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Λ、Σ和Ξ超子谱学的研究

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罗肆强. Λ、Σ和Ξ超子谱学的研究[J]. 物理学报, 2026, 75(17): 170201. doi: 10.7498/aps.75.20260727
引用本文: 罗肆强. Λ、Σ和Ξ超子谱学的研究[J]. 物理学报, 2026, 75(17): 170201. doi: 10.7498/aps.75.20260727
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Siqiang LUO. Investigations of Λ, Σ, and Ξ hyperon spectra[J]. Acta Physica Sinica, 2026, 75(17): 170201. doi: 10.7498/aps.75.20260727
Citation: Siqiang LUO. Investigations of Λ, Σ, and Ξ hyperon spectra[J]. Acta Physica Sinica, 2026, 75(17): 170201. doi: 10.7498/aps.75.20260727
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Λ、Σ和Ξ超子谱学的研究

  • 1.

    兰州大学物理科学与技术学院, 兰州　730000

  • 2.

    兰州大学, 兰州理论物理中心, 量子理论及应用基础教育部重点实验室, 甘肃省理论物理重点实验室, 甘肃省量子物理基础学科研究中心, 兰州　730000

  • 3.

    兰州大学, 稀有同位素前沿科学中心, 兰州　730000

  • 4.

    兰州大学及中国科学院近代物理研究所强子与CSR研究中心, 兰州　730000

    • 作者简介: E-mail: luosiqiang@lzu.edu.cn .
    通讯作者: E-mail: luosiqiang@lzu.edu.cn

  • 中图分类号: 14.20.Jn, 12.39.Pn, 12.39.Jh, 03.65.Ge

Investigations of Λ, Σ, and Ξ hyperon spectra

  • 1.

    School of Physical Science and Technology, Lanzhou University, Lanzhou 730000, China

  • 2.

    Gansu Provincial Research Center for Basic Disciplines of Quantum Physics, Key Laboratory of Theoretical Physics of Gansu Province, Key Laboratory of Quantum Theory and Applications of MoE, Lanzhou Center for Theoretical Physics, Lanzhou University, Lanzhou 730000, China

  • 3.

    MoE Frontiers Science Center for Rare Isotopes, Lanzhou University, Lanzhou 730000, China

  • 4.

    Research Center for Hadron and CSR Physics, Lanzhou University & Institute of Modern Physics of CAS, Lanzhou 730000, China

    • Corresponding author: E-mail: luosiqiang@lzu.edu.cn

  • MSC: 14.20.Jn, 12.39.Pn, 12.39.Jh, 03.65.Ge

  • 摘要: 超子是强子物理中的一个重要部分, 超子庞大的数量为研究其性质提供了很好的研究平台, 对强子谱学研究的开展起着重要的作用. 本文基于实验上发现的大量超子, 在Capstick-Isgur模型下, 通过求解三体Schrödinger方程计算了Λ, Σ, Ξ超子的谱学. 将计算得到的谱学与已有的实验结果进行对比, 一方面, 可以分析已有超子的性质, 探索其在超子家族中可能的位置; 另一方面, 可以预言更多尚未发现的超子, 基于谱学为将来的实验提供理论建议. 该工作拟为BESIII, LHCb, Belle II等实验组开展超子谱学实验提供理论支撑. 我们期待在将来的实验上能发现更多的超子, 以完善超子谱学.
    Abstract: Hyperons constitute an important sector in hadron physics, their large number provides a valuable platform for studying their properties and plays a significant role in hadron spectroscopy. Based on the extensive experimental observations of hyperons, this work employs the Capstick–Isgur model to calculate the spectra of Λ, Σ, and Ξ hyperons by solving the three-body Schrödinger equation. We obtain the parameters of the potential model with spectra of the well established baryons, and calculate the masses of S-, P-, and D-wave Λ, Σ, and Ξ baryons. We present numerical results of 1S, 2S, 1P, and several lower D-wave states. The calculated spectra are compared with existing experimental results. For the Λ and Σ, the theoretical masses match the experimental results pretty well with 1S. For the 1P, 2S, and the lower D-wave states, there exists some good candidates. For the Ξ, the masses of 1S states are consistent with the experimental results well. And there are also good $\Xi(1{\mathrm{P}})$ candidates, which match our calculations. On one hand, this allows us to analyze the properties of known hyperons and explore their possible positions within the hyperon family, on the other hand, it enables us to predict additional, yet-to-be-discovered hyperons, offering theoretical guidance for future experiments. Besides the numerical results presented, there are also many observed states which masses are much higher than our calculations, leaving considerable scope for further investigation. In addition to the mass spectra, we also analyze the impact of parameter variations on the masses, which help us to understand the contributions of each parameter in the spectra. This study aims to provide theoretical support for hyperon spectroscopy experiments planned by Collaborations such as BESIII, LHCb, Belle II, and so on. We look forward to the discovery of more hyperons in upcoming experiments, which will contribute to refining the field of hyperon spectroscopy.
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  • 图 1  Λ的质量谱. 短横线表示理论值, 圆点代表实验的中心值, 对于实验质量范围较大的, 用短竖线表示, 实验值取自PDG[5]

    Figure 1.  The mass spectrum of Λ. The short horizontal lines represent the theoretical values, while the dots denote the experimental central values. For cases with larger experimental mass ranges, we use short vertical bars. The experimental data are taken from PDG[5].

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    图 3  Ξ的质量谱. $ \Xi(1720) $的质量取自BESIII实验值[8], 其他约定同图1

    Figure 3.  The mass spectrum of Ξ. The mass of $ \Xi(1720) $ is taken from the BESIII experimental value[8], and other conventions are the same as in Fig. 1.

