α加热, 即氘(deuterium, D)氚(tritium, T)聚变中产生的α粒子将能量沉积于燃料的过程, 是维持等离子体自持燃烧的关键机制^[1,2]. 对该过程的深入理解对实现可控聚变至关重要, 因此吸引了广泛的研究兴趣. 在惯性约束聚变(inertial confinement fusion, ICF)中, 燃烧等离子体通常具有约$ 10^{21}$—$ 10^{26}\ \mathrm{cm^{-3}} $的粒子数密度以及从数十eV变化至数百keV的离子温度($ T_\mathrm{i} $)与电子温度($ T_\mathrm{e} $)^[3,4], 属于热稠密等离子体的范畴. DT聚变产生的α粒子具有3.54 MeV (885 keV/u)的初始能量, 对其在ICF等离子体中的输运过程进行建模, 需要在宽能量、宽密度和宽温度范围内精确计算其阻止本领, 这给相关的研究工作带来了显著的挑战.

带电粒子在介质中的阻止本领早在一个世纪前就被Bohr^[5,6]所讨论. 在早期的理论中, 常使用基于经典力学的二体碰撞模型^[7]对带电粒子的能量沉积进行描述. 在考虑量子力学效应后, Bethe^[8,9]和Bloch^[10,11]通过Born近似给出了高速带电粒子的非弹性碰撞能量损失公式. 此外, Lindhard^[12]将电子视为本底电场中的自由电子气, 通过介电函数描述带电粒子的能量损失. 利用经典介电函数, Sigmar和Joyce^[13]探讨了磁镜和托卡马克等磁约束聚变装置中α粒子的能量沉积, 他们的模型中考虑了等离子体的集体效应, 即极化效应. Arista和Brandt^[14]使用量子介电函数构建模型, 通过引入Bose统计修正入射粒子的反冲效应, 适用于不同简并度下的等离子体. 后来, Li和Petrasso^[15]推广Fokker-Planck方程以处理ICF等离子体中大角度散射带来的影响, 该模型(LP模型)同时考虑了二体碰撞、量子力学效应和集体等离子体振荡. Brown, Preston和Singleton Jr^[16](BPS)则使用维数正规化方法计算入射粒子的能量和动量损失, 并构建简化的Fokker-Planck方程描述非强耦合等离子体中带电粒子运动的能损涨落和偏转效应. 对于部分电离的等离子体, He和Wang^[17]基于相对论性平均原子模型^[18]在非弹性散射中引入碰撞激发、电离及其逆过程的效应, 并比较了束缚电子、自由电子和原子核的阻止本领在不同能量和温度下的相对强弱. 使用平均原子模型势场的二体碰撞模型^[19]亦被用于计算核阻止本领. 近期, He等^[2]使用量子介电函数处理电子-离子双组分等离子体, 此模型涵盖了等离子体的集体效应与入射粒子的反冲效应, 在多种密度、温度条件下均能够得到可靠结果.

ICF的靶丸为容纳燃料的空心微球, 直径约为数百微米至数毫米. 作为核心部件, 靶丸的品质直接影响ICF的效率. 在间接驱动点火靶丸设计中, 常使用碳氢化合物(CH)、高密度碳(HDC)、铍(Be)、聚酰亚胺等低Z元素构成的物质作为烧蚀层材料. 相较于其他材料, Be具有更低的不透明度与更高的密度, 用其构筑烧蚀层可提升能量耦合效率, 抑制烧蚀面流体不稳定性的增长, 因而在近年来备受关注^[20]. 在双壳层靶丸设计的内壳层中, 亦会采用金(Au)、铜(Cu)、钨(W)等高原子序数(Z)材料^[21]. 在ICF中, 内爆时的Rayleigh-Taylor不稳定性、制靶时DT需与其他元素形成化合物等因素会导致杂质粒子混入燃料等离子体, 会吸收α加热的能量, 造成靶丸增益、中子产额、离子温度的降低和点火能的增加^[22,23]. 利用BPS模型^[16], Wang等^[24,25]研究了Be和铀(U)与DT混合的影响, 提出入射粒子的射程和其在电子中沉积的能量与杂质粒子的密度和Z值成反相关, 不过该工作使用的微扰方法在高电荷态重离子构成的等离子体中适用性存疑^[26]. α加热中的一个重要指标为电子-离子能量分配因子, 其描述入射粒子在能量沉积过程中能量转移至各等离子体组分的比例^[2,26,27], 直接与电子和离子的温度演化以及聚变反应率相关. He和Wang^[26]计算了α粒子在混合有金(Au)的DT燃料中输运的能量分配因子与射程, 发现少量Au的混合亦会显著降低α加热中DT离子的能量分配因子, 另外会使入射粒子的射程增大. 尽管该工作研究了Au混合对能量分配因子的影响, 但据我们所知目前仍缺乏低Z材料混合时的有关讨论. 这是本文的主题之一, 我们将以Be离子的混合为例进行计算, 并将所得结果与Au混合时的情况进行对比. 与近期的同类工作^[24–26]相比, 本文首次讨论了低Z杂质混合对α加热中能量分配因子的影响. 另外, 前述Wang等的系列工作^[24,25]中使用了基于微扰论的BPS模型, 该模型在入射粒子与靶粒子间存在强耦合时会失效, 而本研究使用非微扰方法进行计算, 不存在此问题. 本文的计算数据对ICF靶丸设计具有重要参考价值.

本文以如下结构组织. 第2节讨论混合物的等离子体状态, 包括离子的平均电离度$ \langle Z \rangle $和平衡态下各成分的分密度; 第3节介绍本研究所用到的阻止本领计算方法, 并给出各成分阻止本领的有关性质; 第4节和第5节分别探讨单温($ T_\mathrm{i}=T_\mathrm{e} $)混合物中的电子-离子能量分配因子和α粒子的射程; 第6节对计算结果进行简要的总结. 在本研究中, 电子与离子温度从0.1 keV变化至100.0 keV. 为方便起见, 本文将D离子与T离子考虑为一类离子(统称为DT离子), 两种离子数相等, 因而DT离子的质量约为2.5倍核子质量. 本研究将混合物的密度$ \rho_\mathrm{mix} $取为$ 4.15, 415.0\ \mathrm{g/cm^3} $, 其在DT等离子体中对应的离子数密度为$ 10^{24}, 10^{26}\ \mathrm{cm^{-3}} $, 为ICF中的典型值. 本文中的入射粒子均为α粒子.

