水下等离子体冲激波的产生与传播涉及复杂的物理、化学、电学等过程，易受电极结构、等效回路参数、介质液体环境参数等因素的影响。水下冲激声源的产生与传播可分为以下3个阶段：预击穿阶段、电弧击穿阶段、主放电阶段^[6]。

预击穿阶段是水中放电的初始阶段，电容上高压施加到放电电极，因场致效应电极表面产生微小凸起引起局部电场增强，进而加热周围水介质形成微气泡形成击穿引燃区，使附近水分子受热气化、电离。在该放电过程中，放电电极间隙存在泄露电流，电容电压有一定程度下降，产生泄露能量${E}_{{\rm{l}}}$。过大的预击穿时延${t}_{{\rm{del}}}$导致产生较多的泄露能量，泄露能量${E}_{{\rm{l}}}$可表示为

其中，电容初始储能${E}_{{\rm{c}}}=C{U}_{{\rm{0}}}^{2}/2$，$ {U}_{0} $为电容初始电压；击穿时刻储能电容能量${E}_{{\rm{b}}}=C{U}_{{\rm{b}}}^{2}/2$，${U}_{{\rm{b}}}$为击穿时刻电容电压。

电弧击穿阶段是指等离子体通道流柱的形成、发展，直到连通电极间隙至击穿的过程。在电场存在时间足够长的情况下，预击穿阶段的“气化-电离”循环过程在较弱场强下形成流柱，流柱以超音速或亚声速向另一电极发展^[7]，形成初始电弧直至电极间隙被击穿，电极间隙间建立起等离子体通道。国防科技大学王一博^[8]通过建立放电过程的数值模型并结合实验验证了击穿时刻需要满足以下两个条件：边界沸腾（指边界水的温度达到某个临界值时，水分子获得足够的动能来克服彼此之间的氢键，从而较为容易地实现气化并进入跨接两电极的初始电弧。）即等离子体通道温度大于773 K；剩余电压足够（边界沸腾时，间隙电场能够将边界水转换为电弧。）即电极间隙场强大于8 kV/cm。

主放电阶段是指从电弧击穿阶段形成电弧到产生冲激波和放电电流的过程。电弧在外在电路高场强的持续加持下，电容中能量迅速注入等离子体通道，转换为通道沉积能量。通道沉积能量促使电弧加速向外膨胀挤压通道的水介质，因介质难压缩性而产生强激波，同时还伴有光、声辐射等现象，由于光辐射能量、声辐射能量占通道沉积能量比重较小，通常可忽略不计^[9]。因此，等离子体通道能量平衡表达式为

其中，${E}_{{\rm{ch}}}$为通道沉积能量，${E}_{{\rm{in}}}=\dfrac{P{V}_{{\rm{ch}}}}{\gamma -1}$为通道内能^[10]，${E}_{{\rm{w}}}$为冲激波能量；绝热系数$ \gamma =1.3 $，p为等离子体通道内部压强，${V}_{{\rm{ch}}}$为等离子体通道体积。

水下等离子体冲激声源外部放电回路的等效电路图如图1所示，C为储能电容，L为回路电感，R为回路电阻，则等效回路的微分方程

其中，$i\left({t}\right)$放电电流，$ {U}_{C}\left(t\right) $储能电容电压，${R}_{{\rm{ch}}}$等离子体通道电阻，R、L分别为回路电阻和电感。

由于等效电路为RLC电路，使得整个电路欠阻尼振荡。通过求解上述等效回路微分方程式(3)可得放电电流$i\left({t}\right)$表达式

其中，$\mathrm{\tau }=\dfrac{2L}{{R}_{{\rm{ch}}}+R}$，$\mathrm{\omega }={\left( { \dfrac{1}{LC}-\dfrac{1}{{\tau }^{2}} } \right)}^{1/2}$。