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    图 2  Σ的质量谱. $ \Sigma(2330) $的质量取自BESIII实验值[7], 其他约定同图1

    Figure 2.  The mass spectrum of Σ. The mass of $ \Sigma(2330) $ is taken from the BESIII experimental value[7], and other conventions are the same as in Fig. 1.

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    表 1  本工作使用的基矢

    Table 1.  The bases used in this work.

    $ J^P $ Λ $ \Sigma/\Xi $
    $ \left|\dfrac{1}{2}^+,\text{S-wave}\right\rangle $ $ \Big[\chi^{0}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{00}_0\Big]_{\tfrac{1}{2}} $ $ \Big[\chi^{1}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{00}_0\Big]_{\tfrac{1}{2}} $
    $ \left|\dfrac{1}{2}^+,\text{D-wave}\right\rangle $ $ \Big[\chi^{1}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{11}_0\Big]_{\tfrac{1}{2}} $ $ \Big[\chi^{1}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{11}_1\Big]_{\tfrac{1}{2}} $ $ \Big[\chi^{1}_{\tfrac{3}{2}}\phi^{11}_1\Big]_{\tfrac{1}{2}} $ $ \Big[\chi^{1}_{\tfrac{3}{2}}\phi^{11}_2\Big]_{\tfrac{1}{2}} $ $ \Big[\chi^{1}_{\tfrac{3}{2}}\phi^{02}_2\Big]_{\tfrac{1}{2}} $ $ \Big[\chi^{0}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{11}_0\Big]_{\tfrac{1}{2}} $ $ \Big[\chi^{0}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{11}_1\Big]_{\tfrac{1}{2}} $ $ \Big[\chi^{1}_{\tfrac{3}{2}}\phi^{20}_2\Big]_{\tfrac{1}{2}} $
    $ \left|\dfrac{3}{2}^+,\text{S-wave}\right\rangle $ $ \Big[\chi^{1}_{\tfrac{3}{2}}\phi^{00}_0\Big]_{\tfrac{3}{2}} $
    $ \left|\dfrac{3}{2}^+,\rm{D}\text{-}wave\right\rangle $ $\begin{gathered}\Big[\chi^{0}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{02}_2\Big]_{\tfrac{3}{2}}\; \Big[\chi^{1}_{\tfrac{3}{2}}\phi^{11}_0\Big]_{\tfrac{3}{2}}\; \Big[\chi^{1}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{11}_1\Big]_{\tfrac{3}{2}}\; \Big[\chi^{1}_{\tfrac{3}{2}}\phi^{11}_1\Big]_{\tfrac{3}{2}}\; \\\Big[\chi^{1}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{11}_2\Big]_{\tfrac{3}{2}}\; \Big[\chi^{1}_{\tfrac{3}{2}}\phi^{11}_2\Big]_{\tfrac{3}{2}}\; \Big[\chi^{0}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{20}_2\Big]_{\tfrac{3}{2}} \end{gathered}$ $\begin{gathered}\Big[\chi^{1}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{02}_2\Big]_{\tfrac{3}{2}}\; \Big[\chi^{1}_{\tfrac{3}{2}}\phi^{02}_2\Big]_{\tfrac{3}{2}} \;\Big[\chi^{0}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{11}_1\Big]_{\tfrac{3}{2}}\; \Big[\chi^{0}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{11}_2\Big]_{\tfrac{3}{2}} \\\Big[\chi^{1}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{20}_2\Big]_{\tfrac{3}{2}}\; \Big[\chi^{1}_{\tfrac{3}{2}}\phi^{20}_2\Big]_{\tfrac{3}{2}} \end{gathered}$
    $ \left|\dfrac{5}{2}^+,\text{D-wave}\right\rangle $ $\begin{gathered}\Big[\chi^{0}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{02}_2\Big]_{\tfrac{5}{2}}\; \Big[\chi^{1}_{\tfrac{3}{2}}\phi^{11}_1\Big]_{\tfrac{5}{2}}\; \Big[\chi^{1}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{11}_2\Big]_{\tfrac{5}{2}}\\ \Big[\chi^{1}_{\tfrac{3}{2}}\phi^{11}_2\Big]_{\tfrac{5}{2}}\; \Big[\chi^{0}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{20}_2\Big]_{\tfrac{5}{2}}\end{gathered}$ $\begin{gathered}\Big[\chi^{1}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{02}_2\Big]_{\tfrac{5}{2}}\; \Big[\chi^{1}_{\tfrac{3}{2}}\phi^{02}_2\Big]_{\tfrac{5}{2}}\; \Big[\chi^{0}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{11}_2\Big]_{\tfrac{5}{2}}\\ \Big[\chi^{1}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{20}_2\Big]_{\tfrac{5}{2}}\; \Big[\chi^{1}_{\tfrac{3}{2}}\phi^{20}_2\Big]_{\tfrac{5}{2}}\end{gathered}$
    $ \left|\dfrac{7}{2}^+, \text{D-wave}\right\rangle $ $ \Big[\chi^{1}_{\tfrac{3}{2}}\phi^{11}_2\Big]_{\tfrac{7}{2}} $ $ \Big[\chi^{1}_{\tfrac{3}{2}}\phi^{02}_2\Big]_{\tfrac{7}{2}} $ $ \Big[\chi^{1}_{\tfrac{3}{2}}\phi^{20}_2\Big]_{\tfrac{7}{2}} $
    $ \left|\dfrac{1}{2}^-, \text{P-wave}\right\rangle $ $ \Big[\chi^{0}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{01}_1\Big]_{\tfrac{1}{2}} $ $ \Big[\chi^{1}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{10}_1\Big]_{\tfrac{1}{2}} $ $ \Big[\chi^{1}_{\tfrac{3}{2}}\phi^{10}_1\Big]_{\tfrac{1}{2}} $ $ \Big[\chi^{1}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{01}_1\Big]_{\tfrac{1}{2}} $ $ \Big[\chi^{1}_{\tfrac{3}{2}}\phi^{01}_1\Big]_{\tfrac{1}{2}} $ $ \Big[\chi^{0}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{10}_1\Big]_{\tfrac{1}{2}} $
    $ \left|\dfrac{3}{2}^-, \text{P-wave}\right\rangle $ $ \Big[\chi^{0}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{01}_1\Big]_{\tfrac{3}{2}} $ $ \Big[\chi^{1}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{10}_1\Big]_{\tfrac{3}{2}} $ $ \Big[\chi^{1}_{\tfrac{3}{2}}\phi^{10}_1\Big]_{\tfrac{3}{2}} $ $ \Big[\chi^{1}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{01}_1\Big]_{\tfrac{3}{2}} $ $ \Big[\chi^{1}_{\tfrac{3}{2}}\phi^{01}_1\Big]_{\tfrac{3}{2}} $ $ \Big[\chi^{0}_{\tfrac{1}{2}}\phi^{10}_1\Big]_{\tfrac{3}{2}} $
    $ \left|\dfrac{5}{2}^-, \text{P-wave}\right\rangle $ $ \Big[\chi^{1}_{\tfrac{3}{2}}\phi^{10}_1\Big]_{\tfrac{5}{2}} $ $ \Big[\chi^{1}_{\tfrac{3}{2}}\phi^{01}_1\Big]_{\tfrac{5}{2}} $
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    表 2  本工作使用的势模型参数. “*”表示该参数与文献[19,20]一致

