基于MCDHF方法的锶原子5s4d 3D1,2,3, 1D2和5s6s 3S1态超精细结构常数、朗德g因子及寿命的理论研究

王艺铭; 冯敏; 梁婷; 曹进; 卢本全; 常宏

doi:10.7498/aps.75.20251796

基于MCDHF方法的锶原子5s4d ³D_1,2,3, ¹D₂和5s6s ³S₁态超精细结构常数、朗德g因子及寿命的理论研究

中国科学院国家授时中心, 西安　710600

时间基准及应用重点实验室, 西安　710600

中国科学院大学天文与空间科学学院, 北京　101408

合肥国家实验室, 合肥　230026

作者简介: 第一作者.E-mail: wangyiming@ntsc.ac.cn .

通讯作者: E-mail: lubenquan@ntsc.ac.cn.; E-mail: changhong@ntsc.ac.cn.

中图分类号: 31.15.A-, 31.30.Gs, 32.10.Fn.

Theoretical calculation of hyperfine structure constants, Landé g factors, and lifetimes of the 5s4d ³D_1,2,3, ¹D₂ and 5s6s ³S₁ states in strontium based on the multi-configuration Dirac-Hartree-Fock method

National Time Service Center, Chinese Academy of Sciences, Xiʼan 710600, China

Key Laboratory of Time Reference and Applications, Xiʼan 710600, China

School of Astronomy and Space Science, University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 101408, China

Hefei National Laboratory, Hefei 230026, China

Corresponding authors: E-mail: lubenquan@ntsc.ac.cn.; E-mail: changhong@ntsc.ac.cn.

MSC: 31.15.A-, 31.30.Gs, 32.10.Fn.

摘要: 本文采用多组态Dirac-Hartree-Fock理论, 系统优化了锶原子5s5p ³P_0,1,2, ¹P₁, 5s4d ³D_1,2,3, ¹D₂和5s6s ³S₁, ¹S₀态的能级结构, 计算了5s4d ³D_1,2,3, ¹D₂和5s6s ³S₁态的超精细结构常数、朗德g因子和寿命. 在计算中, 系统分析了电子关联效应、Breit相互作用和量子电动力学修正等因素对原子参数的影响. 结果表明, 对于5s4d ³D_1,2,3三重态, 理论计算得到的磁偶极超精细结构常数A与实验测量值之间的偏差小于3%, 对于5s6s ³S₁态, A的理论计算与实验测量之间的偏差为0.4%, 显著减小了理论计算与实验测量之间的差异. 此外, 本文还给出了5s4d ³D_1,2,3, ¹D₂和5s6s ³S₁态的电四极超精细结构常数B的理论结果, 与实验数据基本一致. 计算的5s4d ³D₁态的朗德g因子与实验的偏差不超过10^–4量级. 本文的研究不仅为量子信息、精密测量等相关实验研究提供了可靠的理论参数, 也为进一步基于该方法系统研究电子关联等物理效应对高激发态原子参数的影响提供了依据.

关键词:

Abstract: Strontium atoms are widely used in quantum information and precision measurement, with their excited states 5s4d ³D_1,2,3 and 5s6s ³S₁ playing key roles in related experiments. However, existing key atomic parameters such as hyperfine structure constants and Landé-g factors are inconsistent, limiting further research. In this work, we employed the Multi-configuration Dirac-Hartree-Fock (MCDHF) method to systematically optimize the energy levels of the 5s5p ³P_0,1,2, 5s4d ³D_1,2,3, ¹D₂ and 5s6s ³S₁, ¹S₀ states for strontium, and focused on calculating the hyperfine structure constants (A and B) and Landé-g factors of the 5s4d ³D_1,2,3, ¹D₂, and 5s6s ³S₁ states. We comprehensively considered electronic correlation effects through an active space approach and multi-reference single and double excitations (MR-SD) method. The Breit interaction and quantum electrodynamics (QED) corrections were also included to improve calculation accuracy. Moreover, a rigorous uncertainty assessment was conducted in this work. Our results show that the magnetic dipole hyperfine structure constant A of the 5s4d ³D_1,2,3 triplet has a deviation of less than 3% from experimental values, while that of the 5s6s ³S₁ state is only 0.4%, significantly reducing the prior theory-experiment discrepancy, as shown in figure. Notably, we first reported the theoretical values of the electric quadrupole hyperfine structure constant B for the 5s4d ³D_1,2,3 states, which are in good agreement with experimental data, filling the theoretical gap. The Landé-g factor of the 5s4d ³D₁ state deviates by no more than 10^–4 from the experimental value, achieving higher precision than previous studies. Additionally, the calculated lifetimes of these states are consistent with most theoretical and experimental results. This work provides high-precision theoretical parameters for experiments related to strontium optical lattice clocks and quantum information, and verifies the reliability of the MCDHF method in studying highly excited atomic states, laying a foundation for further research on atomic structure and properties.

Key words:

strontium /
multi-configuration Dirac-Hartree-Fock method /
hyperfine structure constant /
Landé-g factor /
lifetime .

模型

活动轨道

虚轨道

NCSF

J = 0

J = 1

J = 2

J = 3

DHF

{5s²; 5s4d; 5s6s}

{4s²4p⁶5s²; 4s²4p⁶5s4d; 4s²4p⁶5s6s}

7s, 5p, 5d, 4f, 5g

598

2175

3196

2771

{3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s²; 3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s4d;
3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s6s}

8s, 6p, 6d, 5f, 6g

1966

8110

14913

11108

{3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s²; 3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s4d;
3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s6s}

9s, 7p, 7d, 6f, 7g

3665

15658

27965

20469

{3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s²; 3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s4d;
3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s6s}

10s, 8p, 8d, 7f, 8g

6181

27168

48271

35429

{3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s²; 3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s4d;
3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s6s}

11s, 9p, 9d, 8f

8738

38732

67912

49339

{3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s²; 3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s4d;
3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s6s}

12s, 10p, 10d, 9f

11760

52441

91070

65644

C3V-7

{3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s²; 3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s4d;
3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s6s}

13s, 11p, 11d

14187

63104

107939

76885

C1V-7

{1s²2s²2p⁶3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s²;
1s²2s²2p⁶3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s4d;
1s²2s²2p⁶3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s6s}