水下等离子体放电实验系统原理如图2所示，主要由充电系统、放电系统及测量系统组成。充电系统：采用调压器T1连接升压变压器T2，由硅堆D整流为直流高压向储能电容C充电。放电系统：当充电电压达到某一设定值时，触发真空开关TVS(Triggered Vacuum Switch)使其导通，电容C储存能量瞬间施加至放电电极间隙，开始放电。测量系统：采用高压探头（Tektronix P6015A）和电流探头（Pearson 1330）测量电极间隙两端的放电电压和电流波形，采用PCB压力传感器（型号：W138A01）测量冲激波波形，放置于距电极间隙中心水平距离D为8 cm处，利用示波器同步记录放电过程的电压、电流和冲激波波形。

该实验放电电极为针-板电极，电极间隙5 mm，放置在装有自来水的不锈钢桶中。实验充电电压${U}_{{\rm{c}}}$为20 kV，储能电容C为15 μF。

水下等离子体放电实验得到的典型电压、电流、冲激波形如图3所示。由电压波形可以看出，阶段Ⅰ为水中等离子体放电的预击穿和电弧击穿阶段（0~190 μs），阶段Ⅱ为主放电阶段（>190 μs）。由于击穿过程用时较短，无法从实验结果波形图上分别得到具体的预击穿时间和击穿时间。在击穿后15 μs，放电电流达到首峰值25 kA，放电电流、电压均呈现二阶振荡衰减现象，由PCB压力探头实际测量到的冲激波首峰值为5 MPa。

根据实验系统在多物理仿真软件Comsol Multiphysics中进行建模和数值模拟，由于结构对称采用二维建模。其中阳极为长10 mm、直径1 mm的不锈钢针，阴极为直径2 mm、厚度1 mm的不锈钢圆板。水下等离子体放电外回路等效为RLC电路，电路输出端分别接阳极和阴极，实验所采用15 μF的储能电容结合实验放电电流波形，可计算出放电电路等效电感为8 μH，等效电阻为100 mΩ。

在进行物理场设置时，将水中设置为电流场和流体传热场，多物理场选择电磁加热耦合，进行瞬态模拟计算。由于实验为集中加热，因此需要将水箱壁设置为热绝缘，温度为参考温度273.15 K，环境压强101325 Pa^[11]。构建上述电极结构及放电环境，根据柱状通道模型仿真得到温度、电势，从而分析水下等离子体冲激波特性。

在放电过程中遵循电流场与流体传热耦合中的基本规律，主要考虑水中热传导和电流焦耳加热所引起的改变^[12]，不考虑水自身所产生动量即u=0。

电场方程

热力学方程

其中，电流密度J，电荷密度${Q}_{{\rm{j.v}}}$，电导率$ \sigma $，真空介电常数$ {\varepsilon }_{0} $，相对介电常数${\varepsilon }_{{\rm{r}}}$，电场强度E，电势V，密度$ \rho $，恒压热容${C}_{{\rm{p}}}$，温度T，热通量$ q $，导热系数k，电损耗${Q}_{{\rm{rh}}}$。

水下等离子体放电击穿时刻的温度和电势分布图如图4所示，在t=181 us时温度达到774 K、电极间隙场强为39.8 kV/cm，满足上文中所提到的击穿条件：边界沸腾即通道温度大于773 K，剩余电压足够即电极间隙场强大于8 kV/cm。

水下等离子体冲激波实验测量和数值仿真得到的放电电流、冲激波形如图5所示，等离子体冲激波特性实测与仿真分析结果如表1所示。

通过对比图5、分析表1可知，仿真的预击穿时延${t}_{{\rm{del}}}$小于实测结果，是因为实测结果将预击穿和击穿时间总和在一起，但不能盲目将二者结果作差得到击穿过程用时。冲激波强度峰值${P}_{{\rm{rpeak}}}$实测结果偏低，是因为数值仿真过程中忽略了光、声辐射能量等外界环境因素的影响；且仿真计算中仅考虑了冲激波首波，未考虑实际放电中产生的二次波、及水箱壁反射波叠加等现象，造成仿真与实测冲激波形仅在首波峰处有较好的吻合。在仿真中将等离子体通道假设为理想柱状模型，导致放电电流有细微差异。预击穿时延、放电电流及冲激波峰值的仿真结果均与实测数据高度契合，为之后冲激波特性影响因素的仿真计算奠定一定的理论基础。

