液体望远镜(liquid mirror telescope, LMT)是一种利用旋转液体在重力和离心力作用下形成抛物反射面的天文望远镜. 1850年Capocci提出使用装有水银的旋转容器作为天文望远镜主镜, 直到1872年, 新西兰尼丁天文台的Skey才建造了第一台液体望远镜^[1]. 液体望远镜的主要优势在于成本低廉, 与传统的固体望远镜相比, 液体望远镜的成本仅为其1%, 并且液体望远镜可以获得更大的有效口径, 至今液体望远镜已被许多机构用于科学研究. 1998年, NASA轨道碎片天文台的科学家建造了一台直径3 m的液体望远镜用于跟踪轨道上的目标物体, 并获得了其中206个目标的光谱能量分布图^[2]. 2005年, Hickson等^[3]制造了一台直径6 m的液体望远镜用于天文观测, 成功获得了高银河纬度区域的图像, 且其造价不足一百万美元. 2023年, 由加拿大、欧洲和印度科学家在印度Devasthal国家天文台建造的直径4 m的国际液体望远镜正式投入运行, 其具备低对比度、低表面亮度天体的高灵敏度探测能力^[4,5]. 在许多光学应用中, 由于液体望远镜价格低廉、表面质量高、镜面尺寸设计灵活且易于制造, 因此具有广阔的应用前景.

然而, 由于液体望远镜的结构特性, 其观测范围受限于天顶方向, 通过离轴观测可在一定程度上扩大其观测区域, 但液体望远镜在离轴观测时会产生显著的静态离轴像差, 此外, 各种振动等干扰也会使镜面波动产生动态像差. 一般而言, 当离轴观测角度在约1°范围以内时, 系统产生的像差可通过传统被动光学校正方法加以补偿^[6], 而随着离轴角度进一步增大, 当其达到5°及以上时, 彗差和像散等离轴像差项显著增强, 像差PV值甚至可达厘米级, 系统已无法作为近轴光学系统处理, 必须引入特殊的像差补偿方案. 对于校正效果而言, 为实现接近衍射极限的成像质量, 工程上通常将波前像差均方根值(RMS)值小于λ/10作为理想的成像质量指标.

小角度静态离轴像差通常可通过引入透镜组等光学元件校正. 拉瓦尔大学2.7 m直径的液体望远镜配备了由五个透镜组成的校正器, 能在0.5°视场范围内获得亚角秒级图像^[7]. Li等^[8]设计了一套波前校正透镜组, 可用于校正直径1 m液体望远镜在$ \pm $1°范围内的离轴像差. 但上述方法只能对小角度范围的离轴像差进行校正. 针对液态望远镜在宽视角下的观测问题, Moretto和Borra^[6]设计了一种瓶状(Vase)变形镜来校正抛物面镜的离轴像差, 该波前校正器以钢薄板为镜面材料, 但由于固体材料的特性, 产生最大行程小于1 mm, 而且空间校正频率低, 所以未能得到实际应用. 利用动态波前校正器可实现对视场像差的实时校正, 其在自适应光学和主动光学系统中已得到广泛的应用, 主要包括液晶空间相位调节器和固态变形镜. 但这类波前校正器的动态调整范围普遍较小, 难以实现百微米级以上的大视场像差校正^[9]. 相比传统波前校正器, 本文设计的磁液变形镜(magnetic fluid deformable mirror, MFDM)具有超大的变形行程和驱动器间行程, 能够满足液体望远镜大像差校正需求.

本文结合凸面镜和磁液变形镜来共同校正液体望远镜的超大离轴像差. 首先, 根据离轴像差特性设计凸面反射镜用于低阶静态像差的初步补偿, 然后设计磁液变形镜结构, 并结合其镜面模型提出一种基于Youla参数化的自适应控制方法, 以进一步校正静态残余像差和动态扰动像差, 最后搭建实验平台验证校正系统的有效性.

