复杂网络理论作为一种强大的数学工具, 可用于精确描述自然界与社会系统中大规模交互结构的内在规律, 近年来已在众多学科领域取得了显著进展. 该理论通过构建网络模型, 将系统中的实体抽象为节点, 实体间的相互作用抽象为边, 从而刻画复杂系统的整体结构与动态行为. 其应用涵盖生态系统^[1]、生物网络^[2]、社会网络^[3]、交通网络^[4]等诸多领域, 为理解和预测各类系统的运行机制提供了重要理论支撑. 近年来, 能够精准描述系统内多重耦合关系的多层网络迅速成为复杂网络研究的前沿热点^[5–7]. 与单层网络相比, 多层网络在拓扑中引入了层间连接, 使其动态行为更为复杂多样. 其内部耦合关系与动态过程相互交织, 不仅增加了理论分析的难度, 也对实际应用提出了更高要求.

网络同步作为一种基础而普遍的动力学现象, 广泛存在于各类复杂系统中, 从生物神经元的集群振荡^[8]到智能电网的功率协调^[9], 同步均是其中的核心动力学行为之一. 近年来, 有限时间同步因具有较快的收敛速度与良好的抗干扰能力而备受关注^[10–12], 但其同步时间依赖系统初始状态, 这在实际中往往难以预先获知, 且会导致同步时间难以准确预估. 为此, Polyakov^[13]首次提出了固定时间同步的概念, 旨在使系统在固定时间内达到同步, 且该时间与初始状态无关. Hu等^[14]在此基础上, 针对不连续复杂网络提出了改进的固定时间稳定性判据, 获得了更精确的同步时间估计. 固定时间同步不仅增强了系统的鲁棒性, 也显著提升了同步控制的效率与可靠性.

为实现网络的固定时间同步, 研究者不断探索更高效的控制策略. 近年来, 针对多层网络, 已涌现出脉冲控制, 事件触发控制, 间歇控制及量化控制等多种方法. 例如, Zheng等^[15]通过构造脉冲依赖的Lyapunov函数, 研究了多权重复杂网络的固定时间输出同步. Liao等^[16]设计了基于节点输出信息的动态事件触发策略, 实现了多层网络的固定时间输出同步, 并避免了Zeno行为. Peng 等^[17]利用自适应非周期半间歇控制, 结合符号图理论, 研究了分数阶多层符号网络的固定时间二分同步. Xiong和Hu^[18]则通过指数量化控制与非分离方法, 探讨了四元数神经网络的固定时间输出同步. 尽管如此, 如何设计更为实用且高效的控制方法仍是当前研究的重点.

在众多控制策略中, 量化控制能有效缓解通信带宽限制, 提升传输效率. 实际上, 量化控制器是在有限精度硬件约束下对理想连续控制律的工程实现, 其本质在于使用固定的、离散的语言来感知连续物理世界并生成控制指令. 其揭示了在将理想数学模型转化为物理可实现系统的过程中, 因信息表示精度受限而必然产生的性能极限与动态特性变化. 同时, 自适应控制则可通过在线更新参数节约控制资源. 将二者结合的量化自适应控制, 兼具二者的优势. 鉴于此, Shi等^[19]提出一种增益有界的量化控制策略, 实现了多层动态网络的固定时间同步. He等^[20]进一步研究了随机扰动下多权重网络的量化自适应牵制控制与集群同步. 因此, 研究多层网络在量化及量化自适应控制下的固定时间同步, 具有重要的理论意义与应用价值, 然而其中控制策略与自适应律的设计仍面临诸多挑战.

基于上述分析, 本文针对具有非线性节点动力学及层内耦合的多层复杂网络, 研究其在量化反馈与量化自适应控制下的固定时间同步问题. 本文的研究内容如下.

1)针对包含非线性节点动力学与层内耦合的多层网络模型, 设计了两种控制协议: 一种为常规量化控制协议, 另一种为具有有限控制增益的量化自适应控制协议. 两种协议均有助于提高网络传输效率.

2)通过构造合适的Lyapunov函数, 结合所提协议与微分不等式技术, 推导出网络实现固定时间同步的充分条件, 并给出同步时间的显式上界估计.

3)通过数值仿真验证了所提控制协议在实现固定时间同步方面的有效性及时间估计的准确性.