13s, 11p, 11d, 9f, 8g

19897

87697

147242

104686

CC4-7

{4s²4p⁶5s²; 4s²4p⁶5s4d; 4s²4p⁶5s6s}

13s, 11p, 11d, 9f, 8g

32954

157132

284219

188120

MR-3

∪{4s²4p⁶5p²; 4s²4p⁶5p6p; 4s²4p⁴5s²4d5d}

9s, 7p, 7d, 6f, 7g

543726

1522251

2214686

2524821

DHF

{5s5p}

—

{4s²4p⁶5s5p}

7s, 5p, 5d, 4f, 5g

584

2000

1827

—

{3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s5p}

8s, 6p, 6d, 5f, 6g

1780

7096

6859

—

{3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s5p}

9s, 7p, 7d, 6f, 7g

3627

15341

15059

—

{3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s5p}

10s, 8p, 8d, 7f, 8g

6125

26735

26427

—

{3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s5p}

11s, 9p, 9d, 8f

8664

38220

37642

—

{3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s5p}

12s, 10p, 10d, 9f

11660

51856

50915

—

C3V-7

{3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s5p}

13s, 11p, 11d

14058

62459

60780

—

C1V-7

{1s²2s²2p⁶3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s5p}

13s, 11p, 11d, 9f, 8g

19914

86726

83569

—

CC4-7

{4s²4p⁶5s5p}

13s, 11p, 11d, 9f, 8g

27603

152938

142523

—

MR-3

∪{4s²4p⁶4d5p; 4s²4p⁶5s6p, 4s²4p⁶5p6s; 4s²4p⁶4d6p}

9s, 7p, 7d, 6f, 7g

175310

486011

692056

—

³D₁

³D₂

³D₃

¹D₂

³S₁

DHF

112.1

8.9

–60.3

12.6

–99.6

24.3

–11.8

24.7

–349.0

C3V-7

145.1

14.8

–87.0

21.3

–127.8

40.9

–8.2

55.3

–589.5

–2.9[–4]

C1V-7

148.0

14.8

–87.2

21.5

–128.6

41.2

–7.5

55.6

–599.4

–2.9[–4]

CC4-7

139.2

13.6

–72.4

19.5

–116.1

37.8

–8.8

45.2

–493.9

–2.0[–3]

138.9

13.8

–76.0

19.8

–116.5

38.4

–9.1

56.8

–547.4

1.1[–3]

MR-BQ

139.2(5)

13.9(1.0)

–75.7(7)

19.9(1.5)

–116.9(2)

38.5(2.8)

–9.7(1.0)

56.7(4.1)

–549.2(7)

1.0(0)[–3]

Other theories

Mani and Angom^[14]

151.59

—

–49.65

—

–133.78

—

Tang^[17]

—

–5.3(0.3)

—

Experiments

Bushaw et al.^[16]

139.9(2)

15(2)

–78.08(5)

18(1)

–115.3(2)

51(9)

—

–542.57(10)^[19]

—

Bender et al.^[18]

—

–542.1(4)

0.00

Barsanti et al.^[15]

140(2)

–6(4)

—

–543(2)

—

Courtillot et al.^[20]

—

–542.0(1)

0.1(5)

Grundevik et al.^[47]

—

–5.5734(4)

55.421(6)

—

注: ^[14] 福克空间相对论耦合簇方法 (Fock space relativistic coupled cluster method, FSRCC);
^[17]组态相互作用结合耦合簇方法 (relativistic configuration-interaction combined with a coupled-cluster method, RCICC).

³D₁

³D₂

³D₃

¹D₂

³S₁

DHF

0.498793

1.166999

1.334060

0.999960

2.002293

C3V-7

0.498748

1.166705

1.334054

1.000235

2.002257

C1V-7

0.498747

1.166703

1.334054

1.000236

2.002257

CC4-7

0.498772

1.166920

1.334061

1.000032

2.002302

0.498759

1.166806

1.334064

1.000157

2.002300

MR-BQ

0.498759(4)

1.166828(3)

1.334063(1)

1.000134(3)

2.002300(37)

Theory

0.4988^[22]

—

Experiment

0.4995(88)^[22]

—

Upper level

Lower level

D/a.u.

A/s^–1

τ/ns

This work

Other theories

This work

Experiments

This work

Other theories

Experiments

³D₁

³P₀

2.80(8)

2.74^[25],
2.712^[24]a,
2.667^[24]b,
2.76^[23],
2.319^[14],
2.4957^[49],
2.53(14)^[50]

3.00(17)[5]

2.7619(64)[5]^[2]

1984(137)

2163^[24]a,
2113^[24]b,
2171(24)^[24]c,
2040^[25]

2180(10)^[30],
2156(5)^[2]

³P₁

2.43(5)

2.3781^[14],
2.322(11)^[51]

1.95(8)[5]

—

³P₂

0.63(9)

0.963^[14]

9.29(2.65)[3]

—

³D₂

³P₁

4.21(7)

3.4114^[14]

3.66(12)[5]

—

2203(100)

2337^[24]a,
2403(27)^[24]b

—

³P₂

2.44(4)

2.3952^[14]

8.83(28)[4]

—

³D₃

³P₂

5.78(14)

5.3938^[14]

3.87(19)[5]

—

2584(172)

2738^[24]a,
2816(31)^[24]b

—

³S₁

³P₀

2.10(3)

1.962^[25],
1.96^[24]a,
1.94^[24]b,
2.002^[23],
1.9734^[49],
1.90(1)^[50]

9.50(27)[6]

8.9(8)[6]^[52]

12.15(13)

14.1^[25],
13.3^[31]

13.92(11)^[29],
10.9(11)^[26],
12.9(7)^[27],
15.0(8)^[28]

³P₁

3.67(1)

3.425(17)^[51]

2.79(2)[7]

2.71(20)[7]^[52]

—

³P₂

4.85(2)

—

4.49(4)[7]

4.15(40)[7]^[52]

—

注: ^[25] 组态相互作用结合多体微扰理论方法(configuration interaction combined with many-body perturbation theory, CI+MBPT, random phase approximation correction was included);
^[24]^a 组态相互作用结合多体微扰理论方法(configuration interaction combined with many-body perturbation theory, CI+MBPT, random phase approximation correction was included);
^[24]^b 组态相互作用结合全阶方法(configuration interaction combined with all-order method, CI+all-order, random phase approximation+core Brueckner+two-particle+structural radiation+normalization correction were included);
^[24]^c 组态相互作用结合全阶方法(configuration interaction combined with all-order method, CI+all-order, recommand value);
^[51] 组态相互作用结合全阶方法(configuration interaction combined with all-order method, CI+all-order, random phase approximation correction was included);
^[23] 相对论芯极化势和相对论组态相互作用方法(Dirac-Fock plus core polarization and relativistic configuration interaction method, DFCP+RCI);
^[14] 福克空间相对论耦合簇方法(Fock space relative coupled cluster method, FSRCC);
^[49] 福克空间相对论耦合簇方法(Fock space relative coupled cluster method, FSRCC);
^[50] 组态相互作用加半经验核极化模型势方法(configuration interaction with a semiempirical core-polarization model potential method, CI+CPMP);
^[31] 半经验方法(semi-empirical method).

