超临界流体是指温度和压力均高于其临界值的流体. 在此状态下, 气液相界面消失, 形成均匀稳定的单相. 当流体压力高于临界压力, 温度跨越拟临界温度时, 将发生从类液相到类气相的连续转变: 密度与黏度急剧下降, 比热容则在窄小的温度区间内剧烈变化并达到峰值, 这一区域称为拟临界区. 值得注意的是, 上述物性剧变并不伴随相变发生. 正是这些独特的热物理性质, 高密度(类液相)、低黏度(类气相)及高比热容, 使超临界流体在能源动力、化工分离等领域展现出广阔的应用前景. 上述物性在拟临界区的剧烈变化, 可通过典型工质的热物理性质曲线直观展示. 以CO₂和N₂为例, 图1给出了两者在1.5倍临界压力(P_c)和1.14倍P_c下临界点附近的热物理性质随温度变化, 其中热物质包括密度$ \rho$、比热容c_p、热导率$ K$和黏度$ \mu$.

目前, 针对超临界流体湍流传热的研究已取得了一定进展. 对于一般高速可压缩湍流, 可以认为密度脉动与平均密度相比可以忽略不计, 即Morkovin假设成立^[1-3]. 根据这一假设, 通过例如van-Driest变换, 可压缩湍流的平均速度分布可以用不可压缩湍流标度律的密度修正实现剖面重合^[4,5]. 目前, 许多DNS研究发现, 虽然Morkovin假设在临界区附近是无效的^[6-8], 但是密度脉动并不影响超临界流体湍流的统计性质. 例如, 对于流向平均速度分布, Ma等^[7]发现 van-Driest变换对于跨临界流动的流向平均速度分布仍然成立, Nemati等^[9]利用象限分析指出超临界流体湍流的上喷、下扫运动受密度脉动影响较小, 真实流体效应并不改变雷诺应力与热流密度的输运.

目前的超临界壁湍流(包括槽道流、管流等)直接数值模拟(DNS)研究中, 流场密度变化(密度之比Ω)通常小于3^[10–28], 揭示了Morkovin假设的近似成立及标度律的部分适用性. 然而, 在实际工程应用中, 如超临界流体布雷顿循环中的压缩机、航天动力系统的再生冷却通道等关键部件, 流场最大密度比可达10以上. 这种显著的密度差异引发了一个关键问题, 即基于低密度比流场建立的统计特性认知, 能否直接推广应用于高密度比工况. 目前, 密度比大于5的DNS研究相对有限, 且主要聚焦于速度分布的标度律和湍动能输运分析. 在现有的高密度比DNS研究中, Guo等^[29]研究了跨临界热边界层, 并基于总能量方程提出了一种半局部温度变换. Li等^[30]评估了经典标度律在超临界压力下壁面限制湍流中的适用性, 研究发现由于显著的密度波动, 半局部标度关系失效, 并指出附着涡理论能更好地解释速度波动的对数剖面.

尽管上述研究取得了一定进展, 但仍存在若干不足. 当前工作大多聚焦于标度律的适用性验证, 缺乏对强物性变化下湍流结构微观演化机制的深入探讨. 同时, 经典统计理论在密度比Ω > 5的极端工况下的适用性尚不明确, 制约了对超临界流体湍流物理本质的普适性认知. 受限于此, 基于雷诺平均的数值模拟(RANS)方法在预测该类流动时, 相较于DNS和大涡模拟(LES)仍存在较大偏差, 突出体现在雷诺应力的闭合建模上. 其根本原因在于, 高密度比条件下雷诺应力的生成、耗散与输运机制尚未厘清, 现有模型缺乏可靠的物理依据.

本文基于开源跨临界流动直接数值模拟数据库, 选取密度比Ω从2.5到10的跨临界通道湍流开展研究. 与以往侧重标度律验证的研究不同, 本文从雷诺应力输运方程出发, 聚焦热物性剧烈变化对雷诺应力分布特征、预算结构及生成机制的影响. 研究旨在为超临界流动RANS模型的改进提供物理支撑.

