近年来, 非厄米理论的引入为研究开放体系中的非守恒动力学提供了新的理论框架, 并在光学领域得到了验证与系统发展^[1]. 自2007年El-Ganainy等^[2]在Optics Letters中首次通过对比薛定谔方程与亥姆霍兹方程, 将量子力学的数学框架引入经典光学问题以来, 光学体系逐渐发展成为研究非厄米效应的重要平台. 不同于传统厄米系统中能量守恒、谱线实数的封闭动力学, 非厄米光学系统通过引入增益与耗散的非平衡机制, 使得系统的本征值谱呈现出复数本征值^[3,4], 进而产生一系列独特的光学现象, 如单向透明性^[5]、非互易传输^[6]以及由奇异点导致的超灵敏响应^[7,8]等现象. 在众多非厄米体系中, 宇称-时间(parity-time, PT)对称系统是最早实现非厄米动力学的典型平台^[2]. 当系统折射率满足条件$ n(r) = {n^*}( - r) $时, 系统的复折射率关于空间反演对称, 相应哈密顿量算符与PT算符对易, 该条件保证了在一定参数区间内, 系统本征谱仍保持实数, 从而形成非厄米体系中的“PT对称未破缺相”. 当增益与耗散失衡超过临界点时, 系统发生PT对称自发破缺, 进入“破缺相”, 本征值变为复数, 并出现能量放大或衰减过程^[1,4]. 然而, 传统PT对称结构普遍依赖于严格平衡的增益与耗散, 在实际器件实现中面临较大挑战^[9]. 一方面, 增益介质引入的自发辐射噪声会显著降低信噪比^[10]; 另一方面, 实现PT对称要求增益和耗散在幅度以及空间分布上高度匹配^[11], 在实验器件中很难精确控制. 增益介质通常由受激辐射提供, 其增益幅度会受温度、载流子浓度等因素影响, 而泵浦过程的线性响应也难以保证; 而耗散介质则由吸收或散射引起^[12], 其精确度和响应线性亦难以保证, 导致增益-耗散不对称的微小偏差即可打破PT对称条件. 为克服传统PT对称结构的局限性, 研究者将非线性效应引入非厄米光学体系^[13,14], 非线性介质中的光场相互作用为能量在不同频率通道间的交换提供了额外自由度^[15], 使得系统在无需精确增益补偿的情况下即可实现有效能量传递与动态对称性调节^[16,17]. 并提出了无需外加增益结构构建反PT对称体系^[18-20], 其哈密顿量满足反对易关系$ \{ \hat{{H}}, \hat{{P}}\hat{{T}}\} = 0 $, 这类系统可通过非对称耗散实现非平衡耦合, 从而在无增益条件下产生与PT体系相似的谱分裂与放大特性. 与常规PT体系相比, 反PT结构的实现更具稳定性和器件兼容性, 在片上集成、低噪声放大及非互易传输等方向展现出潜力^[21-23]. Roy等^[24]提出了基于光学参量振荡器的反PT系统, 该体系利用相敏参量放大实现无噪声的非厄米动力学, 展现出超高灵敏度响应与可调增益带宽的特性. Castaldi等^[25]则将反PT理论推广至复坐标变换框架下, 提出了PT变换介质模型, 为实现超材料中非厄米调控提供了数学基础. 尽管上述工作为反PT对称光学器件的实现奠定了重要基础, 但耗散不对称性与相位失配在决定反PT对称体系放大动力学中的协同作用仍缺乏系统理解, 特别是在四波混频(four-wave mixing, FWM)过程、双泵浦调制以及实际耗散约束的条件下, 其对放大阈值、增益带宽与能量流分布的影响机制尚未得到全面揭示.

为此, 本文建立了包含耗散项的FWM理论模型, 提出并验证了一种基于双泵浦协同调制的反PT对称放大机制. 通过引入归一化参数, 系统分析了不同耗散分布条件下体系本征值谱的演化规律, 重点考察了耗散非对称性对增益带宽的调控作用, 以及泵浦强度在耗散对称条件下对放大行为的影响. 研究结果表明, 均衡的双泵浦配置能够显著拓展体系的反PT对称相区域, 而相位失配的增大会导致该区域逐渐缩小. 当耗散非对称性接近临界值时, 体系发生相变并转入由对称性破缺主导的全局放大态. 上述结果不仅揭示了反PT对称放大过程中泵浦均衡与相位失配之间的竞争关系, 也为无增益条件下非厄米光学放大器的设计提供了理论依据与工程参考.

