近年来冷原子与量子模拟实验的快速发展, 为研究多体系统的非平衡动力学提供了新的可控平台^[1-3]. 这类实验平台具备相互作用强度与色散关系高度可调的特性, 为非平衡动力学的精确研究提供了理想条件^[4,5]. 处于特定状态的一维背景粒子气体与杂质粒子相互作用模型是近年的研究热点^[6-9]. 对移动杂质的研究有助于理解这些含杂质的量子多体系统中展现出的丰富的集体和干涉现象, 包括极化子^[2,10,11]、Bogoliubov-Cherenkov辐射^[12]、激波^[13,14]、耗散量子杂质动力学^[15]、激发谱和有效质量^[16-18]、正交性灾难^[19,20]、格林函数的对数扩散^[21]、谱函数中阈值奇点的持续性^[22-24]、布洛赫振荡^[25,26]、量子颤振^[7,27]、一维玻色子的任意子化^[28]等.

作为一维量子可积系统的典型代表, 接触相互作用的一维玻色气体(Lieb-Liniger模型)^[7,29]存在一种量子颤振的现象. 该现象的出现条件为, 向玻色气体中注入杂质的速度大于本征声速. 研究表明, 杂质仅会将部分动量传递给背景气体, 然后形成一种动量长时间振荡且不衰减的关联态. 量子颤振是通过研究极化子的完整量子力学演化发现的, 而该演化可由精确的Bethe ansatz (BA)解描述. BA方法不仅可以精确求解Lieb-Liniger模型, 在其他量子可积系统中也有着广泛的应用^[30,31].

与上述Lieb-Liniger模型类似, 另一类量子可积系统经典模型——接触相互作用一维费米气体(Yang-Gaudin模型), 是本文关注的研究热点. 有关费米极化子平衡态性质和动力学性质的研究包括自旋-电荷分离^[1]、吸引相互作用下的极化子到分子态的转变^[32]、费米子极化子到分子态的跃迁与共存^[33,34]、尖锐量子集体模式涌现^[35]、杂质的奇异动量分布^[36,37]、系统受到冲击后的动力学性质^[38]、超声速杂质引发的量子颤振现象^[27]、 量子淬火动力学^[39]等. 目前, 量子颤振的研究主要集中于排斥相互作用体系, 而对吸引相互作用下的淬火动力学及相关量子颤振现象仍缺乏系统性探索. 这一空白主要源于两方面挑战: 在物理机制上, 吸引作用可能导致杂质与背景粒子形成束缚对, 从而使非平衡动力学受到束缚态、气态乃至非常规态的共同影响, 其行为机制可能与排斥体系存在一定的差异; 在计算层面, 多类本征态(束缚态、气态、非常规态)的共存, 使得不同本征态间的关联函数及初态交叠积分的解析推导与数值计算复杂度大幅增加.

为克服上述困难, 本研究基于Yang-Gaudin模型的严格解, 提出了一种高效计算方法, 将关联函数矩阵元与初态交叠积分化为有限求和形式, 显著降低了计算负担. 借此, 对吸引相互作用下的多体淬火动力学开展了系统定量研究, 发现吸引相互作用体系中存在量子颤振行为, 探究其物理机制, 从而为理解相互作用强度在量子非平衡演化中的作用提供了新的理论视角. 本文的主要内容如下: 第2节介绍单自旋翻转费米气体中束缚态与气态的BA严格解及其对应波函数, 并进一步给出非常规本征态的波函数; 第3节给出含时演化波函数和关联函数的表达式, 并将不同本征态关联函数, 初态交叠积分化简成有限求和形式; 第4节通过数值计算得到不同自旋间的两体关联函数在不同的动量和相互作用强度下的淬火动力学性质, 结合系统大量本征态的占据概率, 分析淬火后关联函数演化的周期和高占据概率态的能量差的关系; 第5节由动量随时间的演化出发, 讨论不同相互作用下的量子颤振和量子复苏现象, 以及量子颤振周期对应的能量差与自旋向下粒子的化学势的对应关系; 最后, 第6节总结本研究成果.

单自旋翻转的费米气体系统的哈密顿量可以写成下面的形式:

该系统是由$ N-1 $个自旋向上的费米子和$ 1 $个自旋向下的杂质费米子组成的. $ x_i $代表第i个费米子的坐标位置, $ \hbar $代表约化普朗克常量, m是单个费米子的质量. g代表不同自旋费米子之间的相互作用强度, 当g大于$ 0 $时代表排斥相互作用, 当g小于$ 0 $时代表吸引相互作用, 本文重点研究系统处于吸引相互作用下的性质. 为了方便书写, 令$ \hbar=2 m=1 $, 则系统的哈密顿量变为

其中$ c=g/2 $.

