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超冷原子扭转双层蜂巢光晶格中的高轨道平带

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张纯瑶, 龚琳善, 郭慧, 孟增明, 韩伟. 超冷原子扭转双层蜂巢光晶格中的高轨道平带[J]. 物理学报, 2026, 75(11): 110302. doi: 10.7498/aps.75.20260216
引用本文: 张纯瑶, 龚琳善, 郭慧, 孟增明, 韩伟. 超冷原子扭转双层蜂巢光晶格中的高轨道平带[J]. 物理学报, 2026, 75(11): 110302. doi: 10.7498/aps.75.20260216
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Chunyao ZHANG, Linshan GONG, Hui GUO, Zengming MENG, Wei HAN. High-orbital flat bands of ultracold atoms in twisted bilayer honeycomb optical lattices[J]. Acta Physica Sinica, 2026, 75(11): 110302. doi: 10.7498/aps.75.20260216
Citation: Chunyao ZHANG, Linshan GONG, Hui GUO, Zengming MENG, Wei HAN. High-orbital flat bands of ultracold atoms in twisted bilayer honeycomb optical lattices[J]. Acta Physica Sinica, 2026, 75(11): 110302. doi: 10.7498/aps.75.20260216
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超冷原子扭转双层蜂巢光晶格中的高轨道平带

  • 1.

    山西大学光电研究所, 光量子技术与器件全国重点实验室, 太原　030006

  • 2.

    合肥国家实验室, 合肥　230088

  • 3.

    太原师范学院物理系, 晋中　030619

    • 作者简介: 第一作者: zhangchunyao803@163.com .
    通讯作者: E-mail: guohui42@qq.com.;  E-mail: hanwei.irain@gmail.com.

High-orbital flat bands of ultracold atoms in twisted bilayer honeycomb optical lattices

  • 1.

    State Key Laboratory of Quantum Optics Technologies and Devices, Institute of Opto-Electronics, Shanxi University, Taiyuan 030006, China

  • 2.

    Hefei National Laboratory, Hefei 230088, China

  • 3.

    Department of Physics, Taiyuan Normal University, Jinzhong 030619, China

    • Corresponding authors: E-mail: guohui42@qq.com.;  E-mail: hanwei.irain@gmail.com.

  • 摘要: 最近超冷原子扭转双层光晶格的实验实现为在超冷原子体系中研究平带物理提供了新的平台. 已有研究表明在扭转双层蜂巢光晶格s轨道能带的狄拉克点处可以形成平带, 从而实现对魔角石墨烯材料的量子模拟. 本文进一步研究了扭转双层蜂巢光晶格中超冷原子在高轨道的能带性质. 结果表明, 在合适的层间耦合下, 平带不仅可以在s轨道狄拉克点处出现, 还能够在高轨道能带中的其他简并点以及能带顶和能带底形成. 对于简并点诱导的平带, 存在临界耦合强度, 在该临界值附近能带最平, 超过临界值后能带再次变得不平. 相比之下, 能带顶和能带底处的平带随层间耦合强度增大而持续变平. 在深光晶格区域, 随着层间耦合强度的变化, 还观察到平带在能谱中的漂移现象. 进一步分析表明, 高轨道平带与s轨道狄拉克点诱导的平带在拓扑与几何性质上具有明显差异: 后者在单粒子层面呈现出由非零威耳逊环(Wilson loop)缠绕刻画的非平庸拓扑; 而前者的几何相位效应通常受到抑制, 表现为威耳逊环缠绕数为零. 特别地, 高轨道狄拉克点诱导的平带虽不支持与s 带狄拉克点诱导的平带同类型的强拓扑缠绕, 但仍保留一定的非阿贝尔几何相位响应, 表现为威耳逊环相位在零附近出现有限起伏. 超冷原子扭转光晶格中这些丰富的平带结构及其拓扑与几何性质, 为进一步研究强关联物理和拓扑量子相变奠定了基础.
    Abstract: Recent experimental progress on twisted bilayer optical lattices with ultracold atoms provides a highly controllable platform for flat-band physics beyond solid-state moiré materials. While previous studies established that interlayer coupling can generate flat bands near the Dirac points of the s-orbital bands in twisted bilayer honeycomb optical lattices—thereby enabling quantum simulation of magic-angle twisted bilayer graphene—an important open question is whether higher-orbital bands can host equally rich (and possibly distinct) flat-band structures, and how their topology and geometry differ from the s-orbital Dirac-point flat bands.Here we systematically investigate the single-particle band structures of ultracold atoms loaded into higher orbitals of a twisted bilayer honeycomb optical lattice under tunable interlayer coupling. Our results reveal that, with appropriate interlayer coupling, flat bands can also emerge i) near other band-degeneracy points in higher-orbital bands, and ii) near the band bottoms and band tops of the higher-orbital bands. Importantly, we identify two distinct flattening mechanisms with different coupling dependence. For degeneracy-induced flat bands, the bandwidth is minimized near a critical interlayer coupling, whereas stronger coupling restores dispersion and reduces the flatness. By contrast, flat bands forming near band bottoms or tops flatten monotonically as the interlayer coupling increases. In the deep-lattice regime, as the interlayer coupling is tuned, some higher-orbital flat bands can drift in energy across the spectrum. In particular, flat bands initially embedded in a continuum of dispersive bands may migrate toward (and eventually into) an energy gap, becoming increasingly isolated. We also analyze the topological and geometric properties of representative flat-band subspaces using non-Abelian Wilson loops. The flat bands induced by the s-orbital Dirac points exhibit a nontrivial Wilson-loop winding. By contrast, most higher-orbital flat bands show suppressed geometric-phase effects with vanishing Wilson-loop winding and Wilson-loop phases locked near zero. Notably, for flat bands induced by higher-orbital Dirac points, although a robust winding analogous to the s-orbital Dirac-point case is absent, the Wilson-loop phases display finite fluctuations around zero, signaling a residual non-Abelian geometric response. The demonstrated tunability of flatness, band isolation, and geometric response lays a foundation for future studies of interaction-driven strongly correlated phases and topological quantum phase transitions in ultracold-atom moiré systems.
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  • 图 1  (a)单层蜂巢光晶格的布里渊区; (b)单层蜂巢光晶格的能带结构; (c)扭转双层蜂巢光晶格的布里渊区; (d)扭转双层蜂巢光晶格的能带结构, 光晶格深度为$ {V}_{0}=4{E}_{\mathrm{r}} $, 扭转角度为$ \theta =2\mathrm{arctan} \left(\dfrac{\sqrt{3}n}{2 m+n}\right) $, $ m=22 $, $ n=1 $