原子态

组态

MCDHF

CI+all-order

5s² ¹S₀

0.96

5p² ¹S₀

0.12

0.13

5p6p ¹S₀

0.09

0.02

5p² ³P₀

0.09

0.18

5s6s ¹S₀

0.08

0.13

5s7s ¹S₀

0.07

0.03

5p6p ³P₀

0.07

0.03

4d² ³P₀

0.06

0.07

5s4d ³D₁

0.98

0.97

5s5d ³D₁

0.10

0.16

5s4d ³D₂

0.79

0.78

5s4d ¹D₂

0.59

0.58

5s5d ³D₂

0.08

0.04

5s5d ¹D₂

0.06

0.03

5s4d ³D₃

0.98

0.97

5s5d ³D₃

0.11

0.05

5s6s ³S₁

0.98

0.93

6s7s ³S₁

0.13

0.01

5s7s ³S₁

0.06

0.32

基于MCDHF方法的锶原子5s4d ³D_1,2,3, ¹D₂和5s6s ³S₁态超精细结构常数、朗德g因子及寿命的理论研究

通讯作者: E-mail: lubenquan@ntsc.ac.cn.;

通讯作者: E-mail: changhong@ntsc.ac.cn.

作者简介: 第一作者.E-mail: wangyiming@ntsc.ac.cn
1. 中国科学院国家授时中心, 西安　710600

2. 时间基准及应用重点实验室, 西安　710600

3. 中国科学院大学天文与空间科学学院, 北京　101408

4. 合肥国家实验室, 合肥　230026

收稿日期: 2025-12-31

关键词:

Corresponding author: E-mail: lubenquan@ntsc.ac.cn.;

Corresponding authors: E-mail: changhong@ntsc.ac.cn.

1. 中国科学院国家授时中心, 西安　710600

2. 时间基准及应用重点实验室, 西安　710600

3. 中国科学院大学天文与空间科学学院, 北京　101408

4. 合肥国家实验室, 合肥　230026

Received Date: 2025-12-31

Keywords:

全文HTML

1. 引　言

锶原子光晶格钟是目前精度最高的光钟之一, 其不仅是未来秒定义的有力候选者^[1–3], 还在大地测量^[4,5]、广义相对论检验^[6]、引力波探测^[7]及暗物质搜寻^[8]等领域具有重要应用. 此外, 锶原子在精密测量与量子信息等领域也展现出广泛的应用前景, 其激发态5s4d ³D_1,2,3, ¹D₂和5s6s ³S₁在量子寄存器的相干操控^[9]、量子比特的高保真度调控^[10]、激光冷却^[11], 亚稳态磁光阱束缚^[12]和原子阵列的波前控制^[13]等实验发挥着关键作用. 然而, 要实现对这些能级的精确调控, 必须掌握其在外加磁场下的塞曼(Zeeman)效应特性, 尤其是朗德g因子等关键参数. 对于⁸⁷Sr这类具有核自旋的原子, 还需要进一步考虑超精细相互作用的影响. 因此, 精确计算5s4d ³D_1,2,3, ¹D₂和5s6s ³S₁态的超精细结构常数和朗德g因子, 对相关实验设计具有重要支撑作用, 也为量子信息与精密测量等方向的研究提供了可靠的理论依据.

目前对于⁸⁷Sr原子³D_1,2,3, ¹D₂态和³S₁态超精细结构常数的理论研究相对匮乏, 现有部分实验数据也存在偏差. 对于5s4d ³D₁态, Mani和Angom^[14]采用Fock空间相对论耦合簇(Fock space relativistic coupled-cluster, FSRCC)方法计算的磁偶极超精细结构常数A为158.586 MHz; 实验上, Barsanti等^[15]基于饱和吸收光谱法获得的实验结果为139.9(2) MHz, Bushaw等^[16]通过共线激光吸收法测量的结果为140(2) MHz. 两个实验结果之间偏差小于0.1%, 但与Mani和Angom^[14]的理论值偏差均超过10%. 关于该态电四极超精细结构常数B, 上述两个实验组给出的结果分别为–6(4) MHz和15(2) MHz, 结果差异显著, 难以为实验提供可靠的数据支撑. 然而, 目前尚无³D₁态电四极超精细结构常数B的理论计算结果, 有必要开展高精度理论计算来填补该参数的理论空白, 并为实验提供参考. 对于³D₂和³D₃态, 仅Mani和Angom^[14]给出了A的理论值, 分别为–49.65 MHz和–133.78 MHz, 与Bushaw等^[16]的实验结果–78.08(5) MHz和–115.3(2) MHz相比, 偏差均超过10%. Bushaw等^[16]测量的B值为18(1) MHz和51(9) MHz, 但尚无相应的理论研究. 对¹D₂态, Tang^[17]采用组态相互作用结合耦合簇方法(relativistic configuration-interaction combined with a coupled-cluster method, RCICC)方法计算的A值为–5.3(0.3) MHz; Grundevik等^[47]实验测量的A值为–5.5734(4) MHz, B值为55.421(6) MHz, 理论与实验得到的A值偏差约为5%, 但还没有B值的理论结果. 对于³S₁态, Bender等^[18]测得的A值为–542.1(4) MHz, Barsanti等^[15]为–543(2) MHz, Bushaw和Cannon^[19]为–542.57 MHz, Courtillot等^[20]则为–542.0(1) MHz, 各实验结果间偏差小于0.2%, 表现出较好的一致性, 但仍缺乏系统的理论计算结果与之对照. 综上所述, 目前亟需高精度的理论方法系统计算⁸⁷Sr原子³D_1,2,3和³S₁态的超精细结构常数.