液体望远镜大角度下离轴像差主要由离焦、像散和彗差组成^[10]. 本文以直径3 m、焦比f/4液体望远镜为例在ZEMAX中模拟离轴像差, 其中入射光波长设置为635 nm, 离轴角15°. 由于Zernike多项式的第1—3项可通过调整光学元件的角度和位置来消除, 故本文主要研究其第4—13项的系数. 模拟仿真离轴像差的Zernike多项式系数如表1所列, 其离焦系数Z₄、像散系数Z₆和彗差系数Z₇明显大于其他项. 如图1(a)所示为像差的点列图, 也可发现明显的像散和彗差特征. 基于Zernike多项式的系数, 在MATLAB中进行波前重构, 仿真结果如图1(b)所示, 可知离轴像差PV值约为10000波, 即6.35 mm左右.

根据上述分析可知, 液体望远镜离轴观测产生的静态像差幅值较大, 此外, 旋转机构的振动等干扰也会使镜面波动产生小幅值的动态像差. 因此, 本文设计了一种基于凸面镜和磁液变形镜相结合的Paul-Baker像差校正系统, 光路如图2所示. 光束以15°的入射角照射到液体望远镜表面, 反射后的光束经凸面镜初步校正后再经过一组扩束镜将光斑扩束到合适尺寸, 并通过平面反射镜引导至磁液变形镜表面进行残余像差校正. 校正后的光束经同一平面镜至采集光路中, 经缩束镜、分光镜后分别进入相机和波前传感器, 波前传感器探测残余波前像差数据. 控制器根据像差数据计算产生相应的控制信号, 进而对每个驱动线圈输入相应的控制电流, 磁液变形镜在微型线圈产生的扰动磁场作用下产生变形, 实现对波前像差的校正.

Paul首次引入两个球面镜来校正抛物面主镜的球差和彗差, 后经过Baker改进, 通过适当降低双镜系统的边缘, 可以校正三阶像差和五阶球差^[11]. 本文基于Paul-Baker校正系统设计凸面镜来校正离轴像差中的部分静态像差, 考虑到非球面镜的加工难度, 因此本文设计的凸面镜为球面镜. 凸面镜的校正效果与其直径、曲率半径、位置及倾斜角度相关, 通过ZEMAX对相关参数进行优化, 优化后的凸面镜曲率半径为3500 mm, 直径为600 mm, 与液态望远镜垂直距离为10400 mm, 偏离光轴2860 mm, 与光轴夹角呈60°.

经凸面镜校正后的像差Zernike多项式系数如表2所示. 可见代表低阶像差的离焦系数Z₄, 像散系数Z₆和彗差系数Z₇与表1对应项相比都有显著减小, 而高阶项则有所增大, 这是因为凸面镜校正器引入了部分高阶像差. 经凸面镜校正后像差点列图如图3(a)所示, 点列图符合彗差特征. 为了分析校正后离轴像差的幅值特性, 在MATLAB中对校正后的像差进行波前重构, 如图3(b)所示, 可知残余像差约1600波, 幅值为1016 μm. 残余像差将用磁液变形镜进一步校正.

磁液变形镜是一种新型波前校正器, 相比于传统的液晶空间光调制器和固态变形镜, 具有变形行程大、镜面连续光滑、易于扩展等优点. 其通过控制施加于微型线圈的电流, 使磁性液体表面产生与畸变波前相位共轭的反射面, 从而实现像差校正^[12]. 本文设计的磁液变形镜原理如图4所示, 装有磁性液体的圆形容器放置在微型线圈上方, 磁性液体的表面铺设有一层银纳米反射膜, 通过改变微型线圈的控制电流产生扰动磁场使磁性液体表面产生形变. 麦克斯韦线圈产生的大均匀磁场与扰动磁场叠加, 在使线圈的控制电流与表面响应线性化的同时, 增加磁液变形镜的变形行程^[13]. 在此基础上, 可以引入控制算法精准控制磁液变形镜的输出面形.

如图4所示, 假设容器的半径为$ R $, 磁性液体的厚度为$ d $. 在微型线圈的作用下, 镜面上任意一点处产生的变形位移用$ \zeta (r, \theta , t) $表示, 其中$ (r, \theta ) $表示该点的极坐标, $ t $表示时间. 假设驱动线圈在变形镜下方产生的扰动磁场可被理想化为磁势点源$ {\psi }_{j}(t) $, 其中$ j=1, 2, 3, \dots n $, $ n $表示驱动线圈的数量. 根据麦克斯韦方程和流体力学动量守恒定律, 可得到磁液变形镜面的动力学方程为^[14]

其中$ \phi $是速度场的标量势; $ {\psi }^{(i)}(i=1, 2, 3) $分别表示磁液层上方、内部、下方的磁势; $ \rho $是磁液的密度; $ \chi $是磁液的磁化率; $ {B}_{0} $表示麦克斯韦线圈产生的磁感应强度; $ \sigma $是磁液的表面张力系数; $ g $表示重力加速度.

