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Kelvin-Helmholtz不稳定性(Kelvin-Helmholtz Instability, KHI)是流体力学中一种经典的剪切驱动不稳定性. 流体层间速度差异导致界面扰动呈指数级增大, 最终诱发流体界面出现涡旋卷曲、混合乃至结构破碎等现象[1–7]. KHI广泛存在于自然界与工程实践中, 诸如大气波状云[8–10]、海洋剪切流涡旋[11–14]、天体物理中星际介质剪切层形成的界面结构[15–17]、惯性约束聚变(inertial confinement fusion, ICF)靶丸材料混合[18]、高能量密度物理(high-energy-density physics, HEDP)实验中[19–23].
在流体介质中, 关于KHI的研究已基本呈体系化特征, 界面扰动的线性增长率、非线性演化及混合效应等方面取得较为显著的进展[24–29]. 近年来, 随着ICF、HEDP及材料加工技术, 如高速冲击焊接(high-velocity impact welding, HVIW)的迅猛发展, 固体界面中的KHI研究日益受到重视[30–35]. 区别于流体界面, 固体材料因具备剪切模量(G)、屈服强度(Y )等力学性能, 显著影响了不稳定性发展过程. 流体KHI的既有理论已难以直接适用于固体界面的复杂力学响应, 这推动了固体介质中KHI理论的发展.
对于界面处速度与密度呈间断分布的情况, Drennov等[36]针对超音速斜碰撞(无射流形成)条件下金属界面波状形貌的产生, 构建了理想流体-弹性固体界面的KHI线性稳定性理论模型, 并理论粗估了塑性材料的稳定性判据, 分析认为高应变率引起的局部热软化导致材料剪切模量与屈服强度显著下降是诱发界面失稳的原因. Wang等[37,38]建立了理想流体与弹性理想塑性固体界面的KHI理论模型, 推导给出了界面振幅演化、扰动增长率的解析表达式以及弹塑性转换与不稳定性边界, 其研究指出材料屈服是扰动得以持续增长的必要条件, 同时阐明了At数等无量纲参数对不稳定性演化过程的影响规律.
Nassiri等[39]发现在HVIW中同种金属铝界面碰撞点附近形成了自接触界面向两侧延伸的对称射流状速度剖面(jet-like profile). 为了研究这种速度剖面是否会引起焊接界面呈现波状形貌这一物理现象, Nassiri等[40]采用正则模理论结合理想塑性本构模型, 给出了由对称射流状速度剖面诱导波状结构形成的焊接机制.
但是, 现有研究未探讨过非对称速度与密度梯度对界面扰动发展的影响. 在自然与工程领域的很多场景中, 固体界面的速度与密度通常呈现出非对称连续分布特征, 例如斜激波加载固体界面[41–44]、HVIW界面剧烈碰撞[45,46]、ICF靶丸冲击压缩过程[47,48]中界面两侧材料速度与密度的连续演化现象等.
因此, 本研究通过引入非对称速度与密度梯度效应, 发展理想流体与弹性理想塑性固体界面理论模型, 推导描述界面扰动发展的弹塑性转换(elastic-plastic transition, EP)、不稳定性边界(instability boundary, IB)、振幅发展等的理论公式, 采用理论方法研究速度与密度梯度对界面扰动发展的作用机制与规律.