Olmos等^[21]提出, 锶原子5s5p ³P₀→5s4d ³D₁跃迁可通过交换虚光子产生偶极-偶极相互作用, 为研究具有长程相互作用的量子多体系统提供了新的实验平台. 在该类实验中, ³D₁态的朗德g因子等关键参数的精确取值至关重要^[21,22]. 然而, 目前对锶原子5s4d ³D₁态的朗德g因子的理论研究仍显不足. 仅Zhang等^[22]基于LS耦合近似给出了理论值0.4988, 与其通过边带塞曼光谱法测得的实验值0.4995(88)之间的偏差为0.2%, 尚缺乏其他理论计算的独立印证. 此外, 针对³D_2,3和³S₁态的朗德g因子的研究迄今尚未见报道.

另一方面, ³D₁态和³S₁态至³P₀态的电偶极跃迁几率对³P₀态的静态及动力学极化率具有显著贡献^[23–25], 精确确定³D₁态和³S₁态至³P₀态的跃迁矩阵元对评估黑体辐射频移和计算魔术波长有重要意义^[24]. 根据实验测量的能级差和理论计算的跃迁矩阵元可以计算出能级寿命, 此外结合能级寿命的实验测量结果, 还可以为跃迁矩阵元和极化率的准确性提供检验依据^[24]. 目前已有多项实验研究^[2,26–30]报道了³D₁态和³S₁态的能级寿命测量结果, 但³S₁态的实验结果之间存在显著差距(偏差达7%—27%)^[26–29]. 理论研究方面, 文献[24,25,31]给出了这两个态寿命的计算结果, 但³S₁态的理论结果^[25,31]之间存在6%的偏差, 而且与部分实验数据^[26–28]的偏差可达6%—22%, 因此有必要通过更多理论计算来验证当前理论与实验结果的可靠性.

本文采用多组态Dirac-Hartree-Fock (multi-configuration Dirac-Hartree-Fock, MCDHF)方法, 系统优化了锶原子5s5p ³P_0,1,2, ¹P₁, 5s4d ³D_1,2,3, ¹D₂和5s6s ³S₁, ¹S₀态的能级结构, 计算了5s4d ³D_1,2,3, ¹D₂和5s6s ³S₁态的超精细结构常数, 朗德g因子和能级寿命. 计算中, 系统分析了电子关联效应、Breit相互作用和量子电动力学修正(quantum electrodynamics, QED)等因素对原子参数的影响. 本文计算的磁偶极超精细常数A与实验值偏差小于3%, ³S₁态的计算偏差不超过0.4%, 给出了理论计算的电四极超精细常数B值, 与实验测量结果一致. 此外, 本文朗德g因子的计算精度也优于以前的理论结果.

2. 理论方法

2.1. 超精细相互作用

原子核的电磁多极矩与电子部分之间的相互作用称为超精细相互作用, 其哈密顿量可表示为原子核空间与电子空间的张量算符之积^[32]:

T^(k)和M^(k)分别是作用于电子空间和原子核空间的k阶球张量算符. k = 1和k = 2分别对应磁偶极相互作用和电四极相互作用. 由于更高阶(k ≥ 3)超精细相互作用的贡献通常远小于前两项, 在大多数研究中可以忽略.

在原子单位制下, 电子部分张量算符T^(k)可表示为

其中, i为虚数单位, α为精细结构常数, α_j为狄拉克矩阵, r_j为第j个电子到原子核的距离, C^(k)是k阶球张量算符.

核空间张量算符M^(k)与原子核磁偶极矩μ_I和电四极矩Q_I的关系为^[33]

其中, I为原子核自旋量子数. 磁偶极超精细结构常数A与电四极超精细结构常数B为^[33]

2.2. Zeeman效应

当原子(或离子)处于磁场中时, 其与磁场的Zeeman相互作用为^[33]

其中, N⁽¹⁾和ΔN⁽¹⁾分别表示一阶磁偶极相互作用算符及其相对论修正项. 对于一个N电子体系, 电子部分的磁偶极算符为

其中, ${\boldsymbol{{\varSigma }}}_{j} $为相对论自旋矩阵, g_s = 2.00232为电子的朗德g因子. 根据一阶微扰理论, 精细结构朗德g因子g_J定义为

其中P为宇称, J为总角动量量子数, M_J为磁量子数, $|\varGamma J\rangle $为原子态波函数(atomic state wavefunction, ASF).

2.3. 电偶极跃迁

原子态$|\varGamma J\rangle $与$|\varGamma' J'\rangle $之间与跃迁相关的参数可以用跃迁矩阵元表示:

其中, O^(k)是k阶电多极跃迁算符. 电偶极(k = 1)跃迁算符在Babushkin规范和Coulomb规范下具有不同的数学形式, 两种规范分别对应非相对论条件下的长度规范和速度规范, 在本文的计算中均采用长度规范结果.

对于电偶极跃迁, 根据含时微扰论, 原子态$|\varGamma_b J_b\rangle $与$|\varGamma_a J_a\rangle $之间的电偶极跃迁几率可表示为^[34]

转化为原子单位制, 表达式为

其中, S^E1为电偶极跃迁的线强度(单位为a.u.), λ_ba为波长(单位为Å), J为$|\varGamma J\rangle $态的总角动量量子数.

原子态的寿命由其向所有能量更低态的跃迁共同决定, 原子态$|\varGamma_b J_b\rangle $的寿命τ_b可表示为所有可能跃迁通道的跃迁几率之和的倒数:

3. 计算方法与计算模型

在MCDHF理论中, 原子态波函数可由一组具有相同宇称P、总角动量J及磁量子数M_J的组态波函数(configuration state function, CSF)线性展开^[35–37]:

其中, NCSF表示组态波函数的数目, c_i是对应于第i个CSF的混合系数, γ_i表示除P, J和M_J以外描述该CSF的其他量子数. 每个组态波函数$\left| {\gamma }_{i}PJ{M}_{J}\right\rangle $可由一组相对论单电子轨道波函数的Slater行列式的线性组合表示.

