光悬浮技术利用紧聚焦光场实现对微小粒子的稳定捕获及非接触性、非破坏性的精确操控, 该技术自Arthur Ashkin^[1,2]发明以来, 已广泛应用于物理、生物与医学等领域的研究^[3–7]. 近年来, 真空光悬浮技术因粒子运动态具有极高的Q值和退相干的可操控性, 为宏观量子现象^[8–11]、退相干理论^[12–14]、真空摩擦^[15,16]、引力波^[17,18]以及暗物质与暗能量探测^[19,20]等基础物理与精密测量研究提供了理想实验平台, 成为物理学研究的热点, 并取得了显著进展. 2010年, Li等^[21,22]实现了微米尺寸球形二氧化硅粒子在真空中的稳定悬浮与瞬时运动速度测量, 并采用反馈冷却技术将粒子质心运动温度冷却到mK. 通过光学腔被动反馈冷却与电反馈冷却技术, 真空俘获的纳米粒子质心运动实现了基态冷却^[23–25]. 基于非线性计量方法, 飞克量级粒子的质量测量不确定度达到了2%^[26]. 凭借悬浮纳米粒子的尺寸优势, 力的测量灵敏度已达到zN/Hz^1/2量级^[27,28]. 除质心运动外, 对于非球形或内禀各向异性的粒子, 还存在扭摆运动和旋转运动. 真空光悬浮的金刚石粒子首次观测到MHz的扭摆运动^[29]; 采用椭圆或圆偏振光, 已实现旋转频率达GHz的机械转子^[30,31]; 结合质心运动冷却技术, 研究人员观测到6 GHz的超高速旋转运动^[32], 这为极端环境材料性能测试^[33]、量子陀螺^[34]等研究提供了可能. 利用该系统灵活的操控性, 单个粒子的多维度操控与冷却研究进展迅速^[35–37]. 此外, 该系统也为非平衡动力学^[38,39]、多体物理^[40–42]以及声子激光^[43,44]等研究提供了崭新平台.

相较于球形粒子, 非球形粒子包含更丰富的物理内容, 其中, 散射场偏振特性直接反映了其各向异性与光场的相互作用, 偏振调制可用于探测粒子的取向和运动, 这对理解光扭矩的微观机制至关重要, 而现有研究多聚焦于实验实现. 本文结合瑞利近似, 从电偶极子辐射出发, 深入地分析内禀各向同性非球形粒子的散射场, 为真空悬浮粒子的多维运动测量与操控提供理论支撑.

图1(a)为单光束捕获微粒的示意图, 波长为$ \lambda $的激光沿$ z $轴正向传播, 由透镜L1汇聚, 用来捕获单个微小电介质粒子, 光场角频率为ω. 该光束同时照明粒子, L2收集粒子的散射光和发散的捕获光, 半波片HW和偏振分光棱镜PBS选择偏振分量, 并由探测器D1和D2分别探测竖直和水平偏振分量, 从而获得粒子的运动信息. 这里只考虑扭摆和旋转运动, 忽略平移运动. 入射光为TEM₀₀模高斯光场, 建立实验室坐标系(O-xyz), 其电场为

式中, $ r=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}} $为场点位置矢量大小, $ {E}_{0} $为振幅, $ {w}_{0} $为腰斑半径, $ w(z) $为光束半径, $ {\psi }_{\text{g}}(x, y, z) $为高斯光束的相位, $ {\boldsymbol{e}}_{\text{p}} $为偏振方向单位矢量, 快变时谐项为$ \exp (-\text{i}\omega t) $, 去掉快变时谐项后, 光场的空间分布可表示为$ \boldsymbol{E}(r) $. 所捕获的粒子为内禀各向同性非球形粒子, 这里以椭球形粒子为例, 粒子三个主轴半长分别为a, b, c, 对应极化率为$ {\chi }_{1}, {\chi }_{2}, {\chi }_{3} $, 设$ {\chi }_{1} \gt {\chi }_{2} \gt {\chi }_{3} $. 主轴极化率差异会导致散射场的角度依赖性, 这是散射场偏振调制的物理原因. 以粒子几何中心为坐标原点, 沿三个主轴方向建立固定于粒子的坐标系$ ({O}_{\text{p}}{\text{-}}{x}_{\text{p}}{y}_{\text{p}}{z}_{\text{p}}) $, 并设粒子中心与实验室坐标系原点重合, 初始时刻$ {x}_{\text{p}} $, $ {y}_{\text{p}} $, $ {z}_{\text{p}} $轴分别与$ x $, $ y $, $ z $轴平行.