    Figure 1.  (a) Brillouin zone of the monolayer honeycomb optical lattice; (b) band structure of the monolayer honeycomb optical lattice; (c) Brillouin zone of the twisted bilayer honeycomb optical lattice; (d) band structure of the twisted bilayer honeycomb optical lattice; here the lattice depth is fixed at $ {V}_{0}=4{E}_{\mathrm{r}} $, and the twist angle is $ \theta =2\mathrm{arctan} \left(\dfrac{\sqrt{3}n}{2 m+n}\right) $ with $ m=22 $, $ n=1 $.

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    图 2  扭转双层蜂巢光晶格的能带宽度随层间耦合强度的变化, 灰色表示所有能带的带宽, 彩色突出标注了特定位置(包括能带简并点、能带底和能带顶)附近的能带在层间耦合作用下被压平并形成平带, 光晶格深度为$ {V}_{0}=4{E}_{\mathrm{r}} $, 扭转角度为$ \theta = $$ 2\mathrm{arctan} \left(\dfrac{\sqrt{3}n}{2 m+n}\right) $, $ m=22 $, $ n=1 $

    Figure 2.  Bandwidths of the twisted bilayer honeycomb optical lattice as a function of the interlayer coupling strength. The gray bars represent the bandwidths of all bands, while the colored bars highlight bands near several specific locations (including band degeneracy points, the band bottom, and the band top) that are flattened into flat bands due to the interlayer coupling. Here the lattice depth is fixed at $ {V}_{0}=4{E}_{\mathrm{r}} $, and the twist angle is $ \theta =2\mathrm{arctan} \left(\dfrac{\sqrt{3}n}{2 m+n}\right) $ with $ m=22 $, $ n=1 $.

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    图 3  能带简并点附近、能带底和能带顶的带宽随层间耦合强度的变化, 光晶格深度为$ {V}_{0}=4{E}_{\mathrm{r}} $, 扭转角度为$ \theta = $$ 2\mathrm{arctan} \left(\dfrac{\sqrt{3}n}{2 m+n}\right) $, $ m=22 $, $ n=1 $

    Figure 3.  Variation of the bandwidth near the band-degeneracy point, at the band bottom, and at the band top as a function of the interlayer coupling strength, here the lattice depth is fixed at $ {V}_{0}=4{E}_{\mathrm{r}} $, and the twist angle is $ \theta =2\mathrm{arctan} \left(\dfrac{\sqrt{3}n}{2 m+n}\right) $ with $ m=22 $, $ n=1 $.