在自洽场(self-consistent field, SCF)方法中, 基于变分原理同时优化单电子轨道波函数与组态混合系数以获得轨道基组. 在相对论组态相互作用(relativistic configuration interaction, RCI)方法中, 仅对组态混合系数进行优化, 单电子轨道波函数不再发生改变. 在RCI计算中, 本文可以进一步考虑Breit相互作用和QED修正, 其中QED修正包括真空极化效应和自能修正等.

本文通过活动空间方法^[38,39]考虑电子关联效应. 根据微扰论, 电子关联效应可以分为一阶电子关联效应和高阶电子关联效应. 在计算中, 通过使原子实电子和价电子单双激发至虚轨道的方式构建组态空间. 我们通过从单(多)参考组态单双激发的方法考虑一阶电子关联效应. 其中一阶关联主要包括价电子与价电子之间的关联(valence-valence correlation), 价电子和原子实电子之间的关联(core-valence correlation), 以及原子实电子之间的关联(core-core correlation). 随后, 我们在一阶电子关联的组态空间中挑选出重要的组态构成多参考组态, 通过多参考组态单双激发的方式构建的组态空间来考虑高阶电子关联效应. 在MCDHF计算中, 将偶宇称组态{1s²2s²2p⁶3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s², 1s²2s²2p⁶3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s4d, 1s²2s²2p⁶3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s6s}和奇宇称组态{1s²2s²2p⁶3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶5s5p}作为参考组态, 首先从DHF (Dirac-Hartree-Fock)近似出发, 对参考组态的光谱轨道进行优化. 所有参考组态中最外层的两个电子被视为价电子, 其余电子作为原子实电子. 在SCF计算中, 本文考虑了价电子和价电子(valence-valence, VV), 原子实电子和价电子(core-valence, CV)之间的关联效应. 组态空间的扩展通过从参考组态的限制性单双激发(restricted single and double excitations, rSD)实现, 即最多允许一个电子从原子实激发至虚轨道, 其余激发来自价电子. 原子实电子的激发按照先打开4sp壳层, 后打开3spd壳层的顺序, 逐层打开激发至虚轨道. 为了确保计算收敛, 本文共扩展了7层虚轨道, 该计算模型记为C3V-7. 扩展的虚轨道以及产生的组态数目见表1. 在RCI计算中, 本文进一步考虑剩余的CV关联以及n = 4原子实电子之间的CC关联效应. 在此阶段, 组态空间的扩展是通过从参考组态的(限制性)单双激发至全部虚轨道实现的, 相应模型分别标记为C1V-7与CC4-7. 此外, 在偶宇称和奇宇称的CC4-7的组态空间中, 分别以组态混合系数|c_i| ≥ 0.05和0.04为截断条件, 筛选出重要组态, 构建多参考组态集. 最终, 偶宇称选取的组态为{4s²4p⁶ 5p², 4s²4p⁶5p6p, 4s²4p⁴5s²4d5d}, 奇宇称部分则为{4s²4p⁶4d5p, 4s²4p⁶5s6p, 4s²4p⁶5p6s, 4s²4p⁶4d6p}. 为考虑n ≥ 4原子实电子的高阶关联效应, 本文采用多组态单双激发(multi-reference single and double, MR-SD)方法^[37,40–43], 将上述多参考组态中的电子单双激发至前3层虚轨道来进一步扩展组态空间, 该模型记为MR. 在MR模型的基础上, 本文系统评估了Breit相互作用与QED修正的影响, 模型记为MR-BQ. 通过构建以上计算模型, 我们系统考虑了一阶电子关联效应(VV, CV和CC关联), 高阶电子关联, Breit相互作用和QED修正等物理效应对5s², 5s4d, 5s6s和5s5p组态的能级结构, 超精细结构常数和朗德g因子等参数的影响. 所有计算都是通过GRASP 2018程序^[44]实现.

4. 结果与讨论

4.1. 超精细结构常数

表2列出了基于MCDHF方法计算得到的5s4d ³D_1,2,3, ¹D₂态和5s6s ³S₁态超精细结构常数值. 计算中采用的核参数为: μ = –1.0936 μ_N^[45], Q = 0.328 b^[46].

在磁偶极超精细结构常数A的计算中, VV和CV电子关联是最主要的关联效应. 从DHF模型到C3V模型, 5s4d ³D_1,2,3, ¹D₂态和5s6s ³S₁态的A值变化依次为29%, 44%, 28%, 30%和69%. 由C3V扩展至C1V模型时, ³D_1,2,3态和³S₁态的A值变化分别为2.0%, 0.2%, 0.6%和1.7%, 而¹D₂态变化约为9%. CC关联对各态A值的贡献分别为–6%, –17%, –10%, 17%和–18%. 高阶电子关联对³D_1,3态A值的影响不超过0.5%, 对³D₂态和¹D₂态的影响小于5%, 对³S₁态的贡献约为11%. Breit相互作用和QED效应对于³D_1,2,3态和³S₁态A值的影响均在0.3%, 而对¹D₂态的影响可达7%. 对于电四极超精细结构常数B, C3V模型的贡献最为显著, 对5s4d ³D_1,2,3, ¹D₂态和5s6s ³S₁态的贡献均超过60%; 而C1V模型的影响较小, 仅在0.4%—0.7%之间. CC关联同样具有显著影响, 对5s4d ³D_1,2,3态和¹D₂态的贡献分别为–8%, –9%, –8%和–19%. 高阶关联对5s4d ³D_1,2,3态的贡献约为1.5%, 对¹D₂态的影响约为26%. Breit和QED修正对各态(除³S₁)的贡献均低于0.4%.

