拓扑绝缘体起源于量子波动系统, 因其具有奇异的物理特性首先在凝聚态物理领域中引起广泛的关注^[1,2]. 近年来, 拓扑绝缘体的研究逐渐被拓展到经典波领域, 并已在弹性和声学系统中成功进行理论预测和实验实现^[3,4]. 声子晶体和声学超材料是一种具有人工周期性结构并能够随意调控弹性波和声波传播的材料, 已在减振、降噪、超声无损检测等多个领域得到广泛应用^[5–7], 为拓扑绝缘体在弹性波和声波系统的实验研究提供了丰富的平台. 对于弹性波和声波系统, 构成具有拓扑保护的波输运方式有多种, 其中两种应用比较广泛, 一种是通过引入循环流体^[8,9]或旋转陀螺仪^[10]以破坏系统的时间反演对称性, 从而实现霍尔效应; 另一种方法是通过引入平移、镜面以及旋转对称性晶格, 破坏系统的空间反演对称性, 实现自旋霍尔效应和谷霍尔效应 ^[11–17]. 根据体边对应关系, 拓扑绝缘体具有一维边缘态, 对无序等缺陷^[14]免疫. 基于这些独特的物理特性, 拓扑边缘态可产生一系列有趣的拓扑输运现象. 王一鹤等^[17]基于能带折叠理论构造了复合胞, 在此基础上设计拓扑波导结构, 并成功对表面波进行调控; 贾鼎等^[18]利用齿轮形散射体的蜂窝晶格声子晶体, 获得了双频段拓扑输运效果. 在此基础上, 各类声学器件被开发, 郑周甫等^[19]构造赝自旋态, 实现单向输运和多通道开关; Jiang等^[20]在谷绝缘体中掺杂缺陷, 得到具有高鲁棒性的雪花波导器. 与此同时, Huo等^[21]合理设计单胞, 通过调节单胞内相临的两个圆的大小达到拓扑相变的效果, 实现拓扑输运. 此外, 还有许多研究通过单胞内两个微单元的相对参数大小, 实现拓扑相变的结构, 最终实现拓扑态^[22,23]. 以上这些研究验证了拓扑输运的重要意义, 但是多数拓扑输运都是基于畴壁结构实现, 能量输运宽度以及基于畴壁结构的声学器件设计具有一定局限性, 这为本文的研究提供了启发. 与此同时, 为突破边缘态输运中输运宽度的局限, 实现准二维的宽度可调拓扑输运, Wang等^[24]通过构建基于谷霍尔绝缘体的异质结构, 实现具有无带隙色散、动量谷锁定、高能量输运等特点的拓扑波导态. Huo等^[25]在非对称双面柱的声子晶体板中, 通过调整散射体高度, 获得了宽带的拓扑谷锁定波导态. Wang等^[26]设计了一种在半无限基底上的微型声子晶体, 并在边界处掺杂“半金属”层, 发现表面波的谷锁定波导态, 该拓扑波导态呈现良好的鲁棒性. Liu等^[27]设计了具有一对螺旋波导模的拓扑夹心结构, 通过调节中间层宽度, 揭示其波导模式具有输运容量大和宽度可调的优势, 其中拓扑波导态还可以与其他声学器件结合开发新应用^[28]. 综上所述, 在空气域中, 关于单一频段拓扑波导态的调控研究已经取得了初步进展, 这些研究加深了相关领域的理论体系, 但是多频段波导可调控性有待探索, 利用波导异质结构合理设计, 实现多功能声学器件有待进一步探究.

本文基于谷锁定原理, 构建了一种具有多频段拓扑波导态的拓扑异质结构. 通过构建一种脉连接的蜂窝晶格声子晶体, 获得了获得声子晶体3个狄拉克点, 调整其结构参数, 实现了3个狄拉克点的拓扑相变. 再将具有狄拉克锥的声子晶体嵌入具有不同拓扑相的声子晶体中间构成异质结构, 在具有狄拉克锥声子晶体中施加激励实现了拓扑波导输运, 分析波导频率段与中间层声子晶体层数的关系, 并设计了能量分束和能量汇聚的结构. 基于该结构, 实现了多频段波导宽度可调、能量汇聚增强和波导分束, 为弹性波的输运、引导和分裂提供了一条有效的途径.