    Table 2.  The parameters of the potential model used in this work. “*” imply that the values are consistent with Refs.[19,20].

    mn = 0.220 GeV$ ^* $ ms = 0.419 GeV$ ^* $ mc = 1.628 GeV$ ^* $ mb = 4.977 GeV$ ^* $
    $ \alpha_k=\left\{0.25, 0.15, 0.20\right\}^* $ $ \gamma_k=\left\{{1}/{2}, \sqrt{{5}/{2}}, 5\sqrt{10}\right\}^* $
    $ b=0.140 {\rm GeV}^2 $ $ c=-0.204 {\rm GeV} $ $ \sigma_0=2.252 {\rm GeV} $ $ s=0.809 $
    $ \epsilon_{\rm{cont}}=-0.143 $ $ \epsilon_{\rm{tens}}=0.381 $ $ \epsilon_{{\rm{so}}(v)}=0.062 $ $ \epsilon_{{\rm{so}}(s)}=0.447 $ $ \epsilon_{\rm{Coul}}=0^* $
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    表 3  Λ, Σ, Ξ的质量谱的理论值与实验值的比较. 单位: MeV

    Table 3.  The comparisons of theoretical and experimental values for the mass spectra of Λ, Σ, and Ξ in units of MeV.

    Λ Σ Ξ
    理论值 PDG[5] 理论值 PDG[5] 理论值 PDG[5]
    $ \left|\dfrac{1}{2}^+, 1 {\mathrm{S}}\right\rangle $ 1117 $ 1115.683\pm0.006 $ 1170 1189 1300 1315
    $ \left|\dfrac{1}{2}^+, 2 {\mathrm{S}}\right\rangle $ 1662 1570–1630 1714 1640–1680 1841
    $ \left|\dfrac{1}{2}^+, \text{D-wave}\right\rangle $ 1871 $ 1713\pm13 $ 1952 1820–1940 2083
    1979 1740–1840 1984 2113
    2040 1997 2129
    2053 2056 2178
    $ \left|\dfrac{3}{2}^+, 1 {\mathrm{S}}\right\rangle $ 1387 1383 1514 1532
    $ \left|\dfrac{3}{2}^+, 2 {\mathrm{S}}\right\rangle $ 1857 1730–1830 1984
    $ \left|\dfrac{3}{2}^+, \text{D-wave}\right\rangle $ 1839 1870–1910 1931 1920–1960 2043
    1942 $ 2070\pm24 $ 1996 2060–2120 2127
    1999 2001 2134
    2007 2029 2158
    2028 2046 2173
    2065 2084 2213
    2089
    $ \left|\dfrac{5}{2}^+, \text{D-wave}\right\rangle $ 1851 1815–1825 1944 1900–1935 2039
    2007 2050–2130 2012 2020–2100 2139
    2050 2051 2172
    2073 2055 2181
    2123 2068 2196
    $ \left|\dfrac{7}{2}^+, \text{D-wave}\right\rangle $ 2094 2020 2040 2025–2040 2166
    2103 2214
    $ \left|\dfrac{1}{2}^-, 1 {\mathrm{P}}\right\rangle $ 1487 $ 1405.1^{+1.3}_{-1.0} $ 1616 1600–1650 1758 1620?
    1600 1670–1678 1657 1700–1800 1796 $ 1690\pm10 $?
    1671 1750–1850 1692 1825
    $ \left|\dfrac{3}{2}^-, 1 {\mathrm{P}}\right\rangle $ 1541 1518–1520 1669 1580 1800 $ 1823\pm5 $
    1643 1685–1695 1712 1665–1685 1844
    1724 1736 1866
    $ \left|\dfrac{5}{2}^-, 1 {\mathrm{P}}\right\rangle $ 1785 1820–1830 1767 1770–1780 1902
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    表 4  参数变化为+5%减去–5%时的质量差. 单位: MeV. 这里“–”表示该参数对这一个态不起作用, $ \sim +0 $和$ \sim -0 $表示绝对值小于0.1 MeV. $ |J^P, L\rangle_1 $表示该量子数对应的轨道角动量下, 取质量的最低值