求解上述方程, 结合像差校正系统的离散采样特性, 磁液变形镜模型的离散状态空间表达式可表示为^[14]

其中$ \boldsymbol{u}(k) = [{\psi }_{1}, {\psi }_{2}, \cdots , {\psi }_{J}]_{(1\times J)}^{\text{T}} $是输入的磁势矢量; $ \boldsymbol{x}(k) $是系统状态向量; $ \boldsymbol{y}(k) = [{\zeta }_{1}, {\zeta }_{2}, \cdots , {\zeta }_{m}]_{(1\times m)}^{\mathrm{T}} $是磁液变形镜在m个控制点的镜面变形矢量; $ {\boldsymbol{A}}_{\mathrm{d}}, {\boldsymbol{B}}_{\mathrm{d}}, {\boldsymbol{C}}_{\mathrm{d}} $为相应的系统矩阵.

基于上述解析模型, 磁液变形镜在驱动线圈产生的扰动磁场和麦克斯韦线圈产生的大均匀磁场的共同作用下, 液面的静态响应近似为:

其中$ h $表示磁性液体表面的变形量; $ {b}_{z} $表示微型线圈在镜面产生的磁感应强度; $ \mu =(1+\chi ){\mu }_{0} $为磁液磁导率, $ {\mu }_{0} = 4\text{π}\times {10}^{-7}\text{ T}\cdot \text{m/A} $为真空磁导率. 本文所用磁性液体材料饱和磁化强度为22 mT, 密度为1230 kg/m³, 黏性为5.8 cp (1 cp = 1 mPa·s), 磁化系数为1.78.

由3.2节可知残余像差PV值为1016 μm, 根据相位共轭原理可知磁液变形镜应拟合的面形PV值为508 μm, 则(5)式的单向h量应大于254 μm, 本文取h=300 μm进行磁液变形镜的设计. 设定麦克斯韦线圈在磁液表面产生的磁感应强度$ {B}_{0} $为15 mT, 则微型线圈产生的扰动磁场$ {b}_{z} $应为0.47 mT.

麦克斯韦线圈由上中下三层线圈组成, 为了在其中心区域产生均匀磁场, 上下层线圈与中间层线圈匝数比须满足49∶64^[15]. 根据毕奥-萨伐尔定律, 三层线圈产生的总磁感应强度符合公式:

其中$ {N}_{2} $表示中间层线圈的匝数; $ {R}_{2} $表示中间层线圈的半径; $ I $表示输入电流值.

为了使麦克斯韦线圈在磁液变形镜表面产生15 mT的均匀磁场, 并且均匀磁场足够覆盖磁液变形镜的磁液区域, 本文取R₂=180 mm, 当输入电流I为500 mA时, 可确定N₂为4608匝. 麦克斯韦线圈绕线规格为AWG25, 额定电流为641 mA, 上、中、下层线圈匝数分别为3528, 4608, 3528, 线圈半径R₂为180 mm.

如图5所示为微型线圈结构示意图. 假设线圈轴线与磁液表面相交于点P, 点P与线圈顶端距离设为$ {z}_{1} $, 与线圈底端距离设为$ {z}_{2} $, 微型线圈的内径和外径分别设为$ {r}_{\text{i}} $和$ {r}_{\text{o}} $, 微型线圈的高度设为$ L $, 则无磁液的情况下P点处产生的磁感应强度可由以下公式得出:

根据扰动磁场0.47 mT的设计需求, 设定磁性液体的厚度为1 mm, 同时考虑容器壁厚度, 设定P点与微型线圈顶端之间的距离z₁ = 2 mm, 线圈的高度L = 8 mm, 取线圈的内半径r_i = 1 mm, 外半径r_o = 2 mm. 微型线圈的绕线规格为AWG33, 匝数为330, 额定电流为101 mA, 内、外径分别为2和4 mm, 高度为8 mm.