FWM作为典型的三阶非线性过程, 可通过介质的三阶极化率在多光场间实现能量交换. 当体系中引入光学耗散时, 其动力学呈现非厄米特性, 从而使能量流与放大过程具备可调控性. 本文基于含耗散的FWM模型, 在信号光与闲频光之间引入不对称耗散构建反PT对称结构, 以此作为研究非厄米对称性调控的分析平台. 在缓变包络近似下, 传统的FWM耦合波理论可描述泵浦光、信号光与闲频光的演化. 引入耗散后, 信号光与闲频光的振幅不仅受到三阶非线性耦合项影响, 同时也受到其各自耗散项的调制. 特别是在强泵浦条件下, 两束泵浦光振幅$ {E_{{\mathrm{p}}1}} $和$ {E_{{\mathrm{p}}2}} $可视为常数, 此时系统的主要演化由信号光振幅$ {E_{\mathrm{s}}} $与闲频光振幅$ {E_{\mathrm{i}}} $决定. 由此, 可将演化方程进一步化简为

其中$ {E_{{{\mathrm{p}}_1}}}, {E_{{{\mathrm{p}}_2}}} $为两泵浦光振幅; $ {E_{\mathrm{s}}}, {E_{\mathrm{i}}} $为信号光和闲频光的振幅; $ {\kappa_{\mathrm{s}}}, {\kappa_{\mathrm{i}}} $分别为信号光和闲频光的耦合系数; $ {\gamma_{\mathrm{s}}}, {\gamma_{\mathrm{i}}} $分别为信号光和闲频光的耗散系数; β是相位失配量, 满足$ \beta = {\beta_1} + {\beta_2} - {\beta_3} - {\beta_4} $. 该模型为后续研究耗散不对称性与反PT对称性对增益带宽、稳定性及放大行为的影响奠定了基础.

为了使系统简化, 我们进行规范变化$ [{\psi_{\mathrm{s}}}(z), {\psi_{\mathrm{i}}}(z)] = [{E_{\mathrm{s}}}(z), {E_{\mathrm{i}}}(z)]{{\mathrm{e}}^{ - {\mathrm{i}}\tfrac{{ \beta }}{2}z}} $去除快速振荡项^[20], 进而(1)式可以写成

在第二个方程中引入复共轭操作, 是为了确保耦合波方程构成一个在数学上封闭的系统. 基于(2)式, 耦合波方程可以写成紧凑的哈密顿形式($ \hbar=1 $):

态矢量$ {\boldsymbol{\psi}}(z) $由信号场与闲频场的复共轭振幅构成, 对应的有效哈密顿量为

在这一表示中, 对角项描述了体系的耗散与相位失配贡献, 而非对角项则表示由泵浦光与信号场和闲频场之间的非线性耦合. 在此表示中, 体系的放大、衰减以及模式耦合性质由$ \hat{{H}} $的本征值决定. 其本征值可写为

其中$ {\gamma_ \pm } = {\gamma_{\mathrm{s}}} \pm {\gamma_{\mathrm{i}}} $. 临界相位失配参数定义为$ {\beta_{\mathrm{c}}} = 2\sqrt {{\kappa_{\mathrm{s}}}{\kappa_{\mathrm{i}}}{{\left| {{P}} \right|}^2}} $决定了反PT对称体系由对称相区域向破缺相区域转变的边界.

未耗尽泵浦近似下, 泵浦场的幅度被视为时间不变, 因此不参与系统的动力学演化. 在该近似条件下, 系统的有效哈密顿量对信号光和闲频光自由度呈线性形式, 从而可以采用动力学求解方法. $ {\mathrm{i}}\dfrac{{\mathrm{d}}{\boldsymbol{\psi}}}{{\mathrm{d}}z} = \hat{{H}}{\boldsymbol{\psi}} \Rightarrow {\boldsymbol{\psi}}(z) = {{\mathrm{e}}^{ - {\mathrm{i}}\hat{{H}}z}}{\boldsymbol{\psi}}(0) $, 本征方程$ \hat{{H}}{\boldsymbol{\psi}} (\lambda ) = \lambda {\boldsymbol{\psi}} (\lambda ) $. 将初始态在本征态上展开$ {\boldsymbol{\psi}}(0) = \displaystyle\sum\nolimits_n {{c_n}} {\boldsymbol{\psi}}(\lambda ) $可以推导出哈密顿量的解$ {\boldsymbol{\psi}}(z) = {{\mathrm{e}}^{ - {\mathrm{i}}\hat{{H}}z}}{\boldsymbol{\psi}}(0) = {{\mathrm{e}}^{ -{\mathrm{i}}\hat{H}z}}\displaystyle\sum\nolimits_n {{c_n}} {\boldsymbol{\psi}}(\lambda ) = \displaystyle\sum\nolimits_n {{c_n}} {\boldsymbol{\psi}}(\lambda ){{\mathrm{e}}^{ - {\mathrm{i}}\lambda z}} $, 本征值还可以写成$ \lambda = {\rm{Re}} (\lambda ) + {\rm{Im}} (\lambda ) $. 因此, 解可以写成