为计算α粒子在混合物中的阻止本领, 首先需要确定混合物的等离子体状态. 由于所研究的稠密等离子体弛豫时间足够短, 本文考虑其电子成分处于温度为$ T_\mathrm{e} $的平衡态^[26], 并简单假定其离子成分(包括DT离子和Be离子)均处于温度为$ T_\mathrm{i} $的平衡态. 本文仅讨论单温等离子体, 即$ T_\mathrm{i}=T_\mathrm{e} $时的情况. 在本文涉及的温度范围内, 可以认为DT离子是完全电离的, 即其平均电离度为1. 对于Be离子, 使用基于平均原子模型的Hartree-Fock-Slater模型^[28]计算其平均电离度, 结果如图1所示. 当Be密度$ \rho_\mathrm{Be} = 4.15\ \mathrm{g/cm^3} $时, $ \langle Z \rangle $在$ T_\mathrm{e}= 0.1\ \mathrm{keV} $时约为3.4. 随着温度升高, Be离子的平均电离度亦升高. 在$ T_\mathrm{e} \geqslant 1.0\ \mathrm{keV} $时, $ \langle Z \rangle $接近4, 即完全电离. 当$ \rho_\mathrm{Be}=415.0\ \mathrm{g/cm^3} $, Be离子的平均电离度在整个温度范围内保持在4附近, 这可能与高密度时的压制电离有关^[18]. 根据平均原子模型^[28]给出的实际电离度, 我们估算了$ \rho_\mathrm{Be} = 4.15\ \mathrm{g/cm^3} $, $ T_\mathrm{e} \lt 1.0\ \mathrm{keV} $时Be等离子体中α粒子阻止本领的各分量, 发现束缚电子贡献的阻止本领^[17]比自由电子贡献的阻止本领低至少一个量级, 得到的核阻止本领和电子阻止本领与假设完全电离时得到的结果几乎相同. 由上述结果可知, 在后续计算中可以近似认为Be离子均完全电离, 其平均电离度此时为$ \langle Z \rangle = 4 $.

为讨论平衡态下混合物的性质, 定义DT离子和Be离子的分密度$ \rho_\mathrm{DT} $和$ \rho_\mathrm{Be} $为该成分的质量与其在混合物中所占据的体积之比, 总密度$ \rho_\text{mix-DT} $和$ \rho_\text{mix-Be} $为该成分的质量与混合物的总体积之比. 同样地, 若将上述定义中各成分的质量换为粒子数, 可以定义DT离子和Be离子的分数密度$ n_\mathrm{DT} $和$ n_\mathrm{Be} $, 以及总数密度$ n_\text{mix-DT} $和$ n_\text{mix-Be} $. 此外, 定义混合度$ R=\dfrac{n_\text{mix-Be}}{n_\text{mix-DT}} $, 其亦等于Be离子与DT离子的粒子数之比. 根据平均原子模型^[28], 混合物的总体积等于各成分占据的体积之和. 取Be离子的质量为9倍核子质量, 由前述定义, 可得如下关系式: $ \dfrac{2.5 + 9 R}{\rho_\mathrm{mix}} = \dfrac{2.5}{\rho_\mathrm{DT}} + \dfrac{9 R}{\rho_\mathrm{Be}} $. 又由热动平衡条件可知, 混合物中各成分的化学势相等, 因此各成分电离出的自由电子数密度亦相等^[28]. 在完全电离的条件下, 得到如下关系式: $ \dfrac{\rho_\mathrm{DT}}{2.5} = \dfrac{\rho_\mathrm{Be}}{9} \times 4 $. 结合以上两个关系式, 可得各离子成分的分密度:

根据(1)式和(2)式绘制的分密度随混合度变化曲线如图2所示, 其中图2(a)和图2(b)分别展示混合物密度为$ 4.15\ \mathrm{g/cm^3} $和$ 415.0\ \mathrm{g/cm^3} $时的计算结果. 可以看出, 在两种密度条件下, 分密度具有相同的变化趋势. 在$ R \rightarrow 0 $时(低混合极限), $ \rho_\mathrm{DT} $趋向于$ \rho_\mathrm{mix} $; 而在$ R \rightarrow +\infty $时(高混合极限), 则$ \rho_\mathrm{Be} $趋向于$ \rho_\mathrm{mix} $. 此趋势与混合度的定义相洽, 且由(1)式和(2)式亦可得到. 考虑ICF靶丸的实际情况, 混合进DT燃料的Be离子数量应相对较低, 所以本文取$ R = 0.001, 0.01, 0.05 $三种情况进行后续的分析.

He和Wang^[26]曾讨论过ICF中Au与DT混合物的等离子体状态. 与Be离子不同的是, Au离子在$ T_\mathrm{e} \geqslant 5.0 \ \mathrm{keV} $时才接近完全电离, 而在更低的温度下, 其平均电离度随$ T_\mathrm{e} $快速上升. 另外, Au离子的电荷态与质量也远高于Be离子. 从后文可见, 这些差异不仅会导致Be离子与Au离子阻止本领性质的差异, 其与DT等离子体混合对α加热的影响也会有所区别.

要探讨混合物等离子体对α粒子的阻止本领, 需要先获得Be和DT等离子体各自对α粒子的阻止本领. 本文中的阻止本领定义为$ \mathrm{SP} = \dfrac{\mathrm{d}E}{n_s\mathrm{d}x} $, 其中$ n_s $为等离子体成分s的数密度, $ \mathrm{d}E $为入射粒子在介质中运动距离$ \mathrm{d}x $由于与粒子s碰撞而损失的能量.