本文采用四组开源直接数值模拟数据对所提出的模型进行验证, 其中Case A 和 Case B 的数据来源于文献[31], Case C 和 Case D 的数据来源于文献[32,33], 分析跨临界流动中的热物性分布、雷诺应力输运和产生机理. DNS数值模拟方法、状态方程和网格无关性验证已在附录A和作者已发表的文献[34,35]中说明和验证, 此处仅介绍计算几何模型和边界条件. 计算域为槽道, 其尺寸为L_x(主流动方向)、L_y(壁面方向)和L_z(展向方向). 通过在主流方向施加体积力以保持恒定的质量流量, 具体方法可参见文献[36,37], 主流和展向方向均采用周期性边界条件. 上壁面温度高于临界温度, 下壁面温度低于临界温度, 确保流体在槽道内流动时跨过临界点, 上下壁面的温度在空间和时间上保持恒定, 并采用无滑移边界条件. 对于Case A和Case B, 计算域的尺寸为L_x/L_y = 4π, L_z/L_y = 4π/3, 通道高度L_y为0.2 mm; 对于Case C和Case D, 计算域的尺寸为L_x/L_y = 4π, L_z/L_y = 8π/3, 通道高度L_y为0.09 mm. 当流动达到统计稳定状态后, 统计了相当于流体流经超过十个通道长度的时间段内的瞬时流场数据, 从而获取稳定的流场系综参数. 图2展示了本研究的计算模型. 表1总结了本文研究的计算案例, 其中下标bw表示底部冷壁, 下标tw表示顶部热壁面, 下标b表示全场平均值, T为温度, ρ为密度, 下标c表示临界点参数, N为某方向网格数, u为流向速度, Ma为马赫数, P为压力. 对于所有算例, 马赫数都小于0.1, 流动通道内压力波动均小于均值0.5%, 流动可以近似视为等压流动, 热物性为温度的函数(忽略压力变化的影响). 值得强调的是, 本例中较大的密度变化主要是由温度跨越拟临界区引起的热力学效应所致, 而非由高流速动态压缩引起. 因此, 尽管密度脉动强烈, 但流动仍处于低马赫数(<0.1), 这保证了压力波动极小(<0.5%均值), 从而支持我们将热物性仅视为温度的函数(忽略压力影响)的简化处理.

在详细分析前给出明确的本文符号定义. 对于任一变量$ \phi $, Reynolds平均表示为$ \overline{\phi } $, Favre平均定义为$ \tilde{\phi }=\overline{\rho \phi }/\overline{\rho } $. 与之对应的雷诺平均与法夫尔平均脉动量分别定义为$ {\phi }^{\prime} $和$ {\phi }^{\prime\prime} $. 上标+表示采用壁单位进行的无量纲化处理, *则表示基于半局部壁单位的无量纲参数. 法向坐标y, y⁺和y^∗分别表示笛卡尔坐标、经壁面黏性尺度$ \delta _{v}^{+}={\mu }_{\text{w}}/{\rho }_{\text{w}}{u}_{\tau } $缩放后的坐标和经半局部壁面黏性尺度$ \delta _{v}^{*}=\overline{\mu }/\overline{\rho }u_{\tau }^{*} $缩放后坐标. 其中$ {y}^{+}=y/\delta _{v}^{+} $, $ {y}^{*}=y/\delta _{v}^{*} $, $ {u}_{\tau }=\sqrt{{\tau }_{\text{w}}/{\rho }_{\text{w}}} $, $ u_{\tau }^{*}=\sqrt{{\tau }_{\text{w}}/\overline{\rho }} $. $ {\tau }_{\text{w}} $表示平均壁面切应力, 下标w表示壁面处的物性(冷壁bw或热壁tw).