式中, 相位因子部分$ {{\mathrm{e}}^{ - {\mathrm{i}}{\rm{Re}} (\lambda )z}} $, 仅表示波的相位随传播距离演化, 不会导致放大或者衰减. 放大/衰减因子部分$ {{\mathrm{e}}^{{\rm{Im}} (\lambda )z}} $, 可以看出$ {\rm{Im}} (\lambda ) \gt 0 $则该项随传播距离增长, 若$ {\rm{Im}} (\lambda ) \lt 0 $则该项随传播距离衰减. 因此放大/衰减的本质来源于哈密顿量本征值的虚部.

二能级哈密顿量经过时间空间操作后可以写成

可以看出, 当$ \beta = 0, {\gamma_{\mathrm{s}}} = - {\gamma_{\mathrm{i}}}, {\kappa_{\mathrm{s}}} = - {\kappa_{\mathrm{i}}} $时满足$ {(\hat{{P}}\hat{{H}}\hat{{P}})^*} = \hat{{H}} $, 虽然理论上可以构造PT对称哈密顿量, 但实际信号波和闲频波在实际材料中通常都经历吸收, 即$ {\gamma_{\mathrm{s}}} \gt 0, {\gamma_{\mathrm{i}}} \gt 0 $两者都是耗散, 无法做到一个增益一个耗散, 导致PT对称系统难以在实际材料中实现; $ {\gamma_{\mathrm{s}}} = {\gamma_{\mathrm{i}}},\; {\kappa_{\mathrm{s}}} = {\kappa_{\mathrm{i}}} $时满足$ {(\hat{{P}}\hat{{H}}\hat{{P}})^*} = - \hat{{H}} $这种反PT对称结构在材料和实验中更容易实现.

为了方便统一绘图与分析, 可以将不同系统映射到相同的参数空间比较, 需要将原始参数归一化处理, 这里引入参考泵浦量$ {P_0} = {E_{{\mathrm{p}}1, 0}}{E_{{\mathrm{p}}2, 0}} $, $ E_{{\mathrm{p}}1}^NE_{{\mathrm{P}}2}^N = {P}/{{{P_0}}} $, 并以此定义体系的特征耦合频率$ \varGamma = \sqrt {{\kappa_{\mathrm{s}}}{\kappa_{\mathrm{i}}}{P_0^2}} $. 该量由信号光与闲频光之间的非线性耦合系数$ {\kappa_{\mathrm{s}}}, {\kappa_{\mathrm{i}}} $以及参考泵浦量决定, 反映了体系的典型耦合时间尺度, 因而可作为系统动力学的自然标度. 采用Γ对所有参数进行归一化后, 体系方程可写成无量纲形式, 从而建立统一的反PT对称性参数空间. 在此基础上, 文中对主要物理量进行了归一化: 相位失配量$ {\beta ^N} = \beta /\varGamma $及$ \beta_{\mathrm{c}}^N = {\beta_{\mathrm{c}}}/\varGamma $, 耦合系数$ \kappa_{{\mathrm{s, i}}}^N = {\kappa_{{\mathrm{s, i}}}}/\varGamma $, 信号光、闲频光耗散系数$ \gamma_{{\mathrm{s, i}}}^N = {\gamma_{{\mathrm{s, i}}}}/\varGamma $, $ \gamma_ \pm ^N = \gamma_{\mathrm{s}}^N \pm \gamma_{\mathrm{i}}^N $在以上归一化处理之后, 对应的哈密顿量本征值表示为归一化形式$ \lambda_ \pm ^N $. 该归一化方法为不同体系之间提供一致、可扩展的表示方式, 有助于在更广泛参数空间内进行直接对比.