    Table 4.  Mass differences when varying the parameters by +5% and –5% in units of MeV. Here, “–” indicates that this parameter does not affect the state; “$ \sim +0 $” and “$ \sim-0 $” indicate absolute values less than 0.1 MeV. $ |J^P, L\rangle_1 $ denotes the lowest mass value among the states with the corresponding orbital angular momentum quantum numbers.

    b $ \sigma_0 $ s $ \epsilon_{\rm{cont}} $ $ \epsilon_{\rm{tens}} $ $ \epsilon_{{\rm{so}}({\mathrm{v}})} $ $ \epsilon_{{\rm{so}}({\mathrm{s}})} $
    $ \Lambda\left|\dfrac{1}{2}^+, 1 {\mathrm{S}}\right\rangle $ $ +52.8 $ $ -12.5 $ $ -0.1 $ $ -13.8 $ — — —
    $ \Lambda\left|\dfrac{1}{2}^+, 2 {\mathrm{S}}\right\rangle $ $ +79.4 $ $ -10.9 $ $ -0.1 $ $ -11.4 $ — — —
    $ \Lambda\left|\dfrac{1}{2}^+, {\mathrm{D}}\right\rangle_1 $ $ +85.4 $ $ -5.3 $ $ -0.1 $ $ -4.1 $ $ \sim+0 $ $ +0.1 $ $ -0.2 $
    $ \Lambda\left|\dfrac{3}{2}^+, {\mathrm{D}}\right\rangle_1 $ $ +85.9 $ $ -7.4 $ $ -0.1 $ $ -11.4 $ $ \sim +0 $ $ +0.6 $ $ -1.5 $
    $ \Lambda\left|\dfrac{5}{2}^+, {\mathrm{D}}\right\rangle_1 $ $ +85.8 $ $ -6.8 $ $ \sim-0 $ $ -10.7 $ $ \sim-0 $ $ -0.3 $ $ +1.5 $
    $ \Lambda\left|\dfrac{7}{2}^+, {\mathrm{D}}\right\rangle_1 $ $ +96.7 $ $ -1.5 $ $ \sim -0 $ $ +0.7 $ $ +0.1 $ $ -1.2 $ $ +2.6 $
    $ \Lambda\left|\dfrac{1}{2}^-, {\mathrm{P}}\right\rangle_1 $ $ +69.2 $ $ -9.7 $ $ -0.1 $ $ -12.4 $ $ \sim+0 $ $ +1.2 $ $ -2.4 $
    $ \Lambda\left|\dfrac{3}{2}^-, {\mathrm{P}}\right\rangle_1 $ $ +70.1 $ $ -7.9 $ $ -0.1 $ $ -11.6 $ $ \sim-0 $ $ -0.5 $ $ +1.1 $
    $ \Lambda\left|\dfrac{5}{2}^-, {\mathrm{P}}\right\rangle_1 $ $ +80.7 $ $ -2.2 $ $ \sim -0 $ $ +1.5 $ $ +0.1 $ $ -1.1 $ $ +1.7 $
    $ \Sigma\left|\dfrac{1}{2}^+, 1 {\mathrm{S}}\right\rangle $ $ +53.4 $ $ -10.0 $ $ -0.1 $ $ -5.4 $ — — —
    $ \Sigma\left|\dfrac{1}{2}^+, 2 {\mathrm{S}}\right\rangle $ $ +80.8 $ $ -8.9 $ $ -0.1 $ $ -4.3 $ — — —
    $ \Sigma\left|\dfrac{1}{2}^+, {\mathrm{D}}\right\rangle_1 $ $ +89.7 $ $ -2.7 $ $ \sim-0 $ $ -0.5 $ $ +0.1 $ $ +0.1 $ $ -0.2 $
    $ \Sigma\left|\dfrac{3}{2}^+, 1 {\mathrm{S}}\right\rangle $ $ +63.4 $ $ -3.8 $ $ \sim -0 $ $ +4.3 $ — — —
    $ \Sigma\left|\dfrac{3}{2}^+, 2 {\mathrm{S}}\right\rangle $ $ +87.4 $ $ -3.7 $ $ \sim -0 $ $ +4.1 $ — — —
    $ \Sigma\left|\dfrac{3}{2}^+, {\mathrm{D}}\right\rangle_1 $ $ +87.3 $ $ -3.7 $ $ \sim -0 $ $ -3.3 $ $ \sim +0 $ $ +0.8 $ $ -2.3 $
    $ \Sigma\left|\dfrac{5}{2}^+, {\mathrm{D}}\right\rangle_1 $ $ +87.8 $ $ -3.3 $ $ \sim -0 $ $ -2.9 $ $ \sim -0 $ $ -0.4 $ $ +2.1 $
    $ \Sigma\left|\dfrac{7}{2}^+, {\mathrm{D}}\right\rangle_1 $ $ +94.9 $ $ -1.9 $ $ \sim -0 $ $ +1.7 $ $ +0.1 $ $ -0.7 $ $ +2.0 $
    $ \Sigma\left|\dfrac{1}{2}^-, {\mathrm{P}}\right\rangle_1 $ $ +73.4 $ $ -4.6 $ $ -0.1 $ $ -2.0 $ $ +0.4 $ $ +1.1 $ $ -1.9 $
    $ \Sigma\left|\dfrac{3}{2}^-, {\mathrm{P}}\right\rangle_1 $ $ +74.7 $ $ -3.3 $ $ \sim -0 $ $ -1.9 $ $ \sim +0 $ $ -0.4 $ $ +1.0 $
    $ \Sigma\left|\dfrac{5}{2}^-, {\mathrm{P}}\right\rangle_1 $ $ +80.8 $ $ -2.1 $ $ \sim -0 $ $ +2.2 $ $ +0.1 $ $ -0.8 $ $ +1.3 $
    $ \Xi\left|\dfrac{1}{2}^+, 1 {\mathrm{S}}\right\rangle $ $ +51.6 $ $ -10.3 $ $ -0.1 $ $ -7.3 $ — — —
    $ \Xi\left|\dfrac{1}{2}^+, 2 {\mathrm{S}}\right\rangle $ $ +78.2 $ $ -9.0 $ $ -0.1 $ $ -5.5 $ — — —
    $ \Xi\left|\dfrac{1}{2}^+, {\mathrm{D}}\right\rangle_1 $ $ +87.3 $ $ -2.9 $ $ \sim -0 $ $ -0.2 $ $ +0.1 $ $ +0.2 $ $ -0.4 $
    $ \Xi\left|\dfrac{3}{2}^+, 1 {\mathrm{S}}\right\rangle $ $ +60.8 $ $ -4.1 $ $ -0.1 $ $ +3.2 $ — — —
    $ \Xi\left|\dfrac{3}{2}^+, 2 {\mathrm{S}}\right\rangle $ $ +84.8 $ $ -4.0 $ $ -0.1 $ $ +3.0 $ — — —
    $ \Xi\left|\dfrac{3}{2}^+, {\mathrm{D}}\right\rangle_1 $ $ +85.3 $ $ -3.8 $ $ -0.1 $ $ -3.7 $ $ \sim+0 $ $ +0.5 $ $ -1.7 $
    $ \Xi\left|\dfrac{5}{2}^+, {\mathrm{D}}\right\rangle_1 $ $ +84.1 $ $ -3.5 $ $ \sim-0 $ $ -3.3 $ $ \sim-0 $ $ -0.1 $ $ +1.5 $
    $ \Xi\left|\dfrac{7}{2}^+, {\mathrm{D}}\right\rangle_1 $ $ +92.0 $ $ -2.0 $ $ \sim -0 $ $ +1.0 $ $ +0.1 $ $ -0.6 $ $ +1.6 $
    $ \Xi\left|\dfrac{1}{2}^-, {\mathrm{P}}\right\rangle_1 $ $ +72.1 $ $ -4.5 $ $ -0.1 $ $ -2.2 $ $ +0.3 $ $ +0.9 $ $ -1.2 $
    $ \Xi\left|\dfrac{3}{2}^-, {\mathrm{P}}\right\rangle_1 $ $ +72.4 $ $ -3.5 $ $ -0.1 $ $ -2.3 $ $ \sim -0 $ $ -0.3 $ $ +0.3 $
    $ \Xi\left|\dfrac{5}{2}^-, {\mathrm{P}}\right\rangle_1 $ $ +77.8 $ $ -2.3 $ $ \sim -0 $ $ +1.2 $ $ +0.1 $ $ -0.9 $ $ +1.4 $
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  • [1] Gell-Mann M 1964 Phys. Lett. 8 214 doi: 10.1016/S0031-9163(64)92001-3
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出版历程
  • 收稿日期:  2026-05-20
  • 刊出日期:  2026-09-05