为了验证本文统计方法的正确性, 我们复现了文献[36–38]中的二阶统计量, 包括速度的均方根和物性均方根. 图3展示了统计结果和文献结果的对比, 其中图3(a)所示为Case A的速度脉动均方根随壁面单元y⁺的变化, 并与文献[38]的统计结果进行对比. 图3(b)展示了Case D的热物性脉动均方根与平均热物性比值随无量纲法向距离y/L_y的变化, 热物性包括密度$ \rho $、黏度$\mu $、热导率$ K $和比热容c_p, 并与文献[37]的统计结果进行对比. 由图3可见, 本文统计结果与文献数据吻合良好, 速度脉动和热物性脉动的分布趋势及量级均与参考结果一致, 验证了本文统计方法的可靠性. 考虑到DNS数值方法、网格无关性验证及计算结果的统计验证已在作者之前的文章^[34,35]中完成, 上述对比表明, 本文所采用的DNS数据精度可靠, 基于此开展的统计分析结果具有可信性.

以Case B为例, 图4展示了流场平均参数沿壁面方向的变化规律, 包括平均速度u、平均压力P、平均温度T、热物性参数. 结果显示, 通道内压力分布变化很小, 可以视为等压分布, 此外压力脉动与平均压力的比值小于0.4%, 因此在本文中可以忽略压力脉动对流动和传热的影响, 只需考虑温度变化引起的可压缩效应. 图5展示了所有算例的热物性脉动均方根沿壁面方向的分布. 结果显示$ {\rho }_{\text{rms}}/\overline{\rho } $最大值达到了44%, 高于Ma = 8的流动中的30%, 和马赫数Ma = 12^[2]的这一比值持平. 由此可见, 本文跨临界工况下的密度脉动强度甚至超过了高马赫数可压缩流动, 但其物理根源不同: 高马赫数流动的密度脉动源于高速流动引起的动态压缩, 而本文工况中的密度脉动主要源于温度跨越拟临界区所引发的热力学物性剧变. 对于所有工况, 冷壁和热壁之间的热物性脉动存在明显的不对称性, 热壁附近的脉动幅度显著更大. 随着壁面温差增大, c_p的波动更加显著, 超过局部平均值的90%. 这一观察结果表明, 在表征热边界层时捕捉c_p脉动的行为非常重要. 此外, 在热壁附近, $ \rho $, $ \mu $和$K$的脉动均超过平均值的20%, 显示出物性脉动的显著影响. 值得注意的是, 在大部分通道中, 不同工况下的热物性脉动幅度均超过局部平均值的10%. 在经典可压缩湍流中, 热力学波动通常可以忽略; 即使是具有显著密度变化的超音速湍流边界层, 通常也遵循Morkovin假设, 其脉动幅度一般不超过平均值的10%—15% ^[39,40]. 然而, 本文的跨临界流动呈现完全不同的特征: 即使壁面温差最小的Case A, 通道中心区域的密度脉动也已超过局部平均值的10%; 高密度比工况下, 各物性脉动幅度远超经典可压缩湍流的经验阈值. 因此, 在跨临界流动中, Morkovin假设失效, 热致密度脉动显著改变了湍流的输运特性, 湍流建模中必须显式考虑热物性脉动的影响.

雷诺应力的精确描述是湍流模型闭合的关键. 为探究跨临界流动对动量输运的影响, 本节首先分析充分发展槽道湍流中雷诺剪应力的分布特征. 根据高马赫数可压缩湍流理论, 对于高马赫数的可压缩湍流, $ \overline{{u}^{\prime\prime}{v}^{\prime\prime}}_{}^{+} $是一个不变量:

式中, $ {\tau }_{\text{w}} $为壁面切应力.

