一般来讲, 基于时间反演对称性, 光波在介质中传播也具有对称性, 这是厄米物理系统的基本性质. 然而, 在某些实际应用中需要打破这种时间反演对称性, 例如, 当信号发射端和接收端连接在同一信道、信号源需要与负载隔离时等. 基于对称破缺效应, 实现光传播的非互易性可用于设计全光二极管、隔离器、循环器等新型光子器件. 这些器件具有单向导通性, 在光信息处理和量子网络等方面具有重要应用^[1–5]. 因此, 光传播非互易性的研究在信息科学、工程科学等领域具有重要意义^[6–8]. 破坏时间反演对称性的机制主要是基于线性磁光法拉第效应, 在外加磁场作用下, 介质的电磁参数在时间反演操作下发生变化. 但该机制往往需要庞大的磁体, 不易集成^[9–12]. 近年来, 随着对集成化需求的增大, 人们对无磁材料非互易性的研究取得重大进展. 基于光学非线性效应破坏时间反演对称性, 调节微腔和波导之间的距离, 使得耦合效率呈现非互易特性^[13,14]. 在回音壁模式微腔中, 通过调节两个耦合腔的增益和吸收建立非厄米系统实现光场的非互易传输^[15,16]. 利用介电常数的时空调制, 实现了宽带的非互易光隔离^[17,18], 并进一步在带间跃迁中获得波长可调的非互易光信号^[19,20]. 在光机系统中, 通过打破光学微腔与光子偏振态耦合的对称性能够实现经典光以及单光子水平的光学非互易^[21–26]. 此外, 空间对称破缺效应主要影响光在空间的传播特性, 能够在不破坏时间反演对称性的情况下实现光传播的非互易性. 例如, 基于多普勒效应的原理, 将热原子嵌入环形腔中, 原子的随机热运动产生了极化率动量锁定, 建立一种新型的非互易光学系统, 实验上实现了非互易光透射^[27,28]; 在均匀原子介质中, 当折射率、极化率或者介电常数的实部和虚部满足空间Kramers-Kronig关系, 无论入射角如何, 这种介质只能反射从一侧入射的光信号, 进而实现光传播的单向性^[29–33]. 特别地, 通过巧妙设计建立手性量子光学系统, 为光学非互易性的研究提供了更有效的技术手段^[34–36]. 以上非互易光学系统具有各自的优越性, 但也存在一定的局限性. 例如, 均匀原子介质中探测光的反射率往往比较低, 光力系统中对谐振腔的品质要求非常高. 因此, 建立多种不同的光学非互易系统是非常必要的.

光在一维原子晶格中传播时, 由于布拉格散射而形成较高的反射带^[37–44], 在非互易光传播系统中备受青睐. 例如, 一维原子晶格中利用驻波耦合场调制极化率构造PT(parity-time)对称系统, 实现非互易光反射的操控^[45,46]; 在一维运动光晶格系统中, 利用多普勒频移将介质左右两侧入射光的反射和透射带分开, 形成完美的单向光传播^[47,48]. 最近, 本研究组利用空晶格打破介质空间结构的对称性进而破坏探测光极化率的空间对称性, 在一维缺陷原子晶格系统中基于电磁感应透明^[49–51]实现了完美单向反射的调控^[52]. 在文献[52]中, 我们把一维缺陷原子晶格分成两部分, 空晶格周期性出现在第一部分, 第二部分为满晶格周期性排布. 通过调节第一部分空晶格的排布和出现的周期来优化非互易反射带, 最终可实现左右反射的对比度高于95%, 甚至在某些频率域接近100%. 近年来, 原子晶格中光学特性的实验研究也取得了许多重要成果^[53–55], 这也为理论研究提供了更多的可行性.