本文在计算中将虚轨道扩展至n ≤ 13和l ≤ 4, 更高n与l的轨道未包含, 将CV关联与n = 4壳层的CC关联中最后两层虚轨道扩展的结果之差作为收敛误差. 在CV关联部分, 收敛误差对³D_1,2,3, ¹D₂态和³S₁态超精细结构常数A值的影响分别为0.3%, 0.02%, 0.2%, 1.3%和0.03%; 对以上各态(³S₁态除外)的B值影响均约0.8%. 在n = 4壳层的CC关联部分, 收敛误差对A与B值的影响均低于0.1%. 由于CC关联与相应的高阶关联效应存在部分抵消, 本文将n = 3壳层的CC关联效应视为剩余电子关联效应所引入的不确定度. 该效应对³D_1,2,3, ¹D₂态和³S₁态A值的贡献分别为0.2%, 0.07%, 0.05%, 0.6%和0.1%, 对相应态(³S₁态除外) B值的影响较为显著, 均在7%—8%之间. 在MR模型中, 组态空间进一步扩展至3层虚轨道, 其与仅扩展两层虚轨道的结果之差作为MR的收敛误差. 对于³D_1,2,3, ¹D₂态和³S₁态的A值, MR收敛的误差均小于0.1%, 对相应态(³S₁态除外)B值的影响均小于0.3%. 最终不确定度取各类误差中的最大值. 基于上述分析, 本文最终评估的³D₁态A为139.2(5) MHz, B为13.9(1.0) MHz. ³D₂态A为–75.7(7) MHz, B为19.9(1.5) MHz. ³D₃态A为–116.9(2) MHz, B为38.5(2.8) MHz. ¹D₂态A为–9.7(1) MHz, B为56.7(4.1) MHz. ³S₁态A为–549.2(7) MHz. 以上理论结果与已有实验测量值在误差范围内吻合.

与现有理论及实验比较可见: 对于³D₁态, Mani和Angom^[14]基于FSRCC方法计算得到的A为151.59 MHz, 与实验测量值139.9(2) MHz^[16]和140(2) MHz^[15]的偏差约为8%, 而本文的结果139.2 MHz与实验偏差仅在0.5%左右. 本文计算的B为13.9 MHz, 也处于Bushaw等^[16]实验测量的误差范围内. 对于³D₂态, 本文A值与实验相差约3%. B值与实验测量值18(1) MHz^[16]相符. 对于³D₃态, 实验^[16]测得A为–115.3(2) MHz, 与FSRCC方法给出的结果–133.78 MHz偏差约16%. 本文的结果为–116.9 MHz, 与实验偏差仅为1%左右. 对¹D₂态, 本文计算的A值差异较大, 这是因为其对电子关联效应特别敏感, 需要考虑更多电子关联效应. ³S₁态A值与实验测量值–543(3) MHz^[15], –542.1(4) MHz^[18], –542.57(10) MHz^[19]和–542.0(1) MHz^[20]偏差约为1%. B值在10^–3数量级, 趋近于零, 与实验测量值一致, 符合S态电四极相互作用可忽略的物理预期.

4.2. 朗德g因子

表3给出了朗德g因子随计算模型的变化. 朗德g因子随电子关联效应(包括VV和CV关联、CC关联和高阶关联)的变化非常小, 最大变化不超过0.02%. VV和CV关联(包含C3V和C1V)对g(³D_1,2,3, ¹D₂)和g(³S₁)的影响分别为–4.6×10^–5, –2.4×10^–5, –5.7×10^–6, 2.7×10^–4和–3.6×10^–5. CC关联对于g(³D_1,2,3, ¹D₂)和g(³S₁)的影响分别为2.5×10^–5, 2.2×10^–4, 6.9×10^–6, –2.0×10^–4和4.5×10^–5, 高阶电子关联效应的影响分别为–1.3×10^–5, –1.1×10^–4, 2.7×10^–6, 1.3×10^–4和–1.3×10^–6, CC关联和高阶关联对g因子的影响存在相互抵消. Breit相互作用和QED效应对g因子的影响比高阶关联小一个数量级. g因子的不确定度评估方法与超精细结构常数所采用的方法一致. 对于g(³D_{1, 3})和g(³S₁), CV关联与n = 4壳层的CC关联效应带来的收敛误差以及MR收敛误差均在10^–7量级, n = 3壳层CC关联效应作为剩余电子关联效应引入的误差最大, 其贡献分别为–4.1×10^–6, 1.0×10^–6和3.7×10^–5. 对于g(^1,3D₂), 最大的不确定度来源于CV与CC关联效应的收敛误差, 其大小分别为3.1×10^–6和2.8×10^–6. 剩余电子关联效应的贡献分别为–1.6×10^–6和1.4×10^–7. 最终计算的g(³D₁)为0.498759(4), 与实验测得的结果0.4995(88)偏差在10^–4量级.

4.3. 5s4d ³D_1,2,3和5s6s ³S₁态能级寿命

本文计算了5s4d ³D_1,2,3, 5s6s ³S₁与5s5p ³P_0,1,2态之间的电偶极(E1)跃迁矩阵元, 结合美国国家标准与技术研究院(National Institute of Standards and Technology, NIST)数据库^[48]中的能级差, 给出了这些态之间的跃迁概率和5s4d ³D_1,2,3, 5s6s ³S₁态的寿命, 结果如表4所示. 电偶极跃迁矩阵元不确定度评估的方法, 与前述g因子及超精细结构常数所采用的方法一致. 剩余电子关联效应引入的不确定度最为显著: 对于5s4d ³D_1,2,3态电偶极跃迁矩阵元的影响均在1.8%—3.2%之间, 对5s4d ³D₁→5s5p ³P₀态电偶极跃迁矩阵元的贡献约为1.4%; 对于5s6s ³S₁态的电偶极跃迁矩阵元的影响约为0.4%. MR收敛误差对上述矩阵元的影响均低于0.2%.

对于5s4d ³D₁→5s5p ³P₀的E1跃迁矩阵元, 本文计算的结果与Wu等^[23] (DFCP+RCI)的结果偏差小于1.3%, 与Safronova等^[24](CI+all-order)和Porsev等^[25](CI+MBPT)的理论值偏差均小于3.0%. 本文计算的³D₁态的理论寿命与Porsev等^[25](CI+MBPT)的结果相差为2.7%, 5s4d ³D_1,2,3态寿命与Safronova等^[24](CI+all-order)的理论值相差在5%—9%内, ³D₁态的理论寿命与实验结果^[2] (2156.4 ns)相差约8%. 对于5s6s ³S₁→5s5p ³P₀跃迁, 与Wu等^[23](DFCP+RCI)的结果偏差小于4.5%. 对于5s6s ³S₁→5s5p ³P₁跃迁, 本文的结果(3.67 a.u.)与Cooper等^[51]基于CI+all-order方法给出的理论值3.425 (17) a.u.存在约7%的偏差. 对³S₁态能级寿命, MCDHF方法的计算结果与Havey等^[27]的实验值偏差约为6%.

