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动力电池的精确建模直接关系到动力电池运行状态的实时估算、全生命周期的故障诊断, 以及复杂工况下的安全管控. 目前常用的锂离子电池模型主要有等效电路模型[1]、电化学模型[2]和数据驱动模型[3], 其中电化学模型相比其他两种模型而言, 能够更详细地描述电池内部电化学反应、离子扩散、电极表面反应等过程, 在动力电池运行状态估计、剩余寿命预测及容量衰减表征方面具有明显的优势. 目前应用最广、精度最高的电化学模型是由Doyle等[4]开发的伪二维模型(pseudo-two-dimensions, P2D), 但P2D模型受限于偏微分方程组数值求解过程中的高计算复杂度, 以及固-液界面多相反应参数的非线性辨识难题, 很难有效应用于实际的动力电池管理系统. 为提高电化学模型的工程实用性, 开展电化学模型的降阶重构研究势在必行.
增加前置假设条件、近似表达固液相扩散过程是当前电化学模型降阶重构方法的主要研究思路. 考虑到固液相锂离子浓度分布状态呈近似抛物线形态的观测特征[5], 采用抛物线多项式逼近方法, 分别对电极颗粒内部及电解液中的锂离子浓度分布进行数学近似, 可以实现固液相扩散方程的降阶重构与高效表征. Subarmanian等[6,7]提出的固相锂离子浓度抛物线近似方法因其较高的精度及良好的理论可解释性, 被广泛用于多种电化学模型的降阶重构研究中. 例如, Kumar[8]基于该固相重构方法, 进一步假设液相锂离子浓度为体积平均值, 验证了模型在1C (C为放电倍率符号, 1C的电流表示电池在1 h内完全放电所需要的电流值)放电倍率下的精度; 课题组前期对比评估了多种电化学模型的降阶重构策略, 指出液相锂离子浓度的近似精度是决定降阶后电化学模型预测准确性的关键因素[9]; Wu等[10]基于液相锂离子浓度的体积平均近似, 引入2阶抛物线形式的数学描述进行耦合, 进而将降阶模型的适用放电倍率拓展至3C; Li等[11,12]在相同固相近似的基础上引入2阶抛物线描述液相锂离子浓度分布, 构建了相应的降阶模型, 并在低倍率(0.5C—1C)下验证了其准确性; 刘征宇等[13]进一步采用3阶抛物线重构液相锂离子浓度, 提出了效果更好的降阶模型 (liquid simplified P2D)——LSP2D模型, 该模型相比其他降阶模型而言自由度更低, 求解效率更高但仅适用于较低倍率(1C—3C)工况. 综合上述研究现状发现: 目前基于抛物线近似的电化学模型降阶重构方法都存在一个共性问题, 即其精度目前主要局限于较低倍率工况(1C—3C), 而随着新能源汽车的弹射起步、连续急加速、满载爬坡、频繁超车, 新能源工程机械的瞬间加压、举升重物, 无人机的机动性需求(急升、急降、高速飞行等)等场景需求的不断普及, 对应动力电池频繁遭遇峰值高倍率放电、持续高倍率放电等工况, 高放电倍率的应用场景对动力电池电化学模型降阶重构方法提出了严峻挑战.
综上, 课题组前期在对液相锂离子浓度分布进行降阶重构时, 发现目前提出的LSP2D模型未能充分体现扩散项在液相锂离子传输过程中的关键作用, 从而导致了高倍率工况下模型精度的显著下降. 因此, 提出一种基于改进LSP2D的锂离子电池电化学模型降阶重构方法, 以期将LSP2D电化学降阶模型拓展至高倍率工况场景.
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如图1所示, P2D模型基于浓溶液理论和多孔电极理论构建而成, 由多孔正负极、隔膜和集流体组成, 假设正负极活性材料为大小均匀且分布规律的球形颗粒[14], Lp, Ln分别为正负极的厚度, Ls为隔膜厚度, 正负极和隔膜区域内都充满电解液[15], 模型采用一个Butler-Volmer方程和4个偏微分方程来描述固、液相锂离子的扩散过程和固液相之间的电势分布, 其中锂离子在活性颗粒内部的浓度变化由Fick第二定律定义, 在液相中的迁移过程由Nernst-Volmer方程描述, 固液相电势变化基于电荷守恒定义[16].