考虑到微型线圈的排列方式和数量会直接影响磁液变形镜的拟合精度. 微型线圈的排列方式有正方形和正六边形两类, 在线圈数量相同情况下, 正六边形排列拟合精度更高. 本文采用残余波前像差RMS表征拟合精度, 其公式如下:

其中$ \boldsymbol{y} $和$ {\boldsymbol{y}}^{\prime} $分别是磁液变形镜在m个采样点上的镜面变形量和待校正量. 为满足校正目标, 本文选取残余像差的RMS值小于λ/10.

为了确定合适的微型线圈数量, 通过MATLAB求解不同线圈数量正六边形排列的对应磁液变形镜拟合精度, 如图6所示, 线圈数量越多, 拟合精度越高. 当线圈增加到631个时, 拟合精度可满足要求, 继续增加线圈数量, 拟合精度无明显提升, 故选取微型线圈数量为631个.

基于COMSOL/Multiphysics仿真软件, 模拟麦克斯韦线圈和微型线圈的磁场分布如图7所示. 为了验证磁液变形镜的控制效果, 在COMSOL和MATLAB中进行联合仿真, 对麦克斯韦线圈通入523 mA电流, 微型线圈输入100 mA电流, 对应镜面的静态响应如图8所示, 与通过(5)式求解的变形量符合. 残余像差波前如图9所示, 校正结果满足精度要求.

随着变形镜技术的发展, 相关控制算法也得到了广泛研究, 例如LQG控制器^[16,17]、$ {H}_{\mathrm{\infty }} $鲁棒控制器^[18]和PID控制器^[19,20]等在自适应光学的像差校正中均取得了良好的效果. 然而液体望远镜在离轴观测时, 除存在大幅值静态像差外, 还受到旋转机构振动及气流扰动等干扰影响产生动态像差. 这类动态像差通常包含具有带限特性的随机干扰和窄带特性的确定性干扰, 而上述控制方法在抑制未知确定性干扰时效果有限. 因此, 本文设计一种Youla参数化自适应控制器应用于磁液变形镜控制, 相比于传统的控制方法, 基于Youla参数化的自适应控制算法对有限带宽随机干扰和窄带确定性干扰同时具有很好的抑制能力.

在凸面镜对离轴像差进行初步校正后, 基于磁液变形镜模型设计Youla参数化自适应控制器以校正残余像差. 由于磁液变形镜为多输入多输出系统, 各通道之间存在耦合, 考虑到磁液变形镜低频保持特性, 本文采用直流增益解耦方法. 变形镜系统G的直流增益为$ {\boldsymbol{G}}_{0}={\boldsymbol{C}}_{\mathrm{d}}{(\boldsymbol{I}-{{\boldsymbol{A}}_{\mathrm{d}}})}^{-1}{\boldsymbol{B}}_{\mathrm{d}} $, 则解耦后的系统为$ {\boldsymbol{G}}^{\prime}=\boldsymbol{G}_{{0}}^{{-1}}\boldsymbol{G} $. 直流增益解耦后, 针对每个独立通道分别设计自适应控制器. 假设有n个通道, 第i个通道的控制器定义为K_i, 则解耦系统的控制器可表示$ \bar{\boldsymbol{K}}={[{{K}_{1}}, {{K}_{2}}, \cdots {{K}_{n}}]}^{\text{T}} $. 系统的闭环控制框图如图10所示, 广义系统的控制器为$ \boldsymbol{K}=\bar{\boldsymbol{K}}\boldsymbol{G}_{0}^{-1} $.

由于驱动器正六边形排列具有对称性, 所以直流增益解耦后的系统单通道离散模型基本相似, 可表示为

其中$ w(k) $是对应通道需要校正的畸变波前, $ u(k) $是控制器的输出, $ e(k) $是残余畸变波前, A, B, C是对应的系统矩阵.

由于动态像差具有未知且时变的特性, 本文为每个通道设计基于Youla参数化的自适应控制器. 自适应控制器的设计可分为三个步骤: 第一步设计基控制器以抑制带限随机干扰, 第二步对基控制器增广Q参数形成全局稳定的控制器, 最后基于RLS在线调谐Q参数收敛到期望值实现对窄带确定性干扰的抑制. 控制系统框图如图11所示.