该模型的本征方程可由坐标BA方法求解. 在周期性边界条件下, 设自旋向下粒子的坐标为$ x_i $, 系统常规本征态的波函数可以写为

其中$ v_{\rm{r}} $是常规本征态指标; L是系统的长度; $ \theta(x)$是阶跃函数, 其定义为: 当$ x<0 $时, $ \theta(x)=0 $, 当$ x>0 $时, $ \theta(x)=1 $; P代表一种标准排序, $ (-1)^P $为由费米子交换反对称性引入的排列符号. 当$ P=\{1, 2, \cdots, N\} $时, $ (-1)^P=1 $, 当任意两个位置交换一次, $ (-1)^P $就是原来的相反数. 常规本征态波函数的归一化系数为

其解析化简形式已在文献[39]中给出.

常规本征态包含气态和束缚态, 它们的波矢$ k_j $和快度λ都满足下面形式的BA方程:

其中$ j=1, 2, \cdots, N $和$ c'=c/2 $. 系统的总动量和能量本征值分别是$ Q=\displaystyle\sum\nolimits_{j=1}^Nk_j=2\text{π} n_Q/L $, $ E= \displaystyle\sum\nolimits_{j=1}^Nk^2_j $, 其中$ n_Q $是总动量量子数.

气态的波矢$ k_j $全部为实数, 对(5)式和(6)式取对数并化简, 可以得到一组气态BA方程:

其中$ n_j $和$ n_\lambda $是描述气态的量子数.

束缚态存在一对弦解$ k_j $, 它们的实部相等, 虚部互为相反数, 用p表示弦解的实部, 用β表示弦解的虚部, 其他的$ k_j $仍然为实数. 将弦解代入到(5)式和(6)式, 取对数并化简, 可以得到一组束缚态BA方程:

其中$ n_{j'} $和$ n_{\lambda'} $是描述束缚态的量子数. 分别求解这两组方程即可得到系统所有常规本征态的波矢和快度.

当系统的总动量大于费米动量时, 系统会出现非常规本征态. 该态的波矢不随相互作用强度变化, 当量子数$ n_\lambda $取$ N/2 $时, 通过BA方程(7)式和(8)式求解得到波矢. 当$ j=1, \cdots, N-1 $时, $ k_{j}= 2\text{π} n_{j}/L $, 其中$ n_{j}=-N/2+1, \cdots, N/2-1 $. 当$ j= N $时, $ k_{N}=Q $. 该态的波函数与自由费米子的波函数形式相似, 具体如下:

其中$ v_{\rm{ir}} $为非常规本征态指标.

系统的初态波函数由$ N-1 $个自旋向上费米子系统的斯莱特行列式和单个自旋向下粒子的波函数相乘得到:

其中自旋向下粒子的波矢为Q, 对应的波函数为$ \exp\left( {\rm{i}} Q x_{\downarrow 1} \right)$. 自旋向上粒子的波矢为$ q_j = \left(j - N/2\right) \times 2\text{π} /L $, $ j = 1, 2, \cdots, N-1 $, 从而构成基态费米海的分布.

在$ t=0 $时刻, 将不同自旋粒子之间的相互作用强度由$ 0 $淬火至有限值c. 此后系统的时间演化行为主要由相互作用强度c和杂质粒子初始时刻的动量Q决定. 为研究系统的动力学性质, 需要将含时演化算符作用于初态波函数, 从而得到含时波函数:

将系统的完备基插入到含时演化算符之后可得:

其中v代表系统的所有本征态指标, $ E_v $是对应的能量本征值. 交叠积分的定义为

其模的平方表示占据概率. 在数值计算中, 忽略占据概率较小的本征态, 且满足$ \displaystyle\sum\nolimits_v \vert C_v \vert^2 \gt 0.95 $.

将任意常规本征态的波函数代入到(17)式中, 利用动量守恒和BA方程进行化简, 可以将交叠积分简化为简单函数的连乘的形式:

当式中$ v_{{\rm{r}}} $属于束缚态(气态)时, $ (-1)^{\xi}= -1 (1)$. $k_j $代表一个本征态下不同粒子的波矢, $ \boldsymbol{M^{{\rm{C}}}} $是一个$ N\times N $的矩阵, 当$ i=1, 2, \cdots, N $; $ j=1, \cdots, N-1 $时, 矩阵元为$ M_{ij}^{\mathrm{C}}=1/(q_j-k_i)$, 第N列的所有矩阵元为1, $ \det\left(\right)$代表对应矩阵的行列式形式.

将非常规本征态波函数(13)式代入(17)式计算该态与初态的交叠积分, 可得该态占据概率恒为$ 1/N $. 非常规本征态的占据概率不会随相互作用强度改变. 该态不仅在Yang-Gaudin模型中会出现, 在Lieb-Wu模型中也存在类似的本征态^[23].

借助含时波函数, 可将自旋向上粒子单体关联函数和不同自旋粒子两体关联函数的期望值分别表示为

其中不含时的单体和两体关联函数可用波函数分别表示为

因此, 可以通过计算(21)式和(22)式, 分别得到自旋向上粒子的单体关联函数和不同自旋粒子之间两体关联函数的解析表达式.

