近年来, 作为本征态热化假说反例之一的多体局域化已经被广泛关注. 研究发现足够强的无序效应能够导致相互作用的多体系统局域化, 并且在系统演化过程中能够保留部分初态信息, 这使得多体局域化在量子控制和量子存储等领域有着潜在的应用前景. 这类无序导致的多体局域化已经在各类实验平台被观测到, 包括超冷原子^[1,2]、离子阱^[3]和超导电路^[4,5]等. 一直以来无序被认为是实现多体局域化的必要条件, 然而最近的理论和实验研究都表明干净系统中也存在多体局域化, 特别是在具有Stark势的相互作用系统中已经探测到Stark多体局域化现象^[6–8]. Stark多体局域化在能级统计、纠缠熵的转变以及实时动力学演化等方面展示了与无序导致的多体局域化相似的特征. 然而Liu 等^[9]发现不同于无序导致的非厄米多体局域化系统存在拓扑转变、能谱实复转变和多体局域化转变相一致的特点, 非厄米Stark系统中实复转变和拓扑转变一致, 而与多体局域化转变存在偏差. 这类 Stark势所导致的多体局域化相的新颖性质还有待进一步挖掘.

1977年, Leinaas和Myrheim^[10]首次提出具有分数统计行为的一类粒子, 被称为任意子. 它不同于传统量子物理中所讨论的两种基本粒子, 即玻色子和费米子, 当交换两个任意子的位置时, 系统的多体波函数会产生一个额外的相位因子$ {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\theta} $, 其中θ为统计角. 在$ \theta\to 0 $极限, 任意子变为玻色子, 而当$ \theta \to \pi $时, 任意子转变为费米子. 二维分数量子霍尔效应中的准粒子就遵循分数统计, 被认为是任意子的一个典型例子^[11,12]. 随着对任意子的研究, 研究者们逐渐意识到任意子可以被应用到拓扑量子计算中^[13], 与Majorana费米子^[14]和非阿贝尔量子系统^[15]有着深远的联系. 之前分数统计的研究一直局限在二维体系, 直到Haldane将分数统计引入到了任意维度^[16]. Vitoriano和Coutinho-Filho^[17]通过在一维费米哈伯德模型引入关联的跃迁效应也实现了分数统计. 同样在玻色系统中通过引入光子辅助的隧穿、拉曼辅助的隧穿以及周期驱动等方案也可以等价地实现任意子模型^[18–20]. 这些模型是基于通过分数型Jordan-Wigner变换将任意子模型映射到具有密度依赖的跃迁型玻色子体系来实现的. 一维任意子模型的很多新奇性质与统计角有着紧密的联系, 如统计角依赖的基态相变^[21]和粒子输运的不对称性^[22]等. 2020年, Zhang等^[23]研究了无序导致的任意子玻色哈伯德模型中的多体局域化转变过程, 发现能级统计、纠缠熵以及粒子非平衡态占据数的长时演化等序参量展示了依赖于统计角的非单调行为. 对于干净系统中分数统计效应对多体局域化的影响还所知甚少, 本文考虑一个具有Stark势的一维任意子相互作用系统, 展示统计角对多体局域化转变的影响.

本文考虑一个具有一维Stark势的相互作用的任意子模型, 其开边界条件下的哈密顿量为

其中, J和U分别是相邻格点间的跃迁强度和相互作用强度, L是系统的尺寸, $ \hat{n}_{j} $为第j个格点上的粒子数算符. 在位势为$ h_{j}=-\gamma\left(j-1\right) +\alpha\left( \dfrac{j-1}{L-1}\right) ^{2} $, 其中γ 为线性势的强度, α为非线性势强度^[5,6,24], 纯线性的系统中, 系统能级存在高度简并, 能谱统计会偏离高斯分布和泊松分布. 引入非线性项可以有效地避免能级简并使得系统能谱统计恢复到标准能级统计行为. $ \hat{a}_j^{\dagger}(\hat{a}_j) $为任意子的产生(湮灭)算符, 遵循广义对易关系:

式中, θ为统计角, sgn为符号函数并且$ \text{sgn}\left(0\right) =0 $. 因此, 交换任意子的位置将会使多体波函数产生一个额外的相位因子$ {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\theta} $, 而任意子处于同一格点时展示出玻色子的特性. 通过引入分数型Jordan-Wigner变换, 一维系统中的任意子可以映射到玻色子系统^[18,23,25], 即

其中, $ \hat{b}_j^{\dagger} $$ (\hat{b}_j) $为玻色子的产生(湮灭)算符. 值得注意的是, 当$ \theta=\pi $时, 相应的粒子为赝费米粒子, 即虽然波函数满足交换反对易性, 但是多个粒子可以占据同一格点. 通过这一映射关系, 任意子的哈密顿量被重写到由玻色算符所描述的哈密顿量:

而这一玻色型的哈密顿量$ \hat{H}^{\text{boson}} $可以在冷原子体系中被实现. 在没有相互作用U的情况下, 当$ \theta=0 $时, 等效的玻色子系统为无相互作用的单粒子模型, 而对于任意的$ \theta\ne 0 $时, 跃迁项中被引入了θ角依赖的相互作用, 变成一个多体模型. 统计角的引入改变了系统的相互作用效应, 进而会对系统的多体局域化转变产生影响.

本文利用精确对角化方法对哈密顿量(4)式进行数值研究, 考虑半填充$ N/L=1/2 $的情况, 其中N为系统中填充的粒子数, 则希尔伯特空间维度为$ D=\tbinom{L+N-1}{L-1} $. 选取能量单位$ J=1 $, 固定相互作用$ U=1 $以及非线性势强度$ \alpha=2 $作为具体例子进行讨论. 全文中对序参量的统计平均记为$ \langle \cdots\rangle $, 统计平均选取能谱中心1/5范围的能级.

能谱统计是探测多体局域化的主要手段之一. 当系统处于遍历相时, 能谱统计呈现高斯分布. 具体地, 对于具有时间反对称的系统, $ H=H^{{\mathrm{T}}} $, 哈密顿量为实对称矩阵, 对应的分布为高斯正交系综(Gaussian orthogonal ensemble, GOE)^[26]; 对于时间反演对称性破缺的系统, 哈密顿量为复厄米矩阵, 对应的分布为高斯酉系综(Gaussian unitary ensemble, GUE)^[27]; 对于自对偶对称的系统, 对应的分布为高斯辛系综(Gaussian symplectic ensemble, GSE)^[28]. 然而, 当系统处于可积或多体局域相时, 能谱的统计分布遵循泊松统计^[29]. 为了消除不同系统能级差的差异带来的影响, 引入能级差比率^[5,24,29]:

其中, $ \delta_{n}=E_{n+1}-E_{n} $表示相邻能级差. 通过比较系统的能级差比率与对应的高斯系综分布以及泊松系综分布给出的预测值^[27,29], 可以直观地检测局域化转变.