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考虑图1所示的二维笛卡尔坐标系下的界面系统, 界面初始偏离y = 0位置一个小量ξ(0) = ξ0, 使界面呈现为ξ0cos(kx)的余弦函数形式, ξ0为初始扰动振幅, k = 2π/λ为波数, λ是扰动波长. 为数学处理简便, 初始界面扰动在运动过程中具有如下形式:
其中, η(x, t)为界面位置, ξ(t)为t时刻的扰动振幅. 界面上方为弹性理想塑性固体, 远离界面的固体具有切向速度Us,0、密度ρs,0、剪切模量Gs、屈服强度Ys; 界面下方为理想流体, 远离界面的流体具有切向速度Uf,0、密度ρf,0. 界面附近切向速度与密度具有连续梯度分布特征[49,50], 对于固体区域有
对于流体区域有
这里, Lu为速度梯度厚度,
$ \Delta U={U}_{\text{s}, 0}-{U}_{\text{f}, 0} $ ; Lρ为密度梯度厚度,$ \Delta \rho ={\rho }_{\text{s}, 0}-{\rho }_{\text{f}, 0} $ . 由于初始扰动为小扰动, 本文主要讨论Lu$\gg $ η和Lρ$\gg $ η的情况.对于不可压缩介质, 连续性方程为
其中i = s或i = f, 表示界面两侧的固体或流体; ui表示介质i的扰动速度. 不考虑保守力与非保守力, 动量方程为
式中, pi为压力. 对于无旋流动, 引入扰动速度势ϕi:
其中ϕi满足拉普拉斯方程
$\nabla^2 {\phi }_{{i}} =0 $ . 考虑(1)式的形式, 扰动速度势有式中, Ai(t)是与扰动振幅相关的系数. 考虑初始切向速度分布, 速度势可写为
对于固体介质, 将动量方程(7)沿y方向从y = 0积分到瞬时界面位置y = η(x, t),
其中ps,0为未引入扰动的界面处的初始压力. 由于介质间速度差是诱导扰动发展的关键, 因此将坐标系固定于固体介质上, 即有Us,0 = 0. 将(2)式、(3)式代入方程(11), 积分后得到
对于流体介质, 将动量方程(7)沿y方向从y = 0积分到瞬时界面位置y = η(x, t):
考虑界面法向速度的连续性:
其中, n为扰动界面的单位法向向量. 结合(1)式、(9)式和(10)式可得Ai(t)与ξ(t)的关系:
对于界面处小扰动y ~ 0,
因此
其中,
当Us, 0 = 0时,
$ \Delta U=-{U}_{\text{f}, 0},\; {U}_{\text{eff}}={U}_{\text{f}, 0}/2 $ . 将(17)式—(19)式分别代入(12)式和(14)式中得到考虑界面法向应力平衡:
其中,
$ S_{\text{s}, yy}^{\text{ep}} $ 表示固体介质偏应力的垂直分量. 在弹性变形阶段, 固体遵循Hookean关系[51]:其中, Ds,ij是应变率张量. 由(8)式、(9)式、(18)式、(23)式和(24)式可得弹性变形阶段固体的偏应力垂直分量:
当固体介质等效应力
$ \overline{\sigma }=\sqrt{3{S}_{\text{s}, ij}{S}_{\text{s}, ij}/2} $ 达到屈服强度Ys时, 固体发生塑性变形, 偏应力的垂直分量为[37,38]发生屈服时的扰动振幅ξp为
将(20)式、(21)式、(25)式和(26)式代入(22)式, 并结合在界面引入扰动前的平衡状态下有Cf = Cs, 可得振幅运动方程:
引入以下无量纲量:
(30)式中α, β分别为与速度和密度梯度相关的特征参量. 将(29)式—(33)式代入(28)式可得无量纲形式的振幅运动方程:
