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从角动量的形成原因分类, 角动量可分为轨道角动量(OAM)和自旋角动量(SAM). 轨道角动量又被分为两类: 内禀轨道角动量(i-OAM)和外禀轨道角动量(e-OAM), 这两类分别与涡旋相位和光束的传输轨迹有关[1–7]. 从轨道角动量方向与光束传输方向的关系进行分类, 轨道角动量又被分为平行于光场传输方向的纵向轨道角动量(l-OAM)和垂直于光场传输方向的横向轨道角动量(t-OAM). 其中关于l-OAM的研究相对较多, 在光通信[8–13]、光学捕获[14,15]和量子信息传输[16,17]等方面得到广泛的研究. 随着时空涡旋光束的出现, t-OAM也逐渐被研究者所研究[18]. SAM作为光场的基本性质, 根据其方向与光束传输方向的平行或垂直关系可以被分为纵向自旋角动量(l-SAM)和横向自旋角动量(t-SAM)[19]. l-SAM主要存在于圆偏振光束中. t-SAM的研究主要集中在表面等离子体波、非衍射场、干涉场和聚焦结构光场等方面同时在光学微操控、量子光通信及光学超表面等领域得到应 用[20–26]. 值得注意的是, 在自由空间傍轴光学系统中不同光束的横向自旋角动量(t-SAM)同样得到证实[27]. 与光子螺旋轨迹相关的t-SAM也被发现[28]. 在紧聚焦[29,30]、全反射和表面等离子共振产生的倏逝波[31]以及在光学系统的傍轴传输中[32–35]所产生的自旋-轨道耦合现象被大量研究, 其中在圆偏振光束的聚焦、散射以及自由空间传输中实现了部分自旋角动量到轨道角动量的转换[36–38]. 在金属表面、纳米纤维和各种波导中, 圆偏振光束与倏逝波之间的自旋控制单向耦合调控已经在理论和实验中得以证明[39–41].
本文基于自旋-动量关系研究了不同拓扑荷m的柱矢量涡旋光束 (CVVB)在自由空间中传输时不同参量的全矢量特性, 包括P, SAM, t-SAM, l-SAM, OAM和矢量光场. CVVB分为径向偏振涡旋光束(RPVB)和角向偏振涡旋光束(APVB). 对APVB的P, SAM, t-SAM, l-SAM, OAM和矢量光场的研究在补充材料(
online )中进行阐述. 除纵向光场外, APVB的其他光学参量与RPVB分布相同. 当RPVB以及APVB不携带涡旋相位时, 它们变成了径向偏振光束(RPB)和角向偏振光束(APB). 本文将拓扑荷m = 0的RPVB以及APVB分别对应设置为RPB和APB. -
当RPVB在自由空间中传输时, 设定z = 0处为光束的源平面, RPVB在源平面处电场表示为[42]
式中x0和y0是源平面上的位置矢量, m代表拓扑荷, w0为束腰半径, ex和ey是x方向和y方向上的单位向量. RPVB在自由空间中传输了距离z后的电场如 (2a) 式所示:
w(z)表示光束在z处的束腰宽度, R(z)表示波前曲率半径, zR表示瑞利距离, k表示波数, λ表示波长. 本文λ取632.8 nm, 传输距离z = 298.785 μm, 传输距离z可以为任意数值, 传输方向为–z方向. 从(2)式可得, RPVB在自由空间中传输了距离z后, 不同分量的电场表达式为:
其中x和y表示接收平面上的位置矢量. 根据傍轴近似中电场和磁场之间的关系, 相应的磁场分量可以表示为
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动量分为传统动量与Belinfante动量, 传统动量与波矢量po = ħk有关, 与自旋相关的Belinfante动量表示为 ps =