对于Be等离子体, 通过He和Wang^[19]提出的模型计算其核阻止本领. 该模型基于二体碰撞理论^[7,29], 其势场分布由平均原子模型给出, 能很好地反映入射粒子的能量低于离子温度时核阻止本领为负的特征. 参考文献[19]指出, 该模型在高Z等离子体中与修正了Coulomb对数的二体碰撞模型符合良好, 在低Z情况下计算结果回归到传统二体碰撞模型^[7]给出的结果. 需要说明的是, 由于Be离子以及对照工作^[26]中Au离子的电荷态较高, 其与入射离子之间的耦合较强, 基于微扰论的模型(如参考文献[2,16])不再适用. 因此, 我们选择基于非微扰论的二体碰撞模型计算杂质离子的核阻止本领. 由于本研究假定Be离子完全电离, 因此Be等离子体的电子阻止本领全部由自由电子贡献. 此处使用量子介电函数^[14]计算自由电子的阻止本领, 该模型引入Bose统计修正了由入射粒子被散射带来的反冲效应, 能确保在入射粒子动能小于电子温度时停止加热. 根据参考文献[17], 该模型能很好地复现推荐的Jackson模型^[30]给出的计算结果, 且能规避使用经典介电函数^[31,32]计算阻止本领时需要对最大动量转移进行人为截断的问题.

Be等离子体对α粒子阻止本领的计算结果如图3所示. 图3(a)和图3(b)分别展示其核阻止本领$ \text{SP}_{{\text{Be-i}}} $和电子阻止本领$ \text{SP}_{{\text{Be-e}}} $, 此时混合物密度取为$ 4.15\ \mathrm{g/cm^3} $, 离子温度与电子温度相等. 从图3(a)可见, 在电子温度约等于α粒子入射能($ T_\mathrm{e}\approx E_\mathrm{p}\;\times 4 \ \mathrm{u} $)时, 核阻止本领接近0. 随着入射能的上升, 核阻止本领也迅速升高. 在达到峰值后, $ \text{SP}_{{\text{Be-i}}} $开始逐渐下降, 并在高入射能段趋向于0. 由于$ \text{SP}_{{\text{Be-i}}} $的峰值位置与Be离子的热速度有关, $ T_\mathrm{e} $越高, $ \text{SP}_{{\text{Be-i}}} $峰值对应的入射能亦越高. 另外, $ \text{SP}_{{\text{Be-i}}} $峰值的高度随$ T_\mathrm{e} $升高而降低, 这是由温度升高后靶离子的速度分布函数变平所致^[17]. 当入射能足够高(如$ E_\mathrm{p} \geqslant 50 \ \mathrm{keV/u} $)时, 不同温度的$ \rm SP_{{\text{Be-i}}} $曲线逐渐重合, 此时Be离子的核阻止本领几乎与$ T_\mathrm{e} $无关^[33]. 对于图3(b)中的电子阻止本领, 除了$ T_\mathrm{e}=0.1 \ \mathrm{keV} $之外的所有曲线均呈现出随入射能快速单调上升的趋势. 这是由于电子的质量远小于离子, 在同等温度下其热速度远高于离子, 因此$ \rm SP_{{\text{Be-e}}} $峰值对应的入射能很高, 多数情况下在$ E_\mathrm{p} \leqslant 885 \ \mathrm{keV/u} $的范围内$ \rm SP_\text{Be-e} $还未能达到峰值. 另外, 在同一入射能下, $ \rm SP_\text{Be-e} $随$ T_\mathrm{e} $的上升而减小, 这也是由于温度升高时自由电子的速度分布函数变平导致的. 比较$ \rm SP_\text{Be-i} $和$ \rm SP_\text{Be-e} $, 可以发现在入射能较低时Be等离子体的阻止本领主要由$ \rm SP_\text{Be-i} $贡献, 而随着入射能的升高, $ \rm SP_\text{Be-e} $迅速增大, 并成为高入射能段阻止本领的主导分量. 由于本文假设Be离子是完全电离的, 不同温度下离子平均电离度变化对核阻止本领的影响, 以及束缚电子对电子阻止本领的贡献此处并没有考虑, 这与重元素(如Au)等离子体中的情况有所不同.

对于DT等离子体的阻止本领, 本文采用He等^[2]提出的PR模型进行计算. 该模型将DT等离子体作为离子-电子双组分等离子体进行处理, 其同时考虑了等离子体的极化效应^[34]与入射粒子的反冲效应^[14], 在本文所研究的稠密等离子体中能得到更准确的计算结果. He等^[2]的工作将此模型的计算结果与LP模型^[15]、BPS模型^[16]等给出的结果进行比较, 发现符合良好且在广泛的温度、密度范围内均能获得可靠结果.

计算得到的阻止本领与前述Be等离子体的阻止本领具有类似的性质. 由于DT离子也是完全电离的, DT等离子体阻止本领的电子分量$ \rm SP_\text{DT-e} $亦完全由自由电子贡献, 与图3(b)中$ \rm SP_\text{Be-e} $的变化趋势一致而仅有数值大小上的区别. 对于核阻止本领$ \rm SP_\text{DT-i} $, 在入射能约等于$ T_\mathrm{e} $时其值同样接近0. 与图3(a)中$ \rm SP_\text{Be-i} $类似, 随着入射能的增大, $ \rm SP_\text{DT-i} $迅速升高至峰值, 后缓慢下降至0附近. $ \rm SP_\text{DT-i} $峰值对应的入射能随$ T_\mathrm{e} $的上升而增加, 而峰值的高度则随$ T_\mathrm{e} $而降低. 和$ \rm SP_\text{Be-i} $相比, 同一温度下$ \rm SP_\text{DT-i} $的峰值位置更靠右, 这是由于DT离子比Be离子更轻, 相同温度时其热速度更大. 在高入射能段(如$ E_\mathrm{p} \geqslant 100 \ \mathrm{keV/u} $), 所有温度下的核阻止本领同样变得接近, 但此处的能段比前述$ \rm SP_\text{Be-i} $对应的能段更高, 这也是DT离子具有更大的热速度所致. 另外, $ \rm SP_\text{Be-i} $的值比$ \rm SP_\text{DT-i} $的值更大, 这是由于Be离子比DT离子的电荷态更高, 其与入射粒子间的Coulomb斥力更强. 若将$ \rm SP_\text{Be-i} $除以平均电离度$ \langle Z \rangle =4 $, 可以发现在部分入射能、部分温度下其值小于$ \rm SP_\text{DT-i} $, 而在其余参数范围内有$ \rm SP_\text{Be-i}/4 \gt SP_\text{DT-i} $的情况出现. 这与Au等离子体的情况不同, 在参考文献[26]中, $ \rm SP_\text{Au-i}/79 $始终小于$ \rm SP_\text{DT-i} $, 这说明Au的平均原子模型中电子对原子核势场的屏蔽作用比Be的更强, 其对α粒子与靶离子间Coulomb排斥的减弱更强. 另外, 由于本文中$ \rm SP_\text{Be-i} $与$ \rm SP_\text{DT-i} $并非采用同一种模型计算, $ \rm SP_\text{Be-i}/4 $出现部分大于$ \rm SP_\text{DT-i} $的值也是可以理解的.