上述结果表明, 本文计算得到的5s4d ³D_1,2,3, 5s6s ³S₁至5s5p ³P_0,1,2态的电偶极跃迁矩阵元与Safronova等^[24]的结果存在差异. 这一现象在其他体系的计算中也曾观察到, 例如Si等^[53]在Zn XVIII离子3p3d(³F)4s ⁴F_9/2和3p2(³P) 4f ²G_9/2态跃迁几率的计算中, 发现MCDHF与CI+MBPT方法之间出现了超过7%的偏差. 该研究分析指出, 这种偏差主要源于两种方法对激发态电子组态混合系数的描述不同, 从而影响了跃迁矩阵元与跃迁概率的精度. 本文分析, MCDHF方法的结果与其他理论存在差异, 可能有以下两点原因: 1)不同理论方法对电子关联效应的处理方式不同. MCDHF方法通过活动空间方法^[37,39]系统考虑电子关联效应, CI+all-order等方法通过组态相互作用方法考虑价电子之间的关联效应, 采用多体微扰理论考虑了原子实电子之间和价电子与原子实电子之间的关联效应. 这可能导致不同方法计算的波函数混合系数与跃迁矩阵元产生系统性差异. 为了证明这一点, 我们还利用CI+all-order方法计算了5s² ¹S₀, 5s4d ³D_1,2,3, 5s6s ³S₁态的能级结构, 获得了对这些原子态贡献最大的部分组态和对应的混合系数. 表5展示了不同理论计算得到的混合系数的结果. 2) MCDHF方法在实际计算中受限于计算资源, 无法考虑所有的高阶电子关联效应. 此外, CI+all-order或CI+MBPT方法在构建组态空间与微扰项的计算方式上的差别也是导致跃迁矩阵元出现偏差的重要原因.

[1]	Lu X T, Guo F, Liu Y Y, Cao J, Li J A, Xia J J, Xu Q F, Lu B Q, Wang Y B, Chang H 2025 Metrologia 62 035007 doi: 10.1088/1681-7575/addc77
[2]	Aeppli A, Kim K, Warfield W, Safronova M S, Ye J 2024 Phys. Rev. Lett. 133 023401 doi: 10.1103/PhysRevLett.133.023401
[3]	Yu H W, Liu P, Li Y, Jia Z P, Zhang X, Yan J R, Li J, Dai H N, Chen Y A 2026 Measurement 257 118527 doi: 10.1016/j.measurement.2025.118527
[4]	Zhao G D, Xia J, Liu Y, et al. 2025 Chin. Phys. Lett. 42 063701 doi: 10.1088/0256-307X/42/6/063701
[5]	Grotti J, Nosske I, Koller S B, et al. 2024 Phys. Rev. Appl. 21 L061001 doi: 10.1103/PhysRevApplied.21.L061001
[6]	Bothwell T, Kennedy C J, Aeppli A, Kedar D, Robinson J M, Oelker E, Staron A, Ye J 2022 Nature 602 420 doi: 10.1038/s41586-021-04349-7
[7]	Kolkowitz S, Pikovski I, Langellier N, Lukin M D, Walsworth R L, Ye J 2016 Phys. Rev. D 94 124043 doi: 10.1103/PhysRevD.94.124043
[8]	Filzinger M, Dörscher S, Lange R, et al. 2023 Phys. Rev. Lett. 130 253001 doi: 10.1103/PhysRevLett.130.253001
[9]	Gorshkov A V, Rey A M, Daley A J, Boyd M M, Ye J, Zoller P, Lukin M D 2009 Phys. Rev. Lett. 102 110503 doi: 10.1103/PhysRevLett.102.110503
[10]	Tao R, Lib O, Gyger F, Timme H, Ammenwerth M, Bloch I, Zeiher J 2025 arXiv: 2506.10714 [quant-ph]
[11]	Akatsuka T, Hashiguchi K, Takahashi T, Ohmae N, Takamoto M, Katori H 2021 Phys. Rev. A 103 023331 doi: 10.1103/PhysRevA.103.023331
[12]	Hobson R, Bowden W, Vianello A, Hill I R, Gill P 2020 Phys. Rev. A 101 013420 doi: 10.1103/PhysRevA.101.013420
[13]	Ballantine K E, Wilkowski D, Ruostekoski J 2022 Phys. Rev. Res. 4 033242 doi: 10.1103/PhysRevResearch.4.033242
[14]	Mani B K, Angom D 2011 Phys. Rev. A 83 012501 doi: 10.1103/PhysRevA.83.012501
[15]	Barsanti M, Gianfrani L, Pavone F, Sasso A, Silvestrini C, Tino G M 1992 Z. Phys. D 23 145 doi: 10.1007/BF01436736
[16]	Bushaw B A, Kluge H J, Lantzsch J, Schwalbach R, Stenner J, Stevens H, Wendt K, Zimmer K 1993 Z. Phys. D 28 275 doi: 10.1007/BF01437259
[17]	Tang Y B 2026 Phys. Rev. A 113 022812
[18]	Bender D, Brand H, Pfeufer V 1984 Z. Phys. A 318 291 doi: 10.1007/BF01418086
[19]	Bushaw B A, Cannon B D 1997 Spectrochim. Acta Part B 52 1839 doi: 10.1016/S0584-8547(97)00066-9
[20]	Courtillot I, Quessada-Vial A, Brusch A, Kolker D, Rovera G D, Lemonde P 2005 Eur. Phys. J. D 33 161 doi: 10.1140/epjd/e2005-00058-0
[21]	Olmos B, Yu D, Singh Y, Schreck F, Bongs K, Lesanovsky I 2013 Phys. Rev. Lett. 110 143602 doi: 10.1103/PhysRevLett.110.143602
[22]	Zhang S N, Ramchurn P, Menchetti M, et al. 2020 J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 53 235301 doi: 10.1088/1361-6455/abbe2c
[23]	Wu F F, Tang Y B, Shi T Y, Tang L Y 2019 Phys. Rev. A 100 042514 doi: 10.1103/PhysRevA.100.042514
[24]	Safronova M S, Porsev S G, Safronova U I, Kozlov M G, Clark C W 2013 Phys. Rev. A 87 012509 doi: 10.1103/PhysRevA.87.012509
[25]	Porsev S G, Ludlow A D, Boyd M M, Ye J 2008 Phys. Rev. A 78 032508 doi: 10.1103/PhysRevA.78.032508
[26]	Brinkmann U 1969 Z. Phys. 228 440
[27]	Havey M D, Balling L C, Wright J J 1977 J. Opt. Soc. Am. 67 488 doi: 10.1364/JOSA.67.000488
[28]	Jönsson G, Levinson C, Persson A, Wahlström C G 1984 Z. Phys. A 316 255 doi: 10.1007/BF01439897
[29]	Heinz A, Park A J, Šantić N, et al. 2020 Phys. Rev. Lett. 124 203201 doi: 10.1103/PhysRevLett.124.203201
[30]	Nicholson T L, Campbell S L, Hutson R B, et al. 2015 Nat. Commun. 6 6896 doi: 10.1038/ncomms7896
[31]	Ruczkowski J, Elantkowska M, Dembczyński J 2016 J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 170 106 doi: 10.1016/j.jqsrt.2015.10.023
[32]	Schwartz C 1955 Phys. Rev. 97 380 doi: 10.1103/PhysRev.97.380
[33]	Andersson M, Jönsson P 2008 Comput. Phys. Commun. 178 156 doi: 10.1016/j.cpc.2007.07.014
[34]	Hertel I V, Schulz C P 2015 Atoms, Molecules and Optical Physics 1: Atoms and Spectroscopy (Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg) pp169–226
[35]	Jönsson P 1993 Phys. Scr. 48 678 doi: 10.1088/0031-8949/48/6/007
[36]	Li J G, Jönsson P, Godefroid M, Dong C Z, Gaigalas G 2012 Phys. Rev. A 86 052523 doi: 10.1103/PhysRevA.86.052523
[37]	Jönsson P, Gaigalas G, Fischer C F, et al. 2023 Atoms 11 68 doi: 10.3390/atoms11040068
[38]	Roos B O, Taylor P R, Sigbahn P E M 1980 Chem. Phys. 48 157 doi: 10.1016/0301-0104(80)80045-0
[39]	Olsen J, Roos B O, Jørgensen P, Jensen H J A 1988 J. Chem. Phys. 89 2185 doi: 10.1063/1.455063
[40]	Lu B Q, Lu X T, Li J G, Chang H 2022 Chin. Phys. B 31 43101 doi: 10.1088/1674-1056/ac29a6
[41]	Lu B Q, Lu X T, Li J G, Chang H 2022 Chin. Phys. Lett. 39 073201 doi: 10.1088/0256-307X/39/7/073201
[42]	Lu B Q, Lu X T, Wang T, Chang H 2022 J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 55 205002 doi: 10.1088/1361-6455/ac8f00
[43]	Lu B Q, Chang H 2022 Chin. Phys. B 32 13101 doi: 10.1088/1674-1056/ac90b0
[44]	Froese Fischer C, Gaigalas G, Jönsson P, Bieroń J 2019 Comput. Phys. Commun. 237 184 doi: 10.1016/j.cpc.2018.10.032
[45]	Mertzimekis T J, Stamou K, Psaltis A 2016 Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. , Sect. A 807 56 doi: 10.1016/j.nima.2015.10.096
[46]	Lu B Q, Zhang T X, Chang H, Li J G, Wu Y, Wang J G 2019 Phys. Rev. A 100 012504 doi: 10.1103/PhysRevA.100.012504
[47]	Grundevik P, Gustavsson M, Lindgren I, Olsson G, Olsson T, Rosén A 1983 Z. Phys. A 311 143 doi: 10.1007/BF01415098
[48]	Kramida A R Y, Reader J and NIST ASD Team 2024 NIST Atomic Spectra Database (version 5.12) https://www.nist.gov/pml/atomic-spectra-database
[49]	Gakkhar P, Angom D, Mani B K 2026 Phys. Rev. A 113 032817 doi: 10.1103/k2mx-wczj
[50]	Guo K, Wang G F, Ye A P 2010 J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 43 135004 doi: 10.1088/0953-4075/43/13/135004
[51]	Cooper A, Covey J P, Madjarov I S, Porsev S G, Safronova M S, Endres M 2018 Phys. Rev. X 8 041055 doi: 10.1103/PhysRevX.8.041055
[52]	García G, Campos J 1988 J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 39 477 doi: 10.1016/0022-4073(88)90093-3
[53]	Si R, Zhang C Y, Liu Y W, et al. 2017 J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 189 249 doi: 10.1016/j.jqsrt.2016.12.006

