基于不变量绝热捷径的<sup>171</sup>Yb中性原子基态-里德伯态 Bell型纠缠态快速制备

王晓锋

doi:10.7498/aps.75.20260364

基于不变量绝热捷径的¹⁷¹Yb中性原子基态-里德伯态 Bell型纠缠态快速制备

王晓锋^,

太原师范学院物理系, 晋中　030619

作者简介: E-mail: andywangxiaofeng@163.com .

通讯作者: E-mail: andywangxiaofeng@163.com

中图分类号: 03.67.Bg, 32.80.Ee, 42.50.Dv, 03.65.Ta

Fast preparation of Bell-type entangled states between the ground and Rydberg states of neutral ¹⁷¹Yb atoms based on shortcut to adiabaticity via invariants

Xiaofeng WANG^,

Department of Physics, Taiyuan Normal University, Jinzhong 030619, China

Corresponding author: E-mail: andywangxiaofeng@163.com

MSC: 03.67.Bg, 32.80.Ee, 42.50.Dv, 03.65.Ta

摘要: 针对¹⁷¹Yb中性原子里德伯阻塞体系中的快速纠缠态制备问题, 提出一种基于Lewis-Riesenfeld不变量逆向工程的绝热捷径方案, 用于实现基态-里德伯态对称单激发Bell型纠缠态的快速高保真制备. 在大失谐绝热消除与强里德伯阻塞近似下, 将原始双原子三能级系统约化为有效两能级模型, 并据此在共振驱动条件下构造解析控制脉冲. 数值结果表明, 在总演化时间T = 1 μs, 里德伯相互作用强度$V=2\text{π}\times 120$ MHz条件下, 系统可实现从初态到基态-里德伯态对称单激发Bell型纠缠态的快速转移, 末态保真度超过0.999, 所需峰值单原子有效两光子Rabi频率仅约为$2\text{π}\times0.66$ MHz. 进一步在完整双原子三能级模型中验证发现, 无耗散时末态保真度可达0.9999以上, 考虑中间态自发辐射和里德伯态衰减后仍保持在97%以上. 与传统绝热方案相比, 该方案可在更短时间内完成目标态制备, 并对驱动误差、失谐偏差、多普勒效应、激光线宽及相互作用波动表现出较好的鲁棒性. 结果表明, 该方案在¹⁷¹Yb里德伯中性原子平台上具有一定实验可行性, 并可为后续纠缠资源态向长寿命逻辑编码子空间的映射提供参考.
- ¹⁷¹Yb中性原子 /
- 里德伯阻塞 /
- 绝热捷径 /
- Lewis-Riesenfeld不变量 /
- Bell型纠缠态制备
Abstract: Fast and high-fidelity entangled-state preparation in neutral-atom Rydberg systems is of central importance for quantum information processing, yet conventional adiabatic protocols generally rely on long evolution times and are therefore susceptible to decoherence and control imperfections. In this work, we propose a shortcut-to-adiabaticity protocol based on Lewis–Riesenfeld invariant inverse engineering for the rapid preparation of a symmetric singly excited Bell-type state in a two-atom ¹⁷¹Yb Rydberg-blockade system. The target state is the ground–Rydberg entangled state $\left| {B} \right\rangle =(\left| {gr} \right\rangle +\left| {rg} \right\rangle )/\sqrt{2}$, which is generated from the initial state $\left| {gg} \right\rangle $.Starting from the original two-atom three-level ladder system, we first perform adiabatic elimination of the intermediate state under the large single-photon detuning condition and further reduce the dynamics to an effective two-level model in the symmetric subspace spanned by $\left| {G} \right\rangle =\left| {gg} \right\rangle $ and $\left| {B} \right\rangle $. In the strong Rydberg blockade regime, the doubly excited state $\left| {rr} \right\rangle $ is far off resonance and contributes only as a higher-order leakage channel. On this basis, an analytical control pulse is derived by reverse engineering the Lewis–Riesenfeld invariant. By choosing a constant auxiliary phase $\beta=-\text{π}/2$, the general invariant-based control relations are simplified to a resonant shortcut protocol with vanishing effective detuning. A quintic polynomial ansatz for the auxiliary angle $\theta(t)$ is then adopted to satisfy the boundary conditions $\theta(0)=0$ and $\theta(T)=\text{π}$, yielding a smooth single-peaked pulse with zero initial and final amplitudes, which is favorable for experimental implementation.Numerical simulations show that, for a total operation time of $T=1\; \text{μs}$ and a Rydberg interaction strength of $V=2\text{π}\times120\; \mathrm{MHz}$, the effective two-level model yields a final fidelity above 0.999 for the target Bell state. The required peak effective two-photon Rabi frequency is only about $2\text{π}\times0.66\; \mathrm{MHz}$, indicating that the protocol can be implemented with relatively weak driving fields. To further assess the validity of the reduced model, we verify the protocol in the full two-atom three-level system. In the absence of dissipation, the final-state fidelity exceeds 0.9999, confirming the accuracy of the effective-model description. When the spontaneous decay of the intermediate state and the finite lifetime of the Rydberg state are included through a Lindblad master equation, the fidelity remains above 97%, demonstrating that the protocol retains good performance in the open-system setting. During the entire evolution, the intermediate-state population stays at the $10^{-3}$ level and the doubly excited Rydberg-state population remains at the $10^{-5}$ level, which validates both the adiabatic elimination and the strong-blockade approximation.For a fair comparison with a conventional adiabatic protocol under the same peak-driving constraint, we find that the traditional adiabatic scheme requires a much longer evolution time of about $8.79\; \text{μs}$ to reach a fidelity of 0.99 in the ideal closed-system case, whereas the present shortcut protocol completes the state preparation within $1\; \text{μs}$. Owing to the shorter operation time, the proposed scheme significantly suppresses dissipation-induced loss and outperforms the adiabatic protocol in open-system dynamics. In addition, robustness analyses show that the protocol is tolerant to experimentally relevant imperfections, including driving-amplitude errors, detuning offsets, interaction-strength fluctuations, Doppler shifts, laser-linewidth broadening, atom–laser coupling asymmetry, and weak time-dependent modulation of the Rydberg interaction.These results demonstrate that the proposed Lewis–Riesenfeld invariant-based shortcut protocol provides a fast, robust, and experimentally feasible route for Bell-state preparation in ¹⁷¹Yb Rydberg neutral atoms. The generated ground–Rydberg entangled state can further serve as a useful resource for subsequent state mapping into long-lived logical qubit subspaces and for scalable quantum-information processing.
- ¹⁷¹Yb neutral atoms /
- Rydberg blockade /
- shortcut to adiabaticity /
- Lewis-Riesenfeld invariant /
- preparation of Bell-type entangled states .