1)固相锂离子浓度控制方程:
其中
$ {D}_{\mathrm{s}} $ 为固相锂离子浓度扩散系数,$ r $ 为电极内活性球形颗粒的有效半径,$ 0\leqslant r\leqslant {R}_{\mathrm{s}} $ ($ {R}_{\mathrm{s}} $ 表示活性球形颗粒半径),$ {c}_{\mathrm{s}} $ 为固相锂离子浓度. 边界条件如下:此处
$ {j}_{\mathrm{f}} $ 表示局部体积电流密度, 和反应电流密度$ j $ 的关系为$ {j}_{\mathrm{f}}={a}_{\mathrm{s}}Fj $ ,$ F $ 是法拉第常数,$ {a}_{\mathrm{s}} $ 是电极颗粒的比表面积$ {a}_{\mathrm{s}}= {3{\varepsilon }_{\mathrm{s}}}/{{R}_{\mathrm{s}}} $ ,$ {\varepsilon }_{\mathrm{s}} $ 为固相体积分数.2)液相锂离子浓度控制方程:
其中
$ {\varepsilon }_{\mathrm{e}} $ 表示液相体积分数,$ D_{\mathrm{e}}^{\mathrm{eff}}={D}_{\mathrm{e}}\varepsilon _{\mathrm{e}}^{\mathrm{Brugg}} $ 表示液相有效扩散系数,$ {D}_{\mathrm{e}} $ 表示液相扩散系数, Brugg表示锂离子电池内部的Bruggman系数(即电极内部的曲折度系数, 描述多孔电极中空隙结构的曲折性对锂离子在电解液中扩散和迁移过程的影响, 是几何修正系数),$ {t}^{\mathbf{+}} $ 表示锂离子迁移数量,$ {c}_{\mathrm{e}} $ 表示液相锂离子浓度. 其边界条件如下:其中
$ L={L}_{\mathrm{n}}+{L}_{\mathrm{s}}+{L}_{\mathrm{p}} $ .3)固相电势方程:
其中固相有效电导率
$ \sigma _{\mathrm{s}}^{\mathrm{eff}}={\sigma }_{\mathrm{s}}\varepsilon _{\mathrm{s}}^{\mathrm{Brugg}} $ ,$ {\sigma }_{\mathrm{s}} $ 为固相电导率,$ {\varepsilon }_{\mathrm{s}} $ 为固相体积分数,$ {\varphi }_{\mathrm{s}} $ 为固相电势. 其边界条件如下:其中I为负载电流; A为电极横截面积.
4)液相电势方程:
其中液相有效电导率
$ \sigma _{\mathrm{e}}^{\mathrm{eff}}={\sigma }_{\mathrm{e}}\varepsilon _{\mathrm{e}}^{\mathrm{Brugg}} $ ,$ {\sigma }_{\mathrm{e}} $ 表示液相电导率,$ \dfrac{\mathrm{d \ln}{f}_{\mathbf{\pm }}}{\mathrm{d \ln}{c}_{\mathrm{e}}} $ 表示电解液的活性系数,$ {\varphi }_{\mathrm{e}} $ 为液相电势,$ T $ 是温度,$ R $ 是理想气体常数. 其边界条件如下:5) Butler-Volmer动力学方程
锂离子电池的局部体积电流密度
$ {j}_{\mathrm{f}} $ 可以表示为其中
$ \eta $ 表示过点位,$ \alpha $ 表示传递常数, 下标a和c分别代表阳极和阴极, 交换电流密度$ {i}_{0} $ 为其中k为反应速率常数,
$ {c}_{\mathrm{s}, \mathrm{max}} $ 为最大固相Li+浓度,$ {c}_{\mathrm{s}, \mathrm{e}} $ 为固相颗粒表面Li+浓度. -
如图2所示, 传统LSP2D模型在对固液相锂离子浓度均作抛物线近似后, 利用只包含固液相锂离子浓度为未知参量的端电压表达式得到[17], 首先利用正负极的平均电流密度代替端电压求解中所需的电流密度, 得到的正负极过电位[18]为(16)式和(17)式所示:
其中
之后对(9)式分析求解推导出只包含液相锂离子浓度的液相电势[19]为
最后得到只包含固液相锂离子浓度两个未知参数的端电压表达式为[20]
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改进LSP2D模型构建策略如图3所示, 其与传统LSP2D模型主要的区别在于液相锂离子浓度3阶抛物线近似形式, 传统LSP2D模型为提升计算效率而对液相锂离子浓度控制方程进行降阶处理时, 忽略了扩散过程对液相锂离子浓度分布的影响, 导致在扩散效应占主导作用的高倍率工况下, 其液相锂离子浓度预测精度相较于全阶P2D模型显著下降甚至出现失真. 为此, 本研究从电化学模型的内在机理出发, 针对该缺陷重新构造了液相锂离子浓度的3阶抛物线近似表达式, 通过在电极与隔膜区域分别引入定向坐标变量z[21](各区域中x和z的方向如图1所示), 有效避免了边界条件对扩散项描述的干扰.