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    图 4  s带狄拉克点附近的能带随层间耦合强度的变化　(a)—(c) 弱层间耦合区域平带的形成过程; (d)—(e) 强层间耦合区域涌现的受到莫尔超晶格对称性保护的新狄拉克点; 光晶格深度为$ {V}_{0}=4{E}_{\mathrm{r}} $, 扭转角度为$ \theta =2\mathrm{arctan} \left(\dfrac{\sqrt{3}n}{2 m+n}\right) $, $ m=22 $, $ n=1 $; (a)—(c)中, 绿线突出显示了能带指标从2c–1到2c+2的4条能带; (d), (e)中, 黑线突出显示了新形成的狄拉克点能带结构

    Figure 4.  Evolution of the energy bands near the Dirac point of the $ s $band as a function of the interlayer coupling strength: (a)–(c) Formation of flat bands in the weak interlayer-coupling regime; (d), (e) new Dirac points emerging in the strong interlayer-coupling regime, protected by the symmetry of the moiré superlattice; here the lattice depth is fixed at $ {V}_{0}=4{E}_{\mathrm{r}} $, and the twist angle is $ \theta =2\arctan \bigg(\dfrac{\sqrt{3}n}{2 m+n}\bigg) $ with $ m=22 $, $ n=1 $. In panels (a)–(c), the four bands with band indices ranging from 2c–1 to 2c+2 are highlighted in green. In panels (d) and (e), the newly formed Dirac point band structure are highlighted in black.

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    图 5  高轨道能带底和能带顶附近的能带随层间耦合强度的变化　(a)—(e)对应能带指标为4c(绿线)附近的能带结构; (f)—(j)对应能带指标为4c+1(绿线)附近的能带结构; 光晶格深度为$ {V}_{0}=4{E}_{\mathrm{r}} $, 扭转角度为$ \theta =2\arctan \bigg(\dfrac{\sqrt{3}n}{2 m+n}\bigg) $, $ m=22 $, $ n=1 $

    Figure 5.  Evolution of the energy bands near the band bottom and band top of higher-orbital bands as a function of the interlayer coupling strength: (a)–(e) Band structure near the band index 4c (green line); (f)–(j) band structure near the band index 4c+1 (green line); here the lattice depth is fixed at $ {V}_{0}=4{E}_{\mathrm{r}} $, and the twist angle is $ \theta =2\arctan \bigg(\dfrac{\sqrt{3}n}{2 m+n}\bigg) $ with $ m=22 $, $ n=1 $.

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    图 6  具有抛物型色散的高轨道能带简并点附近(6c)能带随层间耦合强度的变化　(a)—(e)对应光晶格深度为$ {V}_{0}=4{E}_{\mathrm{r}} $的能带结构; (f)—(j)对应光晶格深度为$ {V}_{0}=10{E}_{\mathrm{r}} $的能带结构; 扭转角度固定为$ \theta =2\arctan \bigg(\dfrac{\sqrt{3}n}{2 m+n}\bigg) $, $ m=22 $, $ n=1 $, 图中绿线突出显示了能带指标为6c的能带

    Figure 6.  Evolution of the energy bands near the higher-orbital band-degeneracy point (6c) with parabolic dispersion as a function of the interlayer coupling strength: (a)–(e) Band structures for an optical lattice depth of $ {V}_{0}=4{E}_{\mathrm{r}}; $ (f)–(j) band structures for $ {V}_{0}=10{E}_{\mathrm{r}}, $ here the twist angle is fixed at $ \theta =2\arctan \bigg(\dfrac{\sqrt{3}n}{2 m+n}\bigg) $ with $ m=22 $, $ n=1 $, the band with band index 6c is highlighted in green.

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    图 7  高轨道狄拉克点附近(8c)能带随层间耦合强度的变化, 其中光晶格深度固定为$ {V}_{0}=4{E}_{\mathrm{r}} $, 扭转角度为$ \theta =2\arctan \bigg(\dfrac{\sqrt{3}n}{2 m+n}\bigg) $, $ m=22 $, $ n=1$, 图中绿线突出显示了能带指标从8c–3到8c+4的8条能带

    Figure 7.  Evolution of the energy bands near the higher-orbital Dirac point (8c) as a function of the interlayer coupling strength, here the lattice depth is fixed at $ {V}_{0}=4{E}_{\mathrm{r}} $, and the twist angle is $ \theta =2\arctan \bigg(\dfrac{\sqrt{3}n}{2 m+n}\bigg) $ with $ m=22 $, $ n=1 $, the eight bands with band indices ranging from 8c–3 to 8c+4 are highlighted in green.

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    图 8  扭转双层蜂巢光晶格中3类平带的威耳逊环相位　(a)莫尔超晶格布里渊区(黑色六边形)和威耳逊环相位计算区域(红色菱形)示意图, 虚线$ {C}_{i} $表示用于计算威耳逊环相位的某一闭合路径; (b)—(d)分别表示s轨道狄拉克点(2c–1:2c+2)、能带底(4c)或能带顶(4c+1)或抛物型色散的高轨道能带简并点(6c)、高轨道狄拉克点(8c–3:8c+4)处的威耳逊环相位在布里渊区的变化; 横坐标$ k $ 表示沿布里渊区某一方向的动量位置(该方向的周期为$ {K}_{0} $), 纵坐标$ \varphi $表示威耳逊环相位