基于MCDHF方法的锶原子5s4d ³D_1,2,3, ¹D₂和5s6s ³S₁态超精细结构常数、朗德g因子及寿命的理论研究

作者简介: 第一作者.E-mail: wangyiming@ntsc.ac.cn .

通讯作者: E-mail: lubenquan@ntsc.ac.cn.; E-mail: changhong@ntsc.ac.cn.

Theoretical calculation of hyperfine structure constants, Landé g factors, and lifetimes of the 5s4d ³D_1,2,3, ¹D₂ and 5s6s ³S₁ states in strontium based on the multi-configuration Dirac-Hartree-Fock method

Corresponding authors: E-mail: lubenquan@ntsc.ac.cn.; E-mail: changhong@ntsc.ac.cn.

计量

基于MCDHF方法的锶原子5s4d ³D_1,2,3, ¹D₂和5s6s ³S₁态超精细结构常数、朗德g因子及寿命的理论研究

通讯作者: E-mail: lubenquan@ntsc.ac.cn.;

通讯作者: E-mail: changhong@ntsc.ac.cn.

作者简介: 第一作者.E-mail: wangyiming@ntsc.ac.cn
1. 中国科学院国家授时中心, 西安　710600

2. 时间基准及应用重点实验室, 西安　710600

3. 中国科学院大学天文与空间科学学院, 北京　101408

4. 合肥国家实验室, 合肥　230026

English Abstract

Theoretical calculation of hyperfine structure constants, Landé g factors, and lifetimes of the 5s4d ³D_1,2,3, ¹D₂ and 5s6s ³S₁ states in strontium based on the multi-configuration Dirac-Hartree-Fock method

Corresponding author: E-mail: lubenquan@ntsc.ac.cn.;

Corresponding authors: E-mail: changhong@ntsc.ac.cn.

全文HTML

2.1. 超精细相互作用

2.2. Zeeman效应

2.3. 电偶极跃迁

4.1. 超精细结构常数

4.2. 朗德g因子

4.3. 5s4d ³D_1,2,3和5s6s ³S₁态能级寿命

目录