接下来基于非厄米哈密顿量的本征值结构, 来理解非厄米参量下转换系统的行为特征. 在反PT对称约束下, 哈密顿量的本征值可以表示为

如图1所示, 在归一化参数$ \gamma_{{\mathrm{i, s}}}^N = 1.0,\; \kappa_{{\mathrm{i, s}}}^N = 1.0,\; {|E_{{\mathrm{p}}1}^N|} = {|E_{{\mathrm{p}}2}^N|} = 1.0 $条件下绘制的反PT对称系统的本征值谱, 其中虚线表示$ {\rm{Im}}(\lambda_\pm^N) $, 实线表示$ {\rm{Re}}(\lambda_\pm^N) $. 当$ |\beta^N| <{|\beta_{\mathrm{c}}^N}| $时系统处于反PT对称相(阴影区域), 此时本征值可以写成$ {\lambda_ \pm^N } = \dfrac{1}{2}[ - {\mathrm{i}}{\gamma_ + ^N} \pm {\mathrm{i}}\sqrt {(\beta_{\mathrm{c}}^N)^2 - {(\beta^N) ^2}} ] $, 在该相区域内本征值虚部分离, 信号波与闲频波之间发生相干振荡式能量交换; 若$ {\gamma_ +^N }<\sqrt {(\beta_{\mathrm{c}}^N)^2 - {(\beta^N) ^2}} $则$ {\rm{Im}} ({\lambda_ +^N }) \gt 0 $系统表现为放大, 反之衰减. 当$ |\beta ^N |> {|\beta_{\mathrm{c}}^N}| $时系统过渡到反PT对称破缺相(非阴影区域), 虚部完全由$ - {{\rm i}{\gamma_ +^N}}/2 $决定, 由于$ {\gamma_{{\mathrm{s, i}}}^N} \gt 0 $所以$ {\rm{Im}} ({\lambda_ \pm^N })<0 $, 表明体系进入反PT对称的破缺相区域, 放大过程随之终止. 临界条件$ \beta^N = \pm \beta_{\mathrm{c}}^N $对应体系的相变点(EPs), 此时本征值与本征矢量发生合并, 构成对称相与破缺相的分界.

在采用与图 1相同的归一化参数, 并取$ \gamma_{\mathrm{s}}^{N} = \gamma_{\mathrm{i}}^{N} = \gamma^{N} $的条件下, 临界值为$ {\beta_{\mathrm{c}}^N = 2.0} $. 由(8)式可知, 在归一化参数下, 放大-衰减边界可写为$ \left| {{\beta ^N}} \right| = \sqrt {{{(\beta_{\mathrm{c}}^N)}^2} - 4{{({\gamma ^N})}^2}} $, 该表达式对应于图 2(a)中阴影区域内的虚线. 在反PT对称相区域内, 只有满足$ {\gamma_ +^N }<\sqrt {(\beta_{\mathrm{c}}^N)^2 - {(\beta^N) ^2}} $条件时, 系统才处于反PT对称放大相; 反之处于反PT对称不放大相, 其最大增益带宽为$ 2\beta_{\mathrm{c}}^{N} $. 为定量描述耗散对放大的影响, 定义增益函数为

如果$ \sqrt{(\beta_{\mathrm{c}}^N)^2 - (\beta^N)^2} - \gamma_+^N \gt 0 $, 那么就取$ \dfrac{1}{2} \left [ \sqrt{(\beta_{\mathrm{c}}^N)^2 - (\beta^N)^2} - \gamma_+^N \right] $, 反之结果取0, 图 2(b)中虚线表示无耗散, 实线表示$ \gamma_{{\mathrm{i, s}}}^N = {\gamma ^N} = 0.5 $情形, 点线对应耗散为$ \gamma_{{\mathrm{i, s}}}^N = {\gamma ^N} = 1.0 $. 在$ | {{\beta ^N}} | = 2.0 $的参数区间内, 增长率呈现近似半椭圆分布, 并在$ | {{\beta ^N}} | = 0 $处取得最大值. 当$ | {{\beta ^N}} | $接近EPs值($ | {{\beta ^N}} | = 2.0 $)时, 增益函数出现陡升, 表明系统在EPs附近对参数变化高度敏感, 其放大行为发生明显改变. 随着耗散强度的增加, 各增益曲线整体下移, 显示出放大效应受到逐步抑制. 当满足$ \gamma_+^N \geqslant \beta_{\mathrm{c}}^N $时, 增益完全变为非正值, 说明过大的耗散将完全抑制放大效应, 即便在EPs处也不再产生放大.