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假设粒子内的浓度分布为2阶抛物线形式:
利用固相表面浓度
$ {c}_{\mathrm{s}, \mathrm{e}}\left(t\right) $ 和固相体积平均浓度$ \overline{c}_{\mathrm{s}}\left(t\right) $ 表示固相锂离子浓度$ {c}_{\mathrm{s}}\left(r, t\right) $ :其中
$ {c}_{\mathrm{s}, \mathrm{e}}\left(t\right) $ ,$ \overline{c}_{\mathrm{s}}\left(t\right) $ 由下列公式得到: -
由于不同区域的液相有效扩散系数及液相体积分数不同, 因此液相锂离子浓度控制方程(3)又可表示为
本研究将三个区域内的液相锂离子浓度均表述为3阶抛物线轮廓的近似形式, 其中电极厚度变量x用z代替, 本研究方法与原始LSP2D方法的一个关键区别在于抛物线近似方法中间项阶次的选择: 受Luo等[22]提出的液相2阶抛物线近似的启发, 发现降阶后包含扩散项的液相锂离子浓度变化形式在1C—3C放电倍率下有更优的表征精度, 因此本研究的主要目的是通过对液相锂离子浓度分布做合理修正, 使液相扩散项呈现在降阶后的液相锂离子浓度分布式中, 此特性从根本上增强了降阶模型在高倍率工况下的数值稳定性与计算鲁棒性.
将(29)式代入液相锂离子浓度的边界条件(4)式—(6)式可得
通过沿z轴积分电解质浓度的函数可以获得三个区域中锂离子的总量:
在求解(30)式—(38)式之前, 还需获得
$ {Q}_{\mathrm{e}, i} $ 的表达, 首先利用(8)式电荷守恒的边界条件, 沿着整个电极两侧积分得到:利用(26)式—(28)式沿着整个电极和隔膜区域积分, 代入(39)式和(40)式, 得到锂离子总量为
由于液相锂离子浓度的初始分布已知, 且沿着三个区域保持均匀, 因此锂离子初始总量满足:
并且(29)式中的系数满足初始条件:
利用(30)式—(35)式得到其他设定参数与参数
$ {b}_{0}\left(t\right), {b}_{2}\left(t\right), {b}_{8}\left(t\right) $ 之间的关系, 结合(36)式—(38)式与(41)式—(43)式之间的关系及边界条件(45)式, 求得这3个参数. 为降低模型的数值计算复杂度, 简化$ {b}_{0}\left(t\right), {b}_{2}\left(t\right), {b}_{8}\left(t\right) $ 这3个参数的表达形式为 -
本方法在传统LSP2D模型的基础上对液相锂离子浓度的重构方法进行改进, 该方法需将
$ {\phi }_{\mathrm{e}} $ 表示为$ {c}_{\mathrm{s}} $ 与$ {c}_{\mathrm{e}} $ 的函数((20)式), 进而将模型的端电压方程化简为仅耦合$ {c}_{\mathrm{s}} $ 和$ {c}_{\mathrm{e}} $ 两个参数的表达式((21)式), 最后将式中的固液相锂离子浓度求解方法更换为改进后的方法, 即可得到改进LSP2D模型的端电压计算形式. -
本文用于锂离子电池实验仿真的参数如表1所列, 仿真软件采用Windows操作系统下COMSOL软件, 设置温度为25 ℃. 本文以P2D模型为标准, 对比分析改进LSP2D模型和传统LSP2D模型.