这里, 假设入射光波长远大于微粒尺寸: $ \lambda \gg a, b, c $, 粒子可视为点偶极子, 其响应由极化率张量描述. 这一近似基于物理上的尺度分离, 即粒子尺寸远小于波长时, 高阶多极子贡献可忽略, 因此散射场由偶极子辐射主导. 同时设光场腰斑半径和瑞利长度均远大于微粒尺寸: $ {w}_{0}, {z}_{\text{R}}\gg a, b, c $, 所以基于慢变包络近似和光场在粒子尺度内的均匀性, 粒子被捕获区域内, 光场可视为平面光波: $ {\boldsymbol{E}}_{\text{in}}= {E}_{0}{\boldsymbol{e}}_{\text{p}} $. 粒子旋转运动采用泰特-布莱恩角, 即粒子绕$ {z}_{\text{p}} $, $ {y}_{\text{p}} $, $ {x}_{\text{p}} $三个主轴方向旋转. 由实验室坐标系到粒子坐标系的变换矩阵为

其中$ {\boldsymbol{R}}_{z, y, x} $分别为粒子绕自身主轴$ {z}_{\text{p}} $, $ {y}_{\text{p}} $, $ {x}_{\text{p}} $旋转的变换; 旋转角分别为$ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $. 由上述变换关系, 在实验室坐标系中, 粒子的极化强度为

其中$ P = |\boldsymbol{P}|$; $ {\boldsymbol{n}}_{0} $为$ \boldsymbol{P} $的单位矢量; $ \chi = R^{-1} \text{diag}({\chi}_1, \chi_2, \chi_3)R $. 在远场条件下, 由偶极子辐射理论, 可得粒子散射场的空间分布为

其中$ {\mu }_{0} $为真空磁导率; $ {\psi }_{\text{s}}(x, y, z) $为散射场相位; $ \boldsymbol{r} $为场点的位置矢量, $ \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}{r}_{0} $, $ {{r}}_{0} $为$ \boldsymbol{r} $的单位矢量. (3)式中$ (\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{P})\times \boldsymbol{r} $体现了散射场的横波特性, 同时粒子的各向异性引入了额外的角度依赖. 因此, 当粒子发生扭摆或旋转运动时, 散射场分布也随之改变, 这是下面进行相关分析的主要依据.

当入射光为平行于$ x $轴方向的线偏振光时, $ {\boldsymbol{e}}_{\text{p}}={(1, 0, 0)}^{\text{T}} $, 由(3)式可得实验室坐标系中, 散射场在$ x $, $ y $, $ z $三个轴上的分量分别为

其中$ {\varOmega }=(\alpha , \beta , \gamma ) $为角坐标; $ {\psi }_{x\text{s}}(x, y, z) $为散射光相位. 由上式可得场点$ \boldsymbol{r} $处总散射场为

这里, $ {\boldsymbol{n}}_{x{l}} $为$ x $轴线偏振光激发时极化强度方向上的单位矢量.