任意两个常规本征态间的自旋向上粒子的单体关联函数的解析结果可以简化为

其中

(23)式中$ v_{{\rm{r}}} $属于束缚态(气态)时, $ (-1)^{\xi}=-1 (1)$. 令$ z=x-x', x'=0 $, (23)式中k和$ k' $分别是任意两个常规本征态的波矢. 在数值计算的过程中, k和$ k' $必须分别满足一组常规本征态波矢的固定排序, 例如将所有实数解从小到大排列, 两个弦解放在实数解后面, 并按虚部从小到大排列. $ F_a\left(k_{m'}, k_s', z\right)$具体可以写为

定义$ (N + 1)\times N $的$ {{\boldsymbol{M}}} $矩阵, 其前N行矩阵元为$ M_{ij}=\sin\left[\left(k_{j}'-k_{i}\right)L/2\right]/\left[\left(k_{j}'-k_{i}\right)/2\right] $, 最后一行的矩阵元为$ M_{N+1, j}=\sin\left(k_{j}'L/2\right)$, $ {{\boldsymbol{B}}}_{m'l}^s $是一个$ (N - 1)\times (N - 1)$的方矩阵, 是$ {{\boldsymbol{M}}} $矩阵去掉第$ m' $和l行以及第s列后剩余的矩阵元按照原来的位置组成的矩阵.

常规本征态和非常规本征态间的自旋向上粒子的单体关联函数可以简化为

其中

定义一个$ (N + 1)\times N $的$ {{\boldsymbol{S}}} $矩阵, 其前N行矩阵元为

最后一行的矩阵元为$ S_{N+1, j}=1 $. $ {{\boldsymbol{R}}}_{m'l}^s $是一个$ (N - 1)\times (N - 1)$的方矩阵, 是$ {{\boldsymbol{S}}} $矩阵去掉第$ m' $和l行以及第s列后剩余的矩阵元按照原来的位置组成的矩阵. k和$ k' $必须分别满足一组常规本征态的波矢和一组非常规本征态的波矢固定的排序. $ F_b\left(k^{\prime}, k, L\right)$具体形式与(28)式一样.

非常规本征态之间的自旋向上粒子的单体关联函数可以简化为

结合(23)式, (26)式和 (29)式, 即可计算任意本征态下的自旋向上粒子的单体关联函数.

任意两个常规本征态之间不同自旋粒子的两体关联函数的解析结果可以简化为

常规本征态和非常规本征态间的不同自旋粒子的两体关联函数可以简化为

定义一个$ (N + 1)\times N $的$ {{\boldsymbol{U}}} $矩阵, 第一行的矩阵元为$ U_{1, j}=1 $, 其第二行到第N行矩阵元$ U_{ij} $与(28)式形式一样. $ {{\boldsymbol{W}}}_{m'l}^s $是一个$ (N - 1)\times (N - 1)$的方矩阵, 是$ {{\boldsymbol{U}}} $矩阵去掉第$ m' $和l行以及第s列后剩余的矩阵元按照原来的位置组成的矩阵.

非常规本征态之间的不同自旋粒子的两体关联函数可以简化为

结合(30)式, (31)式和(33)式, 即可计算任意本征态下的不同自旋粒子的两体关联函数.

借助第3节推导出的占据概率以及关联函数的解析表达式, 本节探究了淬火后的系统动力学性质. 图1(a)给出了弱相互作用下, 杂质动量等于费米动量时, 不同自旋间两体关联函数随时间的演化. 尽管自旋向下的粒子处于运动状态, 但可将坐标系固定在该粒子上, 即令其坐标为$ x'=0 $, 以此研究与其相关联的自旋向上粒子相对于该坐标零点的运动变化规律. 当不同自旋间粒子的相互作用强度较弱时($ c=-1 $), 由于吸引相互作用下束缚态的影响, 两体关联函数在$ x=0 $以及$ x=L $处会出现较大的概率密度峰, 其随时间演化始终大于$ 1 $, 表明束缚对的形成. 与此同时, 由于粒子数守恒, 如图1(b)所示, 在峰的右侧出现了一个关联孔洞. 该孔洞随时间演化逐渐向右移动并远离初始位置, 其运动特征在一定程度上反映了自旋向下粒子在自旋向上粒子间的相对运动规律. 具体地说, 当$ t=t_{\rm{F}} $时, 孔洞出现在$ x/L=0.05 $附近, 并随时间演化向右移动, 当$ t=30 t_{\rm{F}} $时, 孔洞运动到约$ x/L= 0.6 $处. 由于系统采用周期性边界条件, 孔洞在$ t=50 t_{\rm{F}} $时运动回$ x/L=0.05 $附近, 这种运动形成了图1(a)所示的深蓝色周期性条纹.