首先, 本文通过计算α加热中的能量分配因子探讨Be混合的影响. 为简单起见, 本文仅考虑DT与Be均匀混合的情况. 由阻止本领的定义可知, 入射粒子在混合物等离子体中运动距离$ \mathrm{d}x $, 其能量损失为

因此, 在本文中, DT离子、Be离子和电子的能量分配因子可分别定义为

利用第2节中混合度R的定义, (4)—(6)式中的被积函数可以写为

而积分的上限$ E_0 = 885 \ \mathrm{keV/u} $为DT聚变中α粒子的产生能量, 下限$ E_{\mathrm{m}} $为α加热终止时的入射能, 其确保$ \rm SP_\text{DT-i} $, $ \rm SP_\text{DT-e} $, $ \rm SP_\text{Be-i} $和$ \rm SP_\text{Be-e} $在积分范围内均为正. 在低混合极限和高混合极限下, 能量分配因子的定义分别趋向于纯DT等离子体和纯Be等离子体中的情况, 其值可用于与混合物中的值进行比较, 讨论不同混合度对α加热的影响.

根据(4)—(6)式, 我们计算了混合物密度$ \rho_\mathrm{mix} = 4.15\ \mathrm{g/cm^3} $时的能量分配因子, 其值乘以100后的结果如表1所列. 可以看出, 随电子温度的升高, 离子的能量分配因子($ \eta_\mathrm{DT} $和$ \eta_\mathrm{Be} $)增大, 而电子的能量分配因子($ \eta_\mathrm{e} $)则逐渐减小. 在固定的温度下, 随混合度R的增加, $ \eta_\mathrm{DT} $逐渐减小而$ \eta_\mathrm{Be} $逐渐增加, 说明Be离子的混合确实会对α粒子与DT离子间的能量传递造成不利的影响. 上述特征与Au离子在DT等离子体中混合时的情况相似^[26]. 然而, 对于电子的加热, 在温度较低($ T_\mathrm{e} \leqslant 1.0 \ \mathrm{keV} $)时$ \eta_\mathrm{e} $几乎不受R变化的影响, 而在高温情况($ T_\mathrm{e} \geqslant 5.0 \ \mathrm{keV} $)下其随R的增大而缓慢下降, 这说明Be离子混合主要影响高温条件下的$ \eta_\mathrm{e} $. 在Au离子混合的情况下, $ \eta_\mathrm{e} $随R增大而缓慢上升^[26], 这与本文的情形有所差异. 值得注意的是, 当$ T_\mathrm{e} \gt 0.1\ \mathrm{keV} $, 表1中各等离子体组分的能量分配因子之和总是小于1. 这是因为当α粒子的能量降低至$ T_\mathrm{e} $时对等离子体的加热就会停止, DT聚变产生α粒子的能量并不能全部传递给靶粒子. 在(4)—(6)式中体现为积分下限$ E_{\mathrm{m}} \gt 0 $, 分子的积分值之和自然小于$ E_0 $. 而当$ T_\mathrm{e} = 0.1\ \mathrm{keV} $时, 由于$ T_\mathrm{e} $很小, $ E_{\mathrm{m}} $也很小, 此时能量分配因子之和非常接近1, 在保留有效数字后该值即近似为1了.

此外, 在表1中, 当$ R \leqslant 0.01 $时$ \eta_\mathrm{DT} $降低较少, 而在$ R = 0.05 $时其值出现大幅下降. 为了更好地表现这一特征, 定义下降比例参数:

根据(10)式计算出$ \rho_\mathrm{mix} = 4.15\ \mathrm{g/cm^3} $时的β值如图4所示. 可以看出, 在$ R = 0.001 $时, $ \eta_\mathrm{DT} $的下降比例始终在1%以下. 当$ R = 0.01 $, 其下降比例约在3%—4%的范围内, 且温度越高混合导致的下降越多. 对于$ R = 0.05 $的情况, $ \eta_\mathrm{DT} $的下降比例可达约13%—18%, 且随温度上升, 下降比例迅速增大. 上述结果说明, 在Be离子的混合度达到0.05及以上时, Be混合才会对α加热中的能量分配产生较为显著的影响, 且混合度越高, 混合造成的$ \eta_\mathrm{DT} $下降越多. 根据He和Wang^[26]的计算结果, 对于Au与DT的混合物等离子体而言, 混合产生显著影响的临界混合度为0.01, 此值比Be混合的情况更小, 说明Au离子比Be离子的混合更容易对能量分配因子产生较强影响. 这可能是由Au离子的电荷态更高, 其对入射粒子的阻止本领更强造成的. 另外, 图4中各混合度的曲线斜率均无明显变化, 但参考文献[26]中的下降比例参数曲线(图3)在$ T_\mathrm{e} \leqslant 5.0 \ \mathrm{keV} $时斜率较大, 而在更高温度趋于平缓. 此差异是由于本研究中Be离子完全电离(图1), 而Au离子在$ T_\mathrm{e} \leqslant 5.0 \ \mathrm{keV} $时处于部分电离状态, 其平均电离度$ \langle Z \rangle $随温度上升而快速增大(参考文献[26]的图2), 对入射粒子的阻止本领也迅速增强.

