{L}}} = 0 $且$ {\overline W_{\text{R}}} = 1 $时, 仅右边缘态存在; 当$ {\overline W_{\text{L}}} = 1 $且$ {\overline W_{\text{R}}} = 1 $时, 左、右边缘态均存在.

分$ \gamma \lt w $和$ \gamma \gt w $两种情况, 讨论$ \upsilon $的取值对非厄米SSH链非平庸拓扑边缘态性质的影响. 为方便讨论, 在本文中, 将胞间电子的跳跃振幅选取为能量单位, 即$ w = 1.0 $, 非厄米SSH链的元胞数选取为$ N = 20 $. 当$ \gamma \lt w $时, 这里选取$ \gamma = 0.4 $, 在非平庸拓扑相区域, 如图2(c1)中$ \overline W = 1 $的区域, 存在3种不同类型的边缘态: 仅存在左边缘态、仅存在右边缘态, 以及左、右边缘态均存在, 即其波函数的概率幅从非厄米SSH链的左端(左边缘态)或右端(右边缘态)或两端(左、右边缘态)向中间的子格位置快速衰减. 为进一步研究$ \upsilon $的取值对零能左、右边缘态的影响, 图3给出了零能附近的本征值的本征态波函数概率幅的绝对值随子格$n$和$ \upsilon $值变化的相图. 当$ \upsilon \gt 0 $且其值趋于0时, 非厄米SSH链的左、右边缘态均存在, 即其概率幅从左、右两端的子格向中间的子格以指数形式快速衰减, 其中, 左边缘态概率幅的绝对值大于其右边缘态; 反之, 非厄米SSH链在$ \upsilon \lt 0 $, 且其值趋于0的情形下右边缘态概率幅的绝对值大于其左边缘态, 如图3(a)所示. 当$ \upsilon $的绝对值$ \left| \upsilon \right| $较大时, 对于$ \upsilon \gt 0 $的情形, 左边缘态概率幅的绝对值大于其右边缘态约5个量级, 此时, 右边缘态将非常不明显; 而当$ \upsilon \lt 0 $时, 右边缘态概率幅的绝对值则大于其左边缘态约5个量级, 相应地, 左边缘态将非常不明显, 如图3(a)所示. 此特性是由于非厄米SSH链的趋肤效应引起, 将在3.2节讨论. 另外, 从图3(a)还可以看出, 当$ \upsilon $的值接近拓扑相变点($ \pm \sqrt {{\gamma ^2} + {w^2}} $)时, 非厄米SSH链在$ \upsilon \gt 0 $情形下将仅存在左边缘态, 而在$ \upsilon \lt 0 $情形下将仅存在右边缘态. 对于$ \gamma \gt w $的情形, 在非平庸拓扑边缘态区域内, 非厄米SSH链在$ \upsilon \gt 0 $情形下仅存在左边缘态; 而在$ \upsilon \lt 0 $情形下则仅存在右边缘态, 如图3(b)所示. 此外, 当$ \upsilon = \gamma $时, 在非厄米SSH链的第1个元胞内, 电子从A子格到B子格的跳跃振幅为0, 因而边缘态的波函数概率幅将局域在非厄米SSH链最左端的子格上, 即第1个子格上; 而当$ \upsilon = - \gamma $时, 在非厄米SSH链的最后一个元胞内, 即第$N$个元胞内, 电子从B子格到A子格的跳跃振幅为0, 相应地, 边缘态的波函数概率幅则局域在非厄米SSH链最右端的子格上, 第$2 N$个子格上.

在非厄米SSH链中, 趋肤效应和电子透射率异常是其区别于厄米SSH链的两个重要物理现象. 这里需要指出的是, 与非厄米SSH链的非平庸拓扑边缘态不同的是, 趋肤效应是非厄米SSH链的所有本征态(包含边缘态)波函数在每个子格上的概率分布均向其一端的子格上集中. 首先研究$ \upsilon $的数值对非厄米SSH链趋肤效应的影响.