当弹性阶段界面扰动在某一时刻τe的最大振幅等于发生塑性变形所需振幅zp时(即
$z(\tau_{\rm e}) = z_{\rm p}$ , 界面即发生弹塑性转换; 当界面扰动振幅在某一时刻τm存在最大值(即$\dot z(\tau_{\mathrm{m}})=0 $ ,$ \ddot{z} (\tau_{\rm m}) = 0 $ ), 界面将处于稳定状态, 否则界面失稳. 结合以上条件以及文献[38]的方法, 可由(34)式推导获得弹塑性转换EP与不稳定性边界IB:其中,
根据文献[37, 38]中的方法, 也可求得(34)式的解, 共4个解. 扰动振幅有两个稳定状态的解. 一个是处于弹性振荡状态的稳定解:
另一个是发生弹塑性转变的稳定解, 初始扰动由弹性振荡至发生塑性变形, 屈服后的振幅在强度抑制下发展到最大值, 此后在最大值附近做弹性振荡:
扰动振幅还有两个失稳状态的解. 当
$ -M_{1}^{2}-\left({\varLambda }-{M}_{2}\right) \lt 0 $ 时, 初始扰动由弹性振荡至发生塑性变形, 塑性变形后扰动振幅持续增长:当
$ -M_{1}^{2}-\left(\varLambda -{M}_{2}\right)\geqslant 0 $ 时, 初始扰动在弹性变形阶段增长至屈服, 塑性变形后扰动振幅持续增长: -
接下来分别分析速度梯度、密度梯度的影响, 再讨论速度与密度梯度共同作用下的净效应. 分析速度梯度的影响时, 未考虑密度梯度的作用, 即为界面附近速度梯度分布与密度间断分布的情况, 有Lu ≠ 0和Lρ = 0, 图2给出了模型计算结果. 图2(a)中At = 0.4, M0 = 0.4, 分别计算了速度间断分布(图中的no gradient)以及α = 0.6, 0.3, 0.2条件下的EP与IB, 根据(30)式, 3个α值分别对应kLu = 0.67, 2.33, 4.0. 图2(b)中At = –0.4, M0 = 0.4, 同样计算了速度间断分布以及 α = 0.6, 0.3, 0.2的EP与IB.
如图2(a)所示, 虚线、实线分别为EP, IB曲线, EP和IB曲线将(
$ \hat{\lambda } $ ,$ \hat Y $ )参数空间划分为3个区域: 在EP曲线与坐标轴之间的空间, 界面处于弹性稳定状态, 扰动振幅发生弹性振荡; 在EP与IB曲线之间, 界面处于发生塑性变形的稳定状态, 扰动振幅由弹性振荡至发生塑性变形, 并在振幅最大值附近做弹性振荡; 在IB曲线以上, 界面处于失稳状态, 扰动振幅持续增长. 当At > 0时, 随着α减小(即kLu增大),$ \hat Y_{\mathrm{EP}} $ 和$\hat {Y}_{\mathrm{IB}} $ 均增大, EP和IB向远离坐标轴的方向发展, EP远离坐标轴说明弹性变形区域扩大, IB远离坐标轴说明稳定区域扩大. 与速度间断情况相比, 速度梯度的存在使更多$ \hat{\lambda } $ 和$ \hat Y $ 参数组合的界面由不稳定状态变为稳定状态; 对于具有固定k的初始扰动, 速度梯度厚度Lu的增大, 提升了界面的稳定性. 图2(a)中每组At, M0, α计算的EP均位于IB下方, 考虑速度梯度后, 界面失稳的必要条件仍然是固体介质发生屈服. 图2(b)与图2(a)的区别为At = 0.4变为At = –0.4, At <0时, 随着α减小, EP和IB呈现与At >0时相同的变化特征, 速度梯度具有致稳作用, 不同的是EP与IB整体更靠近坐标轴, 这主要是受At变化的影响.采用图2(a)的At, M0, α参数值, 计算了