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本文主要对液相锂离子浓度的表达做出改进, 而液相锂离子浓度在放电末期会趋于稳定, 因此选取放电末期研究液相锂离子浓度分布状况. 图4展示了在放电末期(电压下降到3 V以下) 1C—7C放电倍率下传统LSP2D、改进LSP2D, P2D模型的液相锂离子浓度对比情况, 从图中可以很直观地看到改进LSP2D模型较传统LSP2D模型而言, 在各个倍率工况下液相锂离子浓度分布的精度更高.
如图5所示, 1C放电倍率下传统LSP2D模型与P2D模型的液相锂离子浓度最大绝对误差为6.821 mol/m3, 改进LSP2D模型与P2D模型的液相锂离子浓度最大绝对误差为0.071 mol/m3, 相对传统LSP2D模型而言精度提高98.96%; 2C放电倍率下传统LSP2D模型与P2D模型的液相锂离子浓度最大绝对误差为28.89 mol/m3, 改进LSP2D模型与P2D模型的液相锂离子浓度最大绝对误差为0.208 mol/m3, 相对传统LSP2D模型而言精度提高99.28%; 3C放电倍率下传统LSP2D模型与P2D模型的液相锂离子浓度最大绝对误差为63.02 mol/m3, 改进LSP2D模型与P2D模型的液相锂离子浓度最大绝对误差为1.613 mol/m3, 相对传统LSP2D模型而言精度提高97.44%.
如图6所示, 在4C放电倍率下传统LSP2D模型与P2D模型的液相锂离子浓度最大绝对误差为106.5
$ \mathrm{mol}/{\mathrm{m}}^{3} $ , 改进LSP2D模型与P2D模型的液相锂离子浓度最大绝对误差为11.36$ \mathrm{mol}/{\mathrm{m}}^{3} $ , 相比传统LSP2D模型精度提高89.33%; 在5C放电倍率下传统LSP2D模型与P2D模型液相锂离子浓度最大绝对误差为80.50$ \mathrm{mol}/{\mathrm{m}}^{3} $ , 改进LSP2D模型与P2D模型的液相锂离子浓度最大绝对误差为4.572$ \mathrm{mol}/{\mathrm{m}}^{3} $ , 相比传统LSP2D模型精度提高94.32%; 在6C放电倍率下传统LSP2D模型与P2D模型的液相锂离子浓度最大绝对误差为91.29$ \mathrm{mol}/{\mathrm{m}}^{3} $ , 改进LSP2D模型与P2D模型的液相锂离子浓度最大绝对误差为11.90$ \mathrm{mol}/{\mathrm{m}}^{3} $ , 相对传统LSP2D模型精度提高86.96%; 在7C放电倍率下传统LSP2D模型与P2D模型的液相锂离子浓度最大绝对误差为136.3$ \mathrm{mol}/{\mathrm{m}}^{3} $ , 改进LSP2D模型与P2D模型的液相锂离子浓度最大绝对误差为8.610$ \mathrm{mol}/{\mathrm{m}}^{3} $ , 相对传统LSP2D模型精度提高93.68%.如表2所列, 改进LSP2D模型相较传统LSP2D模型而言, 1C—7C放电倍率下液相锂离子浓度预测精度均提升86.96%以上. 同时在模型求解效率方面, 传统LSP2D模型的求解时间为20 s, 改进LSP2D模型的求解时间为21 s, 计算耗时基本一致.
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图7显示的是P2D模型、传统LSP2D模型以及改进LSP2D模型在放电倍率为1C—7C时的放电端电压曲线. 根据图7中的信息可以很直观地看到改进后LSP2D模型的误差在1C—7C倍率下均低于传统LSP2D模型.
图8展示了在1C—3C放电倍率下改进LSP2D模型及传统LSP2D模型相对于P2D模型的端电压相对误差. 1C放电倍率下, 传统LSP2D模型的端电压最大相对误差为0.750%, 而改进LSP2D模型的端电压最大相对误差为0.022%, 相比于传统LSP2D精度提升了97.12%; 2C放电倍率下, 传统LSP2D模型的端电压最大相对误差为1.698%, 而改进LSP2D模型的端电压最大相对误差为0.029%, 相比于传统LSP2D精度提升了98.26%; 3C放电倍率下, 传统LSP2D模型的端电压最大相对误差为3.524%, 而改进LSP2D模型的端电压最大相对误差为0.018%, 相比于传统LSP2D精度提升了99.49%.