$\nabla $ ×S/2. 将电场公式(3)和磁场公式(4)代入动量表达式(5)中, 可以得到RPVB在自由空间中传输距离z后的动量分布特性. 图1显示了不同拓扑荷m的RPVB在自由空间传输距离z后的动量分布. 具有不同拓扑荷m的RPVB的动量分量通过除以相应拓扑荷m的横向光场与纵向光场强度之和的最大值进行归一化. 可以看出在自由空间中传输的RPVB动量呈现出三维矢量分布, 包括垂直于传输方向的动量分量(Px, Py)以及平行于传输方向的动量(Pz). 拓扑荷m只影响了Pz的尺度大小而没有影响正负分布, 这是因为Pz为传统动量只和波矢量k有关. 当拓扑荷m的绝对值相等而正负不同时, Px和Py的分布发生了一定旋转. 同时, 拓扑荷m的绝对值同样影响着Px和Py的尺度大小, 这是因为随着拓扑荷m的绝对值的增大, 光斑的尺度也在逐步地增大. 从上面分析可以看出动量分量Px和Py即为与自旋相关的Belinfante动量, 从而可以得出在自由空间中传输的RPVB的动量具有三维矢量性, 但在傍轴近似中由于Px与Py相对Pz较弱, 通常可以选择忽略.SAM分为t-SAM与l-SAM, 在自由空间中传输的RPVB的SAM计算如(6)式所示:
其中, 第1项是x分量, 其垂直于自由空间RPVB的传输方向; 第2项是y分量, 其情况等同于x分量; 第3项是z分量, 其平行于自由空间RPVB的传输方向. 在自由空间中传输的RPVB传输距离z后其SAM的3个分量(Sx, Sy, Sz)分布如图2所示. 同样, 带有不同拓扑荷m的RPVB的所有SAM分量均通过除以相应拓扑荷m下总光强的最大值进行归一化. 可以看到, RPVB在自由空间中传输距离z后无论拓扑荷m取何值(m = 0, ±1, ±2), Sx, Sy都存在并且分布不随着拓扑荷m的正负而发生变化. 无论拓扑荷m取何值, Sz均为零, 可见在自由空间传输过程中RPVB所携带的OAM未转换为SAM.
RPVB在自由空间中传输时, 其t-SAM由两部分组成: 一部分垂直于光束传播方向, 另一部分平行于光束传播方向, 如(7)式所示:
(7)式中, 第1项是t-SAM在x轴方向上的分量(STx), 第2项和第3项为t-SAM在y轴和z轴方向上的分量(STy, STz). 图3显示了当拓扑荷m = 0, ±1, ±2时, RPVB在自由空间中传输距离z后, 其t-SAM在x, y, z方向上的分量(STx, STy, STz)的分布情况. 同样, t-SAM的各分量(STx, STy, STz)均通过除以相应拓扑荷m下总光强的最大值进行归一化处理. 当拓扑荷m的绝对值相同时, STx的分布相同, 同样STy的分布也相同, 说明STx和STy的分布与拓扑荷m的正负无关. 除拓扑荷m = 0外RPVB在传播过程中t-SAM还会存在z方向的分量STz. STx和STy的最大值随着拓扑荷m绝对值的增大而减小, 相反地, STz的最大值则呈现增大的趋势. 从图3可以看出, STz的方向与拓扑荷m正负相关而STx和STy的方向与拓扑荷m的正负无关. 从上面可以得出STz即为与光子螺旋轨迹相关的t-SAM纵向分量.
l-SAM可以用SL = S – ST来表征. 通过(8)式计算了l-SAM的3个分量(SLx, SLy, SLz):
通过该(8)式分析了这些分量在不同拓扑荷m(m = 0, ±1, ±2)下的分布情况, 如图4所示. l-SAM的各分量(SLx, SLy, SLz)均通过除以相应拓扑荷m下总光强的最大值进行归一化处理. 由于柱矢量涡旋光束具有不均匀的强度、相位以及偏振分布, 因此纵向自旋SL存在微弱的x和y分量. 当拓扑荷m = ±1时, SLx和SLy的最大值大于STx和STy, 但小于Sx和Sy. 当拓扑荷m = ±2时, SLx和SLy的最大值小于STx和STy, 且小于Sx和Sy. 特别地, 当拓扑荷m = 0时, 尽管不携带涡旋相位, SLx和SLy的最大值仍然大于STx和STy, 但同样小于Sx和Sy. 这些结果表明, 随着拓扑荷m的变化, l-SAM在总SAM中的占比程度也会有所不同. 由于Sz的值为0, 因此SLz的分布几乎与STz的分布相反. 此外, SLx和SLy的分布与拓扑荷m的正负无关.