$ \hat{\lambda } $ = 0.06,$\hat {Y} $ = 171.06(即图2(a)黑点位置)的无量纲振幅z沿时演化过程, 如图3所示. 当速度间断分布时, 振幅随时间明显增大, 界面处于失稳状态; α = 0.6时, 界面处存在连续速度梯度分布, 虽然振幅仍然持续增长, 但是增长速率明显降低; α = 0.3时, 振幅由弹性振荡至发生塑性变形, 屈服后的振幅在强度抑制下发展到最大值, 此后在最大值附近做弹性振荡, 界面处于稳定状态; 当α = 0.2时, 振幅进一步减小.在以上结果与分析基础上, 固定α = 0.6, 仅调整β, 分析密度梯度的影响, 此时为界面附近速度与密度均呈连续梯度分布的情况, 即Lu ≠ 0和Lρ ≠ 0. 图4(a), (b)分别为At = 0.4, M0 = 0.4, α = 0.6与At = –0.4, M0 = 0.4, α = 0.6时, β = 0.6, 0.3, 0.2的EP与IB, 3个β值分别对应kLρ = 0.67, 2.33, 4.0. 图4(a), (b)再次分别给出了图2(a), (b)中速度与密度间断分布(图中的no gradient)以及速度梯度分布与密度间断分布(图中的α = 0.6)的EP与IB, 以便对比分析. 如图4(a)所示, 当α = 0.6, β = 0.6时, 速度与密度均为梯度分布, 与速度梯度分布、密度间断分布(图中的α = 0.6)相比,
$\hat {Y}_{\mathrm{EP}} $ 和$\hat {Y}_{\mathrm{IB}} $ 减小, EP和IB向靠近坐标轴的方向移动, 弹性变形区域、稳定性区域减小, 密度梯度的存在使更多$ \hat{\lambda } $ 和$\hat {Y} $ 参数组合的界面由稳定状态变为失稳状态. 随着kLρ增大, 即β减小, 如α = 0.6, β = 0.3和α = 0.6, β = 0.2时, EP和IB进一步向坐标轴靠近, 界面稳定性降低. 当At变为–0.4后, 如图4(b)所示, β的作用不同于At = 0.4. 当α = 0.6, β = 0.6时, 与α = 0.6时相比,$\hat {Y}_{\mathrm{EP}} $ 和$\hat {Y}_{\mathrm{IB}} $ 增大, EP和IB向远离坐标轴方向移动, 弹性变形区域、稳定性区域扩大. 当β减小至0.3和0.2时, EP和IB继续远离坐标轴, 说明At = –0.4时的密度梯度分布与间断分布相比对界面扰动发展有致稳作用.采用图4(a)的At, M0, α, β 参数值, 计算了
$ \hat{\lambda }= 0.06 $ ,$\hat {Y}= 171.06 $ (即图4(a)黑点位置)的无量纲振幅z沿时演化过程, 如图5所示. 图5也再次分别给出了图3中速度与密度间断分布(图中的no gradient)以及速度梯度分布与密度间断分布(图中的α = 0.6)的无量纲振幅. α = 0.6, β = 0.6时, 界面处存在速度与密度梯度, 与α = 0.6相比, 扰动振幅增长速率显著增大. 随着kLρ增大, 如α = 0.6, β = 0.3和α = 0.6, β = 0.2时, 振幅增长速率持续增大, 但仍低于间断分布时的扰动增长速率. 由此可见, 当At > 0时, 速度梯度致稳, 而密度梯度促进界面失稳.综上所述, At > 0时, 速度梯度特征参量α减小(即kLu增大), 使界面扰动发展更为稳定, 密度梯度特征参量β减小(即kLρ增大), 使界面扰动发展更为不稳定; At < 0时, α, β减小均使界面扰动发展更为稳定. 可见, At > 0时, α与β对界面扰动发展的影响存在竞争关系.