全局稳定控制器主要由J模块和Q模块组成, 其中J模块可表示为

上式中, K为状态反馈增益矩阵, L为观测器增益矩阵, 可采用LQG控制器设计方法获得. Q模块采用加权Ritz型Q参数:

其中$ H(z) $为调节$ Q(z) $动态性能的稳定器. 令$ {q}^{-l} $表示$ l $步时间延迟因子, 定义$ {\overline{Q}}_{k}=\displaystyle\sum\nolimits_{i=1}^{{n}_{q}}{\theta }_{i}(k-1){q}^{1-i} $和$ {Q}_{k}={\overline{Q}}_{k}H({q}^{-1}) $, 则性能变量$ e(k) $可以表示为

其中

$ r(k) $作为$ J $模块的输出之一, 可在每一步计算得到. 令$ {\boldsymbol{\theta }}^{0} $表征期望Q参数值, 对应的性能变量为$ {e}^{0}(k) $, 定义自适应误差:

则可得$ \tilde{e}(k)={\boldsymbol{\phi }}^{\text{T}}(k)\tilde{\boldsymbol{\theta }}(k)+{e}^{0}(k) $, 其中:

采用带时变遗忘因子的递归最小二乘法调谐Q参数, 可得

其中$ \boldsymbol{P}(k) $为自适应增益, $ \lambda (k) $为遗忘因子, 且满足$ 0 \lt \lambda (k)\leqslant 1 $, 根据不同的干扰特性选取不同的$ \lambda (k) $. 自适应算法可将Q参数收敛到期望值从而同时实现对静态像差和未知动态干扰像差的校正.

为了验证基于凸面镜和磁液变形镜相结合的Paul-Baker系统对离轴像差的校正能力, 本文设计并制作了直径30 cm、焦比f/4的小型液体反射镜, 并根据3.1节所述方法优化设计曲率半径为300 mm的凸面镜. 分析凸面镜校正后的像差可知, 其RMS值为53.9 μm, PV值达240 μm, 则磁液变形镜产生的镜面行程需大于60 μm, 取100 μm行程作为设计目标. 针对凸面镜校正后的像差, 经拟合计算得37个微型线圈驱动的磁液变形镜可使残余像差RMS值降为86 nm. 因此为验证校正系统的设计方案和磁液变形镜控制算法的有效性, 设计37个微型线圈驱动的磁液变形镜原型样机如图12所示. 其中麦克斯韦线圈绕线规格为AWG25, 额定电流为641 mA, 上、中、下层线圈匝数分别为883, 1152, 883, 线圈半径R₂为100 mm, 微型线圈绕线规格为AWG36, 匝数为496, 额定电流为50 mA, 内、外径分别为2和4 mm, 高度为8 mm.

为了分析磁液变形镜镜面响应特性, 使用Polytec OFV5000/552和Polytec VIB-A-T31测量中心微型线圈(#1)驱动镜面输出点的变形量. 设定麦克斯韦线圈的驱动电流为500 mA, 每隔10 mA向中心微型线圈施加电流测得输出点变形量如图13所示, 可知中心线圈输出点镜面响应与驱动电流呈线性关系, 且峰值变形量达到双向100 μm以上. 图14所示是验证磁液变形镜在微型线圈镜面对应点处响应的线性叠加结果, 其中保持麦克斯韦线圈电流值不变. 图14(a)中, “○”标记的点表示中心线圈(#1)分别输入20和–10 mA电流时的镜面响应, 其对应的响应曲线算术叠加结果以红色实线表示, 绿色虚线表示该线圈在输入电流为10 mA时的镜面响应. 图14(b)中, “×”标记的点分别表示#1线圈和其右侧的#2线圈在输入电流分别为–10 mA和20 mA时产生的镜面响应, 红色实线为这两种响应的算术叠加结果, 绿色虚线为两线圈同时加载相应电流时测得的镜面响应.

图14实验结果表明, 单一线圈影响函数面形近似为高斯形, 相邻线圈耦合系数为35%, 两种情况下红色实线和绿色虚线都基本重合, 结合图13可知, 磁液变形镜不仅在单线圈驱动下正上方输出点响应与输入电流呈线性关系, 其整个镜面面形各点的响应同样与输入电流保持线性关系, 并且不同驱动器之间的响应输出满足线性叠加原理. 因此, 本文设计的磁液变形镜具有镜面线性响应特性和大行程校正能力, 可采用广泛应用于固态变形镜的线性控制方法进行有效控制.