图6统计了不同工况的$ \overline{{u}^{\prime\prime}{v}^{\prime\prime}}_{}^{+} $随半局部尺度$ {y}^{*} $的分布变化, 即用半局部尺度对变物性流动的修正标度. 结果显示, 在跨临界流动中, $ \overline{{u}^{\prime\prime}{v}^{\prime\prime}}_{}^{+} $分布显著依赖于壁面温差, 无法用单一的无量纲化曲线描述. 此外, 对比Case A, Case B和Case C, Case D可以发现, 随着壁面温差的增大, 槽道中心处的雷诺应力强度也随之增大, 峰值更高, 且不同工况下的峰值区域均处于10 < $ {y}^{*} $ < 50区间. 定量比较表明, 峰值处无量纲雷诺应力从Case A的约0.90单调增至Case D的约1.70 (增幅约80%), 另外对比Case A和Case B, Case C和Case D峰值位置向外层移动, 说明高密度比工况下雷诺应力增强不仅体现在幅值上, 也反映在峰值位置的向外迁移.

在可压缩湍流中, 根据Morkovin假设认为密度脉动与平均密度相比可以忽略不计, 即(2)式中的$ \overline{{\rho }^{\prime}{u}^{\prime\prime}{v}^{\prime\prime}} $项在建模时可以忽略:

根据4.1节和图5(a)的统计结果, $ {\rho }_{\text{rms}}/\overline{\rho } $超过40%, 由此将雷诺应力项拆分为平均密度项和脉动密度项, 分析$ \overline{{\rho }^{\prime}{u}^{\prime\prime}{v}^{\prime\prime}} $项的占比.

图7为(2)式中密度脉动项相比于平均密度项的占比. 图7清晰地展示了密度脉动项$ \overline{{\rho }^{\prime}{u}^{\prime\prime}{v}^{\prime\prime}} $的贡献随Ω增大而系统性增强. 在低密度比工况(Ω ≈ 2.5, Case A), 该项贡献在大部分区域低于10%(传统理论认为可以忽略的界限), 证明在低密度比的流动下, 可以忽略脉动项的影响. 在高密度比工况下(Case B, Ω = 7.1; Case C, Ω = 5; Case D, Ω = 10), 脉动项在近壁区及对数区均显著超过10%, 在$y^* \approx 1 $—5处存在峰值, 均超过20%. 当流动过程中存在较大的密度变化时, 由温度脉动/密度脉动直接驱动的动量输运项$ \overline{{\rho }^{\prime}{{{u}^{\prime\prime}_{i}}}} $不可忽略. 此外, 各算例槽道中心区域密度项的影响均超过10%, 对应区域涵盖对数区及外层区. 定量比较表明, 在黏性底层y^* < 10的区域脉动项与平均项的比值存在一个峰值, 峰值处的密度脉动项占比从Case A的不足10%跃升至Case D的约40%, 其中Case B和Case C的峰值分别约为20%和30%. 高密度比工况(Ω ≥ 5)的峰值占比约为低密度比工况的2—4倍, 进一步证实了密度脉动在高Ω条件下的主导作用. 随着壁面温差的增大, 密度脉动项的贡献占比也相应提高. 因此, 在跨临界流动的雷诺应力建模中, 必须考虑密度脉动项的影响, 而不能简单地将其等价为高马赫数可压缩流动(Ma < 5)假设下的形式$ \overline{\rho {u}^{\prime\prime}{v}^{\prime\prime}}\neq \overline{\rho }\overline{{u}^{\prime\prime}{v}^{\prime\prime}} $.

根据4.1节和4.2节的统计结果, 不同工况下的雷诺剪切应力并不能归一, 且密度脉动项的影响不可忽略, 本节将推导雷诺应力的输运方程, 并分析跨临界流动下雷诺应力输运的主导因素. 基于可压缩湍流的N-S控制方程, 推导出可压缩湍流的Reynolds应力输运方程. 其中应力RS张量定义为