通过引入T = β/α, 以讨论At > 0时速度与密度梯度共同作用下的耦合影响. 图6给出了At = 0.4, M0 = 0.4,
$ \hat{\lambda } $ = 0.06时, T = 3.0, 2.0, 1.6, 0.5, 0.1下$\hat {Y}_{\mathrm{EP}} $ 和$\hat {Y}_{\mathrm{IB}} $ 随α的变化. 随着T减小,$\hat {Y}_{\mathrm{EP}} $ 和$\hat {Y}_{\mathrm{IB}} $ 均减小, 曲线位置逐渐向下移动, 曲线下方的稳定区域缩小, 更多界面扰动变得不稳定. 另外, 不同T值曲线呈现出不同的变化趋势: 当T = 3.0, 2.0时, 曲线随着α减小呈下降趋势,$\hat {Y}_{\mathrm{EP}} $ 和$\hat {Y}_{\mathrm{IB}} $ 均降低, 表明速度与密度梯度共同作用下的净效应表现为使界面失稳; 当T = 1.6时, 曲线未出现明显上升和下降趋势,$\hat {Y}_{\mathrm{EP}} $ 和$\hat {Y}_{\mathrm{IB}} $ 变化较小, 说明速度与密度梯度竞争下的影响基本相互抵消; 当T = 0.5, 0.1时, 曲线随着α减小呈上升趋势,$\hat {Y}_{\mathrm{EP}}$ 和$\hat {Y}_{\mathrm{IB}} $ 增大, 速度与密度梯度竞争的净效应表现为使界面稳定. -
本文通过发展包含速度与密度梯度的理想流体与弹性理想塑性固体界面KHI理论模型, 结合定义的无量纲量, 推导获得了描述扰动发展特征的弹塑性转换、不稳定性边界、振幅沿时演化的无量纲理论公式, 给出了速度与密度梯度对扰动发展的影响规律, 具体结论包括:
1)速度梯度特征参量α减小(即kLu增大), 对界面扰动发展具有致稳作用, 使振幅由持续的增长, 转变为强度抑制后的小幅振荡.
2)密度梯度对扰动发展的影响与At 有关: At > 0时, 密度梯度特征参量β减小(即kLρ增大), 使界面扰动发展更易失稳; At < 0时, β减小具有致稳作用.
3)当速度梯度与密度梯度同时存在时, 对于At > 0, α与β对界面扰动发展的影响存在竞争关系, 其净效应与T = β/α的大小相关: T较大时, 净效应表现为使界面失稳, T较小时表现为使界面稳定.
固体介质Kelvin-Helmholtz不稳定性的速度与密度梯度效应
Velocity and density gradient effects of Kelvin-Helmholtz instability in solid media
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摘要: 固体介质Kelvin-Helmholtz不稳定性是惯性约束聚变、高能量密度物理等领域中的重要现象. 本文通过发展速度梯度作用下包含密度梯度的理想流体与弹性理想塑性固体界面理论模型, 结合无量纲量(速度梯度特征参量α = 1/(1+kLu)和密度梯度特征参量β = 1/(1+kLu), 其中Lu和Lρ为速度、密度梯度厚度, k为波数), 推导获得了描述扰动发展特征的弹塑性转换、不稳定性边界、振幅演化的解析公式, 给出了速度与密度梯度对扰动发展的影响规律. 速度梯度特征参量α减小, 对界面扰动发展具有致稳作用, 使振幅由持续的增长, 转变为强度抑制后的小幅振荡. 密度梯度β对扰动发展的影响与Atwood数(At)有关: At > 0时, β减小使界面更易失稳; At < 0时, β减小具有致稳作用. 当速度梯度与密度梯度同时存在时, 对于At > 0, α与β对界面扰动发展的影响存在竞争关系, 其净效应与T = β/α的大小相关: T较大时, 净效应表现为使界面失稳, T较小时表现为使界面稳定.