弹性波在线性、各向同性、无阻尼介质中传播方程^[29]为

式中$ {{\boldsymbol{r}} = }{(x, y, z)^{\text{T}}} $是位置矢量, $ {\boldsymbol{u}} = {({u_x}, {u_y}, {u_z})^{\text{T}}} $是位移矢量, $\nabla = {(\partial /\partial x, \partial /\partial y, \partial /\partial z)^{\text{T}}}$为微分算子, $ \lambda ({\boldsymbol{r}}) $和$ \mu ({\boldsymbol{r}}) $是介质的Lamé常数, $ \rho ({{\boldsymbol{r}}}) $是介质的质量密度.

假设频率为$\omega $的平面简谐波在弹性介质中传播, 则其位移场可以表示为

对于二维弹性波声子晶体结构, 其在z方向上无限大, 波函数与z无关, 弹性波面内偏振和面外偏振模式解耦, 其中面外偏振模式方程

将(2)式代入面外偏振模式的波动方程得

式中$ {\nabla _T}=(\partial /\partial x, \partial /\partial y) $. 对比在流体系统中, 只有纵波存在, 若不考虑黏性, 则波动方程为^[30]

式中$ p $为压力, $ {c_{\text{l}}} = \sqrt {{{(\lambda + 2\mu )} {/ } \rho }} $为纵波速度. 根据布洛赫定理, 在周期性结构中弹性波的位移矢量满足以下形式:

式中$ {{\boldsymbol{u}}_{\boldsymbol{k}}}({\boldsymbol{r}}) $是位移随着周期变化的矢量函数, $ {\boldsymbol{k}} = ({k_x}, {k_y}) $为布洛赫波矢. 将(5)式代入(3)式中, 得特征方程为

式中特征矢量$ {\boldsymbol{u}} = {{\boldsymbol{u}}_{\boldsymbol{k}}}({\boldsymbol{r}}) $, $ {\boldsymbol{K}} $表示对应面外弹性波模式的刚度矩阵, $ {\boldsymbol{M}} $表示质量矩阵. 对比(3)式和(4)式, 面外弹性波模式的波动方程与流体系统波动方程在形式上一致, 因此可以利用COMSOL Multiphysics的声压模块, 采用参数等效的方法对面外弹性波模式的能带和输运特性进行求解^[29].

本文构建了一种声子晶体, 由六边形散射体和矩形脉相连而成, 菱形线框包围的结构为模型的单胞, 如图1所示, 相邻的两个六边形散射体分别标记为Ⅰ和Ⅱ. 模型的结构参数为: 晶格常数a = 4 mm, 矩形脉宽w = 0.36 mm, 左右两个六边形的大小为a₁ = a₂ = 1.36 mm. 材料为铅, 材料参数为: 纵波速度v₁ = 2160 m/s, 横波速度为v₂ = 860 m/s, 密度$ \rho = 11400 \;{\text{kg/}}{{\text{m}}^3} $^[31].

在COMSOL Multiphysics仿真中, 将菱形单胞边界设为布洛赫周期性边界条件, 计算声子晶体面外弹性波模式的色散关系, 如图2所示. 当参数$ {a_1}={a_2} $时, 模型如图2中插图所示, 其布里渊区如图2(a)插图所示, 体系受到对称性保护, 形成如图2(b)所示的色散关系, 在高对称点K处, 出现3个狄拉克点K1, K2, K3, 其频率分别为86.1 kHz, 304.7 kHz, 436.3 kHz. 当$ {a_1} \ne {a_2} $时, 体系的空间对称性被打破, 原本简并的3个狄拉克点被打开, 形成完全带隙如图2(a)阴影部分. 而且从$ {a_1} > {a_2} $(图2(a))到$ {a_1} < {a_2} $(图2(c))出现了能带的反转, 从而在动量空间高对称点K处形成3对频率极值点(谷态), 如图2(a), (c)所示.