    Figure 8.  Wilson-loop phases for three types of flat bands in a twisted bilayer honeycomb photonic crystal lattice: (a) Schematic of the moiré superlattice Brillouin zone (black hexagon) and the region used to compute the Wilson-loop phases (red rhombus), the dashed line $ {C}_{i} $ indicates a representative closed path used to evaluate the Wilson loop; (b)–(d) Wilson-loop phase evolution across the Brillouin zone for the flat bands associated with (b) the s-orbital Dirac point (2c–1:2c+2), (c) the band bottom (4c), the band top (4c+1), or a high-orbital band-degeneracy point with parabolic dispersion (6c), and (d) the high-orbital Dirac point (8c–3:8c+4); the horizontal axis $ k $ denotes the crystal-momentum coordinate along a chosen direction in the Brillouin zone (with period $ {K}_{0} $ along this direction), and the vertical axis $ \varphi $ denotes the Wilson-loop phase.

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出版历程
  • 收稿日期:  2026-02-08
  • 刊出日期:  2026-06-05

超冷原子扭转双层蜂巢光晶格中的高轨道平带

    通讯作者: E-mail: guohui42@qq.com.; 
    通讯作者: E-mail: hanwei.irain@gmail.com.
    作者简介: 第一作者: zhangchunyao803@163.com
  • 1. 山西大学光电研究所, 光量子技术与器件全国重点实验室, 太原　030006
  • 2. 合肥国家实验室, 合肥　230088
  • 3. 太原师范学院物理系, 晋中　030619
  • 收稿日期:  2026-02-08

摘要: 最近超冷原子扭转双层光晶格的实验实现为在超冷原子体系中研究平带物理提供了新的平台. 已有研究表明在扭转双层蜂巢光晶格s轨道能带的狄拉克点处可以形成平带, 从而实现对魔角石墨烯材料的量子模拟. 本文进一步研究了扭转双层蜂巢光晶格中超冷原子在高轨道的能带性质. 结果表明, 在合适的层间耦合下, 平带不仅可以在s轨道狄拉克点处出现, 还能够在高轨道能带中的其他简并点以及能带顶和能带底形成. 对于简并点诱导的平带, 存在临界耦合强度, 在该临界值附近能带最平, 超过临界值后能带再次变得不平. 相比之下, 能带顶和能带底处的平带随层间耦合强度增大而持续变平. 在深光晶格区域, 随着层间耦合强度的变化, 还观察到平带在能谱中的漂移现象. 进一步分析表明, 高轨道平带与s轨道狄拉克点诱导的平带在拓扑与几何性质上具有明显差异: 后者在单粒子层面呈现出由非零威耳逊环(Wilson loop)缠绕刻画的非平庸拓扑; 而前者的几何相位效应通常受到抑制, 表现为威耳逊环缠绕数为零. 特别地, 高轨道狄拉克点诱导的平带虽不支持与s 带狄拉克点诱导的平带同类型的强拓扑缠绕, 但仍保留一定的非阿贝尔几何相位响应, 表现为威耳逊环相位在零附近出现有限起伏. 超冷原子扭转光晶格中这些丰富的平带结构及其拓扑与几何性质, 为进一步研究强关联物理和拓扑量子相变奠定了基础.

English Abstract

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    1.   引　言

    • 近年来, 以扭转双层石墨烯为代表的扭转二维量子材料由于展现出非常规超导电性和强关联莫特绝缘态等新奇物理现象[1,2], 引起了科学家的广泛关注. 研究表明, 扭转二维量子材料中所呈现的独特电子结构和强关联行为, 源于层间相对转角引入的能带折叠以及在能带简并点附近涌现的平带结构[3,4]. 平带的出现冻结了电子的动能, 使得电子之间的相互作用效应显著增强, 为探索新型强关联物态和拓扑量子效应提供了优越的研究平台[5–9]. 此外, 扭转诱导的能带折叠效应显著增强了体系对外部参数的响应灵敏度, 使其在量子传感和量子精密测量等方向展现出潜在的应用前景[10]. 扭转作为一个新的调控自由度还使得构建更加丰富和可调的量子物理模型成为可能, 从而在量子模拟研究中具有重要意义[11]. 扭转二维材料的这些进展共同催生了一个新的研究领域—扭转电子学(twistronics).