图 1 ¹⁷¹Yb双原子系统及里德伯阻塞示意图　(a)两个原子被独立光镊囚禁, 间距为R; (b)双光子里德伯激发路径, 其中$ \left| {g_0} \right\rangle $和$ \left| {g_1} \right\rangle $表示核自旋量子比特态, 参与里德伯激发的态$ \left| {g_1} \right\rangle $在后文简记为$ \left| {g} \right\rangle $, 经由中间态$ \left| {e} \right\rangle $耦合至里德伯态$ \left| {r} \right\rangle $, 中间态单光子失谐为$ \varDelta_{\mathrm{m}} $; (c)里德伯阻塞示意图, 范德瓦耳斯相互作用导致双激发态$ \left| {rr} \right\rangle $发生能级平移V, 从而有效抑制第二个原子的激发

Figure 1. Schematic of the physical model and Rydberg blockade for two ¹⁷¹Yb atoms: (a) Two atoms are independently trapped in optical tweezers with separation R; (b) two-photon ladder excitation from the nuclear-spin qubit state to the Rydberg state via the intermediate state $ \left| {e} \right\rangle $, with single-photon detuning $ \varDelta_{\mathrm{m}} $; (c) illustration of the Rydberg blockade, where the van der Waals interaction shifts the doubly excited state $ \left| {rr} \right\rangle $ by V, thereby suppressing the second excitation.

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图 2 STA 方案下的控制脉冲与系统布居演化　(a)根据有效两能级STA设计得到的控制脉冲有效两光子Rabi频率$ \varOmega(t)/2\text{π} $和失谐量$ \varDelta(t)/2\text{π} $随时间的变化, 其中失谐量在整个演化过程中保持为零; (b)在中间态绝热消除后的四维有效物理基底模型中得到的主要态布居演化, 蓝色虚线表示初始态$ \left| {G} \right\rangle =\left| {gg} \right\rangle $, 红色实线表示目标 Bell 型纠缠态$ \left| {B} \right\rangle $, 黑色点线表示双激发态$ \left| {rr} \right\rangle $

Figure 2. Control pulses and population dynamics for the STA scheme: (a) Time dependence of the effective two-photon Rabi frequency $ \varOmega(t)/2\text{π} $ and the detuning $ \varDelta(t)/2\text{π} $, where the detuning remains zero throughout the process; (b) population evolution of the main states, where the blue dashed, red solid, and black dotted lines denote $ \left| {G} \right\rangle =\left| {gg} \right\rangle $, the target Bell-type entangled state $ \left| {B} \right\rangle $, and the doubly excited state $ \left| {rr} \right\rangle $, respectively.