根据图2设计的液体望远镜离轴像差校正系统搭建如图15所示实验平台. 实验平台由激光源、平面镜、液体反射镜、凸面镜、扩束镜、缩束镜、分光镜、波前传感器、CCD相机和控制系统组成. 激光源可产生波长为635 nm的光束, 通过调整准直器使激光以扇形发射, 利用平面反射镜Ⅰ将光束以5°入射角照射到液体望远镜表面, 此时光束大小基本覆盖液体镜面, 反射后的光束经凸面镜校正后再经过一组扩束镜将光斑扩束到合适尺寸, 并通过平面反射镜Ⅱ引导至磁液变形镜表面进行残余像差校正. 校正后的光束再经平面反射镜Ⅱ至采集光路中, 经缩束镜、分光镜后分别进入CCD相机和波前传感器, CCD相机用于实时捕获光斑便于观察校正效果, 波前传感器探测残余波前像差数据. 控制器根据像差数据计算产生相应的控制信号, 通过驱动电路对每个线圈输入相应的控制电流, 磁液变形镜在通电微型线圈产生的扰动磁场作用下产生变形, 实现对波前像差的校正.

为了验证校正光路中所设计的凸面镜对静态像差的校正能力, 通过CCD相机捕获校正前后的光斑图, 如图16所示. 通过对比校正前后的光斑图可知, 凸面镜校正后的光斑相较于校正前更集中. 考虑到凸面镜校正后的光斑仍含有部分像差, 将使用磁液变形镜结合自适应控制算法进一步校正残余像差.

由于凸面镜校正后的残余像差PV值仍有240 μm, 超出WFS150-5 C波前传感器的最大探测范围, 考虑到残余像差包括高阶静态像差和由旋转机构振动及外界干扰等因素引起的动态像差, 其中静态像差具有固定波前, 可通过对微型线圈输入偏置电流以降低对应输出点的像差幅值, 从而预校正静态像差, 偏置电流值可通过磁液变形镜解析模型求出. 校正后残余像差则可利用波前传感器探测, 某一时刻的波前如图17所示. 取波前传感器获得的残余像差作为校正对象, 利用Youla参数化自适应控制器驱动37个微型线圈进行像差校正.

为了验证自适应控制算法的有效性, 选取图12中#1, #2, #15, #25四组通道对应的波前像差作为研究对象, 图18为开环和闭环控制的残余像差时域图, 其中#1, #2, #15, #25对应输出点的动态波前像差幅值分别约为9 μm, 8.5 μm, 4.5 μm和8 μm, 经自适应控制器驱动对应线圈进行校正, 校正后的波前像差RMS值下降至0.18 μm. 如图19所示为四组通道对应的PSD图, 可知位于0.6 Hz和1.2 Hz处确定性干扰分别降低了30 和 21 dB, 低频段的随机干扰也有显著降低. 本文中每个通道的自适应控制器Youla参数$ \theta $包含8个未知参数, 图20为四个通道对应$ \theta $值的收敛情况, 可知四个通道的$ \theta $值逐渐收敛到期望值.

校正后的波前图和光斑图如图21所示, 经磁液变形镜校正后的波前像差值相比于未校正之前显著降低, 同时, 校正后的光斑更为集中. 上述结果表明, 本文设计的离轴像差校正系统能够有效地校正液体望远镜的离轴像差.

本文设计了一种基于凸面镜和磁液变形镜相结合的Paul-Baker像差校正系统用于校正液体望远镜的离轴像差. 首先优化设计凸面镜以校正低阶静态大离轴像差, 然后针对残余像差特性设计了磁液变形镜, 并结合磁液变形镜镜面模型, 设计了一种基于Youla参数化的自适应控制器, 以校正未知的静态残余像差和动态时变像差, 最后搭建面向小型旋转液体反射镜的离轴像差校正系统进行实验验证, 实验结果显示, 所设计的磁液变形镜可实现超100 μm的大行程变形, 并将波前RMS误差从53.9 μm有效降低至0.18 μm, 结果表明, 所设计的基于磁液变形镜像差校正系统以及自适应控制器对液体望远镜的离轴像差具有很好的校正能力.