参考文献[41–44], 输运方程为

方程左端为Reynolds应力的增长率. 方程右端第1项内的各项为Reynolds应力生成项$ {P}_{\text{r}} $, 表征平均运动的变形和Reynolds应力的相互干扰作用的贡献. 方程右端第2项是湍流扩散系数$ {T}_{\text{r}} $, 包含脉动速度和脉动压力相关作用产生的扩散项. 第3项为速度-压力应变相关系数$ {\pi }_{\text{r}} $, 表征脉动压力和脉动速度变形率的相关项, 以及Reynolds应力的再分配特征. 第4项为密度波动产生的附加项$ {E}_{\text{r}} $, 分为脉动运动对脉动Reynolds应力的输运的扩散作用, 以及湍流脉动运动与平均运动的压力梯度的相互干扰作用. 第5项是Reynolds应力的耗散项$ {\varepsilon }_{\text{r}} $, 包含了黏性作用产生的Reynolds应力耗散. 第6项为黏性扩散系数$ {V}_{\text{r}} $, 表征黏性作用产生和脉动运动产生的扩散.

由于本文中的研究为槽道流, 流向和展向均为周期边界条件, 对于任意变量$ \phi $均满足:

(4)式中的黏性力计算公式为

通过(5)式对(4)式进行化简, 可得剪应力$ {\tau }_{xy} $的输运方程的各项结果:

根据(7)式, 本研究对密度脉动变化最大的两个工况(Case B和Case D)进行了统计分析, 图8为雷诺应力输运方程的各项统计结果, 所有项均用$ {\tau }_{\text{s}}=\tau {}_{\text{w}}\sqrt{{\tau }_{\text{w}}/\overline{\rho }}/{L}_{y} $缩放.

通过对比图8中各算例的各项分布, 可以得出在雷诺应力输运方程中, 主要是湍流产生项$ P $和压力-应变相关项的$ {\pi }_{\text{r}} $占据主导, 耗散项在对数层存在影响, 但是相比于产生项和压力-应变项的影响可以忽略, 而扩散项的影响可以视为在整个流动区域内可以忽略. 结合作者之前的工作^[34,35]和Wan等^[45]工作结果, $ {p}^{\prime} $通常仅作为TKE平衡中的传输项出现, 并且其贡献在边界层的大部分区域都相对较小, 即对于低马赫数跨临界流动, 压力应变的作用可以忽略. 对于雷诺应力, 在0 < $ {y}^{*} $ < 10区域, 主要由耗散作用$ {\varepsilon }_{\text{r}} $和黏性扩散V_r相互平衡. 对于$ {y}^{*} $ > 10区域, $ {\varepsilon }_{\text{r}} $的影响可以忽略, 由$ P $和$ {\pi }_{\text{r}} $主导, 即$ {\varepsilon }_{\text{r}} $的影响仅在近壁区域不可忽略. 在10 < $ {y}^{*} $ < 20区域, 两者达到峰值. 从输运方程分析可以得出, 除了生产和耗散之外, 由$ {\pi }_{\text{r}} $驱动的再分配作用在雷诺应力平衡和输运过程中起着主导作用. 这种现象表明, 超临界湍流中的压力应变特性与不可压缩湍流中的相似, 即它负责雷诺应力张量不同分量之间的重新分布, 导致雷诺应力分布的各向异性.

对比Case B和Case D的输运向统计结果可以发现, 壁面温差增大导致, 雷诺应力输运方程的各项分布更加扁平化(峰值降低), 能量交换过程向边界层外区延伸, 压力-应变项的主导作用范围显著扩大. 对比同一工况的冷壁和热壁, bw与tw的分布情况存在细微差异, tw工况中各项的脉动幅度普遍大于bw工况, 特别是在$ {y}^{*} $ > 10 区域, 这反映了热壁面与冷壁面条件下湍流结构的非对称性, 热壁面(tw)附近, 压力-应变项$ {\pi }_{\text{r}} $的峰值更尖锐, 说明能量再分配过程更为剧烈.