      传统扭转电子学材料所取得的一系列重要进展, 不仅为其他领域开展扭转诱导的莫尔量子物理研究提供了重要启示, 也为扭转电子学向更普适的人工量子体系的外延拓展带来了新的契机. 特别地, 传统扭转电子学主要基于电子体系[1–9], 电子属于费米子, 这在一定程度上限制了对玻色子材料扭转量子特性的研究. 另外, 受材料晶格结构的制约, 已实现的扭转电子学材料的Bravais晶格类型主要集中于六角晶格[12] ,而正方晶格等其他晶格结构的相关研究相对较少[13], 缺乏对更一般晶格几何的可调控性[14]. 为突破上述局限, 近年来扭转电子学的研究范畴逐渐向光学体系[15–17]和超冷原子体系延伸[18–26]. 超冷原子由于其高度可调控性, 在研究扭转量子物理方面表现出突出的优越性. 在超冷原子系统中, 可以通过设计激光几何和调节激光偏振实现丰富的晶格结构, 例如蜂巢光晶格、Kagome光晶格、六角光晶格、正方光晶格、棋盘光晶格、Lieb光晶格等[27–33]. 在这些晶格中, 既可以装载玻色子, 又可以装载费米子, 还可以装载玻色子和费米子的混合物. 更有价值的是, 利用光晶格超冷原子系统, 不但可以模拟魔角石墨烯等传统扭转电子学材料[21,34], 而且还可以实现自然界通常难以实现的全新三维扭转量子材料[35]. 光晶格超冷原子有望突破传统扭转电子学在晶格结构和量子统计等方面的限制, 为全面研究扭转量子体系中的新奇物理效应提供新的途径[36].

      在前期的研究中[18], 我们利用人造维度方案和自旋依赖光晶格技术在超冷玻色原子中首次实验实现了扭转双层正方光晶格. 此外, 理论研究表明利用超冷碱土金属原子的钟跃迁能级还可以实现扭转双层蜂巢光晶格, 并且预言在扭转蜂巢光晶格s轨道的狄拉克点处可以形成拓扑平带, 进而有效地模拟魔角石墨烯的电子能带[21,34]. 值得关注的是, 通过调控光晶格格点上超冷费米原子的占据数, 还可以将原子布居在任意高轨道能带上. 一个自然的问题随之而来: 高轨道中是否也能形成平带? 如果可以, 这类高轨道平带的形成遵循怎样的规律? 在拓扑性质等方面, 其与 s 轨道平带相比又有哪些显著差异?

      针对上述问题, 本文系统研究超冷原子在扭转蜂巢光晶格中高轨道的能带性质. 研究发现, 除了s轨道狄拉克点和能带底涌现的平带之外[21,34], 平带还可以出现在所有高轨道的能带简并点以及能带顶和能带底. 不同位置平带的形成对层间耦合强度表现出显著不同的依赖关系. 对于能带简并点处产生的平带, 体系中存在一个临界耦合强度, 在该临界值附近能带最平, 当层间耦合强度超过临界值后, 能带再次变得不平. 相比之下, 对于能带底和能带顶处涌现的平带, 随着层间耦合强度的增大, 能带逐渐变平, 并在形成平带后保持其平坦性. 我们还发现这些高轨道平带跟s轨道狄拉克点处的平带相比具有完全不同的拓扑特性. s 轨道狄拉克点处的平带表现为由非零威耳逊环(Wilson loop)缠绕表征的拓扑平带, 而高轨道平带的威耳逊环通常为零或在零附近起伏, 其几何相位效应受到明显抑制. 此外, 我们还观察到由层间耦合强度改变引起的平带漂移现象. 特别是在深晶格条件下, 平带可随耦合变化由连续能带区域漂移进入能隙之中, 表明高轨道平带具有更强的可调控性. 本文的研究结果表明, 超冷原子扭转光晶格体系具有更加丰富的平带结构和更高的调控灵活性, 为将来进一步探索平带相关的强关联效应以及拓扑量子相变提供了重要基础.

    2.   理论模型

    • 考虑将分别处于两个赝自旋态的超冷原子分别束缚在两个相对扭转的蜂巢光晶格中, 并利用微波耦合将两个自旋态耦合起来[21,34]. 在准二维条件下, 体系的单粒子哈密顿量可表示为

      其中$ -\dfrac{{\hslash }^{2}}{2 m}{\nabla }^{2} $表示原子动能, $ \hslash $为普朗克常数, $ m $为原子质量, 两个相对扭转的蜂巢光晶格势可表示为

      其中$ {V}_{0} $表示光晶格深度, $ {\boldsymbol{G}}_{1}=\sqrt{3}{k}_{0}\left(1, ~0\right) $, $ {\boldsymbol{G}}_{2}= \sqrt{3}{k}_{0}\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) $, $ {\boldsymbol{G}}_{3}=\sqrt{3}{k}_{0}\left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) $为光晶格的倒易晶格基矢, $ {k}_{0} $表示用于产生光晶格的激光的波数, $ \boldsymbol{S}\left(\theta \right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\-\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right) $表示光晶格相对扭转的旋转矩阵, $ \boldsymbol{r}=\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) $表示实空间坐标, $ {{\varOmega }}_{\mathrm{R}} $表示层间耦合强度. 在实验上, 光晶格深度$ {V}_{0} $可由用于产生光晶格的激光功率调节, 层间耦合强度$ {{\varOmega }}_{\mathrm{R}} $可由用于产生层间耦合的微波功率调节[18]. 在理论上, 为了清晰刻画各参数之间的定量关系, 选择原子对光晶格的反冲能量$ {E}_{\mathrm{r}}={\hslash }^{2}k_{0}^{2}/(2 m) $作为光晶格深度$ {V}_{0} $和层间耦合强度$ {{\varOmega }}_{\mathrm{R}} $的单位.