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图 3 末态保真度随原始双光子失谐$ \delta_{2\mathrm{ph}} $的变化关系. 横坐标为$ \delta_{2\mathrm{ph}}/2\text{π} $(MHz), 纵坐标为目标Bell型纠缠态的末态保真度. 结果表明, 在本文参数范围内, 系统的最优工作点位于$ \delta_{2\mathrm{ph}}/2\text{π} = 0\; \mathrm{MHz} $附近, 因此后续数值模拟均取该共振工作点

Figure 3. Final-state fidelity as a function of the initial two-photon detuning $ \delta_{2\mathrm{ph}} $. The horizontal axis denotes $ \delta_{2\mathrm{ph}}/2\text{π} $ (MHz), and the vertical axis denotes the final-state fidelity of the target Bell-type entangled state. The results show that, within the parameter range considered in this work, the optimal operating point is located near $ \delta_{2\mathrm{ph}}/2\text{π} = $$ 0\; \mathrm{MHz} $. Therefore, this resonant working point is adopted in all subsequent numerical simulations.

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图 4 完整模型与耗散效应下目标Bell型纠缠态制备的数值验证　(a)目标Bell型纠缠态保真度随时间的演化, 其中黑色实线表示有效两能级模型, 红色虚线表示无耗散时的完整双原子三能级模型, 蓝色点划线表示考虑中间态衰减与里德伯态有限寿命后的完整开放系统模型; (b)完整模型下主要态布居的时间演化, 其中$ P_{\mathrm{B}} $表示目标Bell型纠缠态布居, $ P_{{\mathrm{rr}}} $表示双里德伯激发态布居, $ P_{\mathrm{e}} $表示中间态总布居. 结果表明, 在完整模型中无耗散时末态保真度可达0.9999以上, 而考虑耗散后仍保持在97%以上, 同时$ P_{{\mathrm{rr}}} $与$ P_{\mathrm{e}} $始终维持在很低水平

Figure 4. Numerical validation of the target Bell-type entangled state preparation in the full model with dissipation: (a) Time evolution of the target Bell-type entangled state fidelity, where the black solid line denotes the effective two-level model, the red dashed line denotes the full two-atom three-level model without dissipation, and the blue dash-dotted line denotes the full open-system model including the intermediate-state decay and finite Rydberg lifetime; (b) time evolution of the main populations in the full model, where $ P_{\mathrm{B}} $, $ P_{{\mathrm{rr}}} $, and $ P_{\mathrm{e}} $ denote the target Bell-type entangled state population, the doubly excited Rydberg-state population, and the total intermediate-state population, respectively. The results show that the final-state fidelity exceeds 0.9999 in the full model without dissipation and remains above 97% in the presence of dissipation, while both $ P_{{\mathrm{rr}}} $ and $ P_{\mathrm{e}} $ stay at very low levels throughout the process.

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图 5 传统绝热方案与本文STA方案的公平比较　(a)无耗散条件下, 传统绝热方案的末态保真度随总演化时间$ T_{\mathrm{ad}} $的变化. 虚线表示目标保真度阈值$ F=0.99 $, 对应所需总时间约为$ T_{\mathrm{ad}}=8.79\; \text{μs}$; (b)开放系统中两种方案末态保真度的比较, 其中 STA 方案取$ T=1.00$ μs, 传统绝热方案取$ T_{\mathrm{ad}}=8.79\; \text{μs} $. 可以看出, 随着里德伯态衰减率$ \varGamma_{\mathrm{r}} $的增大, STA方案始终保持更高的末态保真度

Figure 5. Fair comparison between the conventional adiabatic protocol and the present STA protocol: (a) Final-state fidelity of the conventional adiabatic protocol as a function of the total evolution time $ T_{\mathrm{ad}} $ in the absence of dissipation. The dashed line denotes the target fidelity threshold $ F=0.99 $, corresponding to the required duration $ T_{\mathrm{ad}}=8.79\; \text{μs} $; (b) comparison of the final-state fidelities between the two protocols in the open-system case. Here the STA duration is fixed at $ T=1.00$ μs, while the adiabatic duration is chosen as $ T_{\mathrm{ad}}=8.79\; \text{μs} $. It is seen that the STA protocol consistently maintains a higher final-state fidelity as the Rydberg decay rate $ \varGamma_{\mathrm{r }}$ increases.

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图 6 不同实验误差下的鲁棒性分析　(a)末态保真度随里德伯相互作用相对误差$ \delta_{\mathrm{V }}$的变化; (b)末态保真度随多普勒失谐的变化; (c)有限激光线宽条件下经Monte Carlo平均得到的末态保真度, 误差条表示Monte Carlo平均的标准误差

Figure 6. Robustness analysis under different experimental imperfections: (a) Final state fidelity as a function of the relative error of Rydberg interaction $ \delta_{\mathrm{V}} $; (b) final-state fidelity as a function of the Doppler detuning; (c) final state fidelity obtained by Monte Carlo averaging under finite laser linewidth, with error bars representing the standard error of the Monte Carlo average.