图9展示了在4C—7C放电倍率下改进LSP2D模型及传统LSP2D模型相对于P2D模型的端电压相对误差. 4C放电倍率下, 传统LSP2D模型的端电压最大相对误差为16.50%, 而改进LSP2D模型的端电压最大相对误差为2.207%, 相比于传统LSP2D精度提升了86.62%; 5C放电倍率下, 传统LSP2D模型的端电压最大相对误差为16.87%, 而改进LSP2D模型的端电压最大相对误差为9.137%, 相比于传统LSP2D精度提升了45.84%; 6C放电倍率下, 传统LSP2D模型的端电压最大相对误差为18.64%, 而改进LSP2D模型的端电压最大相对误差为13.13%, 相比于传统LSP2D精度提升了29.56%; 7C放电倍率下, 传统LSP2D模型的端电压最大相对误差为24.55%, 而改进LSP2D模型的端电压最大相对误差为12.81%, 相比于传统LSP2D精度提升了47.82%.
如表3所列, 放电倍率为1C-3C时改进LSP2D模型相比传统LSP2D模型的端电压精度均提升97.12%以上; 放电倍率为4C—7C时改进LSP2D模型较传统LSP2D模型的端电压精度均提升29.56%以上. 由表3可以看出, 4C—7C放电倍率下端电压精度提升幅度明显低于1C—3C放电倍率下的提升幅度, 这是由于在1C—3C倍率放电时, 固相扩散引起的浓度过电位较小, 液相传输中电解液电势损失(欧姆降和浓差极化)影响较小, 液相锂离子传输扩散过程是导致端电压偏差的主要原因; 而在4C—7C倍率放电时, 固相扩散极化、液相浓差极化、电化学反应、热效应均是端电压偏差的重要原因, 文中所提方法正是通过考虑液相扩散传输过程在一定程度上提高了端电压预测精度, 如何进一步考虑6C—7C及以上高倍率工况下固相扩散极化、电化学-热耦合效应的影响是下一步的重点研究方向.
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1)液相扩散过程的近似表达是影响电化学降阶模型预测精度的关键因素, 研究中通过在液相锂离子传输过程中创新性引入液相扩散项的近似表达, 对传统LSP2D模型在高倍率(≥4C)下的物理局限性进行了关键改进. 传统LSP2D模型由于低倍率(1C—3C)浓度梯度较小而忽略扩散作用的假设, 导致高倍率工况下误差显著增大, 高倍率工况下显著的浓度梯度, 使扩散项成为与迁移项同等重要的核心离子传输机制. 所提改进模型不仅在数学上实质性描述了离子在浓度梯度驱动下的扩散过程, 从机理角度也能更加真实地模拟高倍率下电解液内部的动态质量守恒与浓度极化现象, 这也正是改进模型能更准确预测液相锂离子浓度及端电压的物理原因. 研究成果可以为锂离子电池电化学模型高精度降阶重构提供新的思路, 同时对于提高锂离子动力电池电化学模型的工程实用性具有重要意义.
2)为验证所提方法的有效性, 分别从液相锂离子浓度和端电压两个维度对比分析了改进LSP2D方法和传统LSP2D方法的模型精度. 结果表明: 对于液相锂离子浓度而言, 1C—7C放电倍率下改进LSP2D模型较传统LSP2D模型的预测精度均提升86.96%以上; 对于端电压而言, 放电倍率为1C—3C时, 改进LSP2D模型较传统LSP2D模型的预测精度均提升97.12%以上; 放电倍率为4C—7C时, 改进LSP2D模型较传统LSP2D模型的预测精度均提升29.56%以上.
3)锂离子动力电池的电化学反应过程往往伴随着生热过程, 高倍率工况下会产生大量的焦耳热, 温度剧烈变化会反过来影响电导率、固液相扩散系数、反应速率等参数变化, 而环境温度对于动力电池电化学反应过程的影响同样不可忽略, 在低温等极端环境下, 动力电池内阻显著增大、固液相扩散系数显著降低、反应动力学速率明显下降. 因此电化学降阶重构模型要想真正走向工程实践应用, 需要重点考虑降阶模型与热模型的耦合效应, 下一步工作将重点围绕改进LSP2D模型与热模型的双向耦合效应分析展开, 特别是针对低温工况下电化学-热交互机制进行深入研究分析, 以进一步拓展改进LSP2D模型的工程实用性.
