本文的数学模型主要包括基于局部场近似的电子和离子漂移扩散方程。在流注传播的极短时间尺度上复合反应可以忽略。则电子数密度n_e、正离子数密度n_p和负离子数密度n_n随时间变化可以表示为：

其中，n表示各种粒子的数密度，下标e、p和n分别表示电子、正离子和负离子，μ表示带电物质的迁移率，D是带电物质的扩散系数，E表示电场强度，t为时间，α为汤生电离系数，η为电子附着系数，S_ph为光电离源项。电场强度E通过以下泊松方程求解。

其中，V为电势，ε₀为真空介电常数，e为元电荷。

在流注形成过程中光电离现象占有重要影响，但是目前CO₂流注过程中光电离相关实验数据非常少^[17]，在本文中参考Zheleznyak的空气光电离模型^[18]对CO₂流注放电光电离过程进行计算。假设电离光子不发生散射并且各向同性的分布，则光电离源项为：

其中，I(r')是电离光子源项，f(|r−r'|)是电离光子的吸收项，4π|r−r'|²是几何因子。电离光子源项正比与电离源项：

其中，p_q/(p+p_q)为考虑激发态碰撞淬灭的因数，p为气体压力，p_q为激发态气体压力，在这里取为40 mbar。气体流注放电头部光电离比例因子$ \xi $与场强有关^[18]，需要从实验中获得。但是CO₂流注放电的光电离比例因子几乎没有实验结果可以参考^[17]。为简便起见，此处参考空气放电设为0.05。电离源项$ S_i=\alpha\mu\mathrm{_e}n\mathrm{_e}\boldsymbol{E} $。电离光子的吸收项f (|r−r'|)采用Bourdon三项拟合参数来计算^[19]。

CO₂等离子体包含大量反应，主要可以分为电子碰撞反应和各种粒子之间的化学反应过程。其中化学反应通常反应特征时间较长。在等离子体流注产生过程中，仅关注电子碰撞相关的反应即可以得到碰撞激发、离解、电离和电子吸附等重要反应的信息。在实际放电中，CO₂通过各种途径解离形成CO、O、O₂等物质，也会有相应的电子碰撞反应，但是在流注放电的快速过程中，这些生成物通常占比较小，对整体的电离系数影响较小。本文在模拟CO₂流注时，考虑表1中的电子碰撞反应，数据取自IST-Lisbon数据库^[20]。

在局部场近似下，μ_e、D_e、α和η都随着局部电场强度变化。使用BOLSIG+^[21]和CO₂碰撞截面^[20]进行计算电子的输运系数和反应速率，如图1和图2中所示。离子迁移率设置为2×10⁻⁴ m²/(V·s)。所有速率均在300 K下基于非麦克斯韦分布计算得到。

本文中模拟对象为一针−板式放电结构，如图3所示，放电区域为16 mm×30 mm，采用轴对称结构计算。其中针电极直径为1 mm，针电极到平板电极距离25 mm。图3中标注了r轴和z轴方向，其中r=0 mm的位置为对称轴，z=0 mm的位置为平板电极的上表面。所有计算在室温300 K下进行计算。计算区域中，电压边界条件设置如下：针电极为外加电压V_app；平板电极接地即电压为0 V；计算区域两侧边界处采用0电荷边界条件，即$ \mathbf{n}\cdot \nabla V=0 $，这里n为单位法向量。物质边界条件设置如下：在各边界上各物质密度梯度均为0。本计算采用Afivo-streamer软件基于有限体积法进行求解计算。网格采用基于Afivo框架自适应优化的四边形网格，在变量变化不大的位置网格较粗。随着计算的进行，当计算参量梯度较大时，网格自适应优化加密，如图4所示，其中最小网格的特征尺寸为3 μm。自适应时间步进允许求解器根据需要采取更大或更小的时间步长。本文中最大和最小时间步长分别为10⁻⁹~10⁻¹³ s。计算结果每0.2 ns输出一次。

对空气或N₂在大气压下的流注放电已经进行了广泛的研究，但是对于CO₂的流注发展计算研究较少。在本文的模型中，针电极与平板电极距离为25 mm。当V_app为−60 kV 或 60 kV时，计算针电极与平板之间的平均电场强度 E_ave=2.4×10⁶ V/m。当放电气压为1 atm时，平均约化场强为E/N_ave约为97 Td。对比图2，当约化场强小于100 Td时，α<η，即电子碰撞电离过程小于电子吸附过程，该场强难以维持流注放电。在本例中，针电极尖端曲率半径较小，使尖端场强很高，从而实现最初的尖端放电过程。如图5所示，在0 ns时针电极尖端附近电场强度可以达到1.38×10⁷ V/m，约化场强达到560 Td，此时电离系数α远大于电子附着系数η，流注可以在尖端发生。