在剧烈放电过程中，由于粒子间的库仑力和收缩效应，采用修正的气体状态方程来描述等离子体通道内压强p^[13]。

其中，真空磁导率${\mu }_{0}=4 {\text{π}} \times {10}^{-7}\; \mathrm{H}/\mathrm{m}$，真空介电常数${\varepsilon }_{0}=8.85\times {10}^{-12}\; \mathrm{F}/\mathrm{m}$，单位电量$ e=1.6\times {10}^{-19} \; \mathrm{C} $，玻尔兹曼常数$ k=1.38\times {10}^{-23} \; \mathrm{J}/\mathrm{K} $，T为等离子体通道温度，n为粒子数密度，I为通道电流。

因此，距离放电电极间隙中心水平D处的冲激波强度为

其中，a为通道半径。

由质量守恒方程可知通道粒子数密度n如式(13)。

式中，斯蒂藩辐射常量${\sigma }_{{\rm{B}}}=5.6705\times {10}^{-8}\; \mathrm{W}/({\mathrm{m}}^{2} \cdot {\mathrm{K}}^{4})$，水分子潜热${\varepsilon }_{{\rm{v}}}=2.54\times {10}^{-20}\; \mathrm{J}$，辐射系数f=0.3。

等离子体通道内压强p与通道粒子数密度n时间特性如图6所示，随放电开始电容储存能量瞬间释放，通道内部压强急剧增大到峰值51.08 MPa，同时通道对外做功压强减小，随后使之呈指数衰减；粒子数密度数量级可达$ {10}^{27 } \; {\mathrm{m}}^{-3} $，预击穿阶段温度迅速上升使周围水介质加热气化、分解和电离，粒子数密度迅速增大，同时由于通道快速膨胀，也会导致粒子数密度减小，因此粒子数密度会出现峰值$ 1.62\times {10}^{27 } \; {\mathrm{m}}^{-3} $，之后也会呈指数形式衰减。

水下等离子体放电过程中，预击穿时延影响由泄露电流引起的泄露能量，电弧击穿阶段的放电电流是决定通道沉积能量的关键因素之一，从冲激波强度峰值可分析冲激声源所产生能量的大小。改变储能电容的充电电压，预击穿时延${t}_{{\rm{del}}}$、放电电流峰值${I}_{{\rm{m}}}$及冲激波强度峰值${p}_{{\rm{rpeak}}}$的仿真结果如图7、8所示。随着充电电压的增大，预击穿时延减小、放电电流和冲激波强度均增大。这是因为放电电压的增大，引起放电电极场强增大易于击穿，加热过程加快。

放电电流$ i\left(t\right) $与等离子体通道电阻${R}_{{\rm{ch}}}$共同决定通道沉积能量大小，影响冲激波特性。通道电阻时变模型如下^[14]

其中，l为通道长度，电导率$ {\sigma }_{\mathrm{c}}=1.411\times {10}^{-2}\times {T}^{3/2}\times {e}^{-5000/T} $，$ a\left(t\right) $为通道半径。

通道电阻随充电电压变化如图9所示，当放电电流达到首峰值时，通道电阻降至很小值并趋于稳定，且随着充电电压的增大，通道电阻减小。这是因为在预击穿完成之后，放电电极间隙形成柱状的等离子体通道，等离子体通道初始电阻较大，随着剧烈放电的开始，放电电流迅速增大，通道温度与压强的急剧增大会导致通道电导率上升、半径增大，从而使通道电阻急剧变小。