图1(b)为粒子在线偏振光激发时自由空间远场的散射电场示意图, 图2为粒子散射电场的空间分布. 单个偶极子相对于极化电场$ \boldsymbol{E} $平行时, 总散射场以及在$ x $, $ y $, $ z $轴上分量的分布, 如图2(a)所示. 此时, 为典型偶极辐射, 总辐射场关于$ x $轴呈旋转对称分布, 沿电偶极矩方向场强为零; 随着场点位置矢量相对于电偶极矩方向夹角变大, 场强逐渐增大; 当位置矢量垂直于电偶极矩方向时, 场强最大. 其$ x $分量的空间分布与总场相似. 对于散射场的$ y $分量, 在$ xz $平面场强为零; $ yz $平面上电场平行于$ x $轴, $ y $分量也为零; 在$ xy $平面内, 位置矢量相对于$ x $轴夹角分别为$ \text{π} /4 $, $ 3\text{π} /4 $, $ 5\text{π} /4 $, $ 7\text{π} /4 $时, $ y $分量达到最大, 因此呈现四瓣构型. 与$ y $分量类似, $ z $分量也呈现四瓣形结构, 其构型相对于$ x $轴旋转$ \text{π} /2 $.

当偶极子取向绕$ {z}_{\text{p}} $轴旋转一定角度时, 电偶极矩可分解到$ x $和$ y $轴方向, 两个分量可视为相互垂直的偶极子, 每个偶极子激发的电场可单独计算, 总场与各轴分量为两个偶极子所激发电场的叠加, 导致总场与各轴分量发生倾斜、变形、旋转. 图2(b)和图2(c)为偶极子取向绕$ {z}_{\text{p}} $轴分别旋转$ \text{π} /10 $, $ \text{π} /3 $时, 总场及其在$ x $, $ y $, $ z $轴上分量的分布. 总场与各分量随角度增大逐渐变小, 分布构型发生改变和倾斜. 总场向$ y $轴倾斜, $ x $分量变为四瓣型结构, $ y $分量渐变为图2(a)中$ x $分量的分布形态, $ z $分量四瓣型结构趋向水平.

上面讨论了偶极子取向绕$ {z}_{\text{p}} $轴旋转时散射场的变化, 当偶极子绕$ {y}_{\text{p}} $轴旋转时, 总散射场和$ x $分量向$ z $轴倾斜, $ y $分量的四瓣型结构与上述$ z $轴分量变化趋势相似, $ z $轴分量则与上述$ y $轴分量变化趋势相同. 当偶极子绕$ x $轴旋转时, 由于对称性, 总场和各分量均不发生变化.

前面讨论了单个偶极子取向倾斜时的情况, 对于椭球形粒子, 存在三个相互垂直的电偶极矩分量, 在旋转过程中各分量均可分解到各坐标轴上, 散射场为九个散射场的叠加. 图2(d)为$ {\chi }_{1}=10\times {10}^{-32}\text{ F/m} $, $ {\chi }_{2} = 8 \times {10}^{-32}\text{ F/m} $, $ {\chi }_{3} = 7 \times {10}^{-32}\text{ F/m} $, 椭球形粒子绕$ {x}_{\text{p}} $, $ {y}_{\text{p}} $, $ {z}_{\text{p}} $轴分别旋转一定角度时, 总散射场以及$ x $, $ y $, $ z $轴分量的分布. 由于角度旋转, 总散射场和各分量产生倾斜、变形. 总散射场在$ x=0 $, $ y=0 $和$ z=0 $平面上的投影如图2(a)—(d)左列绿色、红色和橙色部分所示, 总场偏振及其投影如图中彩色箭头所示. 在只有线偏振光激发情况下, 偶极子和椭球粒子的总散射场始终为线偏振光, 但随着偶极子或椭球粒子的旋转, 线偏振方向会产生相应变化, 可由(3)式中$ (\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{P})\times \boldsymbol{r} $确定. 由上可知, 散射场对旋转角高度敏感, 这为粒子的运动探测提供了机制.