进一步考察非对称耗散的影响. 非对称耗散会显式破坏反PT对称性, 从而改变系统的放大特性. 当$ {\gamma_{\mathrm{s}}^N} \ne {\gamma_{\mathrm{i}}^N} $或$ {\kappa_{\mathrm{s}}^N} \ne {\kappa_{\mathrm{i}}^N} $时开放系统是反PT对称性破缺系统, 本征值为

当$ {\rm{Im}} ({\lambda_ +^N }) \gt 0 $系统中对应的信号波束随传播距离呈指数增长, 表现为明显的放大行为; 反之信号波束则逐渐衰减.

图 3给出了随着耗散对称性的破坏, 反PT破缺系统中放大区域随参数变化的分布情况. 保持图 1的归一化设定, 仅调节$ {\gamma_{\mathrm{i}}}^N $以引入耗散非对称性, 并观察其对放大区域的影响. 图中阴影区域对应$ {\rm{Im}} (\lambda_ + ^N)>0 $, 表明系统处于破缺放大态, 信号波能够在传播过程中获得净放大; 非阴影区域满足$ {\rm{Im}} (\lambda_ + ^N) \lt 0 $, 此时系统处于破缺不放大的衰减态. 可以看出, 即使反PT对称性条件被打破, 系统仍然能够在一定参数范围内维持稳定的信号放大行为. 这一结果表明, 反PT对称放大机制对耗散不对称性具有一定的鲁棒性. 在此情况下, 放大行为不再由两个本征模共同调控, 而主要由其中单一主导模决定. 进一步比较对称耗散(图 2(a))与非对称耗散(图 3)的情况可以看出, 降低总耗散量$ {\gamma_{\mathrm{i}}}^N + \gamma_{\mathrm{s}}^N $将显著扩大放大区域. 此外, 反PT破缺系统不仅能够实现信号放大, 还呈现更宽的放大带宽. 其根源在于反PT破缺系统中的相干抑制机制, 模间的周期性交换能量过程被破坏, 能量沿耗散较小的模单向注入, 从而形成稳定的放大通道.

耗散不对称度$ \Delta {\gamma ^N} = \gamma_{\mathrm{s}}^N - \gamma_{\mathrm{i}}^N $是调控放大带宽的关键参数. 在固定总耗散$ \gamma_{\mathrm{s}}^N + \gamma_{\mathrm{i}}^N = 2.0, \left| {E_{{\mathrm{p}}1}^N} \right| = \left| {E_{{\mathrm{p}}2}^N} \right| = 1.0,\; \kappa_{{\mathrm{s, i}}}^N = 1.0 $的条件下, 不同耗散不对称度下系统的放大区域分布如图 4(a)所示. 阴影区域对应$ {\rm{Im}} (\lambda_ + ^N) \gt 0 $的放大态, 而非阴影区域表示$ {\rm{Im}} (\lambda_ + ^N) \lt 0 $的非放大态. 当耗散不对称度$ \Delta {\gamma ^N} $极小(接近零)时, 放大区域几乎完全消失; 随着$ \left| {\Delta {\gamma ^N}} \right| $的增大, 阴影区域沿相位失配方向$ {\beta ^N} $明显扩展, 表明系统能够容许更宽范围的相位失配条件并仍保持放大. 在$ \Delta {\gamma ^N} \gt 0 $时, 信号光的耗散系数较大, 系统优先放大闲频光, 而在$ \Delta {\gamma ^N} \lt 0 $时, 闲频光的耗散系数较大, 系统优先放大信号光. 在耗散高度不对称的极限情形$ \left| {\Delta {\gamma ^N}} \right| \to 2 $, 几乎所有$ {\beta ^N} $取值上均对应放大态. 这展示了反对称性调控对放大区域形态和大小的精细调控作用. 图 4(b)对此趋势进行了定量刻画. 将增益带宽比定义为满足$ {\rm{Im}} (\lambda_ + ^N) \gt 0 $的放大区域在整个相位失配区间的$ {\beta ^N} $内的归一化占比. 可以看到, 该带宽比随$ \left| {\Delta {\gamma ^N}} \right| $的增加单调上升, 并在耗散不对称度达到最大时趋近于1. 该单调增强趋势表明, 耗散越不平衡, 系统可获得的有效放大窗口越宽. 这一现象源于系统中能量更倾向于流向耗散较低的模式, 因此放大主要集中在耗散较小的模式上, 使得系统能够在更大的$ {\beta ^N} $范围内稳定放大. 这一特性反映了系统在耗散不对称情况下的增益带宽的增强. 相关理论推导详见附录A.