图2展示了初始时刻自旋向下粒子的动量大于费米动量的情况. 与图1相比, 尽管两者的参数仅在总动量上有所不同, 但其展现出的性质截然不同. 在图1中, 初始时刻关联函数在关联位置$ x= 0 $处的值始终保持大于$1 $, 而图2中, 初始时刻关联位置$ x=0 $附近的关联函数的值则发生剧烈变化. 随着时间的演化, 在$ x=0 $处交替出现波峰和波谷, 波峰值大于$1 $, 表现为束缚态性质; 波谷值小于$1 $, 表现为气态性质. 该现象所反映的物理过程可理解为, 关联函数在关联位置形成波峰, 相当于杂质粒子捕获某一背景粒子并共同运动. 然而, 由于杂质粒子初始时刻具有较大动能, 束缚对可能在之后的运动中解离, 导致波峰转变为波谷, 杂质粒子暂时脱离背景粒子的束缚. 图2(b)中, 在$ x=0 $的右侧形成了明显的关联孔洞, 该孔洞不会向外传播; 在$ x=L $的左侧也形成了关联孔洞, 但其形成速度较慢, 这与低于费米动量的情况完全不同. 在关联孔洞的正方向形成了波峰, 如图2(a)中周期为$25 t_{\rm{F}} $的不规则黄色条纹, 向右传播, 和图1(b)中孔洞运动方向相同. 具体地说, 在$ t=t_{\rm{F}} $时, 图2(b)在$ x/L=0.18 $附近出现较小的波峰, 随后波峰向右侧移动. 当$ t=16 t_{\rm{F}} $时, 波峰运动到约$ x/L=0.8 $处. 由于周期性边界条件的限制, 在$ t=21 t_{\rm{F}} $时波峰运动回$ x/L=0.2 $附近. 该现象与排斥情况类似, 与高动量下气态占据概率的显著提升有关. 值得一提的是, 位于$ x=L $左侧的关联孔洞存在向左传播的现象, 如图2(a)中周期约为$ 50 t_{\rm{F}} $的蓝色条纹所示.

为解释上述关联函数的演化特征, 图3给出了$ c=-1 $时占据概率随能量的分布图. 对于给定的总动量Q, 占据概率最大的两个本征态所对应的能量分别记为$ E_{\text{large1}} $和$ E_{\text{large2}} $. 这两个本征能量之差的绝对值记为$ \left| \delta E_{{\rm{large}}} \right| $, 对应的特征时间$ t_{{\rm{large}}}=2\text{π} / \left| \delta E_{{\rm{large}}} \right| $, 反映不同自旋两体关联函数的演化周期. 当$ Q \leqslant k_{\rm{F}} $时, 如图3(a), 占据概率最大的两个本征态为束缚态, 因此图1(b)中不同自旋两体关联函数在$ x=0 $的值始终大于$1 $, 主要表现束缚态的性质. 特征时间$ t_{{\rm{large}}}=47.81 t_{\rm{F}} $, 与图1中关联孔洞时空演化的周期基本一致. 当$ Q \gt k_{\rm{F}} $时, 如图3(b), 占据概率最大的两个本征态分别对应气态与束缚态, 且存在占据概率较大的非常规本征态. 因此图2(b)在$ x=0 $处的不同自旋两体关联函数的值从大于$1 $演化到小于$1 $, 表明系统的动力学从以束缚态贡献为主逐渐演化为以气态贡献为主. 特征时间$ t_{{\rm{large}}}=36.45 t_{\rm{F}} $, 不再与图2中波峰演化的周期保持一致. 这一现象的成因在于, 当动量高于费米动量时, 高占据概率束缚态的权重显著降低, 束缚态的总占据概率小于气态的总占据概率, 同时非常规本征态开始出现, 进而呈现出束缚态、气态与非常规本征态复杂耦合的特征.

相互作用强度较强时($ c=-10 $)时, 如图4所示, 无论系统总动量是小于等于费米动量还是高于费米动量, 不同自旋两体关联函数在关联处$ x=0 $始终呈现显著峰值, 呈现束缚态的局域性质. 其物理原因在于, 当相互作用强度比较大时, 束缚态的局域关联函数与相互作用强度的绝对值呈正相关, 从而使束缚态在整个时间演化中占据更主导的贡献. 如图4(a)所示, 在$ x=0 $处峰的两侧留下关联孔洞, 该孔洞同样不向外传播. 在$ t=t_{\mathrm{F}} $, $ x/L=0.2 $时, 图4(a)的波峰幅值小于图4(b)的对应波峰, 说明动量的增加使系统气态的特征更加明显. 图4(a)在$ x/L = 0.2 $处的波峰向右传播, 几乎不衰减. 图4(b)在同样位置处的波峰向右传播, 同时在$ x=L $左侧存在较小的波谷向左传播, 两波在约$4 t_{\mathrm{F}} $相遇后形成振荡. 这种振荡类似背景粒子的两体关联, 与文献[27]中排斥费米气体出现的现象一致, 被称作类Friedel振荡.