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图 7 STA方案在相对Rabi振幅误差$ \delta_{\varOmega} $与归一化失谐误差$ \delta_{\varDelta}/\varOmega_{\max} $下的二维鲁棒性分布, 其中$ \varOmega_{\max} $为本文STA方案的峰值有效两光子Rabi频率. 横坐标以百分比形式给出. 白色虚线分别对应保真度$ F=0.990 $和$ F=0.999 $的等值线

Figure 7. Two-dimensional robustness map of the STA scheme versus the relative Rabi-amplitude error $ \delta_{\varOmega} $ and the normalized detuning error $ \delta_{\varDelta}/\varOmega_{\max} $, where $ \varOmega_{\max} $ denotes the peak effective two-photon Rabi frequency of the STA protocol. The horizontal axis is given in percentage. The white dashed curves represent the contours of fidelity $ F=0.990 $ and $ F=0.999 $, respectively.

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图 8 在更贴近实验条件的两类非理想因素下, 本文方案的鲁棒性分析结果　(a)在两原子耦合不对称条件下, 目标Bell型纠缠态末态保真度及反对称单激发态泄漏随不对称参数$ \epsilon $的变化, 其中$ \varOmega_A(t)=\varOmega(t)(1+\epsilon) $, $ \varOmega_B(t)=\varOmega(t)(1-\epsilon) $; (b)在时变里德伯相互作用条件下, 末态保真度随调制深度η的变化, 其中采用模型$ V(t)=V_0[1+\eta\sin(2\text{π} \nu t+\phi)] $, 并给出了两个代表性调制频率下的结果

Figure 8. Presents the robustness analysis of the proposed scheme under two types of nonideal effects that are closer to realistic experimental conditions: (a) Under asymmetric atom–laser couplings, the final fidelity of the target Bell state and the leakage to the antisymmetric singly excited state are shown as functions of the asymmetry parameter $\epsilon$, where $ \varOmega_A(t)=\varOmega(t)(1+\epsilon) $ and $ \varOmega_B(t)=\varOmega(t)(1-\epsilon) $; (b) under a time-dependent Rydberg interaction, the final-state fidelity is plotted as a function of the modulation depth η, using the model $ V(t)=V_0[1+\eta\sin(2\text{π} \nu t+\phi)] $, with results shown for two representative modulation frequencies.

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表 1 主要符号说明. 为避免不同层次模型中的符号混淆, 本文对主要参数的定义进行统一说明

Table 1. Summary of the main symbols used in different levels of the model. To avoid confusion among different model hierarchies, the definitions of the main parameters are listed here.

符号	所属模型/层次	物理含义
$ \varOmega_1(t), \, \varOmega_2(t) $	原始/完整双原子三能级模型	两束单光子驱动场的Rabi频率
$ \varDelta_{\mathrm{m}} $	原始/完整双原子三能级模型	中间态单光子失谐
$ \delta_{2\mathrm{ph}} $	原始/完整双原子三能级模型	裸双光子失谐
$ \varOmega(t) $	中间态消除后的单原子有效模型	单原子有效两光子Rabi频率
$ \varOmega_{\mathrm{eff}}(t) $	对称双原子有效两能级模型	$ \left\| {G} \right\rangle \leftrightarrow\left\| {B} \right\rangle $之间的集体有效Rabi频率
$ \varDelta(t) $	有效两能级模型	含裸双光子失谐、AC Stark位移及有限阻塞修正的总有效失谐
V	各层次模型共用	双里德伯激发态$ \left\| {rr} \right\rangle $的相互作用能移
$ \delta_V, \delta_\varOmega, \delta_\varDelta $	误差与鲁棒性分析模型	分别表示相互作用强度、驱动幅度和有效失谐的相对偏差或扰动参数

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图( 8) 表( 1)

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1. 引　言

量子计算与量子信息处理是当前物理学与信息科学交叉领域的重要研究方向之一^[1]. 在众多物理实现平台中, 基于中性原子的光镊阵列体系因具有良好的可扩展性、灵活可重构的几何结构以及较长的相干时间, 已成为实现量子模拟、量子逻辑门和多体量子态调控的重要候选平台^[2–8]. 近年来, 随着单原子囚禁、单站点操控、高保真读出以及里德伯相互作用调控等关键实验技术的持续发展, 中性原子体系在大规模量子信息处理中的应用前景日益受到关注^[9–12].

在中性原子量子计算方案中, 里德伯阻塞机制为实现长程、快速且可控的双体相互作用提供了重要手段^[13–18]. 当一个原子被激发到里德伯态后, 原子间强烈的范德瓦耳斯相互作用会使双激发态能级发生显著平移, 从而有效抑制相邻原子的再次激发, 这一效应可用于实现确定性纠缠态制备和双比特量子逻辑操作. 基于该机制的中性原子体系不仅已广泛用于纠缠态制备, 也被应用于双比特及多比特量子逻辑门、受控相位操作和可扩展量子信息处理任务, 并在理论和实验上取得了重要进展^[9–25].