与参考文献[26]中$ T_\mathrm{e} \gt 5.0 \ \mathrm{keV} $(Au离子完全电离)时的情况类似, 表1中固定R时$ \eta_\mathrm{DT} $和$ \eta_\mathrm{Be} $随$ T_\mathrm{e} $的快速上升主要源自混合物等离子体中电子阻止本领的快速减小(如图3(b)所示). 图5展示了$ \rho_\mathrm{mix} = 4.15\ \mathrm{g/cm^3} $, $ R = 0.05 $, 取$ T_\mathrm{e} = 5.0, 30.0, 100.0 \ \mathrm{keV} $时由(7)式和(8)式计算得到的被积函数$ \tau_\mathrm{DT} $与$ \tau_\mathrm{Be} $. 与参考文献[26]的图4类似, $ \tau_\mathrm{Be} $随着温度的上升而增大, 且温度更高时曲线的起点(对应$ E_{\mathrm{m}} $)越大. 对于$ \tau_\mathrm{DT} $, 在不同温度下其均呈现出先上升后下降的特征, 且温度越高, $ \tau_\mathrm{DT} $的峰值越低, 对应的入射能越大. 若只看曲线的形状, 图5中的$ \tau_\mathrm{Be} $和$ \tau_\mathrm{DT} $的行为分别与参考文献[26]的图4中$ \tau_\mathrm{Au} $和$ \tau_\mathrm{DT} $的行为一致, 对(4)式和(5)式中积分起主要贡献的能区为50—885 keV/u. 尽管$ \tau_\mathrm{DT} $的峰值高度随$ T_\mathrm{e} $上升而下降, 但在此能区内$ \tau_\mathrm{DT} $曲线与坐标轴横轴围成的面积却随$ T_\mathrm{e} $增加, 因此其积分得到的$ \eta_\mathrm{DT} $也一同上升. 在数值大小上, 图5中同等温度下$ \tau_\mathrm{DT} $始终大于$ \tau_\mathrm{Be} $, 而参考文献[26]的图4中$ \tau_\mathrm{Au} $总是大于$ \tau_\mathrm{DT} $. 另外, 关于能量分配因子, Au离子在混合度$ R = 0.05 $, $ T_\mathrm{e} \gt 5.0 \ \mathrm{keV} $时$ \eta_\mathrm{Au} $已经大于$ \eta_\mathrm{DT} $(见参考文献[26]的表1), 而在本文探讨情况下$ \eta_\mathrm{Be} $仍小于$ \eta_\mathrm{DT} $. 此差异同样来源于Au离子的电荷态远高于Be离子, 导致其阻止本领更强.

接下来, 本文探讨α加热中平均每个Be离子与平均每个DT离子获得能量大小的差异. 如前文所述, Be离子的电荷态比DT离子更高, 其对α粒子的阻止本领也更强. 为表征两种离子获得能量的相对大小, 定义如下参数:

在$ \rho_\mathrm{mix} = 4.15\ \mathrm{g/cm^3} $, 取$ R = 0.001, 0.01, 0.05 $时根据(11)式计算得到的γ参数如图6所示. 从图6可见, γ在不同$ T_\mathrm{e} $下的范围为$ 2.8 — 4.4 $, 该数值比较接近Be离子与DT离子的平均电离度之比4. 此外, 不同R对应的曲线仅略有差异, 说明Be离子的混合度高低对平均每个离子获得能量的比值影响不大. 同时, 我们注意到γ随着$ T_\mathrm{e} $的增大而缓慢上升. 由(11)式可知, 在固定的R下, γ的大小正比于$ {\eta_\mathrm{Be}}/{\eta_\mathrm{DT}} $, 也即正比于图5中$ \tau_\mathrm{Be} $与$ \tau_\mathrm{DT} $曲线与坐标轴横轴围成的面积之比. 从图5可见, 随温度上升, $ \tau_\mathrm{Be} $曲线逐渐抬升, 而$ \tau_\mathrm{DT} $曲线的峰值缓慢下降, 因此二者与横轴围成的面积之比不断上升, γ参数亦随之上升. 与He和Wang^[26]探讨的Au混合的情况相比, 本文中γ参数随$ T_\mathrm{e} $的上升较缓, 而Au混合时的γ参数在$ T_\mathrm{e} \leqslant 5\ \mathrm{keV} $的范围内快速上升, 在更高温的区域则增长放缓(参考文献[26]的图5). 这仍然是由于本文中Be离子已完全电离, 其电荷态不会随$ T_\mathrm{e} $变化, 而Au离子在$ T_\mathrm{e} \leqslant 5\ \mathrm{keV} $时电荷态随温度快速上升所导致的. 另外, Au混合时的γ在所有温度下均明显小于Au离子完全电离时的平均电离度$ \langle Z \rangle = 79 $, 该结果可能源于平均原子模型中电子对势场的屏蔽作用. 本文中γ在高温区达到甚至略超过Be离子的平均电离度$ \langle Z \rangle = 4 $, 说明电子对Be原子核势场的屏蔽作用没有对Au的强. 此处γ存在大于4的值, 也可能与$ \mathrm{SP_\text{Be-i}} $和$ \mathrm{SP_\text{DT-i}} $计算时采用的模型不同有关. 根据参考文献[2]的图1, PR模型在入射能较低时给出的核阻止本领略高于二体碰撞模型给出的, 而在高入射能下的计算结果则略低于二体碰撞模型给出的. 在前述对$ \eta_\mathrm{DT} $和$ \eta_\mathrm{Be} $表达式中的积分起主要贡献的入射能区间(50—885 keV/u)内, 多数情况下二体碰撞模型计算的核阻止本领高于PR模型计算的. 因此相对$ \eta_\mathrm{DT} $而言, $ \eta_\mathrm{Be} $会被高估, 而γ的计算结果也会偏大. 不同成分的离子间平均获得能量的差异会导致α加热中不同组分的温度上升速率不同, 本文中$ \gamma \gt 1 $说明Be离子的升温会快于DT离子, 正确描述它们各自的温度弛豫过程对聚变建模的准确性十分重要, 在未来仍需要进一步的研究.