当$ \gamma \lt w $时, 例如$ \gamma = 0.4 $, 对于一个有限长的非厄米SSH链, 在$ \upsilon $值较小($ \upsilon = \pm 0.01 $)的情形下, 其未出现非厄米趋肤效应, 如图4(a1)和图4(a2)所示; 而仅当$ \left| \upsilon \right| $大于某一数值时, 才能观察到非厄米趋肤效应, 如图4所示. 另外, 由图4可知, 非厄米SSH链在左、右边缘态区域($ \upsilon = 0.2 $)和左边缘态区域($ \upsilon = 0.7 $)内均存在明显的趋肤效应, 如图4(b1), (b2)以及图4(d1), (d2)所示. 尤其是, 当$ \upsilon = \pm \gamma $时, 非厄米SSH链的趋肤效应达到最强, 对于$ \upsilon = \gamma $的情形, 其本征态波函数的概率幅仅集中在最左端的3个子格上, 如图4(c1)所示; 而对于$ \upsilon = - \gamma $的情形, 其本征态波函数的概率幅则仅集中在最右端的3个子格上, 如图4(c2)所示. 这里, 特别需要说明的是, 由于$ \upsilon $是厄米参数, 继续增大其绝对值会减弱系统非互易跳跃的不对称性, 从而减弱其非厄米趋肤效应, 如图4(e1)和图4(e2)所示. 特别是, 当$ \upsilon $的绝对值足够大时, 对于一个有限长的非厄米SSH链, 其趋肤效应将消失.

对于$ \gamma \gt w $的情形, 例如$ \gamma = 1.4 $, 非厄米SSH链的左趋肤效应在其左边缘态区域内(例如$ \upsilon = 1.3 $和$ \upsilon = 1.5 $), 比其在非边缘态区域内(例如$ \upsilon = 0.5 $和$ \upsilon = 2.0 $)更加明显, 如图5(a1), (b1), (d1), (e1)所示. 相应地, 非厄米SSH链的右趋肤效应在其右边缘态区域内(例如$ \upsilon = - 1.3 $和$ \upsilon = - 1.5 $), 比其在非边缘态区域内(例如$ \upsilon = - 0.5 $和$ \upsilon = - 2.0 $)更加明显, 如图5(a2), (b2), (d2), (e2)所示. 同样, 当$ \upsilon = \pm \gamma $时, 非厄米SSH链的趋肤效应达到最强, 如图5(c1), (c2)所示.

其次, 研究$ \upsilon $的数值对非厄米SSH链电子透射率的影响. 在非厄米SSH链中, 由于电子从左电极(源极)到右电极(漏极)的向前跳跃振幅不等于从右电极(漏极)到左电极(源极)的向后跳跃振幅, 因而, 其电子透射率的数值将不等于1. 为了方便讨论电子透射率异常的情况, 这里将胞内电子从A子格到B子格的跳跃振幅$ ( {\upsilon - \gamma } ) $和其从B子格到A子格的跳跃振幅$ ( {\upsilon + \gamma } ) $分别重新写为^[13]$ \upsilon - \gamma = \mu {{\text{e}}^\phi } $, $ \upsilon + \gamma = \mu {{\text{e}}^{ - \phi }} $. 当$ ( {\upsilon - \gamma } )( {\upsilon + \gamma } ) \gt 0 $时, $ \mu = \sqrt {( {\upsilon - \gamma } )( {\upsilon + \gamma } )} $, $ {{\text{e}}^\phi } = \sqrt {{{( {\upsilon - \gamma } )} / {( {\upsilon + \gamma } )}}} $, $ {{\text{e}}^{ - \phi }} = \sqrt {{{( {\upsilon + \gamma } )} / {( {\upsilon - \gamma } )}}} $; 当$ ( {\upsilon - \gamma } ) \lt 0 $, $ ( {\upsilon + \gamma } ) \gt 0 $时, $ \mu = {\text{i}} \sqrt {( {\gamma + \upsilon } )( {\gamma - \upsilon } )} $, $ {{\text{e}}^\phi } = {\text{i}}\sqrt {{{( {\gamma - \upsilon } )} / {( {\gamma + \upsilon } )}}} $, $ {{\text{e}}^{ - \phi }} = - {\text{i}}\sqrt {{{( {\gamma + \upsilon } )} / {( {\gamma - \upsilon } )}}} $; 当$ ( {\upsilon - \gamma } ) \gt 0 $, $ ( {\upsilon + \gamma } ) \lt 0 $时, $ \mu = {\text{i}} \sqrt {( {\gamma + \upsilon } )( {\gamma - \upsilon } )} $, $ {{\text{e}}^\phi } = - {\text{i}}\sqrt {{{( {\gamma - \upsilon } )} / {( {\gamma + \upsilon } )}}} $, $ {{\text{e}}^{ - \phi }} = {\text{i}}\sqrt {{{( {\gamma + \upsilon } )} / {( {\gamma - \upsilon } )}}} $. 相应地, 电子通过非厄米SSH链的归一化透射率可以表示为${T_{\text{N}}} = {T / {{{| {{{\text{e}}^\phi }} |}^{2 N}}}}$, 相应地, 归一化透射率${T_{\text{N}}}$的最大值为1.