在外电路参数不变的情况下，泄露能量${E}_{{\rm{l}}}$和通道沉积能量${E}_{{\rm{ch}}}$是影响最大冲激波强度和冲激波能量${E}_{{\rm{w}}}$的重要因素，三者的表达式分别为^[15]

其中，${P}_{{\rm{c}}}$间隙注入功率，${P}_{{\rm{r}}}$冲激波，D为PCB压力传感器与电极间隙中心水平距离，$ {\rho }_{0} $=1000 $ \mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{3} $为液体密度，${c}_{{\rm{s}}}= 1 \; 500 \; \mathrm{m}/\mathrm{s}$为水中声速。

不同电容充电电压下的泄露能量、通道沉积能量及冲激波能量的变化趋势图如图10所示，${E}_{{\rm{ch}}}$、${E}_{{\rm{w}}}$随着充电电压的增大而增加，${E}_{{\rm{l}}}$反之。其中，冲激波能量${E}_{{\rm{w}}}$以近乎稳定的斜率线性增长；通道沉积能量${E}_{{\rm{ch}}}$上升斜率逐渐减小，泄露能量${E}_{{\rm{l}}}$下降斜率逐渐减小，且按此趋势推测之后的通道沉积能量与泄露能量可能与充电电压大小无关。

在电容充电电压20 kV时，外电路注入至电极液体间隙的功率、沉积至等离子体通道的能量、冲激波形及冲激波能量的对应关系如图11所示。注入功率峰值为7.85 MW，沉积到等离子体通道的能量253.4 J；通道沉积能量主要用于3个方面：通道内能、冲激波能量、对外辐射能量（光、声辐射等能量）。冲激波幅值为5.08 MPa，根据冲激波形可求出冲激波能量117 J，占通道沉积能量的46.2%。

在水下等离子体放电过程中，存在一定程度的能量损耗，能否得到较高的能量利用率也是需要进一步考虑的问题。将外电路注入能量向冲激波能量的转换效率定义为$ {\eta }_{1} $，通道沉积能量向冲激波能量的转换效率定义为$ {\eta }_{2} $。

其中，${E}_{{\rm{w}}}$为冲激波能量，${E}_{{\rm{c}}}$为电容初始储能，${E}_{{\rm{ch}}}$通道沉积能量。

转化效率$ {\eta }_{1} $、$ {\eta }_{2} $随电容充电电压的变化趋势如图12所示，电容充电电压15 kV时，$ {\eta }_{1} $为4.43%、$ {\eta }_{2} $为42.36%；电容充电电压25 kV时，$ {\eta }_{1} $为3.45%、$ {\eta }_{2} $为58.06%；由于充电电压的增大，外电路注入能量增加速率大于冲激波能量增加速率，冲激波能量增加速率大于沉积能量增加速率，导致$ {\eta }_{1} $随电压的增大而减小，$ {\eta }_{2} $反之。

电容充电电压的变化会影响冲激波特性，不同的冲激波特性导致水下冲激声源的工程应用不同。结果表明，随电容充电电压增大，预击穿时延减小，放电电流首峰值和冲激波强度峰值增大，通道电阻减小，泄露能量减小，通道沉积能量及冲激波能量均增大，外电路注入能量向冲激波能量的转化效率$ {\eta }_{1} $减小，通道沉积能量向冲激波能量的转换效率$ {\eta }_{2} $增大。当充电电压从15 kV提高到25 kV，冲激波强度峰值增大了31.9%，激波能量增大了53.8%，但外电路注入能量向冲激波能量的转化效率降低了28.4%。

通过对冲激波强度峰值、冲激波能量及能量转换效率等各方面综合考虑，电容充电电压并非越高越好。虽然较高的充电电压会产生较短的预击穿时延、较低的泄露能量、较高的冲激波强度和激波能量，但外电路注入能量向冲激波能量的转化效率却较低。因此，从能量利用率及经济效益等方面综合考虑，需根据不同的实际工程应用确定最佳的电容充电电压。