      通过数值对角化哈密顿量$ H $可以得到体系的能带结构. 扭转光晶格能带一个典型的特征是能带折叠. 单层蜂巢光晶格的布里渊区和能带如图1(a), (b)所示. 当两层蜂巢光晶格相对扭转一个公度角$ \theta $时, 其中公度角需满足$ \tan \dfrac{\theta }{2}=\dfrac{\sqrt{3}n}{2 m+n} $($ m, n\in \mathbb{Z} $), 体系表现出具有蜂巢晶格对称性的莫尔超晶格结构[37]. 莫尔超晶格周期跟原晶格周期相比在实空间放大了$ \sqrt{c} $倍. 特别地, 当$ \dfrac{m-n}{3} $为整数时, $ c= \dfrac{{m}^{2}+mn+{n}^{2}}{3} $; 当$ \dfrac{m-n}{3} $为非整数时, $ c={m}^{2}\;+ mn+{n}^{2} $. 相应地, 莫尔超晶格的布里渊区比单层光晶格的布里渊区缩小了$ \sqrt{c} $倍, 如图1(c)所示. 在层间耦合强度为零的条件下, 莫尔超晶格的能带相当于将原来单层光晶格的能带折叠到新的布里渊区之中, 原来的一条能带被折叠成了$ 2 c $条能带, 如图1(d)所示. 在不失一般性的前提下, 本文将扭转角度固定为$ \theta =2\mathrm{arctan} \left(\dfrac{\sqrt{3}n}{2 m+n}\right) $, 其中$ m=22 $, $ n=1 $. 大量的数值计算表明, 对于该取值附近相当大范围内的其他扭转角, 本文的主要结论均具有普适性.

    3.   结果讨论

    • 层间耦合在扭转双层光晶格的能带结构中扮演了重要角色. 图2给出了在某一特定光晶格深度下($ {V}_{0}=4{E}_{\mathrm{r}} $), 扭转双层光晶格的能带宽度随层间耦合强度的变化. 当层间耦合强度为零时, 体系所有能带都不平坦, 如图2(a)所示. 此时的能带有色散, 原子具有非零的群速度. 先前的研究已经表明, 单层蜂巢光晶格的s带的狄拉克点处和s带的能带底处的能带可以在层间耦合作用下被压平, 分别形成拓扑非平庸(威耳逊环缠绕数为1)和拓扑平庸(威耳逊环缠绕数为0)的平带. 我们进一步研究发现, 除了在s带的狄拉克点处和s带的能带底处可以形成平带之外, 在能带的其他简并点、能带底和能带顶处都可以在合适的层间耦合强度下形成平带, 如图2(b)—(e)所示. 此外, 在强层间耦合区域, 随着层间耦合强度的不断增大, 体系的能带依次在能带指标为1, c, 2c, …, 即c的整数倍)附近被逐步压平, 从而形成一系列平带, 如图2(e)—(h)所示.

      进一步分析发现, 能带简并点处的平带形成规律跟能带底和能带顶处的平带形成规律具有明显的不同. 对于能带简并点附近的能带, 例如在能带指标为2c, 6c, 8c附近, 分别对应单层光晶格的前3个能带简并点, 存在某一临界耦合强度. 在该临界耦合强度下, 体系的能带被压平, 形成平带. 但随着层间耦合强度的进一步增大, 能带再次变得不平, 如图3中红、紫、浅蓝线所示. 对于能带底和能带顶处的能带, 例如能带指标为1, 4c, 4c+1处, 分别对应单层光晶格的s带的能带底、s带的能带顶、p带的能带底, 随着层间耦合强度从零逐渐增大, 能带逐渐变平, 并随着层间耦合强度进一步增大而始终保持为平带, 如图3中蓝、绿、橙线所示.

      接下来分别讨论在不同能带简并点、能带底和能带顶附近的平带形成规律及其性质. 特别地, 在s带狄拉克点附近, 能带随层间耦合强度的变化如图4所示. 对于固定的光晶格深度$ {V}_{0}=4{E}_{\mathrm{r}} $和扭转角度$ \theta =2\mathrm{arctan} \bigg(\dfrac{\sqrt{3}n}{2 m+n}\bigg) $, ($ m=22 $, $ n=1 $). 只有在特定的临界层间耦合强度$ {{\varOmega }}_{\mathrm{R}}=0.11{E}_{\mathrm{r}} $时, 体系才形成平带. 增大或者减小层间耦合都会使平带被破坏. 特别地, 在该耦合强度下, 能带指标为2c–1, 2c, 2c+1, 2c+2的4条能带(标记为2c–1:2c+2)同时被压平, 形成四重简并的平带结构, 如图4(a)—(c)所示. 这种s带狄拉克点处的平带形成规律, 类似于扭转双层石墨烯s带狄拉克点处的平带形成规律, 为基于超冷原子模拟扭转石墨烯材料奠定了基础[34]. 我们进一步研究发现, 尽管层间耦合破坏了原有蜂巢光晶格的狄拉克点, 但是在强层间耦合区域, 形成了新的狄拉克点, 如图4(d), (e)所示. 这些新的狄拉克点受到莫尔超晶格对称性的保护, 具有拓扑鲁棒性. 特别地, 若将两个莫尔超晶格进行再次扭转堆叠, 可能会产生更加新奇的平带结构, 这一点值得在将来开展更深入的探索.