对于厄米SSH链的零能非平庸拓扑边缘态, 可以通过其零能附近的电子透射率来探测^[34–36], 而非厄米SSH链的趋肤效应又与其电子透射率的异常相关, 因而, 非厄米SSH链的电子输运特性为探测其边缘态和趋肤效应提供了一个可选择的思路, 即从电子输运的角度, 讨论如何探测非厄米SSH链的边缘态和趋肤效应.

对于本文考虑的有限长的非厄米SSH链, 两个非平庸拓扑边缘态的能量本征值之差实际上并不为零. 因此, 当非厄米SSH链与左、右导线之间的电子隧穿振幅处于弱耦合区域时, 非厄米SSH链与导线之间的弱电子隧穿过程对其能级结构影响较小. 因而, 在零能附近电子透射率峰/反射率谷的能量位置可以反映相应边缘态的能级位置. 但是, 当非厄米SSH链与左、右导线之间的隧穿振幅处于强耦合区域时, 导线与非厄米SSH链之间的强电子隧穿过程会强烈地影响非厄米SSH链的能级结构. 此时, 非厄米SSH链在零能附近无能级, 相应地, 弱耦合情形观察到的电子透射率峰/反射率谷将在强耦合情形下消失. 另一方面, 由3.2节可知, 非厄米SSH链的趋肤效应与其电子透射率的异常相关. 因此, 这里选取非厄米SSH链与左、右导线之间的电子隧穿耦合振幅$ {t_{\text{L}}} $和$ {t_{\text{R}}} $为可调的物理变量, 研究与非厄米SSH链边缘态和趋肤效应相关联的电子透射率和反射率特性.

首先, 讨论在$\gamma \lt w$情形下非厄米SSH链与左、右导线耦合的情况, 例如, $\gamma = 0.4$. 当非厄米SSH链与左、右导线弱耦合时, 即$ {t_{\text{L}}} = {t_{\text{R}}} $的数值较小时, 对于$\upsilon \gt 0$的情形, 非厄米SSH链的左趋肤效应体现在其本征态波函数在每个子格上的概率幅更加集中在其左端的几个子格上. 相应地, 电子从左电极隧穿到非厄米SSH链, 再从非厄米SSH链隧穿出到达右电极的概率将指数衰减. 因此, 在零能附近可以观察到两个峰值远小于1的电子透射率峰, 如图6(a1)所示. 反之, 当$\upsilon \lt 0$时, 非厄米SSH链的右趋肤效应则体现在其本征态波函数在每个子格上的概率幅更加集中在其右端的几个子格上, 相应地, 电子从左电极隧穿到非厄米SSH链, 再隧穿出非厄米SSH链到达右电极的概率将指数增大. 因而, 可以在零能附近观察到两个峰值远大于1的电子透射率峰, 如图6(a2)所示. 事实上, 对于$\gamma = 0.4$和$\upsilon = 0.5$的情形, 其归一化透射率因子为$\left| {{{\text{e}}^\phi }} \right| = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. } 3} \lt 1$, 相应的透射率$T \ll 1$; 而对于$\gamma = 0.4$和$\upsilon = - 0.5$的情形, 相应的归一化透射率因子为$\left| {{{\text{e}}^\phi }} \right| = 3 \gt 1$, 因而, 其透射率$T \gg 1$. 因此, 对于非厄米SSH链的趋肤效应类型, 可以通过其电子透射率是否远大于或者远小于1来判断. 例如, 当电子透射率远小于1时, 对应于左趋肤效应; 而电子透射率远大于1, 则对应于右趋肤效应.