为了进一步探究一维缺陷原子晶格中非互易光反射的调制, 在工作[52]的基础上, 我们考虑打破空晶格的周期性排布, 建立一维准周期缺陷原子晶格系统. 第一部分由空晶格(无原子分布)和满晶格(原子呈高斯分布)构成缺陷晶格结构, 用斐波那契数列($ b(n)=b(n-1)+b(n-2), n\geqslant 2, b(0)=0, b(1)=1 $)调控空晶格的分布, 即每间隔a个满晶格出现b(n)个空晶格构成缺陷原子晶格, 并使这种缺陷结构周期性出现(周期数为c). 同时, 第二部分由1500个连续满晶格组成. 数值结果显示, 当斐波那契数列$ n \geqslant 7 $时, 能够得到一个对比度几乎为1的非互易反射带, 其带宽可达到5 MHz. 我们的系统无需破坏时间反演对称性, 利用空晶格在整个原子晶格中的非对称排布打破介质的空间对称性, 进而破坏探测光极化率的空间对称性, 同时光在晶格中多次反射能够形成很好的带隙, 有效地实现光波从缺陷原子晶格两侧入射时左右反射的完美非互易性.

如图1(b)所示, 将⁸⁷Rb原子俘获在一维光晶格中, 利用激光将某些特定晶格中的原子驱动出去, 构成缺陷原子晶格. 这里, 将整个缺陷原子晶格分成两部分: 第一部分包括c个周期, 每个周期由a个满晶格和b(n)个空晶格交替组成, 其中b(n)由斐波那契数列($ b(n)=b(n-1)+b(n-2), n\geqslant 2, b(0)=0, b(1)=1 $)调制; 第二部分由1500个连续满晶格组成, 每个满晶格中的原子呈高斯分布, 粒子数密度为

$ {{{N}}_0} $为平均粒子数密度, $ {\sigma _{{z}}} = {\lambda _{{\mathrm{Lat}}}}/(2\pi \sqrt \eta ) $为高斯分布的半高宽, $ {z_0} $是第k个晶格周期的中心位置, 常数因子$ \eta = 2{U_0}/({{{k}}_{\mathrm{B}}}T) $取决于捕获深度$ {U_0} $和温度$ T $. 参考实验数据^[56], 我们选择$ {{{N}}_0} = 7 \times {10^{11}}{\text{ }}{\mathrm{cm}^{-3}} $, 这样两个原子之间的平均距离大于原子尺度, 原子间相互作用可忽略. 光晶格是由波长$ {\lambda _{{\mathrm{Lat}}}} = 2{\lambda _{0}} $的红失谐激光沿$ z $轴反射形成的, $ {\lambda _0} $是一个光晶格周期的长度. 探测场以波长$ {\lambda _{\mathrm{p}}} $相对于$ z $轴以小角度$ \theta \left( {\theta \simeq {1^0}—{2^0}} \right) $入射. 则有效的红失谐波长和入射光波长分别为$ {\lambda _{{\mathrm{Lat0}}}} $和$ {\lambda _{{\mathrm{p0}}}} $, 满足关系式$ \cos \theta = {\lambda _{\mathrm{p}}}/{\lambda _{{\text{Lat}}}} = {\lambda _{{\text{p0}}}}/{\lambda _{{\text{Lat0}}}} $, 即$ {\lambda _{{\mathrm{Lat}}}} > {\lambda _{\mathrm{p}}} $能够成功将原子俘获在光晶格中^[36]. 并由$ {\lambda _{{\text{Lat0}}}}/{\lambda _{{\text{Lat}}}} = {\lambda _{{\text{p0}}}}/{\lambda _{\text{p}}} = {n_{\text{p}}} $, 相应地, $ \varDelta {\lambda _{{\text{Lat}}}} = {\lambda _{{\text{Lat}}}} - {\lambda _{{\text{Lat0}}}} $为几何布拉格失谐. 当探测光在介质中传播满足布拉格散射则能够形成很好的反射带, 此时, 可进一步得到极化率与几何布拉格失谐的关系:

激光场和原子相干作用构成三能级Lambda型相干原子系统, 如图1(a)所示. 强耦合场频率(强度) ${\omega _{\mathrm{c}}}({E_{\mathrm{c}}})$和弱探测场频率(强度) ${\omega _{\mathrm{p}}}({E_{\mathrm{p}}})$分别作用在偶极允许的跃迁能级$\left| 2 \right\rangle \leftrightarrow \left| 3 \right\rangle $和$\left| 1 \right\rangle \leftrightarrow $$\left| 3 \right\rangle $上, 对应的拉比频率分别为$ \varOmega _{\rm c} = (E_{\rm c} \cdot {\boldsymbol d} _{23})/2\hbar $和$ {\varOmega _{\text{p}}} = ({E_{\text{p}}} \cdot \boldsymbol {d} _{13})/2\hbar $, 失谐分别为$ {\varDelta _{\mathrm{c}}} = {\omega _{\mathrm{c}}} - {\omega _{32}} $和${\varDelta _{\mathrm{p}}} = {\omega _{\mathrm{p}}} - {\omega _{31}}$. 其中$ {\boldsymbol d} _{ij} $和${\omega _{ij}}$分别对应量子化的电偶极矩算符矩阵元以及能级之间的跃迁频率.