考虑一个具有$ N $个节点的$ M $层复杂网络:

其中$ {x}_{i}(t)={({x_{i}^{1}}(t), {x_{i}^{2}}(t), \cdots , {x_{i}^{n}}(t))}^{\text{T}}\in {\mathbb{R}}^{n} $表示第$ i $个节点的状态变量, $ \boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{n\times n} $为常数矩阵, $ f({x}_{i}(t)) \in \mathbb{R}^{n} $表示第$ i $个节点内在动力学特性的非线性向量函数, $ {c}_{k} \gt 0 $表示层内耦合强度, $ {\boldsymbol{{\varGamma }}}_{k}\in \mathbb{R}^{n\times n} $是第$ k $层的内部耦合矩阵. $ N=\{1, 2, \cdots , n\} $, $ {u}_{i}(t) $是第$ i $个节点的控制输入. $ D_{ij}^{(k)} $是第$ k $层的外部耦合矩阵, 其中, 当且仅当节点$ i $和节点$ j $之间有连接时$ D_{ij}^{(k)} = D_{ji}^{(k)} \gt 0 $, 否则$ D_{ij}^{(k)}=0(i\neq j, i, j\in P) $.$ D_{ij}^{(k)} $对应的Laplacian矩阵$ {\boldsymbol{L}}^{(k)}={({L_{ij}^{(k)}})}_{P\times P} $定义为$ L_{ij}^{(k)}=-D_{ij}^{(k)} \lt 0, (i\neq j) $, 对角元素$ L_{ii}^{(k)} = \displaystyle\sum\nolimits_{j=1, j\neq i}^{P} D_{ij}^{(k)} \gt 0. $

网络(1)的同步目标状态为$ v(t) $, 动力学方程可以描述为

设同步误差为$ {e}_{i}(t) = {x}_{i}(t)-s(t),\, \hat{f}({e}_{i}(t)) = f({x}_{i}(t))- f(s(t)) $, 其中$ {e}_{i}(t)=({e_{i1}^{\text{T}}}(t), {e_{i2}^{\text{T}}}(t), \cdots , {e_{in}^{\text{T}}}(t))^{\text{T}}, $则误差系统为

定义1　对于误差系统(3), 若存在两个实数$ {T}^{*}({\theta }^{*})\geqslant 0 $和$ {T}_{\max } \gt 0 $, 使$ \lim\limits_{t\rightarrow {T}^{*}({\theta }^{*})} ||e(t)|| = 0,\; e(t)= 0,\;t \geqslant {T}^{*}({\theta }^{*}) $, 并且对于任意$ {\theta }^{*}\in \mathbb{R}^{nP} $有$ {T}^{*}({\theta }^{*})\leqslant {T}_{\max } $, 则称双层动态网络(1)是固定时间同步的, 同步时间为$ T({\theta }^{*})=\inf \{{T}^{*}({\theta }^{*})\geqslant 0\colon \left|\left|e(t)\right|\right|=0, t\geqslant {T}^{*}({\theta }^{*})\} $.

假设1　存在一个常数$ \rho \gt 0 $, 使得对所有的$ x, y\in {R}^{n} $, 有$ \left|\left|f(x)-f(y)\right|\right|\leqslant \rho \left|\left|x-y\right|\right| $.

引理1^[14]　假设对任意的$ i\in N $有$ {\chi }_{i}\geqslant 0,\; 0\leqslant \mu \leqslant 1,\; \nu \gt 1, $则

引理2^[21]　设$ V(t) $是一个正定函数, 如果$ V(t) $满足:

其中$ \alpha , \beta \gt 0,\; 0 \lt \eta \lt 1,\; \theta \gt 1, $ 则对任意的$ t\geqslant \tilde{T} $有$ \lim\limits_{t\rightarrow \tilde{T}} V(t)=0,\; V(t)\equiv 0 $, 即系统是固定时间同步的, 且同步时间$ \tilde{T}=\dfrac{2}{\alpha (\theta -1)}+\dfrac{2}{\beta (1-\eta )}. $

设计量化控制协议设计为

其中$ {d}_{i} \gt 0 $是待定值, $ \varepsilon , \gamma \gt 0,\; \theta \gt 1,\; 0 \lt \eta \lt 1. $$ \varphi (\cdot )\colon R\rightarrow {\varOmega } $是量化器, 其中$ {\varOmega }=\left\{\pm {\varpi }_{i}\colon {\varpi }_{i}={\rho }^{i}{\varpi }_{0}, i=0, \pm 1, \pm 2, \cdots \right\}\cup \left\{0\right\}, $$ {\varpi }_{0} \gt 0. $对于$ \tau \in \mathbb{R} $, 量化器$ \varphi (\tau ) $的构造如下:

其中$ \delta =\dfrac{1-\rho }{1+\rho },\; 0 \lt \rho \lt 1 $为量化密度. 从(7)式可以看出, 存在$ {\varLambda }\in [-\delta , \delta ] $使得