自旋向上粒子的动量分布可以通过对自旋向上粒子的单体关联函数做傅里叶变换得到:

其中$ k_{m'}=2\text{π} m'/{L} $, $ m' $为整数. 通过动量守恒

可以得出自旋向下粒子的动量随时间的演化. 接下来系统分析自旋向下粒子的动量演化行为, 并建立量子颤振的周期与自旋向下粒子化学势之间的关系.

为了便于对比排斥与吸引两种相互作用下的动量演化差异, 图5给出了排斥和吸引情况下的自旋向下粒子的动量随时间的演化情况. 在排斥相互作用的Yang-Gaudin模型中, 它的演化呈现出与Lieb Liniger模型^[7,29]类似的现象. 从图5(b)可以看出, 在排斥相互作用下, 当初始总动量小于费米动量时, 系统的动量会随时间衰退, 直到一个稳定的数值(在$ 30 t_{\rm{F}} $之前的蓝色实线). 当总动量大于费米动量时, 出现周期约为$ 9.7 t_{\rm{F}} $的量子颤振现象. 相比之下, 图5(a)吸引情况下由于束缚态弦解的参与, 会使得动量演化的结果与排斥情况不同. 无论初始的总动量是否大于费米动量, 动量随时间的演化都会出现类量子颤振现象. 特别是当初始时刻杂质粒子的动量高于费米动量时, 无论初始动量为多少, 当自旋向下粒子的动量演化到约$ t=3 t_{\rm{F}} $时都会出现第一个次峰(图5(a)中虚线c的位置), 在约$ t=6 t_{\rm{F}} $时都会出现第二个次峰(图5(a)中虚线e的位置), 这两个次峰之间的间隔对应量子颤振的周期, 周期近似为$ 3 t_{\rm{F}} $. 量子颤振的周期不依赖于系统初始动量的大小.

为了进一步理解自旋向下粒子的动量在更长时间尺度上的演化行为, 接下来研究不同相互作用情形下的量子复苏. 从图5(b)可以看出, 在排斥相互作用下, 当$ Q=1.6 k_{\rm{F}} $时, 对应的$ 22.81 t_{\rm{F}} $会出现一个主峰, 这反映出该系统发生了量子复苏现象. 出现量子复苏的原因是系统采用周期性边界条件, 粒子以约为初始动量大小的速度运动一个系统长度回到初始位置. 它出现的时间可以近似为

通过(36)式计算$ Q=1.6 k_{\rm{F}} $时量子复苏的时间为$ 19.63 t_{\rm{F}} $, 与图5(b)中将要出现主峰的位置对应. 总动量越大, 系统中的粒子绕一周回到初始位置的时间越短. 这与只有当总动量大于费米动量时系统才会出现量子颤振不同, 无论初始总动量是否大于费米动量, 系统都会出现量子复苏现象. 图5(a)吸引情况下粒子的动量演化在$ 12 t_{\rm{F}} $之后开始出现周期振荡, 振幅先增后减, 但是最大振幅小于前面量子颤振的最大振幅, 也小于排斥情况下量子复苏时动量的最大增量. 说明在此时, 系统受到周期性边界条件的影响, 出现类似量子复苏的现象, 但是由于束缚对的影响, 复苏的效果远弱于相同相互作用强度的排斥情况.

排斥或者吸引相互作用的动量随时间演化的不同不仅体现在自旋向下粒子的动量随时间演化上, 还体现在自旋向上粒子的动量分布上. 图6给出了图5中6个特殊时刻对应的自旋向上粒子的动量分布. 所选时刻依次为: 初始时刻, 杂质粒子动量首次达到极小值的时刻、首次出现次峰的时刻、第二次达到极小值的时刻、第二次出现次峰的时刻, 以及发生量子复苏的时刻, 分别对应图5中的初始位置以及虚线b至虚线f所标注的位置. 当系统为排斥相互作用时, 由图6红色圆圈符号可以看出, 在初始时刻, 系统自旋向上粒子的动量仅在费米海内有分布. 时间$ t=4.7 t_{\rm{F}} $时, 自旋向下粒子的动量随时间的演化第一次出现最小值, 受排斥相互作用影响, 自旋向上粒子的动量分布与系统初始状态存在明显不同. 在$ k_{m'}=1.8 k_{\rm{F}} $的位置出现了较高的峰值, 说明自旋向下的粒子通过与自旋向上粒子间的排斥作用, 将部分自旋向上的粒子激发到高能量态, 且峰值出现的位置略高于初始时刻注入的自旋向下粒子的动量$ Q=1.6 k_{\rm{F}} $. 时间$ t=8.9 t_{\rm{F}} $时, 自旋向下粒子的动量达到第一个次峰, 靠近初始动量方向的费米海内自旋向上粒子的动量分布明显收缩. 当时间$ t=14.0 t_{\rm{F}} $时, 自旋向下粒子的动量达到第二个最小值, 自旋向上粒子的动量分布在靠近初始动量方向的费米海附近出现了更明显的收缩. 当时间$ t=22.8 t_{\rm{F}} $时, 自旋向下粒子的动量出现较高的峰值, 系统在此时发生量子复苏, 系统接近初始状态. 自旋向上粒子的动量分布与初始时刻相似, 在$ k_{m'}=1.6 k_{\rm{F}} $附近出现的峰值基本消失, 只在费米海附近与初态有明显不同. 说明在此时自旋向上粒子通过相互作用将动量基本归还给自旋向下粒子.

