因为所研究的放电腔室具有对称的特点，故采用二维旋转的方法构建模型，如图1所示，二维镜像模型右半部分。潘宁离子源由一对双阴极和一个阳极筒以及三组亥姆霍兹线圈组成，这种线圈的大小相同，共用一个中心轴且半径与相邻两线圈之间的距离相等，通入方向相同、大小相等的电流可在中心轴产生较均匀磁场。离子源腔室充入一定气压的氩气。在计算模型中阳极筒半径R为0.03 m，高0.03 m，两阴极之间距离为0.23 m，阳极到上阴极的距离d₁为0.06 m，到下阴极距离d₂为0.14 m。在放电腔室中，中性气体与电子之间有激发、弹性碰撞、电离等反应。放电腔室充入气体为氩气，氩气放电反应模拟过程中考虑的主要反应类型如表1、表2所示，其中e为电子，Ar为氩原子，Ars为激发态氩原子，Ar⁺氩离子。

在计算模型中描述等离子体的方程有以下：

(1) 电子连续性方程：

上式中$ n_{\mathrm{e}} $为电子密度，$ {\varGamma }_{{\mathrm{e}}} $为电子流矢量，$ R_{\mathrm{e}} $为电子源项，$ u $为中性流体速度矢量。$ D_{\mathrm{e}} $为电子扩散系数。

(2) 电子能量守恒方程：

上式中为$ {n}_{\text{ε}} $电子能密度，$ \mathit{\Gamma}_{\text{ε}} $为电子能流矢量，$ S\mathrm{_{en}} $为非弹性能量损失，$ Q $为外部热源，$ Q_{\mathrm{gen}} $为广义热源，$ D_{\mathrm{en}} $为电子能扩散密度。

除以上反应方程外，还需要对腔室内部边界条件进行定义，即对磁场强度、阳极筒电压、气体压强、温度等相关参数进行设置。本文中通过改变阳极电压，磁场强度，气体压强等参数来进行研究分析。

如图2所示，利用有限元仿真软件自带的网格划分工具对模型进行网格划分。在本研究中计算域主要采用自由三角形网格，由于研究时采用稳态与频域-瞬态两种方式进行综合计算，故对稳态计算域的网格划分较稀疏，对频域-瞬态的计算域的网格划分较密，这对节约计算时间和内存非常有利。此外，对三电极的边进行网格细化剖分。

为了给放电腔室轴向提供均匀稳定的磁场，在腔体壁外套上三组亥姆霍兹线圈，再通入大小、方向均相同的电流，探究轴向磁感应强度分布特征。如图3所示，通过对磁通密度模进行仿真可以看出磁场强度汇集在三组线圈之间，其内部磁场密度模在三组线圈共有的轴向上比较均匀，可近似成匀强磁场，根据毕奥-萨伐尔定律通过积分运算可知载流线圈的磁场强度如式（5）所示：

式中$ {\mu }_{0} $为真空磁导率，$ {n}_{0} $为线圈匝数，$ R $为线圈等效半径，$ X $为中心轴上某一点到圆心的距离。所以在双阴极之间会形成平行于中心轴的匀强磁场，使电子围绕中心轴做复螺旋运动，提高电子的电离率。此外，此匀强磁场还可以给放电腔室提供磁绝缘。

设阳极电压为2 kV，磁场强度为0.4 T，气体压强为2×10⁻³ Torr时，电子密度分布随时间变化趋势如图4所示。随着时间的增加，电子会更多地向阳极中心靠近，稳定后电子绝大部分会聚集在阳极筒内部，在阳极筒中心达到峰值，其余电子在双阴极之间形成电子通道，其密度远远低于阳极周边的电子密度。轴向电子温度随时间变化如图5所示，刚开始放电时一次电子在阳极附近的动能最大，在此处发生碰撞电离的次数最多，电离出来的二次电子和离子最多，随着放电时间的增加，一次电子动能和数量减少，二次电子增多，二次电子受到电场力的影响动能增大，当稳定放电后阳极附近的电子动能最小，没有足够的动能使其离开阳极附近，故绝大部分电子会聚集在阳极筒内部。

设置气压为2×10⁻³ Torr，阳极筒中心磁场为0.4 T，在阳极施加五个电压值为1.2 kV、1.4 kV、1.6 kV、1.8 kV、2 kV。如图4所示，由于稳定后阳极内部中心的电子密度高出其它位置4-5个数量级，故此处的电子密度的多少即可代表电离度的大小。对此处在不同电压下的电子密度做仿真研究。

阳极电压对电子密度影响如图6所示。由图可知当阳极电压从1.2 kV升至1.6 kV时，电子密度逐渐升高，但从1.6 kV升至2 kV时，电子密度会降低。为进一步探究电压对电离度的影响，再对阳极内壁电子温度仿真如图7所示，电子温度随阳极电压升高而升高，结合电子运动分析可知：一方面轴向电子在电场力的作用下从阴极往阳极运动穿过阳极环做加速运动，并且在惯性作用下继续往另一阴极运动，在此过程中电子受到反向电场力作用做减速运动，速度降为零后做反向加速运动，过了阳极之后再次减速，速度减为零后重复以上运动过程，这使电子在双阴极之间做往复运动。另一方面设电子速度为将其分解为垂直于中心轴方向的分量和平行于中心轴方向的分量。其中不受磁场强度影响，而受电磁场的影响使得电子在绕中心轴做圆周运动，其运动半径如式6所示。