本文也计算了混合物密度$ \rho_\mathrm{mix} = 415.0\ \mathrm{g/cm^3} $时DT离子、电子和Be离子的能量分配因子, 其值乘以100后列于表2. 总体来说, 此时能量分配因子的变化趋势与$ \rho_\mathrm{mix} = 4.15\ \mathrm{g/cm^3} $时一致, 包括$ \eta_\mathrm{DT} $, $ \eta_\mathrm{e} $和$ \eta_\mathrm{Be} $各自随$ T_\mathrm{e} $和R的变化. 与表1对比后可以发现, 在相同的$ T_\mathrm{e} $和R下, $ \rho_\mathrm{mix} = 415.0\ \mathrm{g/cm^3} $时的$ \eta_\mathrm{DT} $与$ \eta_\mathrm{Be} $总是高于$ \rho_\mathrm{mix} = 4.15\ \mathrm{g/cm^3} $时的值, 而$ \eta_\mathrm{e} $在高密度时的值则更低. 此行为与参考文献[26]中Au混合时的变化行为一致, 其原因仍有待探讨. 另外, 表2中同样有当R达到0.05时$ \eta_\mathrm{DT} $才出现显著的下降. 对高密度条件下β参数的计算表明, 使$ \eta_\mathrm{DT} $出现显著下降的临界混合度几乎不依赖于密度. 但由于β在$ \rho_\mathrm{mix} $与R固定时随$ T_\mathrm{e} $缓慢上升, 该临界混合度亦会随$ T_\mathrm{e} $增加而逐渐下降.

根据表1与表2, 我们以如下关系对β进行最小二乘拟合: $ \beta(R, T_\mathrm{e}) = aRT_\mathrm{e} + bR + cT_\mathrm{e} + d $, 其中a, b, c, d为拟合参数. 在$ \rho_\mathrm{mix} = 4.15\ \mathrm{g/cm^3} $和$ \rho_\mathrm{mix} = 415.0\ \mathrm{g/cm^3} $, $ T_\mathrm{e} $以keV为单位的情况下, 分别得到了两组拟合结果, 数值非常接近. 取两组结果的平均值, 可以得到$ a = 7.96\times10^{-3} $, $ b = 2.89 $, $ c = 1.39\times10^{-5} $, $ d = 2.32\times10^{-3} $. 当$ \eta_\mathrm{DT} $下降超过10%, 有$ \beta(R, T_\mathrm{e}) \geqslant 0.1 $. 由此可得临界混合度的标度关系: $ R_{0} = \dfrac{0.1 - cT_\mathrm{e} - d}{aT_\mathrm{e} + b} $, 代入拟合结果即可得到不同温度、密度下的临界混合度.

接下来讨论Be混合对α粒子在等离子体中输运射程的影响. 若α粒子的射程过长, 其运动轨迹可能超出靶丸的边界. 此时α粒子的能量无法最大化地沉积于DT燃料中, 显然这是对聚变不利的. 在入射粒子的输运过程中, 其射程可以表示为^[2,26]

其中, $ \mathrm{d}E_\mathrm{mix} $可由(3)式得到. 取$ \rho_\mathrm{mix} = 4.15\ \mathrm{g/cm^3} $和$ 415.0\ \mathrm{g/cm^3} $, 利用(12)式计算了α粒子在不同温度、不同混合度的等离子体中的射程. 为了更直观地表现Be混合对α粒子射程的影响, 这里定义参数:

该参数表示α粒子在混合物等离子体中的射程与在纯DT等离子体中的射程之比. 由(13)式计算得到的h参数展示在图7中. 可以看出, 对于所有$ \rho_\mathrm{mix} $和R取值, h均随$ T_\mathrm{e} $的增大而减小, 且R越大, h下降得越快. 这同样说明了射程随温度的上升而减小, 且Be混合会增大这种减小的幅度. 图中除了$ \rho_\mathrm{mix} = 4.15\ \mathrm{g/cm^3} $, $ T_\mathrm{e} = 0.1\ \mathrm{keV} $时存在$ h \gt 1 $的点, 其余条件下均有$ h \leqslant 1 $, 说明Be混合普遍会导致射程的缩短. 当$ R = 0.001 $时(黑线), 曲线始终保持在$ h = 1 $附近, 此时Be混合并未对射程产生明显影响. 对于$ R = 0.01 $的曲线(红线), h值的范围在$ 0.994—1.002 $, 表明Be混合导致的射程缩短在0.6%以内. 在R取0.05时(绿线), h的最小值约为0.974, 对应射程缩短约2.6%. 由此可见, 当R达到0.05时混合才会使射程出现$ \gt 1{\text{%}} $的缩短. 在固定的混合度下, 除去$ h \gt 1 $的点, 在温度较低时高密度条件的h值大于低密度条件的值, 而高温段的情况则与之相反. 这说明在温度较低时Be混合对低密度情况的影响较大, 而在高温等离子体中其更加影响高密度条件下的射程. He和Wang^[26]提出, Au在DT等离子体中的混合会导致α粒子射程的增加. 本文的计算表明, Be混合时射程的变化趋势与Au混合时的相反. 并且, 根据参考文献[26]的图6, 在所研究的密度、温度范围内, Au混合导致射程变化的比例最高可达约90%. 与之对比可以得出, Be混合对射程的影响要远远小于Au混合的影响.