当系统为吸引相互作用时, 从图6中的蓝色八角星符号可以看出, 当时间$ t=1.2 t_{\rm{F}} $时, 自旋向下粒子的动量随时间的演化第一次出现最小值, 由于吸引相互作用, 自旋向上粒子的动量分布与系统初始时刻明显不同. 在费米海边界到$ k_{m'}=2 k_{\rm{F}} $的位置附近出现由高逐渐降低的分布, 与排斥相互作用不同, 动量分布不会在此时出现峰值. 当时间$ t=2.4 t_{\rm{F}} $时, 自旋向下粒子的动量随时间的演化达到第一个次峰. 自旋向上粒子的动量分布从费米海边界到$ k_{m'}=1.6 k_{\rm{F}} $呈现逐步降低的趋势. 从$ k_{m'}= 1.6 k_{\rm{F}} $到$ k_{m'}=2 k_{\rm{F}} $的位置出现先增后减的趋势, 在$ k_{m'}= 1.8 k_{\rm{F}} $附近出现较小的峰值, 峰值高度明显小于排斥相互作用在$ k_{m'}=1.8 k_{\rm{F}} $的峰值高度. 当时间$ t=3.9 t_{\rm{F}} $时, 自旋向下粒子的动量随时间的演化第二次出现最小值, 自旋向上粒子的动量分布在$ k_{m'}=1.4 k_{\rm{F}} $位置出现峰值, 略低于$ Q=1.6 k_{\rm{F}} $对应的位置. 当时间$ t=5.4 t_{\rm{F}} $时, 自旋向下粒子的动量随时间的演化达到第二个次峰, 自旋向上粒子的动量分布在$ k_{m'}=1.6 k_{\rm{F}} $位置出现峰值. 综上, 系统峰值出现的位置略小于排斥情况下$ k_{m'}=1.8 k_{\rm{F}} $的位置, 且峰值也较低. 这是因为当不同自旋粒子间的吸引相互作用越强, 粒子的有效质量越大, 系统在演化过程中动量守恒, 进而使得粒子有效速度降低. 在$ t=11.6 t_{\rm{F}} $时, 自旋向上粒子的动量分布在费米海外仍有较高的值, 系统并没有恢复到与初始时刻相近的状态, 因此自旋向下粒子的动量仅出现较弱的量子复苏现象.

如图7(a)所示, 量子颤振的周期τ与总动量是0时基态的自旋向下粒子的化学势$ \mu_{\downarrow {\mathrm{c}}} $对应的周期一致, 与排斥费米气体类似^[40], 即

式中$ \mu_{\downarrow {\rm{c}}} $取绝对值的原因是吸引相互作用下自旋向下粒子的化学势为负值. 关于自旋向下粒子化学势的推导, 多种途径结果一致: 总动量为0时, 可通过热力学BA方程推导量子相变点的临界磁场与临界化学势得到, 也可借助离散BA方程, 根据向理想费米气基态添加一个自旋向下粒子所需能量推导得出; 总动量等于费米动量时, 气态磁振子态与束缚态激子态的能量差等于该化学势; 总动量大于费米动量时, 利用单粒子态激发能与缀饰能的关系, 可推导出占据概率较高且两两配对的束缚态激子态与气态磁振子态的能量差等于该化学势.

首先介绍通过热力学BA方程得出自旋向下粒子化学势的方法. $ \mu_{\downarrow {\rm{c}}} $由量子相变点处的临界化学势$ \mu_{ {\rm{c}}} $和临界磁场$ H_{ {\rm{c}}} $决定:

同时自旋向上粒子的化学势$ \mu_{\uparrow {\rm{c}}} $可以写为理想费米气体的形式:

其中$ n=N/L $. 热力学极限下, 即$ N\to\infty $, $ L\to\infty $时, 量子相变点处的临界化学势$ \mu_{ {\rm{c}}} $和临界磁场$ H_{ {\rm{c}}} $可以用描述热力学平衡态的BA积分方程获得^[41].