在相互作用绘景下通过电偶极近似和旋转波近似, 可求得激光场与原子相互作用的哈密顿量:

将方程(3)代到密度矩阵方程$ \dot{\rho }=-\dfrac{{\mathrm{i}}}{\hslash }\left[{\boldsymbol{H}}, \rho \right]+\varLambda \rho $, 在弱场近似下求得稳态时探测场的极化率:

其中${\gamma _{{{ij}}}}$为各能级间的退相干弛豫速率, 满足关系式${\gamma _{ij}} = ({\varGamma _i} + {\varGamma _j})/2$, ${\varGamma _i}$和${\varGamma _j}$为自发辐射弛豫速率, 满足关系式${\varGamma _i} = \displaystyle\sum\nolimits_m {{\varGamma _{{\mathrm{im}}}}} $和${\varGamma _j} =\displaystyle \sum\nolimits_m {{\varGamma _{jm}}} $. 相应地, 空间周期性折射率为$ {{{n}}_{\mathrm{p}}}\left( z \right) = \sqrt {1 + {\chi _{\mathrm{p}}}\left( z \right)} $. 我们把每一个满晶格周期分成100层, 折射率$ {{{n}}_{\mathrm{p}}}\left( {{z_{{j}}}} \right) $决定了光在第$ {{j}} $层介质两侧界面的菲涅耳系数^[57]. 利用菲涅耳系数可求解每一层的传输矩阵, 用以描述探测光的反射和透射特性^[58,59], 得第$ {{j}} $层2×2传输矩阵$ {{\boldsymbol{m}}_{\mathrm{f}}}({{{z}}_{{j}}}) $:

通过每一层的折射率$ {{{n}}_{\mathrm{p}}}\left( {{z_{{j}}}} \right) $, 我们可以得到相应的透射系数$ {{{t}}_{\mathrm{p}}}({z_{{j}}}) $和反射系数$ {{{r}}_{\mathrm{p}}}({z_{{j}}}) $. 则每个满晶格的总传输矩阵为

由于空晶格中的折射率$ {{{n}}_{\mathrm{v}}} = 1 $, 相应的传输矩阵可以表示为

长度$ L = \displaystyle\sum\nolimits_n^k {\left[ {a + b\left( n \right)} \right]} \cdot c{\lambda _{0}} + d{\lambda _0} $准周期缺陷原子晶格总的传输矩阵可表示为

光从介质两侧入射的反射系数$ {{{r}}_{\mathrm{l}}} $, $ {{{r}}_{\mathrm{r}}} $和透射系数$ {{{t}}_{\mathrm{p}}} $分别为

相应的左右两侧反射率$ {{{R}}_{\mathrm{l}}} $, $ {{{R}}_{\mathrm{r}}} $分别为

由方程(2)可知, 反射带的形成要求极化率实部与几何布拉格失谐的交点应位于电磁感应透明(electromagnetically induced transparency, EIT)窗口处或大失谐处. 这里, 我们主要关注位于EIT窗口处的反射带. 如图1(c)所示, 反射带将围绕在$ {{{o}}_1} $点周围出现. 接下来, 我们将深入地讨论如何设置和优化参数, 以实现完美的非互易反射带. 左右反射的非互易程度可以通过对比度进一步判定:

不难看出, 对比度$ 0 \leqslant {{{C}}_{{R}}} \leqslant 1 $, 当左反射为0时, $ {{{C}}_{{R}}} = 1 $达到完美非互易, 可实现单向反射的操控.

