超辐射相变是量子光学与多体物理交叉领域中的一个基本现象, 描述了原子系综与光场在强耦合条件下发生的集体量子行为. 当光与原子的耦合强度超越临界值时, 系统从光场处于真空态的正常相, 跃迁至原子呈现宏观相干性且光场获得宏观布居的超辐射相. 这一概念最初由美国物理学家Robert Dicke于1954年提出^[1], 不仅揭示了光与物质相互作用的非平衡统计性质, 也为连接微观量子世界与宏观经典行为提供了关键范例^[2,3], 对于理解开放量子系统的非平衡相变具有重要科学意义^[4,5].

近年来, 蓬勃发展的腔量子电动力学(cavity QED)与超冷原子物理, 已经成为探索非平衡量子多体物理的热点前沿^[6,7]. 特别是2010年苏黎世联邦理工学院实验组在玻色-爱因斯坦凝聚体(BEC)与光腔耦合系统中率先观测到了超辐射相变^[8], 引发了该领域的爆发式增长. 早期的大多数实验和理论工作主要利用原子的外部运动自由度来模拟Dicke模型中的二能级系统^[8,9], 成功揭示了诸如超固态、密度条纹相^[10,11]以及多模腔中涌现的$ U(1) $对称性^[12,13]等新奇现象. 国内学者在这一领域也取得了丰硕成果, 尤其是在自旋-轨道耦合超冷原子方面开展了大量深入研究^[14].

近期, 随着实验技术的发展, 基于原子内部自旋态的超辐射相变逐渐成为研究焦点^[15,16]. 当引入内部自由度时, 光与原子的集体耦合会导致更为深刻的多体效应, 例如旋量BEC中的自组织自旋纹理^[17]以及腔场辅助的动力学自旋-轨道耦合^[18]. 特别地, 超冷费米气体与光腔耦合体系因其独特的量子统计性质, 目前也正成为该领域的新兴前沿. 费米子遵循泡利不相容原理, 其费米面结构的存在会显著改变系统的极化率和临界行为^[19,20], 费米统计与内部光-原子耦合的结合可能诱导非常规配对机制^[21]和拓扑量子物态^[22]. 随着强关联费米子与光场强耦合的实验实现^[23], 实验上也观测到了由原子动量态耦合诱导的超辐射量子相变^[24], 证实了费米面拓扑结构对相变临界行为的调控作用.

目前, 关于光腔中费米气体的理论和实验工作大多数局限于三维体系. 在冷原子实验中, 原子通常被囚禁在势阱中, 可通过对不同囚禁方向的自由度施加强束缚, 使该方向的激发被冻结, 体系在低能区仅保留一个或两个方向上的有效自由度, 从而实现有效的准一维和准二维费米气体^[25,26], 为研究光腔中的低维费米气体超辐射性质提供了平台. 在一维和二维费米气体中, 态密度展现出与三维体系截然不同的能量依赖关系^[27], 这使得低维空间中费米气体与光场的耦合展现出不同的超辐射特性. 此外, 在实验过程中, 光腔不可避免地存在光子损耗, 导致系统成为典型的开放量子系统^[28]. 耗散不仅会修正稳态相图^[29], 还可能诱导极限环振荡等非平衡动力学^[30]. 因此, 在不同空间维度下, 研究光腔中费米气体的内部自由度耦合、外部磁场以及腔场耗散等效应对超辐射相变的影响, 对于全面理解真实条件下光-费米子相互作用的物理本质具有重要的科学价值.

本文以置于单模光学腔中的无相互作用自旋1/2均匀费米气体为研究对象, 基于推广的Dicke模型哈密顿量和Lindblad主方程, 在平均场近似下推导了超辐射序参量及原子自旋所满足的运动方程. 通过求解运动方程的稳态解, 并结合对正常态的线性稳定性分析, 获得了不同空间维度下超辐射相变的临界光与原子耦合强度的解析表达式, 进而系统研究了不同空间维度下塞曼场、腔场频率和腔场耗散对超辐射相变的影响. 结果表明: 在一维和二维体系中, 超辐射相变的临界耦合强度与塞曼场无关, 而随腔场频率和腔场耗散的增大而增大; 在三维体系中, 临界耦合强度除依赖腔场频率和腔场耗散外, 还随塞曼场增强而单调增大.