考虑捕获光或照明光为椭圆偏振光, 即$ {\boldsymbol{e}}_{\text{p}}= {(\cos \phi , \text{i}\sin \phi , 0)}^{\text{T}} $, 可将其分成两个沿$ x $和$ y $轴方 向的正交偏振分量: $ {{E}}_{x}={E}_{0}{(\cos \phi , 0, 0)}^{\text{T}} $和$ {{E}}_{y}= \text{i}{E}_{0} {(0, \sin \phi , 0)}^{\text{T}} $, 两分量可单独计算. 其中, $ x $轴偏振光激发的散射场各分量为(4)式—(6)式乘以系数$ \cos \phi $, 即

因此$ x $偏振光激发的总散射场为

这里下角标$ \text{es} $表示椭圆偏振光激发. 下面考虑$ y $分量的散射场, 当只有$ y $方向的偏振光激发时, $ {\boldsymbol{e}}_{\text{p}}={(0, 1, 0)}^{\text{T}} $, 可得$ x $, $ y $, $ z $轴上的散射场分量分别为

这里, $ {\psi }_{y\text{s}}(x, y, z) $为$ y $轴线偏振光激发时散射光的相位. 由上式得到场点r处总电场为

其中$ {\boldsymbol{n}}_{yl} $为极化强度单位矢量. 因此, 对于椭圆偏振光, $ y $偏振光激发的散射场各分量为

总散射场为

由此可得, 椭圆偏振光产生的总散射场为

图3(a)—(c)分别为圆偏振光激发椭球粒子三个主轴$ {x}_{\text{p}} $, $ {y}_{\text{p}} $, $ {z}_{\text{p}} $平行于$ x $, $ y $, $ z $轴时以及粒子绕$ {z}_{\text{p}} $轴旋转一定角度时总散射场及其在$ x $, $ y $, $ z $轴上分量的分布. 图3(a)中, $ x $轴电场分量为$ {x}_{\text{p}} $轴电偶极子散射场$ x $分量的旋转对称形分布与$ {y}_{\text{p}} $轴电偶极子散射场的$ x $分量四瓣型结构的叠加, 导致散射场在$ xy $平面内比$ xz $平面内稍大; $ y $轴电场分量与$ x $轴分量类似, 不同之处在于轴向指向平行于$ y $轴; $ z $轴电场分量为竖直对放的双船型, 其原因是由粒子在$ {x}_{\text{p}} $和$ {y}_{\text{p}} $轴上的极化率存在差异导致; 总场则为各分量的叠加, 空间分布呈近椭球形. 图3(b)和图3(c)分别为$ {z}_{\text{p}} $轴旋转$ \text{π} /3 $, $ \text{π} /2 $时的散射场分布, 此时$ {x}_{\text{p}} $和$ {y}_{\text{p}} $轴上的电偶极矩可分解到$ x $, $ y $轴上, 总散射场与各轴分量为相应散射场的叠加. 图3(d)为$ \alpha =0.3 $, $ \beta =0.9 $, $ \gamma =0.4 $时的总散射场及其在$ x $, $ y $, $ z $轴上分量的分布, $ {x}_{\text{p}} $, $ {y}_{\text{p}} $, $ {z}_{\text{p}} $各轴电偶极矩可继续分解到$ x $, $ y $, $ z $轴上, 其散射场相互叠加使总场和各分量发生倾斜、变形和旋转. 图3中总散射场在$ x=0 $, $ y=0 $和$ z=0 $平面上的投影如图3(a)—(d)左列绿色、红色和橙色部分所示, 总场偏振及其投影如彩色小椭圆所示. 总场的偏振由于粒子的各向异性而成椭圆, 椭圆度随场点位置变化, 偏振面为场点位置处总散射场分布曲面的切平面. 当粒子旋转时, 由于极化强度矢量的变化, 使场点偏振产生相应改变.