式中m为电子质量，q为电子电荷量，B为磁感应强度。当磁场一定时，阳极电压升高，径向电场强度增大，电子随着电场强度增大，V_x逐渐增大，旋转半径R增大。上述两方面增大了电子在腔室中的运动路径，大于其气体分子的平均自由程，继而发生碰撞电离产生二次电子，提高了电离度。但当阳极电压大于1.6 kV时，电子会因为运动半径R过大而还未与氩原子发生碰撞电离就与阳极筒碰撞，这使得阳极内壁的电子温度随着阳极电压的升高而增大，导致电离出的电子减少。

由于上阴极放电后会将电子加速发射到下阴极上，故中心轴到阳极之间的电子分布是否均匀将直接影响电子束能量的均匀程度。在阳极壁和中心轴之间选取一条直线即图1中红线，研究电子在该线即阳极环径向上的分布状况和阳极电压对电子分布的影响。

如图8所示，电子在径向上的分布并不均匀，从中心轴到阳极，电子密度逐渐降低，且下降幅度很大，相差达到4个数量级。此外阳极电压的变化只会改变电离出的电子密度，并不会对电子在径向上的分布产生影响。

设置阳极电压为2 kV，气压不变，取不同的阳极筒中心磁场强度分布为0.1 T、0.4 T、0.7 T、1 T、1.3 T，研究不同磁场强度下的电子密度及分布。

如图9所示磁场强度从0.1 T上升到0.7 T时，电子密度在阳极筒附近的密度呈上升趋势。从0.7 T到1.3 T时，电子密度逐渐降低。根据式6可知，磁场强度增大时，电子做螺旋运动的半径$ R $将会减小，使原本因为磁场较小而撞击在阳极内壁湮灭的电子在运动时避开阳极，继续与气体发生碰撞电离，此时原本会撞击阳极的电子虽避开阳极，但离阳极很近，$ {V}_{x} $较大,电离率提高。当磁场强度为从0.7 T升至1 T时，$ R $继续减小，电子会远离阳极运动，$ {V}_{x} $减小，电离率减小，当磁场强度从1 T升至1.3 T时，电子距离阳极更远，此时阳极对电子的影响减小，$ {V}_{x} $的变化很小，电子主要受磁场作用，磁场增大并不会改变电子的运动路径，故电离率基本没有变化。再对红线上电子分布做仿真，研究磁场强度对径向电子分布的影响如图10所示。

如图10所示，径向上电子分布也并不均匀，其电子密度相差也达到了4个数量级，且磁场强度的变化对并不能改变电子在径向上的分布趋势，这与阳极电压对电子分布的影响类似。

设置阳极电压为2 kV 磁场强度为0.4 T，选取七个气压值：2×10⁻⁴ Torr、4×10⁻⁴ Torr、6×10⁻⁴ Torr、8×10⁻⁴ Torr、1×10⁻³ Torr、1.2×10⁻³ Torr、1.4×10⁻³ Torr。研究不同气压下的电子密度及分布。

如图11所示，随着气压的上升，电离出的电子密度持续升高，且仅提高少量气压就能使电子密度出现较大改变，这表明电离度对气压的变化非常敏感，对于腔室内的电子与气体分子发生碰撞电离，单位时间内产生的离子数目为：

式中$ J\mathrm{_e} $为离子流密度；$ \sigma $为碰撞截面；$ {n}_{0} $为中性气体分子密度，$ {n}_{0}=P/KT $。根据式7分析可知，气压提高，单位体积内的中性气体分子数增加，中性气体分子平均自由程减小，电子与其发生碰撞电离的概率提高，程度更剧烈，使得单位时间内产生的离子增多，提高电离效率。

再对红线上电子分布做仿真，研究气压对径向电子分布的影响如图12所示。

如图12所示，随着气压的降低，径向电子分布逐渐均匀。气压为2×10⁻⁴ Torr时，径向电子分布最均匀，最高点与最低点相差不超过1.5849 m⁻³，此时电子虽然在磁场的约束下向中心轴运动，但是因为气压较低，气体分子的平均自由程较大，径向上每一处电子在运动过程中与其发生碰撞电离的概率都大致相同，这使得电子在径向上的分布更均匀，但气压不能过低，若气压过低电子会因为运动路径小于中性气体分子平均自由程而不发生碰撞电离。相对于阳极电压和磁场强度，气压对径向电子分布有明显影响，即气压越低，径向电子分布越均匀。

本文基于有限元仿真软件对强流脉冲电子束中磁场分布，潘宁放电电子密度及分布进行仿真研究，结果表明：

(1)潘宁放电稳定后绝大部分电子聚集于中阳极筒内部。在较高气压等级下，当磁场强度为0.4 T时，阳极电压越大，电离度越高；当阳极电压超过1.6 kV时，电离度反而降低。当阳极电压升为2 kV时，磁场强度增大会提高电离度，在0.7 T时电离率达到峰值，提升到1 T时电离率有所下降，之后继续提升磁场强度不会影响电离率。

(2)潘宁离子源中阳极电压与磁场强度的变化几乎不影响电子在径向的分布。

(3)不同于电压和磁场，气压的改变会改变电子分布，即气压越低，分布越均匀。气压为2×10⁻⁴ Torr时，径向上电子分布最均匀。且随着气压增高，电离度也会提高。相比于阳极电压和磁场强度，电离度对气压的变化更加敏感。