Λ、Σ和Ξ超子谱学的研究

    通讯作者: E-mail: luosiqiang@lzu.edu.cn
    作者简介: E-mail: luosiqiang@lzu.edu.cn
  • 1. 兰州大学物理科学与技术学院, 兰州　730000
  • 2. 兰州大学, 兰州理论物理中心, 量子理论及应用基础教育部重点实验室, 甘肃省理论物理重点实验室, 甘肃省量子物理基础学科研究中心, 兰州　730000
  • 3. 兰州大学, 稀有同位素前沿科学中心, 兰州　730000
  • 4. 兰州大学及中国科学院近代物理研究所强子与CSR研究中心, 兰州　730000
  • 收稿日期:  2026-05-20

摘要: 超子是强子物理中的一个重要部分, 超子庞大的数量为研究其性质提供了很好的研究平台, 对强子谱学研究的开展起着重要的作用. 本文基于实验上发现的大量超子, 在Capstick-Isgur模型下, 通过求解三体Schrödinger方程计算了Λ, Σ, Ξ超子的谱学. 将计算得到的谱学与已有的实验结果进行对比, 一方面, 可以分析已有超子的性质, 探索其在超子家族中可能的位置; 另一方面, 可以预言更多尚未发现的超子, 基于谱学为将来的实验提供理论建议. 该工作拟为BESIII, LHCb, Belle II等实验组开展超子谱学实验提供理论支撑. 我们期待在将来的实验上能发现更多的超子, 以完善超子谱学.

English Abstract

    全文HTML

    1.   引　言

    • 在粒子物理中, 强子是由夸克、反夸克、胶子通过强相互作用结合而成的复合粒子, 其中超子是一类包含奇异夸克的重子, 为研究强相互作用和强子结构提供了非常重要的线索. 在20世纪60年代, Gell-Mann和Zweig就根据当时发现的大量轻味强子基于SU(3)味道对称性对其进行分类[1-3], 建立了早期的夸克模型. 早期夸克模型的一个成功之处在于它成功地预言了Ω粒子的存在[4]. 超子家族具有丰富的谱学[5], 其激发态的数量众多、能级结构复杂, 这为探索强子谱学、检验夸克模型的有效性提供了极佳的实验与理论平台. 近年来, 随着BESIII, LHCb, Belle II等高亮度实验装置的运行, 大量新的超子候选态被发现, 这使得超子的理论和实验研究进入了新阶段[6]. 近期, BESIII实验组[7]在$ \psi(3686)\to \bar{p}K^+\Sigma^0 +{\rm{c.c.}}$上发现了一个新的Σ激发态$ \Sigma(2330) $, 其质量和宽度分别为

      其自旋-宇称可能为$ 3/2^- $. 不久之后, BESIII实验组[8]又在$ J/\psi \to K^-\Sigma^0\bar{\Xi}^+ $上发现了一个新的Ξ激发态$ \Xi(1720) $, 其质量和宽度分别为

      其自旋-宇称可能为$ 3/2^+ $. 近期的实验成果表明, 强子物理实验组对超子激发态保持着高度关注. 面对如此众多的超子态, 如何在理论模型中系统地描述这些态、预测尚未观测到的超子成为当前研究的关键课题.