      我们还研究了s带的能带顶和相邻更高能带的能带底附近, 在层间耦合作用下平带形成的规律. 特别地, s带能带顶处能带结构随层间耦合强度的变化如图5(a)—(e)所示. 从图5可以看出, 在层间耦合强度$ {{\varOmega }}_{\mathrm{R}}=0.11{E}_{\mathrm{r}} $附近, 能带指标为4c的能带被压平, 形成平带. 进一步改变层间耦合强度, 该平带结构被保持. 同时, 我们发现该平带与其他能带之间的带隙, 可以通过改变层间耦合灵活调节. 继续增加层间耦合强度, 在能带顶部附近形成由多个平带构成的“平带簇”. 需要说明的是, 当层间耦合强度为零时, 由于两层晶格的对称性, 体系的能带是二重简并的. 层间耦合打破了该简并性, 因而在弱层间耦合区域, 能带一般不再具有二重简并的特性. 但是在强层间耦合区域, 某些能带可能在莫尔超晶格新的对称性约束下重新恢复简并特性. 特别地, 我们发现, 除了第4c条能带非简并, 其他新形成的平带都是双重简并的. 这些简并或非简并平带组成的“平带簇”呈现出类似原子能级的离散谱特征. 将来, 结合超冷原子独特的相互作用, 可以将体系从单带强关联模型推进到多轨道强关联模型, 有望实现单一平带模型中难以实现的强关联现象(如轨道选择性局域、轨道序, 以及更复杂的对称性破缺态), 为发现与操控新的强关联量子物态提供了可能. 在高轨道的能带底部, 平带的形成规律表现出跟能带顶部类似的性质. 随着层间耦合强度不断增大, 也可以形成平带结构, 并且可以通过调节层间耦合强度改变平带与其他能带的带隙, 并在强耦合区域产生“平带簇”, 如图5(f)—(j)所示.

      进一步, 我们讨论在高轨道能带简并点附近平带形成的规律及其性质. 回顾单层蜂巢光晶格的能带结构, 除前文讨论的s轨道能带简并点(狄拉克点)外, 在更高的轨道能带(第3条与第4条能带)之间还存在另一简并点, 如图1(b)所示. 与狄拉克点不同, 该简并点不是线性色散, 而是呈抛物形色散[29]. 我们发现, 该处平带的形成以及其随层间耦合演化的规律, 与狄拉克点处平带的形成规律明显不同. 首先, 由于在该简并点处单层光晶格的能带本身就相对平坦, 所以更容易被压平. 例如, 对于相同的光晶格深度$ {V}_{0}=4{E}_{\mathrm{r}} $和扭转角度$ \theta = 2\arctan \bigg(\dfrac{\sqrt{3}n}{2 m+n}\bigg) $, ($ m=22 $, $ n=1 $), 当层间耦合强度$ {{\varOmega }}_{\mathrm{R}}=0.007{E}_{\mathrm{r}} $时, 能带指标为6c的能带就已经被压平. 其次, 不同于狄拉克点处形成的孤立平带, 该处形成的平带与其他能带之间没有带隙. 与s带狄拉克点类似, 继续增大层间耦合强度后, 该简并点处形成的平带会被破坏, 如图6(a)—(e)所示. 然而, 在深光晶格条件下, 情况明显不同. 特别地, 我们计算了$ {V}_{0}=10{E}_{\mathrm{r}} $时, 能带随层间耦合强度的变化. 不同于浅光晶格的情形, 我们发现当平带形成以后, 在深光晶格的作用下平带不会被进一步增强的层间耦合破坏, 而是随层间耦合强度的改变在能带中发生漂移. 其先在能带内部移动, 随后逐渐漂移到带隙中, 最终形成孤立平带, 如图6(f)—(j) 所示.