值得指出的是, 里德伯中性原子体系的研究意义不仅体现在强相互作用可控平台的构建方面, 更在于其已成为量子信息处理的重要候选体系. 依托里德伯阻塞诱导的可编程相互作用, 该平台已被广泛用于量子逻辑门、几何量子操作、多体纠缠操控以及其他量子信息任务^[23–26]. 例如, 基于里德伯相互作用的受控相位门和双比特几何门方案展示了该体系在量子逻辑控制中的应用潜力^[23,25]; 而围绕多体里德伯纠缠的鲁棒操控与判别, 以及基于几何量子操作的量子信息处理任务等研究, 则进一步拓展了其应用范围^[24,26]. 从这一背景出发, 发展面向具体原子平台的快速、高保真且实验简洁的纠缠资源态制备方案, 对于后续逻辑态映射和相关量子逻辑操作具有重要意义.

与常用的碱金属原子相比, 以镱为代表的类碱土金属原子在量子信息处理中展现出独特优势^[27–31]. 特别地, ¹⁷¹Yb具有核自旋$ I=1/2 $且电子基态壳层闭合, 量子比特可编码于$ ^{1}{\mathrm{S}}_0 $基态的核自旋自由度中, 因此对磁场噪声具有较强抑制能力, 同时能级结构相对简洁, 便于精密操控^[32–34]. 此外, 镱原子同时具备适用于激光冷却、窄线操控和里德伯激发的丰富光学跃迁资源, 为其在中性原子量子计算中的应用奠定了基础^[29–38].

然而, 在实际纠缠态制备过程中, 系统演化速度与制备保真度之间通常存在明显折中. 传统绝热方法, 如受激拉曼绝热过程(STIRAP)或失谐扫描方案, 虽然能够在一定程度上抑制非目标跃迁, 但往往要求较长演化时间以满足绝热条件^[39,40]. 过长的操作时间会导致里德伯态自发辐射、中间态散射、多普勒频移、激光线宽及强度涨落等误差源的累积, 从而限制最终制备保真度^[19–21,41]. 因此, 如何在有限时间内实现快速、高保真且鲁棒的纠缠态制备, 仍是中性原子量子调控研究中的关键问题.

为克服传统绝热控制的时间瓶颈, 绝热捷径(shortcuts to adiabaticity, STA)方法近年来受到了广泛关注^[42–49]. STA的基本思想是在有限时间内构造与绝热演化等效的目标态转移路径, 从而在显著缩短演化时间的同时抑制非绝热泄漏. 其中, 基于Lewis-Riesenfeld不变量的逆向工程方法具有解析结构清晰、边界条件可控以及实验参数设计灵活等优点, 已在原子输运、布居反转和量子态操控等问题中得到广泛应用^[47–54]. 尽管如此, 针对¹⁷¹Yb里德伯中性原子平台中基态-里德伯态Bell型纠缠态快速制备问题, 尤其是在兼顾强阻塞、低驱动幅度和实验实现简洁性的前提下, 仍有进一步研究空间.

基于此, 本文研究¹⁷¹Yb中性原子里德伯阻塞体系中的快速纠缠态制备问题, 提出一种基于 Lewis-Riesenfeld不变量逆向工程的绝热捷径控制方案. 需要说明的是, 本文直接制备的目标态为由参与里德伯耦合的基态$ \left| {g} \right\rangle \equiv\left| {g_1} \right\rangle $与里德伯态$ \left| {r} \right\rangle $构成的对称单激发Bell型纠缠态, 而非已经完全存储在长寿命核自旋逻辑基底$ \{\left| {g_0} \right\rangle, \left| {g_1} \right\rangle \} $中的最终逻辑Bell态. 本文首先在大失谐绝热消除与强里德伯阻塞近似下, 将原始三能级双原子系统约化为有效两能级模型; 随后在共振驱动条件下, 基于 Lewis-Riesenfeld不变量逆向工程构造解析控制脉冲. 对于本文采用的对称双光子驱动, 在本文参数范围内所需的有效共振工作点可通过预先谱线标定在裸双光子共振附近选取, 从而避免复杂的实时失谐扫描, 并完成从初态到目标基态–里德伯态对称单激发Bell型纠缠态的快速高保真转移. 与传统绝热方案相比, 该方案可在微秒时间尺度内完成纠缠态制备, 并保持较低驱动幅度, 从而有望简化实验控制要求. 进一步地, 本文系统分析了激光幅度误差、失谐偏差、多普勒效应、激光线宽以及相互作用波动对制备保真度的影响, 表明该方案具有较好的鲁棒性, 在本文讨论的参数范围内呈现出一定的实验可行性.