我们试图通过分析α粒子在混合物等离子体中输运时的能量损失解释图7中射程的缩短. 根据(3)式, α粒子的能量损失率$ \dfrac{\mathrm{d}E_\mathrm{mix}}{\mathrm{d}x} $可以分为电子贡献($ \dfrac{\mathrm{d}E_\text{mix-electron}}{\mathrm{d}x} = n_\text{mix-DT}\mathrm{SP_\text{DT-e}} + n_\text{mix-Be}\mathrm{SP_\text{Be-e}} $)和离子贡献 ($ \dfrac{\mathrm{d}E_\text{mix-ion}}{\mathrm{d}x} = n_\text{mix-DT}\mathrm{SP_\text{DT-i}} + n_\text{mix-Be}\mathrm{SP_\text{Be-i}} $)两个部分. 对于电子贡献的能量损失率, 其与混合物等离子体中自由电子的数密度成正相关. 在完全电离的情况下, 考虑到自由电子由DT原子电离和Be原子电离贡献, 所以其数密度$ n_\mathrm{fe} = n_\text{mix-DT} + 4 n_\text{mix-Be} $. 根据质量守恒, 有$ n_\text{mix-DT} \times 2.5 m + n_\text{mix-Be} \times 9 m = \rho_\text{mix} $, 其中m为一个核子的平均质量. 结合混合度R的定义, 可得DT离子和Be离子总数密度的表达式: $ n_\text{mix-DT} = \dfrac{\rho_\mathrm{mix}}{(2.5 + 9 R)m} $, $ n_\text{mix-Be} = \dfrac{R\rho_\mathrm{mix}}{(2.5 + 9 R)m} $. 所以, 有$ n_\mathrm{fe} = \dfrac{\rho_\mathrm{mix}}{2.5 m}\dfrac{1 + 4 R}{1 + 3.6 R} $, 其随R单调上升. 当Be混合增加, R增大, 此时$ n_\mathrm{fe} $也增大, 自由电子导致的$ \dfrac{\mathrm{d}E_\text{mix-electron}}{\mathrm{d}x} $亦增强.

对于能量损失率的离子分量, 可推导出如下关系: $ \dfrac{\mathrm{d}E_\text{mix-ion}}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\rho_\mathrm{mix}}{2.5 m}\dfrac{\mathrm{SP_\text{DT-i}} + R \cdot \mathrm{SP_\text{Be-i}}}{1 + 3.6 R} $. 此时, 定义参数:

则有$ \dfrac{\mathrm{d}E_\text{mix-ion}}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\rho_\mathrm{mix}\mathrm{SP_\text{DT-i}}}{2.5 m}\dfrac{1 + 3.6\xi R}{1 + 3.6 R} $. 若$ \xi \gt 1 $, 则式中分子上R前的系数大于分母上的, $ \dfrac{\mathrm{d}E_\text{mix-ion}}{\mathrm{d}x} $将随R增大而增加. 同理, 若$ \xi \lt 1 $, $ \dfrac{\mathrm{d}E_\text{mix-ion}}{\mathrm{d}x} $将随R单调下降. 根据(14)式, 取$ \rho_\mathrm{mix} = 415.0\ \mathrm{g/cm^3} $, $ R = 0.05 $为例计算的ξ参数如图8所示. 可以看出, 在$ T_\mathrm{e} $较低时, ξ在低入射能区小于1, 而在高入射能区大于1. 随着$ T_\mathrm{e} $的升高, ξ曲线的低入射能部分大体呈现抬升趋势, 而高入射能部分虽略有下降趋势, 但其值仍大于1. 当$ T_\mathrm{e} \geqslant 50.0 \ \mathrm{keV} $, ξ在所有能区均大于1. 由此可见, 在高温情况下$ \dfrac{\mathrm{d}E_\text{mix-ion}}{\mathrm{d}x} $更倾向于随R单调上升, 而在低温情况下此趋势有所减弱. 换言之, Be混合更易在高温等离子体中导致α粒子射程的缩短, 此特征与图7中$ T_\mathrm{e} $越高, 射程缩短比例越大的特征相符. 同时, $ \dfrac{\mathrm{d}E_\text{mix-ion}}{\mathrm{d}x} $及前文所述$ \dfrac{\mathrm{d}E_\text{mix-electron}}{\mathrm{d}x} $与R间的正相关关系亦能解释h值随R的减小. 在$ T_\mathrm{e} = 0.1\ \mathrm{keV} $时, $ \xi \gt 1 $和$ \xi \lt 1 $均对应于较宽的$ E_\mathrm{p} $范围, 射程与R间的单调性关系不能简单判断, 而是取决于不同能段的积分值之间的竞争. 所以, 此时高密度情况下射程随R的增大而减小, 但低密度情况下射程反而增加, 这二者均为物理上合理的情景. 另外, 由于PR模型的计算结果在低入射能时偏大而在高入射能时偏小, 所以ξ在低入射能范围会略被低估, 而在高入射能范围则会略被高估. 若要校正该系统偏差, 需要基于非微扰论建立能处理稠密DT等离子体中入射粒子反冲效应和等离子体极化效应的新模型.

如前所述, 在Au与DT等离子体混合的情况下, α粒子的射程会增加. 根据参考文献[26], 此时自由电子的数密度约为$ n_\mathrm{fe} \approx \dfrac{\rho_\mathrm{mix}}{2.5 m}\dfrac{1 + \langle Z \rangle R}{1 + 79 R} $. 由于Au的平均电离度$ \langle Z \rangle \leqslant 79 $, 可知$ n_\mathrm{fe} $随R单调下降或不变, 自由电子导致的能损也会随混合变弱或不变. 对于离子的能量沉积, 有$ \dfrac{\mathrm{d}E_\text{mix-ion}}{\mathrm{d}x} \approx \dfrac{\rho_\mathrm{mix}\mathrm{SP_\text{DT-i}}}{2.5 m}\dfrac{1 + 79\xi' R}{1 + 79 R} $, 其中参数$ \xi' = \dfrac{\mathrm{SP_\text{Au-i}}}{79\cdot\mathrm{SP_\text{DT-i}}} $. 由于平均原子模型中电子对Au原子核势场的屏蔽作用, 始终有参数$ \xi' \lt 1 $. 因此, $ \dfrac{\mathrm{d}E_\text{mix-ion}}{\mathrm{d}x} $同样随R的增大而减小. 结合电子与离子的贡献, Au与DT的混合物等离子体中能量损失率随R单调下降, 也即Au混合导致射程的增大. 对比本文中Be混合的情况, 可总结得出杂质粒子混合对α粒子射程的具体影响取决于电子和离子的能量损失率表达式中R前的系数大小, 而该系数又由杂质粒子的电荷态、质量以及平均原子模型中电子的屏蔽效果所决定. 在考虑上述因素后, Be混合造成$ \dfrac{\mathrm{d}E_\mathrm{mix}}{\mathrm{d}x} $的变化远不及Au混合导致的变化, 因此其对射程的影响也远小于Au混合的影响.