图1(a)展示了对应于不同统计角θ, 平均能级差比率$ \langle r\rangle $随着线性势强度γ变化的情况. 当γ 较小时, 系统处于遍历相. 对于$ \theta=0 $和π, 能级差统计满足GOE分布, 平均能级差比率稳定在$ \langle r\rangle\approx 0.53 $附近; 而当$ \theta=0.5\pi $时, 遍历相的平均能级差比率$ \langle r\rangle\approx0.6 $, 这是由于此时哈密顿量的时间反演对称性破缺, 成为复厄米矩阵, 满足GUE分布^[27]. 随着线性势强度γ增大, 系统逐渐进入到多体局域相, 能级差统计的特征满足泊松分布, 平均能级差比率对于这三种统计角都满足$ \langle r\rangle\approx0.39 $. 图1(b)展示了不同γ时, 平均能级差比率$ \langle r\rangle $随统计角θ变化的情况. 可以看到, 当$ \gamma=1 $时, 除了$ \theta=0 $和π时, $ \langle r\rangle\approx0.53 $外, 几乎所有的θ 下, 平均能级差比率$ \langle r\rangle $都趋近于0.6, 这是由于除了$ \theta=0 $和π外, 系统的时间反演对称性破缺, 哈密顿量矩阵都由实厄米矩阵变为复厄米矩阵, 相应地, 由满足GOE转变为满足GUE分布. 由此可见, 此时所有的θ角下, 系统都处于遍历相. 当系统处于强线性势情况下, 如图1(b)中$ \gamma=6 $, 可以看到对于不同的θ, 平均能级差比率几乎都趋近于0.39, 表明此时系统进入了多体局域相, 而$ \langle r\rangle $不依赖于θ的取值. 而对于γ选在过渡区域时, 以$ \gamma=2 $为例, 可以看出$ \langle r\rangle $展现出强烈的依赖于θ的非单调行为.

通过观测半链纠缠熵的行为来确定相应的本征态是满足体积律还是面积律, 从而判断系统是否进入多体局域相^[30]. 将系统分为两个部分$ L_{A}= L_{B} = L/2 $, 对第n个本征态的密度矩阵$ \rho^{n}= |\psi _{n}\rangle\times \langle\psi_{n}| $求偏迹得到系统的约化密度矩阵$ \rho^n_{A}=\mathrm{Tr}_{B}(\rho^n) $, 从而定义半链纠缠熵为: $ S_n=-\mathrm{Tr}\left( \rho^n_{A}\ln \rho^n_{A}\right) $^[23]. 从 图2(a)可以看出, 当$ \gamma=1 $时, 对于不同的θ, 平均半链纠缠熵$ \langle S\rangle $随着尺寸的增大而增大, 展现了体积律的行为. 而对于不同的统计角, 当$ \gamma=6 $时, $ \langle S\rangle $为不依赖于尺寸L的常数, 满足面积律. 图2(b)展示了$ \gamma=2 $时, 平均半链纠缠熵$ \langle S\rangle $随着统计角θ 变化的情况. 从图中可以看出, 平均半链纠缠熵表现出与θ的非单调关系. 图2(c)展示了在不同统计角时不同尺寸的平均半链纠缠熵$ \langle S\rangle /L $随γ变化的情况. 由此可以看出, 系统的本征态随着γ的增大, 由体积律向面积律转变, 系统发生多体局域化转变. 而对于不同的统计角, 其多体局域化转变点位置并不一致. 如图2(c) 所示, 在$ \theta=0.05\pi $时, 多体局域化转变点发生在$ \gamma_{\mathrm{c}}\approx1.80 $, 而当$ \theta=0.9\pi $时, 转变点发生在$ \gamma_{\mathrm{c}}\approx3.33 $. 对于不同尺寸的平均半链纠缠熵$ \langle S\rangle /L $的数据通过临界标度缩放函数$ \left( \gamma -\gamma _{{\mathrm{c}}}\right) L^{1/\nu} $进行标度分析, 进而给出了多体局域化转变点$ \gamma_{\mathrm{c}} $随着统计角θ变化的情况如图2(d) 所示, 其中$ \nu=1.5 $. 在图2(d)中, I区域为多体局域相, II区域对应为遍历相. 可以看出, 多体局域化转变点$ \gamma_{\mathrm{c}} $随着统计角θ变化也展现非单调行为.