当RPVB在自由空间中传输时, 存在纵向场Ez. Ez可以从Ex和Ey推导得出, 并被定义为(9)式的第1项:
图5所示为不同拓扑荷m(m = 0, ±1, ±2)下, RPVB在自由空间传输过程中的横向场光强(I1)和纵向场光强(I2)变化以及APVB的纵向场光强(I2)变化. 不同拓扑荷m的RPVB及APVB的横向场光强和纵向场光强均通过除以相应拓扑荷m下总光强的最大值进行归一化, 以便于比较和分析. 通过比较我们发现APVB在拓扑荷m = 0时其纵向场强度为零, 并且对应拓扑荷m下(m = ±1, ±2)APVB的纵向场光强要小于RPVB. 此外, 随着拓扑荷m的绝对值增大, RPVB的纵向场光强逐渐减弱而APVB的纵向场光强逐渐增强. 上述说明了RPVB在自由空间传输过程中存在纵向场分量而APVB除拓扑荷m = 0外均存在纵向场分量, 并且两者光场分布随着拓扑荷m的变化发生改变.
图6所示为利用 (10) 式计算OAM分布情况. 同样, 不同拓扑荷m的OAM均通过除以相应拓扑荷m下总光强的最大值进行归一化. 可以看出当拓扑荷m = 0时, OAM为零. 当拓扑荷m ≠ 0时, OAM的正负与拓扑荷m正负相关. 同时, 当拓扑荷m ≠ 0时, 拓扑荷m的绝对值越大, 其OAM尺度越大.
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基于自旋-动量关系, 研究了CVVB在自由空间中传输时其动量P、自旋角动量SAM、横向自旋角动量t-SAM、纵向自旋角动量l-SAM、光场以及轨道角动量OAM的特性. 其中动量存在三维矢量分布. SAM存在x和y方向分量, 不存在z方向分量. 横向自旋角动量t-SAM与纵向自旋角动量l-SAM在拓扑荷m为零时不存在z方向分量, 其余则存在三维矢量分布. APVB在拓扑荷m为零时其纵向场不存在, 拓扑荷m为其他值(m = ±1, ±2)时RPVB与APVB在自由空间中传输时其纵向场均存在. 本文分析了CVVB在自由空间中的传输矢量特性, 包括对动量P、自旋角动量SAM、横向自旋角动量t-SAM、纵向自旋角动量l-SAM的三维分量进行表征, 其研究结果为光学通信和光与物质相互作用等领域的研究提供了一定的理论基础.
柱矢量涡旋光束在自由空间中传输时角动量的全矢量特性
Full vector properties of angular momentum of cylindrical vector vortex beam propagating in free space
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摘要: 利用自旋-动量关系表征了柱矢量涡旋光束在自由空间中传输时的动量(P)、自旋角动量(SAM)、横向自旋角动量(t-SAM)、纵向自旋角动量(l-SAM)、轨道角动量以及矢量光场分布. 研究结果表明: P存在与光轴平行和垂直的分量, t-SAM, l-SAM和光场在拓扑荷m不为零时均存在与光轴平行和垂直的分量, 而SAM只存在与光轴垂直的分量, 不存在与光轴平行的分量. 使用自旋-动量关系, 对在自由空间中传输的柱矢量涡旋光束的光学参量进行全矢量的表征, 可以为分析结构光束在不同介质中传输时的角动量特性提供一定的理论基础.Abstract: The full vector properties of the optical parameters of cylindrical vector vortex beam (CVVB) propagating in free space, such as the momentum (P), spin angular momentum (SAM), transverse-type spin angular momentum (t-SAM), longitudinal-type spin angular momentum (l-SAM), and light field are characterized by using spin-momentum relation in this work. The research results show that P has x-, y-, and z- component, SAM has x- and y- components, but no z-component; t-SAM and l-SAM both have components which are parallel and perpendicular to the optical axis when the topological charge m is not 0; t-SAM has a longitudinal component which is related to the helical trajectory of photons; l-SAM has a transverse component in free space. Except for the angularly polarized vortex beam (APVB), which has no longitudinal field when the topological charge m is 0, both radially polarized vortex beam (RPVB) and APVB have longitudinal fields in free space. The vectorial characteristic of the angular momentum of CVVB in free space can provide a theoretical basis for analyzing the transmission of structured beams in different media.