令矩阵$ \boldsymbol{{\varLambda }}(t)=\text{diag}\{{{\varLambda }}_{1}(t), {{\varLambda }}_{2}(t), \cdots ,{{\varLambda }}_{n}(t)\}, {{\varLambda }}_{i}(t)= \text{diag}\{{{\varLambda }}_{i1}(t), {{\varLambda }}_{i2}(t), \cdots , {{\varLambda }}_{in}(t)\} $, 并满足$ {{\varLambda }}_{ij}\in [-\delta , \delta ], i=1, 2, \cdots , N, j=1, 2, \cdots , N. $ 因此, 根据(8)式可得

定理1　假设1成立, 在量化控制协议(6)下, 如果多层复杂网络的参数满足

则多层网络(1)可以在固定时间同步到系统(2), 且同步时间估计值为

其中

证明　构造Lyapunov函数$ V(t) = \dfrac{1}{2} \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{N} e_{i}^{\text{T}}(t){e}_{i}(t). $

根据同步误差方程(3)和量化控制协议(6)可以得到:

由假设1可得

此外, 还可以得到:

其中$ {{\varGamma }}_{k\min } $表示$ {{\varGamma }}_{k} $的最小特征值.

其中$ {\varPi }=\tilde{A} + \rho {I}_{n}\otimes \tilde{B}-{d}_{i}{I}_{n} + \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{M} {c}_{k}{\left|\left|{{\varGamma }}_{k}\right|\right|}_{2}{D}^{(k)} $.

根据引理1可得

综上可得$ \dot{V}(t)\leqslant {e}^{\text{T}}(t){\varPi }e(t)-\varepsilon {(1-\delta )}^{\theta }{2}^{\left(\theta +1\right)/2} {(Nn)}^{\left(1-\theta \right)/2}{(V(t))}^{\left(\theta +1\right)/2}-\gamma {(1-\delta )}^{\eta }{2}^{\left(\eta +1\right)/2}{(V(t))}^{\left(\eta +1\right)/2}$.

由引理2可知, 当满足条件$ \tilde{A} + \rho {I}_{n} \otimes \tilde{B}+\displaystyle\sum\nolimits_{k=1}^{M}{c}_{k} {\left|\left|{{\varGamma }}_{k}\right|\right|}_{2}{D}^{(k)}-{d}_{i}{I}_{n}\leqslant 0 $时, 系统(1)将达到固定时间同步, 且同步时间为

证毕.

在量化控制协议(6)的基础上, 设计了一种新的量化自适应控制协议:

其中$ \varepsilon , \gamma \gt 0,\; \theta \gt 1,\; 0 \lt \eta \lt 1$, $ \varphi (\cdot )\colon \mathbb{R}\rightarrow {\varOmega } $是量化函数.

定理2　假设1成立, 在控制协议(15)和自适应更新率(16)下, 如果多层复杂网络(1)的参数满足:

则多层网络(1)可以在固定时间内同步到系统(2), 且同步时间估计值为

其中$ \tilde{A}=\text{diag}{({{\left|\left|A\right|\right|}_{2}}, {{\left|\left|A\right|\right|}_{2}}, \cdots ,{{\left|\left|A\right|\right|}_{2}})}_{n},\; \tilde{B}= \text{diag} {({{\left|\left|B\right|\right|}_{2}}, {{\left|\left|B\right|\right|}_{2}}, \cdots , {{\left|\left|B\right|\right|}_{2}})}_{n} $.

证明　构造Lyapunov函数$ V(t)=\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum\nolimits_{i=1}^{N} e_{i}^{\text{T}}(t){e}_{i}(t)+\displaystyle\sum \nolimits_{i=1}^{N}\dfrac{1}{2}({d}_{i}(t)-{d}^{*}{)}^{2} $.

根据同步误差方程(3)和量化自适应控制协议(15)可以得到:

根据定理1的证明过程, 有

其中$ \tilde{{\varPi }}=\tilde{A}+\rho {I}_{n}\otimes \tilde{B}+\displaystyle\sum\nolimits_{k=1}^{M}{c}_{k}{\left|\left|{{\varGamma }}_{k}\right|\right|}_{2}{D}^{(k)}. $

根据引理1第1个式子可得

同样, 根据引理1第2个式子可得

将(19)式—(21)式代入(18)式可得

由引理2可知, 当满足条件$ \tilde{A}+\rho {I}_{n}\otimes \tilde{B}+ \displaystyle\sum\nolimits_{k=1}^{M}{c}_{k}{\left|\left|{{\varGamma }}_{k}\right|\right|}_{2}{D}^{(k)}-(1-\delta ){d}^{*}{I}_{n}\leqslant 0 $时, 多层网络(1)将达到固定时间同步, 且同步时间为

证毕.