考虑线偏振光捕获一个椭球粒子, 偏振方向平行于$ x $轴, 由于光场的梯度势, 使粒子极化率最大主轴($ {x}_{\text{p}} $轴)趋向与偏振方向一致, 此时$ {y}_{\text{p}} $轴和$ {z}_{\text{p}} $轴处于自由状态. 而真空系统中残余的空气分子会与粒子发生碰撞, 导致$ {x}_{\text{p}} $轴指向偏离原方向, 同时这种碰撞驱动粒子绕$ {x}_{\text{p}} $轴($ \gamma $)自由旋转. 因此在光场的回复扭矩作用下, 粒子绕$ {z}_{\text{p}} $轴和$ {y}_{\text{p}} $轴($ \alpha $, $ \beta $)做扭摆运动. 由于粒子绕$ {x}_{\text{p}} $轴的自由旋转, 使两个扭摆运动耦合, 产生两个本征旋转运动模式^[36,45]. 但在探测过程中, 仍可将两个旋转运动模式分解为$ {z}_{\text{p}} $轴和$ {y}_{\text{p}} $轴上的扭摆运动, 因此(4)式—(6)式仍然适用, 只是扭摆频率变为旋转运动模式的频率. 在实际实验中, 粒子扭摆运动的幅度很小, 所以可对(4)式中$ \alpha $, $ \beta $项取一阶近似, 并忽略掉$ \alpha $与$ \beta $角的倍频项与交叉项(和频与差频部分), 同时, 室温条件下$ \gamma $的自由旋转频率远小于$ \alpha $与$ \beta $的扭摆频率, 因此包含$ \gamma $的部分予以保留. 此外, 考虑到散射光收集过程电场的连续性条件, 散射场$ z $分量可予以忽略. 对于如图1所示散射场与捕获光的相干探测, 这里只需考虑$ x $分量. 由此, (4)式可近似为

其中$ {E}_{xl\alpha , xl\beta } $表示当$ x $轴线偏振光激发时散射场$ x $分量中包含$ \alpha $与$ \beta $两个扭摆角的部分. 由相干探测, 进一步可得包含$ \alpha $与$ \beta $扭摆运动信息的光场干涉部分分别为

这里, 已加入光场的快变时谐项. 光场经透镜收集后, 由探测器D1探测, 透镜L2的中心与粒子的水平距离为$ z $. 探测器将光电流信号转换为电压信号, 该电压信号对应(15)式与(16)式中的时间慢变部分, 设探测器的电流-电压转换增益系数为$ \eta $(其中包含探测器量子效率). D1探测到的$ \alpha $与$ \beta $扭摆运动信号为上式中经高通滤波器滤除$ \gamma $低频旋转运动信号后的时间慢变部分; 同时, $ \gamma $的旋转运动信号可通过低通滤波器滤除掉上式时间慢变部分中$ \alpha $与$ \beta $的高频扭摆运动信号获得. 图4为$ \alpha $与$ \beta $扭摆运动信号幅度随收集透镜中心在垂直平面内相对于$ z $轴偏移一定距离的数值计算结果. 对于$ \alpha $的扭摆运动, 由(13)式, 粒子可等效视为极化率为$ {\chi }_{1}-{\chi }_{2} $的偶极子, 受到$ y $轴和$ z $轴方向两个线偏振光的同时激发, 该偶极子相对于$ y $轴的旋转角为$ \gamma $. 由(15)式, 相干探测中$ \alpha $扭摆运动信号来源于该偶极子两个散射场的$ x $轴偏振分量(可结合(8)式当$ {\chi }_{1}={\chi }_{3}=0 $, $ \alpha =\beta =\gamma =0 $时和(3)式在$ {\boldsymbol{e}}_{\text{p}}= {(0, 0, 1)}^{\text{T}} $, $ {\chi }_{1}={\chi }_{2}=0 $和$ \alpha =\beta =\gamma =0 $时的结果), 该偶极子$ y $轴电偶极矩分量的$ x $轴偏振散射场, 在$ xy $平面四个象限内为四瓣型, 其$ z $轴电偶极矩分量的$ x $轴偏振散射场在$ xy $平面投影为关于$ x $轴对称的双斑型分布, 两者叠加使收集透镜中心在$ x $轴时信号幅度最小, 在$ x $轴上下两侧出现最大值, 如图4(a)所示. 与$ \alpha $扭摆运动类似, 对于$ \beta $扭摆运动, (14)式可视为极化率为$ -({\chi }_{1}-{\chi }_{3}) $的偶极子受到$ y $轴和$ z $轴方向两个线偏振光同时激发, 该偶极子相对于$ y $轴的旋转角为$ \gamma -\text{π} /2 $角. (16)式中, $ \beta $扭摆运动信号来源于该偶极子散射场的$ x $轴偏振分量, 因此收集透镜中心在$ x $轴上时信号幅度最小, 在$ x $轴上下部分出现最大值, 如图4(b)所示. 上述等效偶极子模型, 为扭摆运动在微扰近似下, 粒子各向异性响应展开为泰勒级数的一阶项, 这样可简化干涉信号的分析, 突出运动信息与偏振调制的线性关系. 物理上, 扭摆运动调制导致极化率张量的非对角元退耦, 而形成独立分量($ {\chi }_{1}-{\chi }_{2} $和$ -({\chi }_{1}- {\chi }_{3}) $), 该独立分量直接反映粒子的各向异性.