考虑N个无相互作用的自旋1/2费米原子被置于腔场频率为$ \omega_{\text{c}} $的均匀d维单模光腔中($ d=1, 2, 3 $), 原子通过吸收或发射光子可实现自旋翻转, 体系的哈密顿量为^[24]

其中$ \xi_{{\boldsymbol{k}}}=\varepsilon _{{\boldsymbol{k}}}-\mu $, $ \varepsilon _{{\boldsymbol{k}}}=\dfrac{\hbar^2{\boldsymbol{k}}^{2}}{2 m} $为原子的动能, h为塞曼场强度; 算符$ \hat{C}_{{\boldsymbol{k}}}=\left(\hat{c}_{{\boldsymbol{k}}, \uparrow}, \hat{c}_{{\boldsymbol{k}}, \downarrow}\right)^{\mathrm{T}} $, $ \hat{c}^\dagger_{{\boldsymbol{k}}, \sigma} $和$ \hat{c}_{{\boldsymbol{k}}, \sigma} $($ \sigma= \uparrow, \downarrow $)分别代表产生和湮灭动量为$ {\boldsymbol{k}} $、自旋为σ的费米子场算符; $ \hat{a}^{\dagger} $和$ \hat{a} $分别为光子的产生和湮灭算符; μ为化学势, 由费米原子数方程$ N=\displaystyle\sum\nolimits_{{\boldsymbol{k}}, \sigma}\hat{c}^\dagger_{{\boldsymbol{k}}, \sigma}\hat{c}_{{\boldsymbol{k}}, \sigma} $给出; $ \hat{S}_{{\boldsymbol{k}}, \nu}=\dfrac{1}{2}\hat{C}_{{\boldsymbol{k}}}^{\dagger}{\boldsymbol{\sigma}}_{\nu}\hat{C}_{{\boldsymbol{k}}} $($ \nu=x, y, z $)为原子自旋算符, $ {\boldsymbol{\sigma}}_{\nu} $泡利矩阵. 哈密顿量(1)中第三项代表原子与腔光场之间的相干耦合, g代表耦合强度. 当腔光场存在耗散时, 体系的动力学性质可以通过Lindblad主方程来描述^[28,31]:

其中ρ代表体系的密度矩阵, 算符$ \hat{{\cal{L}}}[\hat{a}]=2\hat{a}{\boldsymbol{\rho}}\hat{a}^\dagger- \{\hat{a}^\dagger\hat{a}, {\boldsymbol{\rho}}\}=2\hat{a}{\boldsymbol{\rho}} \hat{a}-\hat{a}\hat{a}^{\dagger }{\boldsymbol{\rho}} -{\boldsymbol{\rho}} \hat{a}^{\dagger }\hat{a} $为描述光场以衰减率κ向环境的不可逆光子流失, 即光场的耗散项.

一般地, 对于任意的可观测力学量$ \hat{O} $, 其平均值$ \langle\hat{O}\rangle=\text{Tr}({\boldsymbol{\rho}}\hat{O}) $随时间的演化可由方程$ \dfrac{\text{d}\langle\hat{O}\rangle}{\text{d}t}= \text{Tr}\left(\dfrac{\text{d}{\boldsymbol{\rho}}}{\text{d}t}\hat{O}\right) $给出, 其中$ \text{Tr} $代表求迹. 因此, 结合哈密顿量(1)和Lindblad主方程(2), 可导出光子湮灭算符平均值$ \langle\hat{a}\rangle $和原子自旋算符平均值$ \big\langle\hat{S}_{{\boldsymbol{k}}, \nu}\big\rangle $所满足的运动方程:

在平均场近似下, 忽略光场的量子涨落、原子自旋的量子涨落以及光场与原子自旋之间的涨落关联, 引入超辐射序参量$ \alpha=\left\langle\hat{a}\right\rangle $, 并取$ \big\langle\left(\hat{a}^\dagger+\hat{a}\right)\hat{S}_{{\boldsymbol{k}}, \nu}\big\rangle\approx \left\langle\hat{a}^\dagger + \hat{a}\right\rangle\big\langle\hat{S}_{{\boldsymbol{k}}, \nu}\big\rangle = \left(\alpha+\alpha^\ast\right)S_{{\boldsymbol{k}}, \nu} $, 其中$ S_{{\boldsymbol{k}}, \nu} = \big\langle\hat{S}_{{\boldsymbol{k}}, \nu}\big\rangle $. 则方程(3)在平均场近似下可写作:

其中, $ {\boldsymbol{B}}_{\text{eff}}=\left(-\dfrac{2 g}{\sqrt{N}}\left(\alpha+\alpha^\ast\right), 0, -h\right) $, $ {\boldsymbol{S}}_{{\boldsymbol{k}}} $代表以$ S_{{\boldsymbol{k}}, x} $, $ S_{{\boldsymbol{k}}, y} $和$ S_{{\boldsymbol{k}}, z} $为分量的平均自旋矢量. 方程(4b)描述原子平均自旋矢量在有效磁场$ {\boldsymbol{B}}_{\text{eff}} $中进动时所满足的Bloch方程. 运动方程(4)清晰展示, 通过光与原子的耦合, 光子的超辐射以有效外磁场的形式影响原子平均自旋矢量的进动, 而原子平均自旋矢量的进动又反过来影响光子超辐射的动力学性质.

在平均场近似下, 通过幺正变换$ \hat{c}_{{\boldsymbol{k}}, \uparrow}=\cos\theta\times \hat{\gamma}_{{\boldsymbol{k}}, +}-\sin\theta\hat{\gamma}_{{\boldsymbol{k}}, -} $和$ \hat{c}_{{\boldsymbol{k}}, \downarrow}=\sin\theta\hat{\gamma}_{{\boldsymbol{k}}, +}+ \cos\theta\hat{\gamma}_{{\boldsymbol{k}}, -} $, 可将哈密顿量(1)进行对角化:

其中$ \hat{\gamma}_{{\boldsymbol{k}}, s} $和$ \hat{\gamma}_{{\boldsymbol{k}}, s}^{\dagger} $分别代表费米型准粒子的湮灭算符和产生算符, $ E_{\boldsymbol{k},\pm } = \varepsilon _{{\boldsymbol{k}}} - \mu \pm \varLambda $为准粒子能谱, $ \varLambda = \sqrt{h^2/4 + g^{2}(\alpha ^{\ast } + \alpha)^{2}/N} $为受光场调制后的有效塞曼场, 幺正变换中θ满足$ \sin2\theta = {g(\alpha + \alpha^\ast)}/({\sqrt{N}\varLambda})$和$ \cos\left(2\theta\right)=h/(2\varLambda) $. 在准粒子表象中, 由于零温平均值$ \big\langle \hat{\gamma}_{{\boldsymbol{k}}, s}^{\dagger}\hat{\gamma}_{{\boldsymbol{k}}, s^\prime}\big\rangle=\varTheta(-E_{{\boldsymbol{k}}, s})\delta_{s, s^\prime} $, 则费米原子数$ N=\displaystyle\sum\nolimits_{{\boldsymbol{k}}, s}\hat{\gamma}_{{\boldsymbol{k}}, s}^\dagger\hat{\gamma}_{{\boldsymbol{k}}, s}=\displaystyle\sum\nolimits_{{\boldsymbol{k}}, s}\varTheta\left(-E_{{\boldsymbol{k}}, s}\right) $, 其中$ \varTheta(x) $为阶跃函数. 对于原子密度为n的d维自旋$ {1}/{2} $均匀无相互作用费米气体, 态密度为