拓扑谷态在狄拉克点简并处存在谷涡旋手性特征, 通过能带图中谷点处模态的能流密度分布来表征. 为了分析面外偏振模型谷态的反演变化过程, 在图3(a)中, 展示了两个谷K ⁺和K ^– 特征态对应频率随着参数$ r=(a_2-a_1)/a $的变化规律, 从负值变化到零再变化为正值时, K点的狄拉克锥经历打开、闭合再打开的过程. 对比其谷态本征场图(图3(b))分布, 发现能带在$r=0$处发生了翻转, 机械能流旋向也发生了反转. K1⁺特征态的机械能流为顺时针方向, 变成了逆时针方向, 其相位场主要集中在Ⅰ上, K1^–特征态机械能流从逆时针变成顺时针方向, 相位场主要集中到Ⅱ上, 对应的相位和能流分布的手性发生了反转, 说明不是同一种拓扑相. 此外, 计算其特征谷Chern数亦可验证^[21,23], 根据$k \cdot p$微扰理论, 上述谷拓扑相变也可由一个与$r$相关在狄拉克点附近连续哈密顿量来刻画, 即:

其中$ \delta k = k - {k_{K/{K^{'}}}} $为波矢k到K(K')谷的距离; $ {c_{\text{D}}} $, $ {\sigma _i}(i = x, y, z) $以及m分别是狄拉克速度、泡利矩阵以及狄拉克质量. (7)式中的哈密顿量给出狄拉克点处贝利曲率的表达式为

对贝利曲率进行积分得到K(K')谷的非零拓扑荷:

由于体系具有时间反演对称性, K谷和K' 谷处的拓扑荷互为相反数, 即${C_K} = - {C_{K'}}$.

图3(c), (d)分别展示了第2频段和第3频段K点谷态本征场随参数r的变化, r的范围为–0.075—0.075. 本文定义$r = 0.075$为U1型声子晶体, $r = 0$为U2型声子晶体, $r = - 0.075$为U3型声子晶体.

基于拓扑谷锁定原理^[24], 基于上述单胞构建了一个拓扑异质结构. 在传统的畴壁结构A和C域之间引入了B域, 如图4所示, 是由A, B和C三个区域组成, A域由U1型声子晶体组成; B域由 U2型声子晶体组成;C域由 U3型声子晶体组成.

基于$k \cdot p$微扰理论对异质波导结构的性质进行分析, 在K谷附近, K点的狄拉克频率为$ {\omega _{\text{D}}} $, 系统在狄拉克点附近的有效哈密顿量为

在$ ({\psi }_{+}^{0}, {\psi }_{-}^{0}) $展开的希尔伯特空间中, 晶体中的简并狄拉克态为U2型声子晶体. 对于U1, $ m < 0 $; 对于U2, $ m = 0 $; 对于U3, $ m > 0 $. U1和U3之间的带反转实际上对应于两个晶体的狄拉克质量的符号反转, 其特征值方程为

(11)式本征值为$ \delta \omega = {h_0} \pm \sqrt {h_x^2 + h_y^2 + h_z^2} $, 将(10)式中泡利矩阵系数代入本征值得

其描述了晶体结构的色散关系, 对于U2, 由于$ m=0 $, (12)式产生了一个狄拉克锥; 而对于U1和U3, $ m \ne 0 $, 则产生大小为$ 2 mc_{\text{D}}^{2} $的带隙.