当椭球粒子被一束圆偏振光($ \phi =\pm \text{π} /4 $, “$ \pm $”号分别表示右旋和左旋偏振光, $ x $轴和$ y $轴偏振分量快变时谐项则分别为$ \exp (-\text{i}\omega t) $和$ \exp [-\text{i}(\omega t\pm \text{π} /2)] $), 其相位差引入了角动量. 散射过程中, 光场与粒子各向异性(不考虑粒子对光的吸收)的耦合将驱动粒子旋转. 粒子旋转时, 散射场将随旋转角变化. (4)式, (5)式, (8)式与(9)式中, 忽略掉旋转角的交叉项, 可得干涉场$ x $, $ y $偏振分量中包含$ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $的旋转运动部分为

这里, 已加入光场的快变时谐部分, 下角标中$ \text{es} $表示椭圆偏振光激发, $ x $, $ y $表示两个偏振分量, $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $为干涉场中只包含三个旋转角的部分. 旋转运动使极化强度周期性变化, 散射场出现$ 2\alpha $, $ 2\beta $, $ 2\gamma $等倍频项. 等效偶极子产生于运动诱导的非线性响应, 物理上, 旋转调制极化率张量的非对角元, 导致独立项和散射场二次谐波的产生. 其中, $ x $分量由D1探测, $ y $分量由D2探测, 两探测器电流-电压转换增益系数相同. 光场经探测后, 交流信号对应(17)式—(22)式中的时间慢变部分.

图5为探测得到的$ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $旋转运动信号幅度随收集透镜中心在竖直平面内偏离$ z $轴一定距离的数值计算结果. 对于$ x $偏振分量的相干探测, 如图5(a)所示. 由(17)式, 即$ \alpha $旋转运动, 粒子可等效为极化率为$ ({\chi }_{1}-{\chi }_{2})/4 $和$ -({\chi }_{1}-{\chi }_{2})/8 $的偶极子, 其极化轴分别平行于$ x $轴和$ y $轴, 两个偶极子受到$ xy $平面内的圆偏振光激发, 运动信号来自于两个偶极子散射场在$ x $轴上的偏振分量, 两者叠加使收集透镜中心在$ z $轴上时信号幅度最大, 向$ x $轴和$ y $轴偏移时信号幅度逐渐变小, 第二个偶极子$ x $轴偏振散射场在$ xy $平面内的双斑分布, 使等高线图在$ x $轴方向被拉长, 而$ y $轴方向变化相对较快. 对于$ \beta $的旋转运动探测, 由(18)式, 粒子可视为极化率为$ ({\chi }_{1}+{\chi }_{2}-2{\chi }_{3})/4 $和$ -({\chi }_{1}+{\chi }_{2}-2{\chi }_{3})/8 $的偶极子, 与$ \alpha $旋转运动相同, 其极化轴分别平行于$ x $轴和$ y $轴, 两个偶极子受到$ xy $平面内的圆偏振光激发, 旋转运动信号来自于两偶极子散射场在$ x $轴上的偏振分量, 两部分叠加的结果与$ \alpha $旋转运动信号呈相同的变化规律. 对于$ \gamma $的旋转运动探测, 由(19)式, 粒子可视为极化率为$ ({\chi }_{1}+{\chi }_{2}-2{\chi }_{3})/8 $的偶极子, 受到$ y $轴和$ z $轴方向的两个线偏振光激发(与圆偏振激发光$ x $分量相位相差$ \text{π} /2 $), 旋转运动信号来自于该偶极子两个散射场在$ x $轴上的偏振分量(探测场为$ x $轴偏振光). 因此, 当收集透镜中心沿$ x $轴移动时, 信号幅度为零, 在$ xy $平面四个象限内出现最大值. 对于$ y $偏振分量的相干探测, 可进行类似分析, 探测信号幅度如图5(b)所示. 对于$ \alpha $和$ \beta $的旋转运动, 其等高线图呈放射性四瓣结构; $ \gamma $的旋转运动在$ x $轴上零点左右位置出现最大值, 而在$ y $轴方向, 零点位置处最大, 向两侧逐渐变小.