在FWM过程中, 增益条件不仅受材料本征色散影响, 也受泵浦强度调控. 在实验上, 后者可直接调谐, 从而提高系统的灵活性和可控性. 理论分析中所有变量均采用归一化(无量纲)形式. 图 5(a)展示了双泵浦强度与相位失配共同决定的放大边界. 双泵浦强度乘积$ {\left| {E_{{\mathrm{p}}1}^NE_{{\mathrm{p}}2}^N} \right|} $划定了放大区(阴影部分)与非放大区(非阴影部分)的分界. 当双泵浦强度乘积(实线)满足(5)式给出的阈值条件$ |E_{{\mathrm{p}}1}^NE_{{\mathrm{P}}2}^N| = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{(\gamma_ + ^N)}^2} + {{({\beta ^N})}^2}} $时, 系统恰好处于净放大与不放大的分界; 只有当两路泵浦强度超过该阈值时, 才能实现净放大. 虚线曲线$ \left| {{\beta ^N}} \right| = \left| {\beta_{\mathrm{c}}^N} \right| $则给出了进入反PT对称相区域的最宽松条件, 但并不保证实现净放大. 图 5(b)给出了三种不同相位失配$ {\beta ^N} = 1.0 $(虚线)、$ {\beta ^N} = 3.0 $(实线)、$ {\beta ^N} = 5.0 $(点线)下的泵浦阈值边界, 展示了$ {\beta ^N} $对相边界的影响. 各曲线以上的区域均对应反PT对称放大区. 可以清晰地观察到, 随着$ {\beta ^N} $的增大, 边界曲线整体向上并向右移动, 意味着更高的阈值, 即需要更大的泵浦强度乘积才能保持在放大区域内. 因此, 放大区域会随着$ {\beta ^N} $的增大而缩小.

在FWM系统中, 每一路泵浦的功率可表示为$ {I_j} = \dfrac{1}{2}{\varepsilon_0}cn{\left| {{E_{{\mathrm{p}}j}}} \right|^2},\; j = 1, 2 $, 其中$ {\varepsilon_0} $, c, n分别为真空介电常数、光速以及介质折射率. 归一化处理后, 常数因子$ \dfrac{1}{2}{\varepsilon_0}cn $被吸收入参考功率中, 归一化泵浦强度写为$ I_j^N = {\left| {E_{{\mathrm{p}}j}^N} \right|^2} $, 表示每一路泵浦的相对功率. 总归一化泵浦功率为$ I_{{\mathrm{total}}}^N = I_1^N + I_2^N = {\left| {E_{{\mathrm{p}}1}^N} \right|^2} + {\left| {E_{{\mathrm{p}}1}^N} \right|^2} $. 根据算术-几何平均不等式

当且仅当$ {I_1^N = I_2^N} $时取等号, 即对应$ {\left| {E_{{\mathrm{p}}1}^N} \right|} = {\left| {E_{{\mathrm{p}}1}^N} \right|} $. 在该条件下, 两路泵浦场的乘积$ E_{{\mathrm{p}}1}^NE_{{\mathrm{P}}2}^N = \sqrt {I_1^NI_2^N} $取得最大值, 从而产生最强放大. 因此, 等功率泵浦在给定总功率$ I_{{\mathrm{total}}}^N $下最大化了泵浦乘积$ {\left| {E_{{\mathrm{p}}1}^NE_{{\mathrm{p}}2}^N} \right|} $.

在图 6中, 横轴表示一路泵浦功率占总功率的比例$ I_1^N/I_{{\mathrm{total}}}^N $, 纵轴表示由$ |E_{{\mathrm{p}}1}^NE_{{\mathrm{P}}2}^N| = \sqrt {I_1^NI_2^N} $给出的放大边界. 实线展示了随着泵浦功率分配的变化, FWM放大的变化趋势; 虚线表示了理论的最优点$ I_1^N/I_{{\mathrm{total}}}^N = 0.5 $, 即等泵浦时系统净放大最大. 当$ I_1^N = 0 $或$ I_1^N = 1.0 $时, 放大趋近于零, 说明极端功率不平衡会抑制FWM放大.