假设B的宽度为L, A|B接口位于$ Y = L/2 $, B|C接口位于$ Y = - L/2 $. 为方便起见, 假设U3的狄拉克质量是$ m = M > 0 $, 对于U1, $ m = M < 0 $. 若拓扑波导态${\phi }_{\text{ABC}} $存在, 波导态在A域中沿+Y方向呈指数衰减, 在C域中沿–Y方向呈指数衰减, 这需在A域中, 当$ Y > L/2 $时满足

且在C域中, 当$ Y < - L/2 $时

当$ \delta \omega ={c_{\text{D}}}{k_x} $且$ {\phi }_{\text{ABC}}={(1, 1)}^{\text{T}} $用坐标表示为

满足(13)式和(14)式, 并且在A, B和C域中满足$ \delta H\phi = \delta \omega \phi $, 证明谷锁定拓扑波导态的存在. 通过晶体U1和U3的带反转和狄拉克质量反转以及有狄拉克锥色散的晶体U2, 它们晶体结构中的内在联系共同解释了谷锁定拓扑波导态的存在. A|Bn|C中的拓扑波导态可理解成A|C中边缘状态延伸的结果, 同样的分析方法可以证明, 谷锁定拓扑波导态也可出现在C|Bn|A中.

为了分析此异质结构的能带性质, 进一步构造了y方向长条形超胞, 通过在上下边界施加连续性周期性条件, 左右边界施加布洛赫周期性条件, 计算长条形超胞在${k_x}$方向的投影能带. 计算中, A 域和C 域的层数$ n=10 $, B域的层数$ n{\text{ = 5}} $, 能带结构如图5(a), (c)所示. 黑色的点代表是体态, 红色线代表拓扑波导态, 对于U1U2U3型和U3U2U1型超胞, 在3个狄拉克点处打开的3个完全带隙内, 每个频段都存在了一个拓扑波导态. 相较于文献[26], 这里在弹性波体系中出现了多频段的特性. 在带隙中, 对应的拓扑波导态频率范围为79.8—93.3 kHz, 297.8—310.7 kHz, 432.6—441.6 kHz, 这些频段构成该拓扑异质结构的拓扑波导态频段, 其频段宽度会随着B域的层数变化而改变. 相应的拓扑波导态本征场分布图如图5(b), (d)所示, 对于U1U2U3型超胞, 第1和第2频段内的拓扑波导态其模态是对称分布的, 第3频段内的拓扑波导态的模态呈反对称分布; 对于U3U2U1型超胞, 第1和第2频段拓扑波导态的模态是反对称分布, 第3频段拓扑波导态的模态呈对称分布.

借鉴边缘态的研究思路, 为深入探索谷锁定拓扑波导态的输运特性, 本节设计一个A_{15}|B_n|C_{15}的矩形波导, 其中A, B, C域的声子晶体类型分别对应为U1, U2, U3, 如图6所示, 当层数$ n{\text{ = 5}} $时, 在B域的左端施加线激发源激发, 由于晶格内部的不连续性, 线激发源由一系列均匀离散的点源替代, 该线源激励为z方向的指定位移, 可激发面外弹性波模式, 其面外位移${u_z}$绝对值场分布如图6所示.

在B域中, 通过线源激发的面外弹性波模式, 激发频率为86 kHz, 整个结构的能量分布在B域内, 稳健地沿波导传播, 且在A域和C域中能量急剧衰减, 即在A域和C域中不能传播, 对比图6(a), (b)发现B域的层数n从5变成15, 能量在整个的结构的占比变大了. 同样地, 将A, B, C域的声子晶体类型对应关系改为U1, U3, U1或U3, U1, U3或 U1, U2, U1或U3, U2, U3, 均不会出现如图6(a), (b)所示的能量均匀局域在B域的波导现象. 其中, 图6(d)展示了A, B, C域的声子晶体类型分别对应U1, U3, U1型的波导, 在86 kHz的线激发下的面外位移场, 能量主要局域在U1与U3的连接处, 即拓扑波导态没有出现.

B域的层数在拓扑异质结构中是一项关键参数, 其对波导频率段产生了显著影响. 调节B域的层数计算出相应条形超胞的投影能带, 其对应波导色散曲线形状并没有过多的变化, 但其体带隙在逐渐向中间变小. 表明, 随着B域的层数n从1层增加到15层, 拓扑波导态频段变窄, 如图6(c)所示. 由此可推测, 当B域层数增加到足够大时, 波导频段趋于0, 拓扑波导态消失. B域层数在有限范围内, 拓扑波导态频宽存在, 通过模态分析验证, 此异质结构都具有谷锁定拓扑波导现象, 因此B域的层数n可作为一个新的可调参数, 可设定任意宽度的波导结构输运, 在特定的环境实现能量的输运, 为拓扑弹性波操纵提供了更为方便调控手段.