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关键词:
- Kelvin-Helmholtz不稳定性 /
- 弹塑性固体 /
- 速度梯度 /
- 密度梯度
Abstract: Kelvin-Helmholtz instability (KHI) in solid media plays an important role in fields such as inertial confinement fusion (ICF) and high-energy-density physics (HEDP). Although KHI in fluids has been extensively investigated, its manifestation in solids remains far less understood. Recent theoretical studies have begun to address KHI at interfaces between an ideal fluid and an elastic-perfectly plastic solid; however, these models are generally restricted to idealized interfaces with discontinuous jumps in velocity and density. In many realistic scenarios, including inclined shock loading of solid interfaces, high-velocity impact welding, and ICF target compression, velocity and density instead vary continuously and asymmetrically across finite interfacial layers. To address this limitation, we develop a theoretical model for KHI at an interface between an ideal fluid and an elastic-perfectly plastic solid that explicitly incorporates continuous velocity and density gradients. We consider an ideal fluid flowing past a metal surface perturbed by a small-amplitude sinusoidal disturbance with wavelength λ (wavenumber k = 2π/λ) and amplitude ξ0. The perturbed interface separates a solid, characterized by shear modulus Gs, yield strength Ys, and far-field density ρs,0, from a fluid with far-field density ρf,0. Both velocity and density vary continuously across characteristic thicknesses Lu and Lρ. The perturbation flow is assumed irrotational and described using velocity potentials, while the elastic-plastic response of the solid is incorporated through interfacial normal-stress conditions. By introducing dimensionless parameters—the velocity and density gradient parameters α = 1/(1+kLu) and β = 1/(1+kLρ), the normalized wavenumber $ \hat{\lambda }=2\text{π} {\xi }_{0}/\lambda $and the normalized strength $ \hat{Y}={\rho }_{\text{s},0}U_{\text{f},0}^{2}/{Y}_{\text{s}} $—we derive analytical expressions for the elastic-plastic transition (EP), the instability boundary (IB), and the temporal evolution of the perturbation amplitude. A decrease in the velocity gradient parameter α stabilizes the interface, converting sustained perturbation growth into small-amplitude oscillations after strength suppression. In the ($ \hat{\lambda } , \hat{Y} $) parameter space, this stabilization manifests as an expansion of the stable region, with both the EP and IB curves shifting away from the coordinate axes. The effect of the density gradient depends on the Atwood number At. For At > 0, a decrease in β destabilizes the interface, shifting the EP and IB curves toward the axes and shrinking the stable region; for At < 0, a decrease in β instead promotes stability. When both velocity and density gradients are present and At > 0, their competing effects are governed by the ratio T = β/α: for sufficiently large T, the net effect is destabilizing, whereas for sufficiently small T, the net effect is stabilizing.-
Key words:
- Kelvin-Helmholtz instability /
- elastic-plastic solid /
- velocity gradient /
- density gradient .
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图 1 连续速度与密度梯度分布的KHI模型示意图
Figure 1. Schematic diagram of the KHI model with continuous velocity and density gradients.
图 2 不同α下弹塑性转换、不稳定性边界的变化 (a) At = 0.4, M0 = 0.4; (b) At = –0.4, M0 = 0.4
Figure 2. Changes in the elastic-plastic transition and instability boundary under different α: (a) At = 0.4, M0 = 0.4; (b) At = –0.4, M0 = 0.4.
图 3 At = 0.4, M0 = 0.4时不同α下
$ \hat{\lambda }= 0.06 $ ,$\hat {Y}= 171.06 $ 的界面扰动振幅的变化Figure 3. Variations of interfacial perturbation amplitude of
$ \hat{\lambda }{=} 0.06 $ ,$\hat {Y} {=} 171.06 $ under different α at At = 0.4, M0 = 0.4
图 4 不同α, β下弹塑性转换、不稳定性边界的变化 (a) At = 0.4, M0 = 0.4; (b) At = –0.4, M0 = 0.4
Figure 4. Variations of the elastic-plastic transition and instability boundary under different α, β: (a) At = 0.4, M0 = 0.4; (b) At = –0.4, M0 = 0.4.
图 5 At = 0.4, M0 = 0.4时不同α, β下
$ \hat{\lambda }= 0.06 $ ,$\hat {Y} = $ $ 171.06$ 的界面扰动振幅的变化Figure 5. Variations of the interfacial perturbation amplitude of
$ \hat{\lambda } = 0.06$ ,$\hat {Y} = 171.06$ under different α, β at At = 0.4 and M0 = 0.4. -
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