与已有相关工作相比, 本文工作的特点主要体现在以下三个方面: 1)面向¹⁷¹Yb里德伯中性原子平台开展基态-里德伯态对称单激发Bell型纠缠态的快速制备研究, 突出该体系在核自旋编码和抗磁噪声方面的优势; 2)在共振驱动条件下基于Lewis-Riesenfeld不变量构造解析控制脉冲, 避免了复杂频率扫描, 提高了实验实现的简洁性; 3)在微秒时间尺度和较弱驱动幅度下实现了高保真且具有较强鲁棒性的纠缠资源态制备, 为后续逻辑态映射和量子门操作提供了可扩展的控制思路.

4. 实验参数选取与可行性讨论

4.1. ¹⁷¹Yb能级选择与激发路径

为了将上述理论控制方案应用于具体实验平台, 下面对¹⁷¹Yb体系中的能级选择与激发方式进行讨论. 本文选取¹⁷¹Yb的$ ^{1}{\mathrm{S}}_0 $基态核自旋态作为量子比特编码, 即

由于该编码主要依赖核自旋自由度, 因此对外部磁场噪声具有较强抑制作用, 同时避免了碱金属原子中较复杂的超精细结构耦合问题^{[27,28,32–34]}.

在里德伯激发方面, 本文考虑将高主量子数三重态$ n^{3}{\mathrm{S}}_1 $作为目标里德伯态, 例如$ n\approx70 $时可提供足够强的范德瓦耳斯相互作用, 从而满足强阻塞条件. 实验上可采用双光子梯形激发路径, 经由窄线宽中间态$ ^{3}{\mathrm{P}}_1 $实现从$ {}^1{\rm S}_0$到$ n^{3}{\mathrm{S}}_1 $的耦合. 一种可行的波长组合为: 第一步使用556 nm激光驱动$ ^{1}{\rm S}_0 \leftrightarrow$${}^{3}{\rm P}_1 $跃迁, 第二步使用紫外激光驱动$ ^{3}{\mathrm{P}}_1\leftrightarrow n^{3}{\mathrm{S}}_1 $跃迁^{[25–27,31–34]}. 这一方案与现有¹⁷¹Yb光镊和窄线宽激光技术的发展方向具有较好的兼容性.

为避免理论符号化简掩盖具体实验实现路径, 这里给出一条与本文模型相一致的可行子能级示例. 可取参与里德伯激发的有效基态为

例如, 在弱偏置磁场下, 采用π偏振先耦合到

上述路径满足电偶极跃迁选择定则$ \Delta m_F=0 $, 同时可借助Zeeman分辨与频率选择, 使另一核自旋编码态在演化过程中作为旁观态保留. 需要强调的是, 本文理论分析并不依赖某一唯一的子能级实现方式, 而只要求实验上存在一条可通过偏振与频率选择实现的有效双光子激发路径. 因而, 文中所记的$ \left| {g} \right\rangle $可理解为在实验中经过态选择后参与里德伯耦合的有效基态.

需要指出的是, 本文采用的参数区间与现有¹⁷¹Yb中性原子实验平台具有较好的兼容性^{[31–33,35–38]}. 一方面, 对于主量子数$ n\sim 70 $附近的¹⁷¹Yb里德伯态, 在典型微米量级原子间距下可实现百 MHz 量级的有效相互作用强度, 从而满足强阻塞条件$ V\gg \varOmega_{\mathrm{eff}} $. 另一方面, 本文方案所需峰值有效两光子Rabi频率仅约为$ 2\text{π} \times0.66$ MHz, 处于亚MHz至MHz量级, 显著低于许多直接快速驱动方案对大功率激光的需求, 有利于减小激光功率负担及附加AC Stark频移. 与此同时, 由于控制过程中采用共振驱动而非频率扫描, 实验上只需通过声光调制器或电光调制器对激光振幅进行整形即可实现所设计的脉冲波形, 从而降低了控制复杂度. 综合来看, 本文提出的控制协议在当前实验参数范围内具有一定实现可行性.

4.2. 有效驱动强度与时间尺度分析

在实验实现上, 本文使用的单原子有效两光子 Rabi频率满足

相应地, 在对称单激发子空间中, 集体有效耦合满足$ \varOmega_{\mathrm{eff}}(t)=\sqrt{2}\varOmega(t) $. 关于完整模型中对称单光子脉冲的映射方式及相应实验参数的量级估算, 详见补充材料B (online).

因此, 只要适当增大中间态失谐$ \varDelta_{\mathrm{m }}$, 即可在抑制中间态布居和自发辐射散射的同时获得所需的有效耦合. 根据本文数值结果, 所需峰值有效两光子Rabi频率仅约为$ 2\text{π} \times0.66$ MHz, 明显低于许多依赖强驱动的快速量子门方案. 这意味着实验上无需采用极高功率的紫外激光场即可完成目标操作, 从而有助于降低功率噪声和附加AC Stark频移带来的误差.