在弹性波体系下, 鲁棒性是衡量波导性能的一个重要特性, 其反映了波导对外界变化和不确定性的适应能力. 根据谷锁定原理, 谷锁定拓扑波导态也应具有较好的鲁棒性. 为了进一步验证拓扑谷锁定拓扑波导态的鲁棒性, 首先构建了ABC型的直线波导, 在B域中引入“乱序”缺陷, 如图7(a)所示, 在通道左端选择3个狄拉克点频率作为激发频率, 分析面外弹性波模式的输运特性. 被激发的面外弹性波在B域中传播, 如图7(b)所示, 在“乱序”缺陷处机械能流没有发散现象, 说明此波导对这类缺陷免疫.

拓扑波导态相较于拓扑边缘态输运的一个优势是在一定的情况下可实现能量的汇聚, 如图8(a)所示, A域和C域是由U1型声子晶体和U3型声子晶体组成, B域是由U2型声子晶体组成, 这个波导的左侧B域的层数$ n = 10 $, 右侧B域的层数$ n = 2 $, 构成从左至右波导通道宽度变窄的渐变结构. 在通道左端施加合适的频率激发源, 计算其${u_z}$绝对值位移场图, 发现在左侧的波导通道能量较低, 能量到达右侧较窄通道能量较高, 如图8(b)所示. 为更直观地观测其能量的分布, 在通道左右两侧垂直于通道方向测量其面外位移幅值分布, 测量线如图8(a)中的黑线和红线, 测量结果如图8(c)所示, 左侧宽通道面外位移幅值小于右侧能量幅值, 能量通道的宽度变窄, 面外位移幅值变大, 侧面验证了能量的汇聚. 利用宽度可调的优势设计多频段能量集中器, 可用于能量收集等应用, 对于设计多频多功能器件具有重要的意义.

为实现能量的分束, 设计如图9所示的分束器, 由5个不同拓扑相声子晶体组成, 其中A区域U1型声子晶体组成, B区域U2型声子晶体组成, C区域为U3型声子晶体组成, 形成如图9(a)所示标记的4个端口. 端口#1和#3位于直线弹性波输运路径上, 端口#2和#4位于两条“Z”字形输运路径上. 在端口#1, 使用436.3 kHz的线元, 激发的面外弹性波进入分束波导结构. 在传统的弹性波波导设备中, 端口#1输入的弹性波将主要通过端口#3输出结构, 部分通过“Z”字形路径到达端口#2和#4. 然而, 如图9(b)所示, 在上述基于谷锁定原理的波导分束结构中, 来自端口#1的输入弹性波能量只能通过端口#2和#4输出, 可以调整输出端的机械波能量水平. 这些分束器在医学、材料科学、声学等领域都有广泛的应用前景, 可用于实现精确的波导控制和能量管理.

本文设计了一种多频段、宽度可调的弹性波谷锁定拓扑异质结构. 所设计的声子晶体具有3个二重简并狄拉克点, 通过改变其空间对称性实现拓扑相变. 不同的拓扑相声子晶体之间, 嵌入一种含有狄拉克锥色散关系的声子晶体, 构造出拓扑异质结构, 实现了具有谷锁定的拓扑波导输运; 谷锁定拓扑波导态随着中间层的宽度增大频率范围减小; 利用该结构我们设计了能量汇聚器和能量分束器, 实现了对弹性波的汇聚和分束. 与传统谷边缘态的畴壁结构相比, 谷锁定拓扑波导态具有输运宽度可调的优点, 更利于弹性波输运的实际运用. 本文的工作将多频段谷锁定的拓扑波导概念扩展到了弹性声子晶体板系统, 实现了多频段弹性波拓扑输运, 在振动控制、能量收集和弹性波操纵等领域具有潜在的应用价值.