      由于超子含的夸克均为轻夸克(u, d, s), 因此不具备含有重夸克(c, b, t)那样的重夸克对称性. 在超子中, Ω具备较高的对称性, 可以基于谐振子波函数的对称性进行计算[9,10], 但在$ SU(2) $对称性下, Λ, Σ, Ξ中, 每个系统均含有两个对称的和一个对称性不同的夸克. 由于s夸克和$ {\mathrm{u}}/{\mathrm{d}} $夸克的质量相差不大, 因此,在计算中不能采用和单重味重子[11]或双重味重子相同对称性.

      超子谱学的研究由来已久, 在20个世纪70年代, Horgan等[12,13]根据对称性分析了超子谱学. Isgur, Karl和Chao[14-18]在夸克模型下研究了超子谱. Capstick和Isgur[19]采取与Godfrey-Isgur模型[20]相似的方案, 计算了从轻味重子到重味重子的谱学. 超子谱也在格点QCD(quantum chromodynamics)[21,22]、QCD求和规则[23]、diquark模型[24]、手征夸克模型[25]等方法中被研究过. 此外, 像$ \Lambda(1405) $的双极点问题[26-31]、超子中的奇特强子态/重子-介子耦合道[27-43]、超核问题[44,45]也被广泛研究.

      在重子系统中, 超子的谱学可由求解相应的三体Schrödinger方程获得. 本文采用Capstick-Isgur模型[19]来处理夸克-夸克间的相互作用, 该方法已经在重子谱计算中取得了较好的成功, 基于最新的实验数据, 我们拟合得到相互作用参数. 将实验上已发现的超子态纳入该模型的框架, 并使用高斯展开法[46]系统计算Λ, Σ, Ξ超子基态及激发态的质量谱, 可以将理论结果与实验数据进行直接对比, 从而分析已知超子的内部结构, 进一步确定其在超子家族中的可能的位置, 并在此基础上预言潜在的新态. 这不仅有助于完善当前的超子谱, 还能为未来BESIII, LHCb, Belle II的实验提供理论建议.

      本文的结构如下: 引言之后, 在第2节引入计算方法, 主要是介绍Capstick-Isgur模型和高斯展开法; 然后第3节给出数值结果; 最后给出一个简单的总结.

    2.   计算谱学及求解三体Schrödinger方程的方法

      2.1.   Capstick-Isgur模型

    • 如引言所述, 本文采用Capstick-Isgur势模型进行计算, 其哈密顿量可以写为[19,20]

      其中$ \sqrt{p_i^2+m_i^2} $为相对论性动能项; $ V_{ij} $为相互作用, 主要包含

      其中, $ V_{ij}^{\rm{Coul}} $, $ V_{ij}^{\rm{cont}} $, $ V_{ij}^{{\rm{so}}({\mathrm{v}})} $, $ V_{ij}^{\rm{tens}} $, $ V_{ij}^{\rm{conf}} $, $ V_{ij}^{{\rm{so}}({\mathrm{s}})} $分别为库仑势、接触项、矢量交换型的自旋-轨道耦合项、张量项、禁闭势、标量交换型的自旋-轨道耦合项. 对于库仑项, 其表达式为

      其中

      这里, $ p_{ij} $为在$ ij $质心系中任一夸克的动量大小, $ \epsilon_{\rm{Coul}} $是用于控制库仑相互作用中相对论效应强度的参数, $ \sigma_0 $和s为相互作用的参数, $ \gamma_k $和$ \alpha_k $为参数化跑动耦合常数的参数, 即

      对应地, 禁闭势的表达式为

      与文献[19]不同的是, 文献[19]是三体势, 这里是两两相互作用. 相应的自旋相关项的表达式为

      其中, $ \delta_{ij}=\dfrac{m_im_j}{(p_{ij}^2+m_i^2)^{1/2}(p_{ij}^2+m_j^2)^{1/2}} $, 而$ \epsilon_{i} $($ i= {\rm{cont}}, {\rm{so}}({\mathrm{v}}), {\rm{tens}}, {\rm{so}}({\mathrm{s}}) $)为控制相对论效应的强度的参数.