基于改进降阶伪二维模型的锂离子电池电化学模型降阶重构方法
Reduced order reconstruction method of lithium ion battery electrochemical model based on improved liquid simplified pseudo-two-dimensions
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摘要: 电化学建模对于锂离子动力电池的运行状态估计、全生命周期故障诊断、多工况安全管控等具有重要意义, 但早期提出的伪二维电化学模型由于参数繁多且辨识困难等问题, 很难真正应用于工程实践. 针对目前基于固液相扩散过程近似重构的降阶伪二维模型(liquid simplified pseudo-two-dimensions, LSP2D)模型难以满足高倍率工况的难题, 通过在液相浓度变化过程近似中引入液相扩散表征项, 提出一种基于改进LSP2D的锂离子电池电化学模型降阶重构方法. 算例仿真结果表明改进LSP2D模型在各倍率下的预测精度均优于传统LSP2D模型. 对于液相锂离子浓度而言, 1C—7C (C为放电倍率符号, 1C的电流表示电池在1 h内完全放电所需要的电流值)放电倍率下改进LSP2D模型较传统LSP2D模型的预测精度均提升86.96%以上; 对于端电压而言, 放电倍率为1C—3C时, 改进LSP2D模型较传统LSP2D模型的预测精度均提升97.12%以上; 放电倍率为4C—7C时, 改进LSP2D模型较传统LSP2D模型的预测精度均提升29.56%以上. 文中所提方法可以为锂离子电池电化学模型高精度降阶重构提供新的思路, 对于提高锂离子动力电池电化学模型的工程实用性具有一定意义.Abstract: Electrochemical modeling is of great significance for estimating the operational state, performing full-life-cycle fault diagnosis, and enabling multi-condition safety management of lithium-ion power batteries. However, early proposed pseudo-two-dimensional electrochemical models are difficult to apply in engineering practice due to issues such as numerous parameters and challenging identification. To address the problem that current liquid simplified pseudo-two-dimensions (LSP2D) models based on approximate reconstruction of solid-liquid phase diffusion processes struggle to meet high-rate conditions, this paper proposes a reduced-order reconstruction method for lithium-ion battery electrochemical models based on an improved LSP2D model. By refining the third-order parabolic approximation of the liquid-phase lithium-ion concentration and innovatively introducing a liquid-phase diffusion characterization term during the approximation process, the method achieves accurate characterization of the lithium-ion diffusion process dominated by concentration gradients under high-rate conditions. Simulation results show that while computational efficiency remains comparable, the improved LSP2D model outperforms the traditional LSP2D model in prediction accuracy across various rates. For liquid-phase lithium-ion concentration, the prediction accuracy of the improved LSP2D model is increased by over 86.96% compared to the traditional model at discharge rates of 1C–7C. For terminal voltage, the improvement exceeds 97.12% at 1C–3C discharge rates, and remains above 29.56% at 4C–7C discharge rates. Furthermore, the theoretical reasons for the significantly lower accuracy improvement at 4C–7C compared to 1C–3C are discussed, providing direction for subsequent research on reduced-order reconstruction of electrochemical models under high-rate conditions. The proposed method offers a new approach for high-accuracy reduced-order reconstruction of lithium-ion battery electrochemical models and contributes to enhancing the engineering practicality of electrochemical models for lithium-ion power batteries.
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图 4 1C—7C放电倍率下P2D、传统LSP2D和改进LSP2D液相锂离子浓度分布曲线
Figure 4. Liquid phase lithium-ion concentration distribution curves of P2D, traditional LSP2D and improved LSP2D at 1C–7C discharge rate.
图 5 1C—3C放电倍率下液相锂离子浓度误差对比
Figure 5. Comparison of lithium-ion concentration error in liquid phase at 1C–3C discharge rate.
图 6 4C—7C放电倍率下液相锂离子浓度误差对比
Figure 6. Comparison of lithium-ion concentration error in liquid phase at 4C–7C discharge rate.