对于本文在完整模型数值中采用的对称单光子脉冲映射, 峰值单光子Rabi频率约为

其中取$ \varDelta_{\mathrm{m}}=2\text{π}\times300$ MHz. 在该参数下, 中间态峰值占据约为

而中间态散射概率估计约为

说明大失谐条件下中间态真实占据和散射均受到有效抑制.

进一步地, $ 556\text{ nm} $窄线跃迁$ ^{1}{\mathrm{S}}_0\leftrightarrow {}^{3}{\mathrm{P}}_1 $所需功率可以作简单量级估算. 该跃迁的自然线宽为$ \varGamma/2\text{π} \approx 182\; \mathrm{kHz} $, 饱和强度$ I_{\rm sat} \approx 0.14\, \rm{mW/cm^2}$^[55,56]. 若取典型聚焦束腰$ w_{556}\sim 3\;\text{μm} $, 则由饱和强度估算可知, 达到(58)式所示单光子Rabi频率所需功率处于微瓦量级; 即使考虑Clebsch-Gordan系数、偏振失配及实验裕量, 其需求通常仍可控制在数$ \text{ μW} $量级. 对于第二步紫外激光驱动$ ^{3}{\mathrm{P}}_1\leftrightarrow n^3 {\mathrm{S}}_1 $跃迁, 在典型$ w_{\mathrm{UV}}\sim 3 $—$ 5\;\text{μm} $的聚焦条件下, 按典型偶极矩量级估算, 实现$ \varOmega_{2, \max}/2\text{π}\approx 19.9$ MHz所需UV功率可处于数十毫瓦量级. 这里给出的功率需求均应理解为实验量级估算, 而非唯一确定值; 具体数值会随主量子数n、偏振以及跃迁偶极矩而变化^[57]. 上述参数量级与现有¹⁷¹Yb光镊平台和类碱土里德伯光镊实验条件相兼容^[35–38].

另一方面, 本文取里德伯相互作用强度$ V= 2\text{π}\times120$ MHz. 若选取典型光镊间距

则由$ V=C_6/R^6 $^[13]可对所需相互作用系数量级作出估算. 这里将V以角频率形式表示, 因此$ V/2\text{π} $对应普通频率单位, 从而有

该结果表明, 本文所取参数对应的$ C_6/h $处于约$ 10^2 $—$ 10^3\; \mathrm{GHz}\cdot {\text{μ}}\mathrm{m}^6 $量级, 与文献中高主量子数里德伯态可达到的强相互作用范围相符, 因此本文所采用的V值具有合理的物理基础^[58].

从时间尺度上看, 本文提出的控制过程总演化时间约为1 μs. 对于$ n\approx70 $的¹⁷¹Yb里德伯态, 其自然寿命修正后的有效寿命通常仍明显长于该操作时间^{[13,19,45,59]}. 因此, 本文方案有助于在退相干效应充分积累之前完成纠缠态制备. 此外, 由于本文采用对称双光子驱动并在实验前对双光子共振点进行标定, 整个控制过程可在有效共振工作点附近运行, 实验中无需进行复杂的频率扫描, 仅需借助声光调制器或电光调制器对激光振幅进行波形整形即可, 从而有望简化实验控制要求.

关于本文共振 STA方案对实验设置的基本要求, 还可进一步概括如下: 其一, 需要满足大失谐条件

以保证中间态可绝热消除, 并抑制真实占据和散射; 其二, 实验上应尽量采用近似对称的双光子驱动脉冲, 以减小差分AC Stark位移对有效双光子共振条件的破坏; 其三, 在正式施加控制脉冲前, 可通过双光子谱线测量或Ramsey标定将裸双光子失谐$ \delta_{2\mathrm{ph}} $调至最优工作点附近; 其四, 只要残余有效失谐保持在小于有效耦合尺度的范围内, 方案仍可维持较高末态保真度. 结合本文对失谐偏差、多普勒频移和激光线宽的数值分析可见, 在典型实验参数范围内, 该共振STA方案对小幅残余失谐仍具有一定容忍度.

4.3. 实验非理想因素讨论

除了里德伯态寿命和激光控制精度外, 实验中还会受到原子残余热运动、多普勒频移及光镊位置波动等因素的影响. 本文前述鲁棒性分析表明, 在典型冷原子实验参数范围内, 这些非理想因素不会显著降低目标态保真度. 特别是在深度里德伯阻塞条件下, 适度的原子间距波动仅会引起有限的相互作用涨落, 而不会破坏整体控制路径.