跨工况(不同Ω、不同工质)的输运项分布呈现形态普适、幅值特异的特征: 所有算例的压力-应变项均在$y^* \approx 15 $处出现峰值, 产生项均在$y^* \approx 20 $处达峰, 这反映了跨临界通道流雷诺应力输运的拓扑结构稳定性, 而幅值的差异则源于物性脉动的强度差异. 高密度比工况(Case D, Ω = 10)下, 各项的峰值较Case B(Ω = 7.08)降低约50%, 但分布形态保持一致, 表明物性脉动主要影响输运强度而非输运结构. 基于这一规律, 可建立以密度比Ω为参数的经验修正模型, 即保留输运项的结构形式, 通过Ω相关系数调整幅值.

通过瞬时的快照的分解, 分析瞬时的雷诺应力的产生机理. 2.1节中已经说明热物性可以视为温度的函数, 即密度变化和温度变化密切相关. 图9为所有工况的流向速度和温度脉动的相关性. 可以发现除了通道中心处, 流向速度和温度脉动具有高度的相关性, 即温度脉动同时叠加流向速度脉动, 而前文已经说明温度脉动和密度脉动等价. 温度脉动通过物性耦合关系直接诱导了密度脉动, 而密度脉动进一步与流向速度脉动耦合叠加, 即高密度区对应高流向速度区、低密度区对应低流向速度区. 这一关联性为法向速度脉动提供了调制基础, 当温度脉动引起的密度分层与法向速度脉动相互作用时, 便显著增强了对雷诺应力的贡献, 体现了热力学效应对湍流动量输运的直接影响. 图10展示了Case B的瞬时快照结果, 其中轮廓为瞬时密度ρ = 600 kg/m³的等值面瞬时轮廓, 叠加瞬时的密度、温度、流向速度、壁面速度脉动, 以及雷诺应力的瞬时分布. 从图10可以发现, 瞬时温度脉动诱导出显著的密度脉动, 低温区与高密度区空间重叠, 而高密度区又对应高主流速度区; 当叠加法向速度脉动时, 便产生明显的雷诺应力分布.

在超临界边界层中, 温度波动引发剧烈的密度波动, 这种密度波动不仅在近壁区激发不可忽略的流向速度扰动, 还显著改变近壁低速与高速条带的空间分布. 由于超临界条件下密度随温度的急剧变化特性, 低速条带由壁面加热的高温、气态低密度($ {\rho }^{\prime} $ < 0)流体组成, 而高速条带则是低温、液态高密度流体($ {\rho }^{\prime} $ > 0), 这种密度与速度的耦合关系诱导出近壁的雷诺应力$ \rho {u}^{\prime\prime}{v}^{\prime\prime} $.

不同工况下, 雷诺切应力的产生项$ {P}_{\text{r}} $与其压力-应变再分配项$ {\pi }_{\text{r}} $的比值, 稳定在1—2.5之间, 图11给出了不同工况下冷、热壁面该比值的统计分布. 定量分析表明, 在对数区(y^* > 10)内, 所有工况的比值均落在1.5—2.5范围内. 对比Case A与Case B以及Case C与Case D的峰值大小和分布区间, 可以发现随着密度比Ω的增大(即壁面温差增大), 比值下降约20%, 但不影响峰值分布区间和分布趋势. 这一统计规律表明, 在核心流动区, 雷诺切应力的生成与再分配过程之间, 存在着一种相对稳定的动态平衡标度关系. 参考湍动能输运方程中产耗比在对数区平衡的假定, 假定产生项和压力应变率项这一比值在y^* > 10区域内为1, 即$ {P}_{\text{r}}={\pi }_{\text{r}} $.

本文通过对DNS计算结果统计分析, 研究了跨临界流动中的热物性分布、雷诺应力分布及其输运和产生机理. 分析了不同壁面温差条件下不同工质的流动特性. 得出以下主要结论:

1) 高密度比(Ω > 5)跨临界流动中, 热壁附近密度脉动超过当地均值的40%, 定压比热容脉动超过90%. 热物性脉动的显著增强使Morkovin假设失效, 并对湍流统计特性产生实质性影响, 需在湍流建模中显式考虑.

2)不同工况下的雷诺应力分布显示出相似的峰值区间和趋势, 但受密度脉动影响无法归一化. 当Ω > 5, 密度脉动项对雷诺应力的贡献由不足5%跃升至超过20%, 传统基于壁面单位的标度律失效.