在流注内部，正负电荷的数密度几乎相当，因此流注内的电场强度非常小，此时电压主要加在流注外缘到平板电极之间。由于流注逐渐膨胀，使得流注外缘曲率半径逐渐变小，在此过程中电场强度会出现下降趋势。如图5(a)和图5(b)中2.6 ns时刻所示，流注头部约化场强降到最小值为1.18×10⁷ V/m和9.93×10⁶ V/m，即478 Td和402 Td。随后随着流注进一步前进，逐渐压缩头部与平板电极的距离，头部的场强逐渐增大。如图5(a)和(b)所示到4 ns时，V_app为−60 kV 或 60 kV情况下流注头部场强又开始增大达到1.19×10⁷ V/m和1.04×10⁷ V/m，即482 Td和433 Td。此后随着时间推移，流注头部场强会继续增大。从图中可见，相同时间负流注扩展空间略大于正流注空间。这是由于等离子体中电子扩散速率远高于离子，负流注前进时边缘处电子受电场影响可以以更快的速度向前移动，促进了流注的扩展。

图5(c)中 V_app为−30 kV，在0 ns时针电极尖端附近电场强度可以达到8.15×10⁶ V/m，约化场强达到330 Td，此时放电过程也可以在尖端发生。随着等离子体区域扩展，边界处曲率半径下降，导致流注头部的场强也开始快速下降。在2.6 ns时流注头部场强降至6.72×10⁶ V/m，即272 Td，随后该场强持续下降。至50 ns时，整个放电区域中最大场强仅为2.65×10⁶ V/m，即107 Td。此时的约化场强无法维持流注头部进一步形成电离并前进，等离子体只会保持在尖端附近。

图6为4 ns时不同外加电压轴线上电场强度。从图中可见，在等离子体内部电场强度很小，在靠近平板电极的区域电场强度也几乎是均匀的，仅在流注的头部电场强度有极大值。只有当头部电场强度足够大时，流注前端气体才会不断发生电离。整体而言，不管是正流注还是负流注，其场强的最大值都随着外加电压的增大而增大。相同时间，负流注的扩散空间要领先于正流注，同时负流注场强的最大值要略小于正流注。

图7为不同放电气压放电空间轴线上电场强度。从图中可见，对于正流注，放电气压增大会显著减小场强的最大值。但是对于负流注而言，由于其扩散速度较快，在本例中气压增加的范围内，气压对于流注的扩散影响并不大。

通过对比电子的时空分布可以清楚看到CO₂流注放电的发展过程。图8中画出了V_app分别为60 kV和−60 kV时流注中电子的时空分布。如图8所示，流注在发展过程中，电子数密度最大值总是集中在流注的头部，并且随着时间发展电子数密度逐渐增加。如图5中所示，流注放电前进时仅有头部能形成较大场强，因此整个流注中头部电子会由于电离过程逐渐累积。图8(a)中，当达到8 ns时流注头部电子数密度达到2.02×10²⁰ m⁻³，相同时间负流注中的电子密度总是略小于正流注。

图9中给出了不同电压下流注轴线上正离子空间分布。本文采用的算法将CO₂等离子体过程用电离系数和附着系数来描述，所以这里算出的正离子在实际过程中CO₂⁺。总体上正离子轴线上的分布可分为三个部分，即在流注以外的区域，正离子数密度非常低；在流注内部区域正离子数密度非常高，也比较稳定几乎不发生变化；在流注锋面上，正离子浓度发生快速变化。如图9所示，在流注锋面大约1~2 mm范围内，正离子数密度在锋面上可以快速上升，从10¹⁵ m⁻³增加到10¹⁹ ~10²⁰ m⁻³。图9(b)中，V_app为−60 kV时流注前进速度较快，在8 ns时流注已经撞击平板电极表面，形成电极之间的直流放电，此时正离子数密度在平板电极表面达到最大值2.1×10²¹ m⁻³。

在流注前端锋面上，电子、正离子和负离子会发生电荷分离，这个位置正对应电场强度最大的位置。图10(a)中，正流注锋面上净电荷密度在放电之初可以达到1.2 C/m³，随后随着时间推移下降约降到0.5 ~ 0.6 C/m³。图10(b)中负流注锋面上净电荷密度在放电之初可以达到−0.8 C/m³，2 ns后该值降为约−0.5~−0.6 C/m³，在随后的时间中几乎不再发生变化。在流注锋面上电子总是被拉向高电位。在正流注中电子从锋面上产生然后拉入流注内部，锋面上产生电离的初始电子总是来自空间中的背景电子。负流注锋面上电子会被拉向流注边缘，产生电离的初始电子总是来自流注头部电子。由于离子的迁移率远低于电子，所以电子扩散主导的负流注前进速度更快，空间净电荷密度也更快达到稳定值。图10(b)中，8 ns时流注已经撞击平板电极，整个空间中充满了直流放电等离子体，电场强度在任何位置都不会很高，因此空间净电荷密度都较小，仅在等离子体鞘层中存在小范围的电荷分离区域。