此外, 需要进一步说明本文所制备纠缠态在量子信息处理中的定位. 本文直接得到的是基态–里德伯态对称单激发Bell型纠缠态, 它可作为后续逻辑纠缠制备的中间资源态. 若实验目标是获得完全存储于长寿命核自旋基态中的逻辑Bell态, 则可在本文控制协议结束后, 利用附加的相干退激发或受控态映射脉冲, 将$ \left| {r} \right\rangle $选择性转移到另一稳定基态(例如另一核自旋编码态或辅助长寿命基态), 从而实现从$ \left(\left| {gr} \right\rangle +\left| {rg} \right\rangle \right)/\sqrt{2} $到逻辑Bell态的转换. 由于本文方案已经在微秒时间尺度内完成主要纠缠资源态的快速制备, 因此可为后续在较低退相干累积条件下实施相干映射留下时间窗口.

5. 结　论

本文提出了一种基于Lewis-Riesenfeld不变量的绝热捷径控制方案, 用于¹⁷¹Yb中性原子里德伯阻塞体系中的快速纠缠态制备. 本文直接制备的目标态为基态$ \left| {g} \right\rangle $与里德伯态$ \left| {r} \right\rangle $构成的对称单激发Bell型纠缠态, 而非已经完全存储在长寿命核自旋逻辑基底中的最终逻辑Bell态.

数值结果表明, 在总演化时间$ T=1$ μs、里德伯相互作用强度$ V=2\text{π}\times120$ MHz的参数下, 本文方案仅需峰值单原子有效两光子Rabi频率约$ 2\text{π}\times0.66$ MHz, 即可实现保真度高于0.999的基态-里德伯态对称单激发Bell型纠缠态制备. 进一步的开放系统比较表明, 与传统绝热方案相比, 所提STA协议可在显著更短的演化时间内完成目标态转移, 从而减少耗散累积, 并保持更高的末态保真度.

从实验实现角度看, 本文方案具有两个突出特点: 其一, 仅需较低的峰值有效两光子Rabi频率, 处于MHz量级, 有助于降低中间态散射AC Stark频移带来的误差; 其二, 整个控制过程在有效共振工作点附近运行, 无需复杂的时变失谐扫描, 因此在¹⁷¹Yb光镊阵列平台上具有较好的实验可行性. 未来可进一步结合开放系统主方程与原子运动效应, 并将该方案推广到多原子并行纠缠制备情形, 从而拓展其在中性原子量子信息处理中的应用. 若进一步结合实验中的相干态映射步骤, 本文所制备的基态-里德伯态Bell型纠缠态可作为实现长寿命逻辑Bell态制备的前置纠缠资源.

参考文献 (59)

基于不变量绝热捷径的¹⁷¹Yb中性原子基态-里德伯态 Bell型纠缠态快速制备

作者简介: E-mail: andywangxiaofeng@163.com .

通讯作者: E-mail: andywangxiaofeng@163.com

Fast preparation of Bell-type entangled states between the ground and Rydberg states of neutral ¹⁷¹Yb atoms based on shortcut to adiabaticity via invariants

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通讯作者: E-mail: andywangxiaofeng@163.com

作者简介: E-mail: andywangxiaofeng@163.com
太原师范学院物理系, 晋中　030619

English Abstract

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Corresponding author: E-mail: andywangxiaofeng@163.com

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2.1. 系统模型与目标态定义

2.2. 里德伯阻塞与有效两能级模型

2.3. 基于不变量的绝热捷径方法

2.4. STA控制脉冲设计

3.1. STA脉冲波形与布居演化

3.2. 完整模型与耗散效应下的数值验证

3.3. 开放系统下与传统绝热方案的公平比较

3.4. 实验参数误差与鲁棒性分析

4.1. ¹⁷¹Yb能级选择与激发路径

4.2. 有效驱动强度与时间尺度分析

4.3. 实验非理想因素讨论

目录

基于不变量绝热捷径的171Yb中性原子基态-里德伯态 Bell型纠缠态快速制备

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2.1. 系统模型与目标态定义

2.2. 里德伯阻塞与有效两能级模型

2.3. 基于不变量的绝热捷径方法

2.4. STA控制脉冲设计

3.1. STA脉冲波形与布居演化

3.2. 完整模型与耗散效应下的数值验证

3.3. 开放系统下与传统绝热方案的公平比较

3.4. 实验参数误差与鲁棒性分析

4.1. 171Yb能级选择与激发路径

4.2. 有效驱动强度与时间尺度分析

4.3. 实验非理想因素讨论

目录

基于不变量绝热捷径的¹⁷¹Yb中性原子基态-里德伯态 Bell型纠缠态快速制备

Fast preparation of Bell-type entangled states between the ground and Rydberg states of neutral ¹⁷¹Yb atoms based on shortcut to adiabaticity via invariants

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4.1. ¹⁷¹Yb能级选择与激发路径