      在更高轨道的第4能带和第5能带之间, 还存在另外一个具有线性色散的狄拉克简并点, 如图1(b), (d)所示. 我们发现, 在层间耦合作用下该狄拉克点附近的能带演化与 s 轨道狄拉克点的情形相似: 当层间耦合强度从零逐渐增大时, 能带逐步被压平; 在某一临界层间耦合强度下, 能带达到最平坦的状态并形成平带. 不同之处在于, 该狄拉克点附近形成平带所需的层间耦合更强. 特别地, 对于固定的光晶格深度$ {V}_{0}=4{E}_{\mathrm{r}} $, 产生平带所需的层间耦合强度为$ {{\varOmega }}_{\mathrm{R}}=0.605{E}_{\mathrm{r}} $, 如图7所示. 此外, 与先前s轨道狄拉克点在层间耦合作用下形成四重简并的平带不同, 该狄拉克点附近能带指标为8c–3, 8c–2, 8c–1, 8c, 8c+1, 8c+2, 8c+3, 8c+4的8条能带(标记为8c–3:8c+4)同时被压平, 形成了八重简并的平带结构. 我们还注意到, 在这8条能带被压平之前, 该狄拉克点附近的另外4条能带(对应能带指标为8c–5, 8c–4, 8c+5, 8c+6)会率先在较弱的层间耦合作用下被压平, 形成两条较为平坦的能带结构, 如图7(c)所示.

      我们接下来分析这些高轨道平带的拓扑性质. 根据先前的研究, 平带的拓扑性质可以用威耳逊环刻画[38–42]. 如图8(a)所示, 在布里渊区内沿某一方向(如沿$ {b}_{1} $方向)取闭合路径$ {C}_{i} $, 将该闭合路径离散为一系列按顺序排列的点$ {k}_{0}\rightarrow {k}_{1}\rightarrow \ldots \rightarrow {k}_{L} $, 其中($ {k}_{L} $和$ {k}_{0} $位于布里渊区的两个边界), $ N $个能带子空间对应的非阿贝尔威耳逊环矩阵可表示为

      其中$ {u}_{p}({k}_{l}) $, ($ p, q=1{, }2, \ldots , N $)表示动量空间$ {k}_{l} $位置处第$ p $个能带的布洛赫波函数的周期部分, $ {\left[\ldots \right]}_{N\times N} $表示由矩阵元$ \left\langle {u}_{p}({k}_{\boldsymbol{l}})|{u}_{q}({k}_{l+1})\right\rangle $组成的$ N\times N $矩阵. 将威耳逊环矩阵对角化可以得到威耳逊环本征谱. 先前的研究表明, s带狄拉克点处通过层间耦合诱导的平带具有非平庸的威耳逊环缠绕, 其威耳逊环相位呈现从0到$ \text{π} $的连续变化, 如图8(b)所示. 与此形成鲜明对比的是, 我们发现在高轨道的能带底、能带顶以及高轨道的简并点处形成的平带, 其威耳逊环响应呈现出明显不同于 s带狄拉克平带的拓扑特征. 特别地, 能带底(4c)与能带顶(4c+1)以及具有抛物型色散的高轨道能带简并点(6c)处形成的高轨道平带对应的威耳逊环相位谱不发生缠绕, 其威耳逊环相位锁定在0, 表明该类平带在所选子空间内可视为拓扑平庸, 其几何相位效应被显著抑制, 如图8(c)所示. 另一方面, 高轨道狄拉克点(8c)处形成的平带则表现出更为微妙的几何结构: 其威耳逊环相位并未呈现s带狄拉克平带那样清晰的0→$ \text{π} $缠绕, 但也并非严格为零, 而是在零附近出现明显的起伏. 该现象意味着该平带子空间虽不支持与s带狄拉克平带同类的强拓扑缠绕, 却仍保留一定的非阿贝尔几何相位响应, 如图8(d)所示.

    4.   总　结

    • 本文研究了扭转双层蜂巢光晶格在高轨道形成的平带结构及其性质. 研究结果表明: 1)平带不仅可以在扭转双层蜂巢光晶格的s轨道的狄拉克点附近形成, 而且还可以在其他能带简并点以及能带底和能带顶附近形成. 2)在能带简并点处, 平带的形成存在临界层间耦合强度, 在该临界值附近能带最平; 而在能带底与能带顶处, 平带的形成不存在临界耦合强度, 能带随层间耦合强度增大越来越平. 3)在深光晶格区域, 具有抛物型色散的高轨道能带简并点附近形成的平带会随层间耦合强度变化呈现“平带漂移”现象. 4)在强层间耦合区域, s轨道能带顶和更高轨道能带底附近可形成由多个平带组成的“平带簇”, 进一步结合超冷原子相互作用可以实现多轨道强关联模型. 5)在强层间耦合区域, 还可以形成受到莫尔超晶格对称性保护的新的狄拉克点. 6)高轨道平带与 s 轨道狄拉克点附近形成的平带在拓扑性质及几何相位响应等方面存在明显的差异性. 上述结果揭示了扭转双层蜂巢光晶格中多类型、高可调的平带结构及其拓扑几何特征, 为进一步研究相互作用主导的强关联行为及可能的拓扑量子相变提供了重要基础.

    参考文献 (42)

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