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图 1 拓扑荷m = 0, ±1, ±2时RPVB在自由空间距离源平面z处动量(P)的x, y, z分量, 带有不同拓扑荷m的RPVB的动量分量通过除以相应拓扑荷m下总光强的最大值进行归一化
Figure 1. The x, y, z components of kinetic momentum (P) of RPVB in free space from the source plane z when the topological charge m = 0, ±1, ±2, the momentum components of RPVB with different topological charges are normalized by dividing by the maximum value of the total light intensity of the corresponding topological charge m.
图 2 拓扑荷m = 0, ±1, ±2时RPVB在自由空间距离源平面z处总SAM的x, y, z分量, 带有不同拓扑荷m的RPVB的总SAM分量通过除以相应拓扑荷m下总光强的最大值进行归一化
Figure 2. The x, y, z components of the total SAM of RPVB in free space from the source plane z when the topological charge m = 0, ±1, ±2, the total SAM component of RPVB with different topological charges is normalized by dividing by the maximum valve of the total light intensity of the corresponding topological charge m.
图 3 拓扑荷m = 0, ±1, ±2时RPVB在自由空间距离源平面z处横向自旋(t-SAM)的x, y, z分量, 带有不同拓扑荷m的RPVB的t-SAM的分量通过除以相应拓扑荷m下总光强的最大值进行归一化
Figure 3. The x, y, z components of the transverse-type spin (t-SAM) of RPVB in free space from the source plane z when the topological charge m = 0, ±1, ±2, the components of the t-SAM of RPVB with different topological charges are normalized by dividing by the maximum value of the total light intensity of the corresponding topological charge m.
图 4 拓扑荷m = 0, ±1, ±2时RPVB在自由空间距离源平面z处纵向自旋(l-SAM)的x, y, z分量, 带有不同拓扑荷m的RPVB的l-SAM的分量通过除以相应拓扑荷m下总光强的最大值进行归一化
Figure 4. The x, y, z components of the longitudinal-type spin (l-SAM) of RPVB in free space from the source plane z when the topological charge m = 0, ±1, ±2, the components of the l-SAM of RPVB with different topological charges are normalized by dividing by the maximum value of the total light intensity of the corresponding topological charge m.
图 5 (a)拓扑荷m = 0, ±1, ±2时RPVB在自由空间距离源平面z处的横向场和纵向场光强, 带有不同拓扑荷m的RPVB的横向场和纵向场光强通过除以相应拓扑荷m下I1 + I2的最大值进行归一化; (b)拓扑荷m = 0, ±1, ±2时APVB在自由空间距离源平面z处的纵向场光强, 带有不同拓扑荷m的APVB的纵向场光强通过除以相应拓扑荷m下I1 + I2的最大值进行归一化
Figure 5. (a) The transverse field and longitudinal field intensity of RPVB in free space from the source plane z when the topological charge m = 0, ±1, ±2. The transverse and longitudinal field light intensities of RPVB with different topological charges are normalized by dividing by the maximum value of I1 + I2 of the corresponding topological charge m; (b) the longitudinal field intensity of APVB in free space from the source plane z when the topological charge m = 0, ±1, ±2, the longitudinal field light intensity of APVB with different topological charges are normalized by dividing by the maximum value of I1 + I2 of the corresponding topological charge m.
图 6 拓扑荷m = 0, ±1, ±2时RPVB在自由空间距离源平面z处的OAM, 带有不同拓扑荷m的RPVB的OAM通过除以相应拓扑荷m下I1 + I2的最大值进行归一化
Figure 6. The OAM of RPVB in free space from the source plane z when the topological charge m = 0, ±1, ±2, the OAM of RPVB with different topological charges is normalized by dividing by the maximum value of I1 + I2 of the corresponding topological charge m.
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