      • 2.2.   高斯展开法

    • 利用上述势能, 可以求解Schrödinger方程以获得超子的能谱, 其基矢$ |\psi_{JM}^{\alpha n_\rho n_\lambda}\rangle $可以写成

      其中$ \alpha=\{s_{12}, S, l_\rho, l_\lambda, L\} $是一组量子数列表. 一般将对称性相同的夸克设为12, 对称性不同的夸克设为3. $ s_{12} $和S分别为前两个夸克耦合出的自旋以及总自旋. ρ为前两个夸克的相对坐标, λ为第三个夸克与前两个夸克质心的相对坐标. $ l_\rho $和$ l_\lambda $分别为ρ和λ自由度的轨道角动量, L为总的角动量. 对于同一个$ J^P $, 可能有一系列的α列表. 如果抽取仅和α有关的部分, 则一个基矢可以简写成

      $ n_\rho $和$ n_\lambda $为所选择的空间基矢的参数. 总的波函数可以写成

      $ C_{n_\rho n_\lambda}^\alpha $可以通过Rayleigh-Ritz变分法求解. 在这种框架下, Schrödinger方程可以写成如下特征值方程的形式:

      这里M是所求解的质量, 即特征值; $ C_{\alpha n_\rho n_\lambda} $为特征矢量, 通过该值可以得到波函数. $ H^{\alpha n_\rho n_\lambda}_{\alpha^\prime n_\rho^\prime n_\lambda^\prime} $和$ N^{\alpha n_\rho n_\lambda}_{\alpha^\prime n_\rho^\prime n_\lambda^\prime} $分别为Hamiltonian和基矢重叠项的矩阵元, 可以通过如下方式求解:

      在(10)式中, $ \psi^{\rm{color}} $为颜色波函数, 即

      $ \psi^{\rm{flavor}} $是味道波函数, 即

      自旋波函数$ \chi^{s_{12}}_S $为

      对于空间波函数, 采用的是高斯展开法[46], 该方法广泛地应用于重子谱的计算中[47-49], 具备精度高的特点, 其基矢为

      其中, $ \nu_n $可以通过$ \nu_n=r_{\rm{min}}^{-2}(r_{\rm{max}}/r_{\rm{min}})^{(2-2 n)/n_{\rm{max}}} $计算; $ r_{\rm{min}} $, $ r_{\rm{max}} $, $ n_{\rm{max}} $为高斯展开法的参数.

    3.   数值结果及讨论

    • 对于Λ, Σ, Ξ粒子, 由于s与$ {\mathrm{u}}/{\mathrm{d}} $夸克的质量相差不大, 因此不能用单一模式来计算激发态. 本文考虑ρ模激发, λ模激发, ρ-λ模混合激发. 这里主要计算$ 1 {\mathrm{S}} $, $ 2 {\mathrm{S}} $, $ 1{\mathrm{ P}} $, $ 1 {\mathrm{D}} $态的质量谱. 基于对称性, 将得到基矢依据(11)式列在表1中. 由于Λ的味道波函数中u, d为反对称, 而颜色波函数恒定为反对称, 为保证夸克1、2波函数为反对称, 要求$ 1=(-1)^{s_{12}+l_\rho} $. 而在Σ中, 味道波函数中u, d为对称, 这与Ξ中前两个夸克的味道波函数的对称性一致, 因此要求$ -1= (-1)^{s_{12}+l_\rho} $. 在势模型上, 我们基于已经发现的重子, 得到势模型参数并将其列在表2中. 将数值结果列在表3中, 为了直观地与实验进行对比, 同时将质量谱展示在图1—图3中. 对于S波, 列出了$ 1 {\mathrm{S}} $和$ 2 {\mathrm{S}} $. 对于P波和D波, 列出最低的几个态, 数量同表1中的基矢一致, 但由于我们求解的是物理态, 因此这些态是表1中基矢的混合. 对于P波, 由于基矢简单, 不同的径向激发态之间的能级差较大, 因此表3中, $ 1 {\mathrm{P}} $占据主导成分. 而对于D波, 基矢较多, 特别是部分径向激发态的质量可能与轨道激发的质量相差较小, 可能会产生部分重叠, 因此在表3中标注为D-wave而非$ 1 {\mathrm{D}} $. 我们同时列出了实验值, 以方便和理论值进行对比.

      如图1—图3所示, 所有基态质量的理论值与实验值都符合得非常好, 如$ \Lambda(1 {\mathrm{S}}) $, $ \Sigma^{(*)}(1 {\mathrm{S}}) $, $ \Xi^{(*)}(1 {\mathrm{S}}) $.

      对于Λ的激发态, $ \Lambda(1600) $是一个很好的$ \Lambda(2 {\mathrm{S}}) $候选态. 对于P波粒子, 实验上也发现了大量的候选态. 例如$ \Lambda(1405) $, 但其质量略低于夸克模型的计算[50]. 而$ \Lambda(1670) $, $ \Lambda(1800) $, $ \Lambda(1520) $, $ \Lambda(1690) $, $ \Lambda(1830) $可能是$ \Lambda(1 {\mathrm{P}}) $候选态. $ \Lambda(1810) $, $ \Lambda(1890) $, $ \Lambda(2070) $, $ \Lambda(1820) $, $ \Lambda(2110) $, $ \Lambda(2085) $可能是D波Λ的候选态. 在Σ中, $ \Sigma(1660) $和$ \Sigma(1780) $是很好的$ \Sigma(2 {\mathrm{S}}) $候选态, $ \Sigma(1620) $, $ \Sigma(1750) $,$ \Sigma(1580) $,$ \Sigma(1670) $, $ \Sigma(1775) $可能为$ \Sigma(1 {\mathrm{P}}) $的候选态, $ \Sigma(1880) $,$ \Sigma(1940) $, $ \Sigma(2080) $, $ \Sigma(1915) $、$ \Sigma(2070) $、$ \Sigma(2030) $为D波Σ候选态. 对于Ξ, 有确定的自旋-轨道量子数的态较少, 其中, $ \Xi(1820) $可能是一个$ \Xi(1 {\mathrm{P}}) $态. 对于$ \Xi(1620) $和$ \Xi(1690) $, 其质量比理论值偏低, 但由于其质量分别靠近$ \bar{K}\Lambda $和$ \bar{K}\Sigma $的阈值, 同时也被强子分子态的工作所研究[39-43].