费米能为$ E_\text{F}=\dfrac{\hbar^2}{2 m}\big[ 2^{d-1}\text{π}^{d/2}\Gamma (d/2+1)n\big]^{2/d} $. 利用变换

可将原子数方程写作:

其中函数

在原子数方程(6)的限制下, 通过求解运动方程(4), 可以研究体系的动力学性质. 一方面, 通过设α和$ {\boldsymbol{S}}_{{\boldsymbol{k}}} $不含时, 取方程(4)左边等于0, 可研究体系的稳态性质. 在准粒子表象中,

序参量α满足的稳态方程可写作:

因此, 联立求解方程(6)和(7), 可获得体系的稳态解, 进而研究体系的稳态超辐射性质. 另一方面, 当考虑光场涨落和原子自旋涨落时, 也可以通过线性化方程(4), 研究稳态的动力学稳定性及稳态的静态相变. 若将稳态解记为$ \tilde{\alpha} $和$ \tilde{S}_{{\boldsymbol{k}}, \nu} $, 并设$ \alpha(t)= \tilde{\alpha}+{\text{δ}}\alpha(t) $和$ {\boldsymbol{S}}_{{\boldsymbol{k}}}(t)=\tilde{{\boldsymbol{S}}}_{{\boldsymbol{k}}}+\delta {\boldsymbol{S}}_{{\boldsymbol{k}}}(t) $, 代入方程(4)并对其做线性化处理(保留至$ {\text{δ}}\alpha(t) $和$ {\boldsymbol{S}}_{{\boldsymbol{k}}}(t) $的一阶), 可得到涨落导致的偏离量$ {\text{δ}}\alpha(t) $和$ {\text{δ}} {\boldsymbol{S}}_{{\boldsymbol{k}}}(t) $所满足的线性运动方程:

其中$ \tilde{{\boldsymbol{B}}}_{\text{eff}}=\left(-\dfrac{2 g}{\sqrt{N}}\left(\tilde{\alpha}+\tilde{\alpha}^\ast\right), 0, -h\right) $为稳态有效磁场, $ {\text{δ}}{\boldsymbol{B}}_{\text{eff}}=-\dfrac{2 g}{\sqrt{N}}\left({\text{δ}}\alpha+{\text{δ}}\alpha^\ast, 0, 0\right) $为涨落引起的有效磁场. 进一步, 在方程(8)中取$ {\text{δ}}\alpha(t)\propto {\mathrm{e}}^{-\text{i}\lambda t} $和$ {\text{δ}}{\boldsymbol{S}}_{{\boldsymbol{k}}}(t)\propto {\mathrm{e}}^{-\text{i}\lambda t} $, 可通过分析λ的取值来研究稳态的静态相变和涨落下的动力学稳定性. 当λ的虚部小于0, 涨落将随时间指数衰减, 稳态解动力学稳定. 当λ的虚部大于0, 涨落随时间指数增长, 稳态解动力学不稳定. 当λ为纯实数时, 涨落将绕着平衡态以$ \vert\lambda\vert $为频率作周期性振荡. 若λ的实部非0, 且虚部小于0, 则对应阻尼振荡. 特别地, $ \lambda=0 $对应零频软模, 通常对应于稳态的失稳边界或连续相变的临界点.

首先研究无耗散的情况下, 体系在不同维度下的稳态超辐射相变. 通过数值求解原子数方程(6)和稳态方程(7), 图1(a)—(c)展示了不同维度中, 在给定的光场频率$ \omega_\text{c} $下, 超辐射序参量α随光与原子耦合强度g和塞曼场强度h的变化. 结果表明, 无论哪个维度, 光与原子耦合强度始终存在一临界值, 分别记为$ g_\text{c}^{\text{1D}} $, $ g_\text{c}^{\text{2D}} $和$ g_\text{c}^{\text{3D}} $. 当光与原子耦合强度小于临界值时, 序参量$ \alpha=0 $, 体系处于正常态. 但当耦合强度超过临界值时, 序参量α不为零, 并随着耦合强度增强而连续增长, 体系处于超辐射态. 特别地, 对于一维和二维体系, 图1(a)和图1(b)表明, 无论塞曼场强度取何值, 超辐射相变的临界耦合强度$ g_\text{c}^{\text{1D}} $和$ g_\text{c}^{\text{2D}} $始终保持不变, 与塞曼场强度无关. 而对于三维体系, 如图1(c)所示, 不同塞曼场取值下, 超辐射相变的临界耦合强度$ g_\text{c}^{\text{3D}} $将发生变化, 说明$ g_\text{c}^{\text{3D}} $与h有关.