图 7 1C—7C放电倍率下P2D、传统LSP2D、改进LSP2D的端电压曲线
Figure 7. Terminal voltage curve of P2D、traditional LSP2D and improved LSP2D at 1C–7C discharge rate.
图 8 1C—3C放电倍率下端电压误差对比
Figure 8. Comparison of terminal voltage error of 1C–3C discharge rate.
图 9 4C—7C放电倍率下端电压误差对比
Figure 9. Comparison of terminal voltage error of 4C–7C discharge rate.
表 1 锂离子电池参数表
Table 1. Parameters lists of Li-ion battery.
参数 负极 隔膜 正极 $ {\sigma }_{\mathrm{s}}/\left(\mathrm{S}{\cdot }{\mathrm{m}}^{-1}\right) $ 0.1 100 $ {\varepsilon }_{\mathrm{s}} $ 0.43 0.58 $ {\varepsilon }_{\mathrm{e}} $ 0.336 0.48 0.28 $ \mathrm{Brugg} $ 1.5 1.5 1.5 $ {c}_{\mathrm{e}, 0}/\left(\mathrm{mol}{\cdot }{\mathrm{m}}^{-3}\right) $ 1000 1000 1000 $ {c}_{\mathrm{s}, 0}/\left(\mathrm{mol}{\cdot }{\mathrm{m}}^{-3}\right) $ 16140 30760 $ {c}_{\mathrm{s}, \mathrm{max}}/\left(\mathrm{mol}{\cdot }{\mathrm{m}}^{-3}\right) $ 34190 47910 $ {D}_{\mathrm{e}}/\left(1{0}^{-11}{\mathrm{m}}^{{2}}{\cdot }{\mathrm{s}}^{-}{}^{1}\right) $ 7.5 7.5 7.5 $ {D}_{\mathrm{s}}/\left(1{0}^{-14}{\mathrm{m}}^{{2}}{\cdot }{\mathrm{s}}^{-}{}^{1}\right) $ 3.9 10 $ k/\left(1{0}^{-11}\mathrm{m}{\cdot }{\mathrm{s}}^{-}{}^{1}\right) $ 1 1 $ {R}_{\mathrm{s}}/(1{0}^{-6}\mathrm{m}) $ 5.3 2.4 $ L/({10}^{-5}\mathrm{m}) $ 6.8 1.6 5.3 $ \alpha $ 0.5 0.5 $ {t}^{+} $ 0.363 0.363 0.363 $ A/{\mathrm{m}}^{2} $ 1 1 
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表 2 1C—7C放电倍率下液相锂离子浓度最大绝对误差
Table 2. Maximum absolute error of liquid lithium-ion concentration at 1C–7C discharge rate.
放电倍率 传统LSP2D 改进LSP2D 1C 6.821 $ \mathrm{mol}/{\mathrm{m}}^{3} $ 0.071 $ \mathrm{mol}/{\mathrm{m}}^{3} $ 2C 28.89 $ \mathrm{mol}/{\mathrm{m}}^{3} $ 0.208 $ \mathrm{mol}/{\mathrm{m}}^{3} $ 3C 63.02 $ \mathrm{mol}/{\mathrm{m}}^{3} $ 1.613 $ \mathrm{mol}/{\mathrm{m}}^{3} $ 4C 106.5 $ \mathrm{mol}/{\mathrm{m}}^{3} $ 11.36 $ \mathrm{mol}/{\mathrm{m}}^{3} $ 5C 80.50 $ \mathrm{mol}/{\mathrm{m}}^{3} $ 4.572 $ \mathrm{mol}/{\mathrm{m}}^{3} $ 6C 91.29 $ \mathrm{mol}/{\mathrm{m}}^{3} $ 11.90 $ \mathrm{mol}/{\mathrm{m}}^{3} $ 7C 136.3 $ \mathrm{mol}/{\mathrm{m}}^{3} $ 8.610 $ \mathrm{mol}/{\mathrm{m}}^{3} $
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表 3 1C—7C放电倍率下端电压最大相对误差
Table 3. Maximum relative error of terminal voltage at 1C–7C discharge rate.
放电倍率 传统LSP2D 改进LSP2D 1C 0.750% 0.022% 2C 1.698% 0.029% 3C 3.524% 0.018% 4C 16.50% 2.207% 5C 16.87% 9.137% 6C 18.64% 13.12% 7C 24.55% 12.81%
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