其中

缀饰能$ \epsilon^{\rm{b}}(\lambda) \leqslant 0 $[$ \epsilon^{\rm{u}}(k) \leqslant 0 $]对应$ |\lambda| \leqslant B $($ |k| \leqslant Q_{ {\rm{c}}} $)的占据态. $ \epsilon^{\mathrm{b}} $($ \epsilon^{\mathrm{u }}$)的正值对应未占据态. 积分边界B和$ Q_{ {\rm{c}}} $分别表征束缚对和非配对费米子的费米面. 完全极化费米气体到出现自旋向下粒子的转变点由$ B=0 $, $ \epsilon^{\rm{b}}(0)= 0 $和$ \epsilon^{\rm{u}}(\pm Q_{ {\rm{c}}})= 0 $确定, 这给出了临界磁场, 具体为

其中$ Q_{ {\rm{c}}}=\text{π} n $. 通过(39)式即可得到$ \mu_{ {\rm{c}}} $, 将临界磁场和临界化学势代入(38)式即可得到自旋向下粒子的化学势. 在强相互作用极限下, 自旋向下粒子化学势对应的周期可由(37)式写为

图7(a)表明, 当$ |\gamma| \to \infty $时, 量子颤振的周期趋近于零.

自旋向下粒子的化学势可以理解为理想费米气体系统中增加一个自旋向下的粒子所需要的能量, 即图7(b)中标注的蓝色双箭头对应的值. 借助该理解可得:

其中, $ E_0=\displaystyle\sum\nolimits_{j=1}^{N-1} (k_j)^2 $, $ k_j=\left[-(N/2-1), \cdots, (N/2-1)\right]2\text{π} /L $, 代表$ N-1 $个费米子组成的理想费米气体系统的基态能量. 对于束缚态的离散BA方程(9)—(12)式, 系统的基态对应的量子数取$ n_{\lambda'}=0 $, $ n_{j'}=-(N-3)/2, \cdots, (N-3)/2 $, 弦解的实部$ p=0 $, 在热力学极限下得到总动量为零时$ (Q=0)$的基态能量:

其中裸能量$ E_{\rm{bare}}(N-2)=\displaystyle\sum\nolimits_{j=1}^{N-2} (k_{j'}^{\rm{bare}})^2 $, 裸动量$ k_{j'}^{\rm{bare}}=2\text{π} n_{j'}/L $. 将$ E_{\rm{Ground}}(0)$和$ E_0 $求和化积分后的结果代入(45)式可得自旋向下粒子的化学势为

该结果与通过描述热力学平衡态的BA积分方程得到的结果一致.

我们发现量子颤振的周期可以由总动量为费米动量处的两个态决定, 具体为气态磁振子态和束缚态激子态, 这两个态对应的能量差与自旋向下粒子的化学势相等, 即图7(b)中标注的黑色双箭头对应的值:

磁振子态代表自旋向下的粒子从$ k=0 $处激发到费米海内的其他准粒子态. 激子态代表自旋向下的粒子位于$ k=0 $附近, 仅由一个自旋向上粒子从费米海内激发到费米面处, 从而在费米海内留下一个空穴. 对于气态的磁振子态的能量最低态, 即总动量等于费米动量($ Q=k_{\rm{F}} $)处, 自旋向下的粒子位于费米面, 对应离散BA方程的(7)式和(8)式中量子数取$ n_{\lambda}=N/2-1 $, $ n_{j}=-(N-1)/2, \cdots, (N- 1)/2 $, 通过热力学极限下的近似, $ \lambda \to -\infty $, 同时忽略掉$ 1/L $的高阶小量得到能量本征值:

其中裸能量$ E_{\rm{bare}}(N) = \displaystyle\sum\nolimits_{j=1}^N (k_j^{\rm{bare}})^2 $, 裸动量$ k_j^{\rm{bare}} = 2\text{π} n_j/L $. 对于束缚态的总动量等于费米动量($ Q= k_{\rm{F}} $)下的激子态, 自旋向上的粒子从$ k=0 $激发到费米面处, 对应的离散BA方程的(9)—(12)式中的量子数取$ n_{\lambda'}=N/2-1 $, $ n_{j'}=-(N-3)/2, \cdots, -1/2, 3/2, \cdots, (N-1)/2 $, 在热力学极限下, $ \lambda \to 0 $, 其本征能量为

将(49)式和(50)式代入(48)式可以得到$ \mu_{\downarrow {\rm{c}}} $, 结果与总动量为0时的自旋向下粒子的化学势(47)式一致. 与排斥情况相比^[42], 相同的是, 都是激子态与磁振子态的共同参与; 不同的是, 排斥情况只有气态, 而吸引情况下气态和束缚态共同参与.

除上述方法外, 在总动量等于费米动量时, 还可采用间接途径确定量子颤振周期对应的能量: 分别计算气态磁振子态与束缚态激子态相对于基态的能量差, 并进一步取两者之差即可得到该能量. 在费米动量处, 束缚态激子态的能量与基态能量之差为

即图7(b)中品红色双箭头对应的值. 在费米动量处, 气态磁振子态的能量与基态能量之差为

即图7(b)中绿色双箭头对应的值. 将上面的两个能量差相减, 再根据(38)式和(39)式即可得到自旋向下粒子的化学势:

结果与(47)式一致.