超辐射相变的临界耦合强度展现出的典型特征, 可通过对正常态的线性稳定性分析进行定量计算. 对于正常态$ \alpha=0 $, $ {\text{δ}} S_{{\boldsymbol{k}}, z} $不随时间变化, 设$ {\text{δ}}\alpha(t)=a{\mathrm{e}}^{-\text{i}\lambda t} $, $ {\text{δ}}\alpha^\ast(t)=b{\mathrm{e}}^{-\text{i}\lambda t} $, $ {\text{δ}} S_{{\boldsymbol{k}}, x}(t)=s_{{\boldsymbol{k}}, x}{\mathrm{e}}^{-\text{i}\lambda t} $和${\text{δ}} S_{{\boldsymbol{k}}, y}(t)=s_{{\boldsymbol{k}}, y}{\mathrm{e}}^{-\text{i}\lambda t} $, 则线性化方程(8)为

由于$ \dfrac{1}{N}\displaystyle\sum\nolimits_{\boldsymbol{k}}\tilde{S}_{{\boldsymbol{k}}, z} = \dfrac{1}{4 E_{\text{F}}^{d/2}}I_{d}^{-}(0) $, 联立方程(9c)和(9d)求解$ s_{{\boldsymbol{k}}, x} $, 并将其代入(9a)式和(9b)式中, 可得关于a和b满足的齐次线性方程组:

其中$ \chi\left(\lambda\right)=\dfrac{g^{2}h}{\left( h^{2}-\lambda ^{2}\right) E_{\text{F}}^{d/2}}I_{d}^{-}\left( 0\right) $. 根据齐次线性方程组有非零解的条件, 即系数矩阵的行列式为零, 并结合超辐射相变临界点处$ \lambda=0 $, 可导出不同维度下超辐射相变的临界耦合强度为

通过从正常态($ \alpha=0 $)原子数方程(6)中解出化学势, 并获得$ I_{d}^{-}(0) $的解, 最终可通过方程(11)确定超辐射相变点处的临界耦合强度$ g_{\text{c}}^{d} $.

将一维体系($ d=1 $), 在正常态($ \alpha=0 $)时的原子数方程(6)两边同时乘以$ I_{1}^{-}(0) $, 并利用$ I_{1}^{+}(0)I_{1}^{-}=h $, 可得$ I_{1}^{-}(0)=\dfrac{h}{2\sqrt{E_\text{F}}} $, 则超辐射相变的临界耦合强度为

对于二维体系($ d = 2 $), 由$ I_d^{-}(\alpha) $的定义可得$ I_2^{-}(0)= h $, 则超辐射相变的临界耦合强度为

由此可见, 对于一维和二维体系, 超辐射相变的临界耦合强度$ g_\text{c}^{\text{1D}} $和$ g_\text{c}^{\text{2D}} $均与塞曼场强度h无关, 说明低维费米体系超辐射临界耦合强度对磁场的鲁棒性, 超辐射相变的临界耦合强度完全由腔场频率$ \omega_\text{c} $决定. 如图1(d)和图1(e)所示, 腔场频率越大, 超辐射临界耦合强度越大, 说明腔场频率抑制超辐射.