本文围绕反PT对称性调控下的非厄米FWM系统, 系统揭示了其放大机理与性能边界. 主要结论如下: 通过本征值与有效哈密顿量分析表明, 随着相位失配参数$ {\beta ^N} $的变化, 系统在耗散主导的反PT对称破缺区与严格反PT对称区之间发生连续相变, EPs位于$ | {{\beta ^N}} | = | {\beta_{\mathrm{c}}^N} | $. 在反PT对称相$ | {{\beta ^N}} | \lt | {\beta_{\mathrm{c}}^N} | $, 本征值呈复共轭分布, 信号与闲频模式交替增长, 表现为非厄米放大. 在反PT破缺区$ | {{\beta ^N}} | \gt | {\beta_{\mathrm{c}}^N} | $, 本征值实部分裂, 虚部合并且小于0, 能量衰减.

当系统存在耗散不对称或耦合失衡时, 反PT对称性被显式破坏, 放大过程呈现单通道主导特征. 能量优先沿耗散更低或耦合更强的一侧单向传输, 从而显著拓宽放大带宽. 如图4(a)所示: 降低总耗散$ \gamma_{\mathrm{i}}^N + \gamma_{\mathrm{s}}^N $, 可显著扩大放大区间, 提高净放大稳定性; 总耗散适当且增加耗散不平衡$ \left| {\Delta {\gamma ^N}} \right| $时, 在相位失配方向进一步拓宽放大窗口. 当$ \Delta {\gamma ^N} \gt 0 $时, 系统优先放大闲频光, 而当$ \Delta {\gamma ^N} \lt 0 $时, 系统优先放大信号光. 特别地, 当$ \left| {\Delta {\gamma ^N}} \right| \to 2 $时, 系统几乎在整个$ {{\beta ^N}} $范围内保持放大, 表明耗散不对称性在反PT放大过程中具有主导作用. 这些结果展示了耗散工程在非厄米放大器设计中的关键价值.

进一步分析表明, 双泵浦强度与相位失配共同决定放大和非放大区域的边界. 泵浦强度乘积$ \left|E_{{\mathrm{p}}1}^N E_{{\mathrm{p}}2}^N\right| $是区分放大与非放大区域的重要尺度. 随着$ \beta^N $的增大, 放大阈值提高, 需要更大泵浦功率维持净放大. 在固定总泵浦功率$ I^N $下, 根据算术-几何平均不等式, $ \left| E_{{\mathrm{p}}1}^N E_{{\mathrm{p}}2}^N \right| $在对称泵浦条件$ \left|E_{{\mathrm{p}}1}^N\right| = \left|E_{{\mathrm{p}}2}^N\right| $时取最大, 实现最强协同放大. 严重泵浦不平衡会显著抑制放大效率, 由图6可以看出, 泵浦强度的合理分配是提升非厄米FWM放大性能的关键因素. 综上, 反PT对称FWM系统的放大机制由相位失配、总耗散、耗散不对称性以及泵浦对称性多因素协同决定.

本附录对系统满足放大条件$ {\rm{Im}}(\lambda_{+})>0 $的判据进行推导. 系统演化由正文(5)式所给出的有效哈密顿量描述, 以下推导构成图 4所示结果的理论基础. 系统本征值可从特征多项式写为

其中

复平方根的实部与虚部可表示为

上述结果给出本征值$ \lambda_{+} $的虚部为

因此, 系统进入放大相的条件$ {\rm{Im}}(\lambda_{+})>0 $等价于

在放大区域内两边均非负, 对(A5)式取平方并整理得

在高度非对称耗散条件$ \gamma_{+}=\gamma_{-} $下, 将X与Y代入(A6)式, 可得

进一步化简可得到$ 4\gamma_{+}^{2}(\beta_{{\mathrm{c}}}^{N})^{2} \gt 0 $, 其值恒为正. 另一方面,

结合恒等式

且(A9)式第二项严格为正, 因此第一项必须满足

(A10)式即为放大条件(A6). 由此可见, 在高度非对称耗散条件$ \gamma_{+}=\gamma_{-} $下,

总是成立, 表明系统在整个$ \beta^{N} $范围内均处于放大相, 如正文图 4所示.