从图6(a1)和图6(a2)可以看出: 随着非厄米SSH链与左、右导线的电子隧穿耦合振幅$ {t_{\text{L}}} $和$ {t_{\text{R}}} $的逐渐增大, 在弱耦合情形下, 零能附近两个尖锐的透射率峰首先被逐渐展宽但其峰值不变; 然后, 这两个尖锐的峰将逐渐合并为一个半宽较宽的峰值不变的透射率峰; 当电子隧穿耦合振幅$ {t_{\text{L}}} $和$ {t_{\text{R}}} $继续增大时, 这个透射率峰的半宽将被继续展宽, 并且其峰值也将减小; 最后, 这个半宽很宽的电子透射率峰将完全消失. 另外, 对于非厄米SSH链, 电子从左电极隧穿到非厄米SSH链后, 其在胞内从A子格到B子格的跳跃振幅将被增强或衰减, 相应的其在零能附近透射率峰的峰值也不再等于1. 但是, 对于在左电极(源极)和非厄米SSH链界面反射的电子, 其在相邻格点的隧穿振幅不会被增强或者衰减, 因而, 其在零能附近相应反射率谷的谷值可以等于0, 如图6(b1)和图6(b2)所示. 特别是, 随着电子隧穿耦合振幅$ {t_{\text{L}}} $和$ {t_{\text{R}}} $的逐渐增大, 在零能附近反射率谷的数目变化与透射率峰的数目变化规律相同, 如图6(a1), (b1)以及图6(a2), (b2)所示. 因此, 对于非厄米SSH链的非平庸拓扑边缘态, 可以通过调节非厄米SSH链与左、右导线之间的电子隧穿耦合振幅$ {t_{\text{L}}} $和$ {t_{\text{R}}} $, 观察电子在零能附近反射率谷的数目变化来确定其是否存在非平庸拓扑边缘态.

对于$\gamma \gt w$的情形, 电子在零能附近的透射率和反射率随着非厄米SSH链与左、右导线之间电子隧穿耦合振幅$ {t_{\text{L}}} $和$ {t_{\text{R}}} $变化的规律与$\gamma \lt w$情形相同, 但其$ {t_{\text{L}}} $和$ {t_{\text{R}}} $的取值不同, 如图7所示. 下面, 讨论非厄米SSH链在零能附近电子输运特性的物理机制.