对于三维体系($ d=3 $), 由原子数方程(6)可得$ I_3^{-}(0)=h(h^2+12\mu^2)/(8 E_\text{F}^{3/2}) $, 超辐射相变临界耦合强度在形式上可写作

其中超辐射相变临界点处的化学势$ \mu_\text{c}^{\text{3D}} $可由原子数方程(6)解出. 如图1(c)所示, 与低维体系不同, 三维体系的超辐射相变临界耦合强度将依赖于h, 表明不同塞曼场强度下对应的超辐射相变的临界耦合强度不同. 图1(f)进一步给出了超辐射相变的临界耦合强度随腔场频率和塞曼场强度的变化, 对于固定的腔场频率, 超辐射相变的临界耦合强度随h的增大而增加, 反映塞曼场的存在将抑制超辐射相变, 说明可通过磁场有效调控超辐射相变.

在真实光腔实验中, 光子耗散不可避免, 因此体系应作为开放量子系统处理. 当存在耗散时, 系统将不再处于热平衡态, 而是演化至非平衡稳态. 下面进一步讨论不同空间维度下耗散对超辐射相变临界行为的影响. 对于一维和二维体系, 图2(a)—(e)展示了超辐射序参量$ \vert\alpha\vert^2/N $在不同h和不同κ取值下随耦合强度g的变化. 与无耗散情形类似, 无论塞曼场耦合强度取何值, 超辐射相变的临界耦合强度始终保持不变, 说明低维体系的超辐射转变临界耦合强度在耗散存在时也不依赖于塞曼场强度. 而对于固定塞曼场强度, 不同的腔场耗散对应的超辐射临界耦合强度的值不同, 它随着耗散的增加而增加, 说明耗散的存在会抑制超辐射相变, 体现了腔场耗散的引入总是倾向于破坏原子-光场的相干性. 对于三维体系, 如图3所示, 超辐射相变的临界耦合强度不仅依赖于腔场耗散, 而且还依赖于塞曼场强度.

耗散体系的超辐射相变临界耦合强度所展现的典型特性, 仍可通过对正常态的线性稳定性分析进行定量说明. 当存在耗散时, 齐次线性方程组(10)变为

因此, 超辐射相变的临界耦合强度为

对于一维和二维体系, 由于$ I_1^{-}(0)=h/(2\sqrt{E_\text{F}}) $及$ I_2^{-}(0)=h $, 则超辐射相变的临界耦合强度为

方程(17a)和(17b)清晰地展示出, 低维体系超辐射相变的临界耦合强度与塞曼场无关, 完全由腔场耗散和频率决定(见图2(c)和图2(f)). 对于三维体系, $ I_3^{-}(0) $与塞曼场强度不成正比关系, 无法将方程(16)分子的h抵消, 超辐射相变的临界耦合强度将与塞曼场强度有关. 如图3(c)所示, $ g_{\text{c}}^{\text{3D}} $将随塞曼场强度和腔场耗散的增加而增加, 说明塞曼场和腔场衰减将共同抑制三维体系的超辐射相变.

本文以耦合于单模光腔的超冷自旋1/2均匀无相互作用费米气体为研究对象, 基于推广的Dicke模型哈密顿量和Lindblad主方程, 在平均场近似下推导了描述体系零温超辐射动力学行为的运动方程. 结果表明, 超辐射序参量的演化方程与表征原子自旋进动的Bloch方程相互耦合: 一方面, 光子的超辐射可等效为外磁场, 从而驱动原子平均自旋矢量的进动; 另一方面, 原子平均自旋矢量的演化又反过来影响光场超辐射的动力学过程. 在此基础上, 通过求解运动方程的稳态解并结合线性稳定性分析, 得到了超辐射相变临界耦合强度的解析表达式, 并系统分析了腔场频率、腔场耗散以及塞曼场对超辐射相变的影响. 研究发现, 腔场频率和腔场耗散均会抑制超辐射的产生; 同时, 塞曼场的作用表现出显著的维度依赖性: 在一维和二维体系中, 超辐射相变的临界耦合强度与塞曼场无关, 而在三维体系中, 临界耦合强度随塞曼场增强而单调增大. 上述结果为实验上通过调控空间维度、塞曼场和腔场耗散实现超辐射相变的可控调节提供了理论依据.