从物理角度理解, 造成Be离子混合和Au离子混合对射程影响差异的根本原因是荷质比不同. 因为Be离子的荷质比大于DT离子的荷质比, 而本文对杂质混合影响的探讨均建立在混合物质量密度不变的前提下, 故在混合物中引入Be离子会增加其中的自由电子密度. 根据参考文献[17], 在对射程起主要贡献的入射能范围内, 等离子体的阻止本领由其自由电子分量主导. 因此, Be离子的混合会导致射程的缩短. 而对于Au离子, 其在完全电离时的荷质比与DT离子的荷质比非常接近. 在温度较低时, Au离子处于部分电离状态, 相应的荷质比甚至会低于DT离子的荷质比. 因此, 在混合物质量密度不变的前提下, 引入Au离子反而会减少其中的自由电子密度, 从而使射程增长. 对于其他原子序数的杂质, 需具体比较其荷质比与DT离子荷质比的相对大小, 进而判断其混合对射程造成变化的趋势.

本文通过计算电子-离子能量分配因子与α粒子的射程, 探讨热稠密DT等离子体中Be混合造成的影响. 本工作计算了混合物密度为$ 4.15\ \mathrm{g/cm^3} $和$ 415.0\ \mathrm{g/cm^3} $的两种情况, 在纯DT等离子体中分别对应离子数密度为$ 10^{24}\ \mathrm{cm^{-3}} $和$ 10^{26}\ \mathrm{cm^{-3}} $. 在本文中, 假定离子温度与电子温度相等且均处于热力学平衡态, 其值从0.1 keV变化至100.0 keV. 在此范围内, DT离子和Be离子均考虑为完全电离的状态. 根据混合物总体积与各成分所占体积之和相等, 以及热动平衡条件下各成分的化学势相等, 我们确定了混合物中各成分的分密度. 本工作中Be等离子体的核阻止本领和电子阻止本领分别使用基于平均原子模型势场的二体碰撞模型^[19]和修正入射粒子反冲效应的量子介电函数^[14]进行计算, DT等离子体的阻止本领由考虑二分量等离子体极化效应和入射粒子反冲效应的量子介电模型^[2]给出. 本研究主要取得如下结果.

1) Be离子的混合会造成DT离子能量分配因子的快速减小, 以及高温时电子能量分配因子的缓慢减小. 当Be离子的混合度达到0.05及以上, 会使DT离子的能量分配因子下降超过10%. 温度的升高会造成Be离子和DT离子的能量分配因子增大而电子的能量分配因子减小.

2) α加热中平均每个Be离子获得的能量约为平均每个DT离子的2.8—4.4倍.

3) Be混合在多数情况下会造成α粒子射程的缩短, 且温度越高, 缩短的幅度越大. 当密度为$ 4.15\ \mathrm{g/cm^3} $, 温度为0.1 keV时, Be混合会造成射程的增长.

在上述的结果中, Be混合造成α加热中能量分配的改变对可控聚变中等离子体的自持燃烧不利, 而其对射程的影响多数情况下却是无害的. 与Au混合的情况^[26]相比, Be混合对DT离子能量分配因子和α粒子射程的影响较小, 且多数情况下射程的变化趋势与Au混合时的相反. Be混合与Au混合造成影响的差异主要由二者的电荷态、质量、平均原子模型中电子对原子核势场屏蔽效果的不同以及有无束缚电子导致. 本文仅探讨了热力学平衡态下离子温度与电子温度相等的情况, 但在现实的ICF中, 常有离子温度高于电子温度的情况出现. 如前文所述, α加热中Be离子的升温快于DT离子, 这亦会导致不同离子成分间的温度出现差异. 准确计算双温或三温等离子体中α粒子的阻止本领、杂质粒子混合的影响以及不同组分的温度弛豫过程对聚变研究十分重要. 由于离子和电子的阻止本领几乎只与其自身的温度有关, 可知当$ T_\mathrm{e} $和R固定, 核阻止本领将随$ T_\mathrm{i} $增加而下降, 而电子阻止本领几乎不随$ T_\mathrm{i} $变化. 因此, 我们预测在双温等离子体中, $ \eta_\mathrm{DT} $将随$ T_\mathrm{i} $增加而下降. 又因为在对射程的积分起主要贡献的入射能范围内电子阻止本领远大于核阻止本领, 我们还预测双温等离子体中α粒子的射程几乎与$ T_\mathrm{i} $无关. 同时, 本文仅研究了杂质粒子与燃料均匀混合时的情况, 而真实情况往往是非均匀混合. 此外, 本文使用的平均原子模型忽略了离子球间的相互作用. 通过定量分析可知, 该假设不会影响本文的主要结果. 首先, Be离子的平均电离度主要由电子温度决定, 离子球间的相互作用对其影响不大. 我们曾使用平均原子模型计算过固体密度的Be等离子体中的平均电离度^[35], 结果与实验值符合很好. 另外, 在能量分配因子和射程的计算中, 起主要贡献的阻止本领分量为自由电子阻止本领, 忽略离子球间的相互作用并不会影响计算结果. 我们在先前的工作中也使用相同模型计算过部分电离的Al等离子体^[36]与固体密度的Be等离子体^[35]中的阻止本领, 其结果同样与实验值符合很好, 说明不需要引入更复杂的原子模型进行计算. 在ICF中, 不同Z值的杂质离子与入射离子间会具有不同的耦合强度. 本研究以及我们先前的工作^[26]提供了一套基于非微扰论的计算方法, 其适用于计算不同Z值杂质的阻止本领, 兼具准确性和通用性, 这是我们模型的科学意义. 然而, 对于中低入射能范围内非弹性碰撞导致的阻止本领, 我们目前采用一阶Born近似计算, 可能不够准确. 在后续工作中, 我们将开发使用高阶Born近似进行计算的方法, 以提升中低入射能范围的计算准确性. 这些都将是我们未来工作的开展方向.

支撑本研究成果的数据集可在科学数据银行https://www.doi.org/10.57760/sciencedb.j00213.00282中访问获取.