考虑一个具有两层, 且每层具有5个节点的双层复杂网络, 该网络的动力学方程表示为

其中$ x_i(t) = {({{x}_{1}}, x_{2}, x_{3})}^{\text{T}} $, 选取内耦合强度$ {c}_{1}= {c}_{2} = 2$, 内耦合矩阵$ {{\varGamma }}_{1}={{\varGamma }}_{2}=7{E}_{5} $, 外耦合矩阵为

量化密度$ \rho =0.7. $ 网络中节点的初始状态和自适应更新率的初始值都为随机值, 以验证达到固定时间同步时得到的同步时间与初始状态无关.

选取蔡氏电路作为双层复杂网络(23)的同步状态, 蔡氏电路的动力学方程描述为

根据蔡氏电路的动力学方程(24)可知受控网络中的

选取初始值为$ ({v}_{1}(0), {v}_{2}(0), {v}_{3}(0))=(0.1, 0.1, 0.1)$, 系统(24)的动力学轨迹如图1所示.

首先, 当多层网络(23)在不施加外部控制时, 系统的同步误差轨迹如图2所示. 从图2可以看出, 系统(23)在不施加控制时的同步误差轨迹是发散的.

在本例中, 选取$ \varepsilon =8,\, \gamma =0.7,\, \theta =1.3,\, \eta =0.2$, 满足定理1的条件. 因此多层复杂网络(23)在量化控制协议(6)下实现固定时间同步, 并且可以得到同步时间$ {T}_{1}=3.1751$. 图3和图4分别表示量化控制下的同步误差曲线和量化轨迹, 表明当参数$ (\varepsilon , \gamma , \theta , \eta) = (8, 0.7, 1.3, 0.2) $时, 网络(23)在时间$ {T}_{1} $内实现了固定时间同步, 从而验证了所设计的量化控制协议的有效性和固定时间同步定理1的正确性.

根据定理2, 多层复杂网络(23)在控制协议(15)和自适应更新率(16)下实现固定时间同步, 并且得到同步时间$ {T}_{2}=3.2546$. 图5和图6分别表示在量化自适应控制下的同步误差曲线和量化轨迹, 图4表明在固定时间$ {T}_{2} $内, 当参数$ (\varepsilon , \gamma , \theta , \eta )= (8, 0.7, 1.3, 0.2) $时, 网络(23)实现了固定时间同步, 从而验证了所设计的量化自适应控制协议的有效性和固定时间同步定理2的正确性. 根据图3和图5可以看出, 量化控制所达到固定时间同步的时间要早于量化自适应控制. 根本原因在于, 自适应控制为解决一个更困难、更现实的模型参数未知问题引入了额外的动态过程. 而且我们给出的固定时间上界是一个最坏情况下的理论边界. 在自适应控制中, 由于不确定性更大, 这个理论边界通常会大于理想情况下的理论边界.

图7表示在量化自适应控制下自适应参数$ {d}_{i}(t), i=1, 2, \cdots , 5 $的变化曲线. 从图中可以看出, 固定时间同步的自适应参数$ {d}_{i}(t) $随着时间的延长会逐渐收敛到一个常数, 这表明本文中所设计的控制协议中的控制增益是有界的, 与控制增益无界不同, 有界的控制增益在实际应用中价值将会大大提高.

本文针对具有非线性节点动力学与层内耦合的多层复杂网络, 研究了其在量化控制与量化自适应控制下的固定时间同步问题, 主要得到以下结论.

1) 设计了两种具有实际应用价值的控制协议: 一种是仅基于量化反馈的控制协议, 另一种是控制增益有界的量化自适应控制协议. 这两种协议在保证控制效果的同时, 能够显著降低通信开销与信道资源占用.

2) 基于固定时间稳定性理论, 结合Lyapunov函数与微分不等式技术, 严格推导出多层网络系统在该两类控制协议下实现固定时间同步的充分条件, 并给出了同步时间的显式上界估计, 该估计值与网络初始状态无关.

3) 通过数值仿真验证了理论结果的有效性与准确性. 仿真表明, 所提控制协议均能驱动多层网络在固定时间内达到同步, 且实际同步时间与理论估计吻合良好, 体现了理论分析与仿真结果的一致性.

本文工作仍存在一定局限, 例如未考虑网络连接权重时变、层间耦合非对称等更复杂情形, 也未考察在外部持续干扰或执行器饱和等实际约束下的同步性能. 未来研究可在此基础上, 进一步开展具有更强鲁棒性、更广适用性的固定时间同步控制策略设计, 并可探索其在多智能体协同、神经动力学等具体场景中的应用验证. 特别地, 网络建模正从成对交互向更一般的高阶作用拓展, 这种高阶多体相互作用在生物神经网络、社会传播动力学和生态群落演化中广泛存在^[22–24]. 高阶网络通过对此类结构的刻画为揭示复杂系统的涌现机制提供了更精细的理论框架^[25]. 本文聚焦多层网络架构所提出的自适应控制方法与稳定性分析框架, 亦可为后续拓展至高阶交互情形奠定方法论基础.