3) 在跨临界通道湍流中, 雷诺应力输运由湍流产生项与压力-应变再分配项主导, 耗散项仅于近壁区显著. 壁面温差增大促使能量交换外移并强化压力-应变作用, 且不同工质不同温差下的雷诺应力输运项分布趋势一致, 各项的幅值随工况的密度比而变化.

4)瞬时快照分析揭示了雷诺应力的产生机理. 超临界边界层中的温度波动引发大密度波动, 进而诱发出流向速度脉动, 导致近壁区域雷诺应力的产生, 表明在跨临界流动中温度波动和密度波动的耦合作用.

基于本文提出的在y^* > 10雷诺切应力产生项与压力-应变再分配项比值近似为1的简化假设, 后续研究将把该简化假设植入常用CFD求解器中, 通过对比模型改进前后的计算结果, 评估其对计算精度的提升效果, 并进一步检验该假设在不同流动条件下的有效性与适用范围.

本研究所采用的开源DNS数据库^[31]详细描述了超临界流体在多种压力和温度条件下的细微特性. 基于无量纲化的质量、动量和总能量方程进行的全可压缩模拟, 构成了描述跨临界流体运动和理解其动力学特性的基础.

式中, t为时间; u为速度矢量; ρ为密度; P为压力; 黏性应力张量 τ表示为$ \tau =\mu \left[\nabla \boldsymbol{u}+{\left(\nabla \boldsymbol{u}\right)}^{\text{T}}-\left(2/3\right)\left(\nabla \boldsymbol{u}\right)\boldsymbol{I}\right] $, 其中μ为动力黏度, $ \nabla \boldsymbol{u} $ 和$ {\left(\nabla u\right)}^{\text{T}} $为速度梯度和速度梯度的转置; I为单位矩阵; E为总能; T为温度; K为热导率.

采用Peng-Robinson (PR)状态方程^[46]来描述流体的状态变量(压力 P、温度 T 和密度 ρ). 该方程至关重要, 因为其能够实现热力学变量从理想气体状态(仅依赖于温度的低压场景)到超临界状态(压力高于临界压力)的转换. 理想气体部分通过NASA的7系数多项式^[47]计算, 而超临界压力条件下的解析表达式则源自PR状态方程^[48].

其中, $ Z=P/\left(\rho RT\right) $为压缩因子, R为特定气体常数, $ \gamma =Z({c}_{\rm p}/{c}_{\rm v})(Z+T{(\partial Z/\partial T)}_{\rho })/(Z+T{(\partial Z/\partial T)}_{P}) $为近似的真实气体比热容比, c_v为定容比热容, Ma为体积马赫数. 诸如 μ和K等热物理性质是基于T, ρ及其他相关参数, 采用Chung等^[49]提出的关联式进行计算.

对于Case A和Case B, 网格分辨率的范围为$ 8.3\leqslant \Delta {x}^{+}\leqslant 10.1 $, $ 0.31\leqslant \Delta {y}^{+} \leqslant 0.4 $, $ 4.17 \leqslant \Delta {z}^{+} \leqslant 5.1 $. 对于Case C和Case D, 网格分辨率的范围为$ 4.9\leqslant \Delta {x}^{+}\leqslant 8 $, $ 0.2\leqslant \Delta {y}^{+}\leqslant 1 $, $ 3.26\leqslant \Delta {z}^{+}\leqslant 6.8 $. 参照示例包括Kim等^[8]、Pumir等^[50]和Yao等^[51]的工作, 他们分别提及了$ \Delta {x}^{+}=10.98 $, $ 0.43\leqslant \Delta {y}^{+}\leqslant 5.93 $, $ \Delta {z}^{+}=5.63 $等网格参数. 本文工况的分辨率被认为足以捕捉所有相关的流动尺度, 确保高强度壁面切应力事件能够准确解析.