当非厄米SSH链与左、右导线耦合时, 其能级结构将受到非厄米SSH链与左、右导线之间电子隧穿耦合振幅${t_{\text{L}}}$和${t_{\text{R}}}$数值大小的影响. 当${t_{\text{L}}}$和${t_{\text{R}}}$数值很小时, 电子在非厄米SSH链与导线之间的隧穿过程被强烈压制. 此时, 电子隧穿过程对非厄米SSH链的能级结构影响较小. 相应地, 零能附近边缘态反射率谷对应的能量位置与非厄米SSH链的能级一一对应, 如图8(a1)和图8(b1)所示. 若继续增大${t_{\text{L}}}$和${t_{\text{R}}}$的数值使其到达某一值时, 非厄米SSH链的能级结构将受到其与左、右导线之间电子隧穿过程的强烈影响. 这里将左、右导线分别用瓦尼尔态$\left| {\text{L}} \right\rangle $和$\left| {\text{R}} \right\rangle $表示, 再通过研究非厄米SSH链与瓦尼尔态$\left| {\text{L}} \right\rangle $和$\left| {\text{R}} \right\rangle $耦合的系统能谱, 定性模拟非厄米SSH链在其与左、右导线强耦合情形下的能级结构. 在左电极的瓦尼尔态$\left| {\text{L}} \right\rangle $、非厄米SSH链子格的瓦尼尔态$\{ \left| {1, {\text{A}}} \right\rangle , \left| {1, {\text{B}}} \right\rangle , \cdots, \left| {n, {\text{A}}} \right\rangle , \left| {n, {\text{B}}} \right\rangle \} $、右电极的瓦尼尔态$\left| {\text{R}} \right\rangle $组成的完备基下, 由(5)式可知, 上面系统哈密顿量的矩阵形式为

将(25)式严格对角化可得上面的修正系统能谱. 由图8(a2)和图8(b2)可知, 当$ \gamma = 0.4 $和$ \gamma = 1.4 $时, 对于非厄米SSH链与左、右导线强耦合的情形, 其在零能附近均没有能级存在. 因而, 当$ {t_{\text{L}}} $和$ {t_{\text{R}}} $的数值增大到某一临界值(大小依赖于$\gamma $和$ \upsilon $)时, 在零能附近电子的反射率峰和透射率谷都将全部消失, 如图6和图7所示.

对于非边缘态区域, 即非零能的情形, 非厄米SSH链能量本征值(实部)最小的两个本征态之间的能量本征值之差明显大于0, 如图2(a1)和图2(b1), 因而, 其在零能附近没有能级, 即对入射电子来说是禁带, 此时电子的透射率为零, 相应的反射率为1. 因此, 当调节非厄米SSH链与左、右导线之间的电子隧穿耦合振幅, 使其从弱耦合区域变化到强耦合区域, 在非边缘态的区域内, 观察不到电子的反射率谷及其反射率谷的数目变化. 因此, 对于非厄米SSH链是否存在边缘态, 可以通过调节非厄米SSH链与左、右导线之间的电子隧穿耦合振幅, 使其从弱耦合区域变化到强耦合区域, 然后观察电子在零能附近电子反射率谷的数目在此过程中的变化来判断边缘态是否存在. 例如, 当电子在弱耦合情形下的2个零能附近反射率谷在强耦合情形下消失, 则说明非厄米SSH链存在边缘态. 另外, 对于非厄米SSH链的趋肤效应, 可以通过其电子透射率是否远小于1或远大于1来判断其趋肤效应的类型, 即电子透射率远小于1对应于左趋肤效应, 而电子透射率远大于1则对应于右趋肤效应.

本文研究了非厄米SSH链的非平庸拓扑边缘态性质和其趋肤效应, 并基于零能附近的电子输运特性给出了探测其边缘态和趋肤效应类型的理论方案. 研究发现, 非厄米SSH链的趋肤效应类型与其电子在零能附近透射率峰的峰值密切相关, 例如, 当电子在零能附近透射率峰的峰值远小于1时, 非厄米SSH链具有左趋肤效应; 反之, 当电子在零能附近透射率峰的峰值远大于1时, 非厄米SSH链则具有右趋肤效应. 特别是, 在非平庸拓扑边缘态区域内, 非厄米SSH链的边缘态将进一步增强其趋肤效应. 另外, 当非厄米SSH链与左、右导线之间的电子隧穿耦合振幅处于弱耦合区域时, 在零能附近可以观察到2个电子反射率谷; 而在其强耦合区域时, 电子在零能附近的反射率谷将消失. 此特性可以用来探测非厄米SSH链的非平庸拓扑边缘态. 上述结果为探测非厄米SSH链的非平庸拓扑边缘态和非厄米趋肤效应类型提供了一种可选择的理论方案.