图3(a)展示了不同的线性势强度和统计角下系统的半链纠缠熵$ S(t) $随时间的演化情况. 其中, 初态设为直积态$ |\psi_0\rangle=|0101\cdots\rangle $, 半链纠缠熵定义为: $ S(t)=-\mathrm{Tr}\left[\rho_{A}(t)\ln \rho_{A}(t)\right] $, 并且$ \rho_{A}(t)= \mathrm{Tr}_B(|\psi(t)\rangle\langle\psi(t)|) $, $ |\psi(t)\rangle={\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}\hat{H}^{\text{boson}}t}|\psi_0\rangle $. 从图中可以看出, 在$ \gamma=1 $的情况下, 不同统计角时, 系统均处于遍历相, 其半链纠缠熵$ S(t) $随时间线性增长. 而线性势强度较大($ \gamma=6 $)时, 系统处于多体局域相, $ S(t) $随时间呈对数增长, 且长时极限下仍保持较小数值. 图3(b)中展示了半链纠缠熵平均值$ \overline{S} = \displaystyle\frac{1}{t_{2}-t_{1}} \int_{t_{1}}^{t_{2}}S \left( t\right) {\mathrm{d}}t $随统计角变化的情况. 这里选取$ t_{1}=80, t_{2}=100 $. 由图可知在遍历相中任意子的统计角对$ S(t) $长时行为几乎没有影响, 而多体局域相区$ S(t) $的长时演化行为依赖于统计角的取值.

淬火动力学为实验上探测遍历性破坏提供强有力的证据. 初态仍然选取直积态$ |\psi_0\rangle $. 通过观察对长时间极限下的奇偶粒子非平衡态占据数^[5,23,31]

来判断系统是否处于多体局域相. 其中, $ n_{\mathrm{e}}(t)= \langle\psi(t)| {\displaystyle\sum}_{i=1}^{L / 2} \hat{n}_{2 i}|\psi(t)\rangle $和$ n_{\mathrm{o}}(t)=\langle\psi(t)| {\displaystyle\sum}_{i=1}^{L / 2} \hat{n}_{2 i-1}\times |\psi(t)\rangle $分别表示t 时刻任意子在偶数和奇数格点上的总粒子数. 在遍历相中, 当时间趋于无穷大时, 非平衡态占据数$ \mathcal{I}\left( t\right) $趋向于零. 而对于多体局域相, 长时间极限下$ \mathcal{I}\left( t\right) $变成一个有限值^[5,6,24,31]. 图3(c) 展示了处于不同统计角不同γ值时, 非平衡态占据数$ \mathcal{I}\left( t\right) $随时间的演化情况. 在$ \gamma=1 $时, 系统处于遍历相, 对于不同统计角的情况, 非平衡态占据数在长时演化下快速趋近于零. 在局域相中($ \gamma=6 $), 长时极限下, 不同的统计角对应的非平衡态占据数趋于有限值. 如图3(d)所示, 展示了在$ \gamma = 1 $和$ \gamma = 6 $,$ L=12 $时, 非平衡态占据数长时极限下平均值$ \overline{\mathcal{I}} = \displaystyle\frac{1}{t_{2}-t_{1}} \int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathcal{I} \left( t\right) {\mathrm{d}}t $随统计角变化的情况^[23], 同样选取$ t_{1}=80, t_{2}=100 $. 由图可知, 遍历相区的粒子非平衡态占据数平均值不依赖于统计角, 而在多体局域相区, 长时极限下的$ \overline{\mathcal{I}} $的取值依赖于θ.

本文研究了一维有限尺寸下具有Stark势的相互作用任意子模型, 通过分数型Jordan-Wigner变换, 将其映射到一维具有密度依赖的跃迁型玻色子体系. 利用精确对角化方法, 分析了系统的能级差统计, 半链纠缠熵以及非平衡态占据数等序参量, 发现通过增大线性势强度γ, 系统可以从遍历相转变为多体局域相. 然而其多体局域化转变过程展现出依赖于统计角θ的行为. 从等效哈密顿量(4)式可以看出任意子的统计行为等效地改变了玻色系统的跃迁相互作用, 这是一个多体效应. 通过改变统计角θ进而改变系统的多体相互作用, 而多体相互作用强度的改变会影响多体局域化转变的发生, 这也是本文中多体局域化转变随统计角θ变化的原因. 本文的研究为任意子系统中多体局域化转变提供了思路, 而热力学极限下这一现象是否存在需要未来进一步讨论.