在扭摆运动探测中, 固定收集透镜中心在$ z $轴上, 上述相干探测将无法获得运动信号, 但如果适当调节半波片HW, 可测量到$ y $轴散射场分量, 从而获得$ \alpha $和$ \beta $的扭摆运动信号. 设旋转半波片时线偏振光相对于$ x $轴方向的偏转角为$ \theta $, 可得$ x $偏振探测中$ \alpha $和$ \beta $的扭摆运动信号为

图6为固定收集透镜中心在$ z $轴上, 当旋转半波片改变偏转角$ \theta $时, 探测$ x $偏振分量获得的$ \alpha $和$ \beta $扭摆运动信号幅度变化. $ \theta $由0变为$ \text{π} /4 $时, 由于散射场$ y $轴分量逐渐变大, 信号幅度由小变大; 当$ \theta =\text{π} /4 $时, 信号幅度最大; $ \theta $在$ \text{π} /4 $—$ \text{π} /2 $之间变化时, 信号幅度由大变小, 这主要是由捕获光或照明光在相干探测中强度变小引起. 当$ \theta $由$ \text{π} /2 $变为$ \text{π} $, 信号幅度与上述变化趋势相同. 选择$ y $偏振分量探测, 信号变化规律与$ x $偏振相同, $ y $分量和捕获光或照明光变化过程与上述相反. 由此可见, 当适当旋转半波片可提高探测信号的大小. 对于旋转运动, 当固定收集透镜中心位置在$ z $轴上时, 情况与扭摆运动有所不同. 如图5所示, 采用$ x $偏振探测, 对于$ \alpha $和$ \beta $的旋转运动, 可获得两者的最大运动信号, 而$ \gamma $的旋转运动信号为0. 采用$ y $偏振探测, 三个旋转运动均可获得足够大的运动信号, 但$ \alpha $与$ \beta $的运动信号幅度相对于$ x $偏振探测较小. 因此, 当采用$ x $偏振探测时, 需要旋转半波片以获得$ \gamma $的旋转运动信号; 采用$ y $偏振探测时, 旋转半波片可获得$ \alpha $和$ \beta $的最大运动信号.

作为与相关实验的比较, 在此将计算结果与Rashid等^[46]研究中的实验数据进行对比. 采用文献参数, 根据上述理论计算, 可得$ \alpha $旋转运动信号的功率谱密度约为–73 dBm/Hz, 散粒噪声功率谱密度约为–123 dBm/Hz, 由此可得信噪比约为50 dB, 该结果与文献实测数据吻合.

本文对真空光悬浮内禀各向同性椭球形电介质粒子的散射偏振特性及其扭摆与旋转运动的相干探测进行了理论研究. 在瑞利近似下, 系统地分析了线偏振光与圆偏振光激发时散射场随旋转角的变化规律; 在此基础上, 通过简化后的等效偶极子模型, 进一步分析了相干探测中, $ x $轴和$ y $轴偏振分量中扭摆与旋转运动信号幅度随收集透镜中心在竖直平面内偏离光轴距离的变化关系. 粒子的实际运动状态较为复杂, 导致旋转角中会包含多个频率成分, 这取决于其形状、内部结构、外部势场及驱动场等因素, 可呈现进动、章动等多种运动形式, 本研究为探索真空光悬浮粒子的这些丰富物理行为提供了基本理论依据.