对于高于费米动量的情况, 依然可以用具有较高占据概率且互相配对的束缚态激子态与气态磁振子态的能量差来表示自旋向下粒子的化学势, 进而得到量子颤振的周期. 束缚态激子态的激发能可以理解为单粒子态激发能相加^[43], 即

其中$ \lambda_{\rm{b}} $代表束缚对的快度, $ k^{\rm{e}}_{\rm{p}} $代表激发到费米海外的粒子对应的波矢, $ k^{\rm{e}}_{\rm{h}} $代表空穴对应的波矢, $ \varepsilon^{\rm{u}}(k^{\rm{e}}_{\rm{p}})$和$ -\varepsilon^{\rm{u}}(k^{\rm{e}}_{\rm{h}})$分别代表未配对情况下粒子和空穴对应的激发能, $ \varepsilon^{\rm{b}}(\lambda_{\rm{b}})$代表束缚对的激发能. 由于该系统只有一个自旋向下的粒子, 忽略有关自旋向下粒子激发能$ \varepsilon^{\rm{b}}(\lambda_{\rm{b}})$的积分项, 则束缚对的激发能(40)式写为

未配对粒子(背景粒子)的激发能(41)式具体可写为

气态磁振子态的激发能也可理解为单粒子态激发能相加, 即

其中$ k^{\rm{m}}_{\rm{p}} $代表气态被激发到费米海外的粒子对应的波矢, $ \varepsilon^{\rm{c}}(k^{\rm{m}}_{\rm{p}})$对应的能量具体表达式与束缚态的(56)式相同. $ \lambda_{\rm{s}} $代表自旋向下粒子对应的快度, $ \varepsilon^{\rm{s}}(\lambda_{\rm{s}})$代表气态对应的自旋激发能:

因此量子颤振周期对应的能量可用互相配对的束缚态激子态与气态磁振子态的能量差表示为

在热力学极限下, $ \lambda_{\rm{s}} \to \infty $, $ \lambda_{\rm{b}}=0 $, $ k^{\rm{m}}_{\rm{p}}=k^{\rm{e}}_{\rm{p}} $, $ k^{\rm{e}}_{\rm{h}}= 0 $, 将相关的变量分别代入(54)式和(57)式可得

这与文献[7]排斥玻色气体中的自旋向下粒子化学势的表达式类似, 都是激子态的空穴激发能与磁振子态的自旋激发能的能量差. 最终, 该情况下自旋向下粒子的化学势可以化简成与(38)式一致的形式.

基于一维吸引相互作用单自旋翻转费米气体的BA严格解, 将交叠积分以及单体关联函数、两体关联函数的矩阵元简化为简单函数的有限求和形式, 从而实现对大量本征态占据概率与关联函数长时间演化的高效计算. 将具有动量的自旋向下杂质粒子注入无相互作用自旋向上费米子构成的基态后, 初始时刻将不同自旋粒子间的相互作用淬火至有限吸引强度, 系统研究了不同相互作用下两体关联函数的演化特性及量子颤振行为. 首先, 弱吸引相互作用下: 当初始动量小于等于费米动量时, 系统动力学主要由束缚态主导, 杂质粒子与背景粒子形成束缚对, 两体关联函数在局域关联区域出现显著的概率密度峰, 且峰值附近形成沿正方向运动的关联孔洞, 该孔洞的演化周期与占据概率最高的两个束缚态的能量差所对应的周期相符合; 当初始动量大于费米动量时, 非常规态、气态与束缚态的耦合作用导致关联函数在局域关联区域随时间演化交替呈现波峰与波谷, 波峰处数值大于1, 呈现束缚态特性, 反映杂质粒子与背景粒子形成束缚对并协同运动, 波谷处数值小于1, 呈现气态特性, 反映束缚对在运动过程中解离, 且因多种高占据概率本征态的共同参与, 关联波峰的演化无法通过占据概率最高的两个态进行描述. 其次, 强吸引相互作用下: 无论杂质粒子初始动量是否大于费米动量, 关联函数在局域关联区域的峰值始终大于1, 呈现束缚态特征, 且局域关联峰两侧形成不向外传播的关联孔洞. 最后, 研究了吸引相互作用下自旋向下粒子动量的演化行为, 进一步建立任意相互作用强度下量子颤振周期与自旋向下粒子化学势的统一关系, 即$ \tau=2\text{π} /|\mu_{\downarrow c}| $. 并通过热力学与离散BA方程等多种方法得到一致的自旋向下粒子化学势. 本文在吸引相互作用淬火动力学与量子颤振相关领域给出了动力学演化结果, 有助于深化对量子多体物理非平衡态性质的理解, 为相关的超冷原子杂质动力学实验提供理论参考.