      最近发现的$ \Sigma(2330) $[7], 质量远超我们计算的能区, 在将来的理论工作中, 可以尝试研究$ 2{\mathrm{ P}} $和1F态, 或者其他高激发的超子, 用于研究包括$ \Sigma(2330) $在内的大质量超子. 而对于$ \Xi(1720) $[8], 我们发现它难以与本工作得到的理论值进行比较, 它位于$ 1 {\mathrm{S}} $和$ 2 {\mathrm{S}} $之间, 远低于D波态, 将来需要更多的理论工作来进行研究.

      除了上述讨论这些态, 还有很多被收录进PDG的态, 其中部分自旋-轨道量子数待定或质量超过我们所讨论的能区, 这里没有被列进来. 除此之外还可以看到, 大量理论计算的态在实验上仍然尚未被发现, 我们期待将来的实验能够进行寻找. 我们建议BESIII, LHCb, Belle II等实验组开展相关的工作.

      在计算中, 理论误差也是非常重要的一部分, 在本模型中, 参数误差是一个非常重要的因素, 本文需要分析参数变化对质量的影响. 设质量函数为$ f(x_1, x_2, x_3, \cdots) $, 其中$ x_i $为表2中的参数, 包含组分夸克质量和相互作用参数. 其中, 组分夸克质量变动较小时, 系统质量的变化约等于组分夸克质量之和的变化, 由于组分夸克质量还关联动能项、自旋相关项、相对论修正项等, 因此不是绝对的相加关系, 不过整体上看, 它对质量的影响相对明确. $ \alpha_k $和$ \gamma_k $直接关联质量, 但它并非拟合强子谱得到的, 而是文献[20]参数化跑动耦合常数得到的. $ \epsilon_{\rm{Coul}} $在文献[19,20]中统一定为0. 常数项c对质量的影响严格为$ \dfrac{3}{2}c $. 这里需要着重讨论b, $ \sigma_0 $, s, $ \epsilon_{\rm{cont}} $, $ \epsilon_{\rm{tens}} $, $ \epsilon_{{\rm{so}}({\mathrm{v}})} $, $ \epsilon_{{\rm{so}}({\mathrm{s}})} $参数误差对质量的影响. 一方面, 它们对质量的影响不直观, 需要通过数值方法看出它们与质量的联系; 另一方面, 这些参数直接来源于强子谱. 假设参数$ x_i $变动了$ \delta x_i $, 当$ \delta x_i $很小时, 近似有

      由于$ x_i $的量纲、大小不一样, 我们采用相对值$ \dfrac{\delta x_i}{x_i} $来表示变化的范围.

      基于以上的分析, 将$ \dfrac{\delta x_i}{x_i} $设为±5%, 将+5%时的质量减去–5%时的质量列在表4中. 由于系统数量较大, 对于S波, 取$ 1 {\mathrm{S}} $和$ 2 {\mathrm{S}} $, 对于P波和D波, 取每个$ J^P $态最低的值. 我们注意到, 质量似乎对b非常敏感, 尤其是高激发态, b对质量的影响更加明显. 因为b是禁闭势的参数, 它的重要作用就是控制激发能. 另一方面, $ \sigma_0 $和$ {\epsilon_{\rm{cont}}} $影响次之, 它们是接触项的重要参数, 对于S波的自旋劈裂影响较大, 如Λ-Σ-$ \Sigma^* $, Ξ-$ \Xi^* $之间的质量劈裂, 而对P波D波等轨道激发态影响较小. 而s, $ \epsilon_{\rm{tens}} $, $ \epsilon_{{\rm{so}}({\mathrm{v}})} $, $ \epsilon_{{\rm{so}}({\mathrm{s}})} $则对大部分态影响较小. 由于S波中张量项和自旋轨道耦合项不起作用, 因此$ \epsilon_{\rm{tens}} $, $ \epsilon_{{\rm{so}}({\mathrm{v}})} $, $ \epsilon_{{\rm{so}}({\mathrm{s}})} $对S波的质量没有影响. 由b误差带来的理论误差可能比较大, 而其他误差产生的质量偏差相对较小. 以上分析可以直观地看到参数变动时对质量的影响, 利用(19)式和表4可以直接计算当参数进行微小变动时质量的变化.

    4.   总　结

    • 本研究基于Capstick-Isgur模型, 通过求解三体Schrödinger方程, 系统计算了Λ, Σ, Ξ超子家族的能谱, 并将理论结果与现有实验数据进行了详细对比. 研究表明, 该模型能够较好地复现多数已知超子态的质量与量子数特征, 验证了其在描述含奇异夸克重子结构方面的有效性. 在此基础上, 不仅对部分已有超子的分类与性质提出了新的解释, 还预言了一批尚未被实验观测到的新激发态, 为超子谱学的完善提供了理论依据. 通过与BESIII, LHCb, Belle II等实验组的研究方向结合, 本工作的结果可为未来的超子寻找与测量提供候选态及能区建议, 有助于进一步验证夸克模型对强子谱的预测能力.

      我们注意到, 部分理论结果与实验结果偏差较大, 像耦合道效应、奇特强子态等可以被纳入到解释中[27-43], 进一步丰富超子谱的理论研究. 我们的研究覆盖了当前实验发现的大部分超子的能区, 但仍有部分态的质量, 如最近发现的$ \Sigma(2330) $[7], 远高于本工作所研究的能区, 我们希望在将来的工作中, 可以引入高激发态的研究, 以解释这些超子态, 并验证模型在高激发态下的可靠性.

      随着实验精度的提高与新数据的积累, 理论计算与实验测量的紧密结合将推动超子物理的发展, 并深化对强子结构及强相互作用的理解.

    参考文献 (50)

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