在图10的两张图中，在右侧靠近针电极附近还有一个电荷分离区。产生这个区域是因为在最初的放电时间内，电子被拉向高电位，负流注中原地留下了产生的离子，而在正流注中原地留下产生的负离子。离子的迁移率远低于电子，在这么短时间内没有时间漂移，于是在电极附近形成该电荷分离区域。

图11对比了4 ns时不同放电电压下流注轴线上电子空间分布。正负流注中的电子密度总是随着外加电压V_app的绝对值增加而增加。对于正流注，外加电压V_app从45 kV增加到75 kV，4 ns时流注中电子数密度最大值从4.85×10¹⁹ m⁻³增加到1.33×10²⁰ m⁻³。在负流注中电子数密度增加幅度更大，当外加电压V_app从−45 kV增加到−75 kV，4 ns时流注中电子数密度最大值从1.49×10¹⁹ m⁻³增加到1.28×10²⁰ m⁻³。流注的扩散范围会随着外加电压V_app增加而显著增加。作者将在下一节中讨论流注的前进速度。

在本文CO₂流注放电中，气压从0.5 atm增加到1.5 atm时对流注的影响并不大。图12截取了放电空间15 ~ 25 mm空间，对比了4 ns时放电气压对流注轴线上电子空间分布的影响。总体而言，当放电气压较低时，流注扩散范围略宽。同时电子数密度会随着放电气压的降低而增加。气压对正流注的影响更为显著。

根据流注头部锋面位置可以计算轴线上流注速度。取计算区域轴线上不同时间流注头部锋面位置z_streamer，计算流注速度v_streamer=−dz/dt。图13显示流注速度随着外加电压的增大而快速增大。

流注在前进过程中，其锋面前进的速度大致可以分为三个阶段，在放电之初（如图13中所示I）流注速度快速增加，随后在一段较长时间内（如图13中所示II）流注速度保持较慢提高，最后流注靠近平板电极时（如图13中所示III）其速度会快速增大。以±75 kV外加电压流注为例，在0.2 ns流注速度从0 mm/ns增加到2.7 mm/ns，在随后的2.3 ns内速度缓慢增加到3.9 mm/ns，在靠近平板电极时仅用1.6 ns流注速度就增加到12.7 mm/ns。在放电初始阶段I，负流注总是明显快于正流注。在随后速度缓慢增加的第II阶段中，当外加电压为±75 kV时，负流注速度比正流注速度快。当外加电压为±60 kV时，负流注速度与正流注速度接近。当外加电压为±45 kV时，负流注速度最终小于了正流注速度。在速度快速增加的第III阶段中，除了−45 kV的负流注速度较慢，其他情况下负流注速度均高于正流注速度。

图14对比不同放电气压下，轴线上流注的前进速度。气压升高时，电子的平均自由程缩短，从电场中获得的能量下降，从而降低了电离效率，进而流注前端前进速度也会下降。如图14所示，正负流注中流注速度会随着气压上升而下降。其中0.5 atm和1 atm工况流注速度下降幅度较小。当放电气压达到1.5 atm时正负流注的速度都有明显下降。

对CO₂放电过程进行建模研究可以有助于理解CO₂等离子体反应，并有助于进行反应器的相关设计。CO₂等离子体中存在大量电子碰撞反应和化学反应，尤其是对放电早期阶段的流注放电过程，对其进行深入仿真相当困难。在本文中建立了针−平板电极非均匀电场模型，研究了外加电压、放电气压等参数对CO₂流注中的空间场强变化、流注中荷电粒子分布、流注速度等参数的影响。本研究有助于深入理解CO₂等离子体利用技术中流注的形成过程。通过数值计算得到CO₂流注形成过程中的以下特征。

（1）针电极结构形成非均匀电场，在尖端形成较大约化场强从而促进CO₂流注在尖端产生。当流注形成后，随着时间推移，流注头部场强会继续增大。相同时间负流注扩展空间略大于正流注空间。放电气压增大会显著减小正流注场强的最大值。但是对于负流注气压对于流注的扩散影响并不大。

（2）电子数密度最大值总是集中在流注的头部，并且随着时间发展电子数密度逐渐增加。相同时间负流注中的电子密度总是略小于正流注，总是随着外加电压V_app的绝对值增加而增加，并随着放电气压的降低而增加。CO₂⁺浓度发生快速变化。在大约1~2 mm范围内，CO₂⁺数密度在锋面上可以快速上升，从10¹⁵ m⁻³增加到10¹⁹ ~10²⁰ m⁻³。在流注前端锋面上，电子、正离子和负离子会发生电荷分离。

（3）流注速度随着外加电压的增大而快速增大。流注在前进过程中，其锋面前进的速度大致可以分为三个阶段，在放电之流注速度快速增加，随后在一段较长时间内流注速度保持较慢提高，最后流注靠近平板电极时其速度会快速增大。放电气压增加会使流注速度下降，这一点对正流注的影响更为显著。