在我们的系统中, 由斐波那契数列调控空晶格使得第一部分呈现准周期排布, 进而左侧的反射带发生了频移. 当斐波那契数列的值较小时不足以让左反射带明显频移, 而斐波那契数列过多、数值过大将会受到晶格长度的限制, 另外, 光晶格中形成带隙需要满足布拉格条件. 因此, 合理设置斐波那契数列的数量、空晶格出现的周期以及满晶格的数量是实现完美非互易光反射操控的关键.

我们首先考虑第一部分中只有一个周期($ c = 1 $)的无序缺陷原子晶格, 这里取$ a = 40 $, $ d = 1500 $. 图2(a)和图2(b)分别展示了$ n \in \left[ {2, 16} \right] $和$ n \in \left[ {2, 21} \right] $时, 探测光从介质两侧入射的左反射率(橙红色虚线)和右反射率(蓝色实线)随失谐的变化. 由于空晶格出现在第一部分, 使得整个介质的空间对称性被破坏, 从而左右反射不再互易并且随着n值的增大, 非互易的区域也向右发生频移且非互易性略有增强. 为了进一步探究非互易性的规律, 图2(c)和图2(d)分别展示了左右反射率随探测场失谐和斐波那契数列最大值对应的$ {n_{\max }} $的变化($ n \in \left[ {2, {n_{\max }}} \right] $). 可见, 非互易的频率域随着$ {n_{\max }} $的增大, 蓝移和红移交替出现, 且可由一个非互易区域变成两个. 但非互易性变化仍不明显, 主要是因为, 在$ n < 8 $时b(n)的值还不足20, 因此, 单个周期n值较小时缺陷对介质空间对称的破坏性较弱. 另外, 非互易频率域出现红移和蓝移的交替是由于探测光在第一部分传播时要满足布拉格条件:

其中$ {c_0} $为真空中的光速、任意正整数$ {{m}} $和满晶格的平均折射率$ \overline {{n_{\mathrm{p}}}({{z}})} $. 由于$ \overline {{n_{\mathrm{p}}}({{z}})} > {n_v} = 1 $, $ a \cdot \overline {{n_{\mathrm{p}}}({{z}})} + b(n) \cdot {n_{\mathrm{v}}} < \left( {a + b(n)} \right) \cdot \overline {{n_{\mathrm{p}}}({{z}})} $. 这意味着当一些满晶格被空晶格代替时, 光程将减小; 则频率$ {\omega _{\mathrm{p}}} $应该增大, 对应于$ {\varDelta _{\mathrm{p}}} $$ ({\varDelta _{\mathrm{p}}} = {\omega _{\mathrm{p}}} - {\omega _{31}}) $增大以满足布拉格条件. 而布拉格条件是周期性的, 所以非互易窗口也呈周期性的变化.

为了进一步研究斐波那契数列的分布对探测光非互易性的调制. 接下来将对每个准周期中斐波那契数列的个数、满晶格数量以及周期数等进行调节, 绘制左右反射率随探测场及耦合场失谐的变化情况. 通过图2结果可知少量的空晶格不足以造成极大的对称破缺效应, 探测光从介质两侧入射的非互易性较差. 加强对称破缺效应的根本途径是巧妙设计和增加空晶格数量, 这可以通过设计参数n, a和c来调制.

首先, 将准周期数c增大到10, 分析每个准周期中斐波那契数量变化对左右反射非互易的影响. 对比图3(a)和图3(b), 每个准周期中出现6组斐波那契数列, 但每组中由于n值不同导致b(n)的值也不同. 结果表明, n的取值范围较小时, 左右反射的非互易性并不明显. 当n的取值范围由$ n \in \left[ {2, 7} \right] $增大到$ n \in \left[ {8, 13} \right] $时非互易性明显增大. 可见, 只有空晶格的数量足够多才会对原子晶格的对称性产生破坏, 导致光场传播的非互易性. 值得强调的是, 由于缺陷部分是周期性出现的, 当满足布拉格散射条件时在相应的频率域仍可以形成反射带. 因此, 左右反射非互易的本质是左反射带发生频移, 而右侧反射带不受缺陷部分影响保持不变. 接着, 在左右反射带分开的基础上, 增大n的取值范围$ n \in \left[ {8, 17} \right] $时, 如图3(c)所示, 在频率范围$ {\varDelta _{\mathrm{p}}} \in (0, 10{\text{ }}{\mathrm{MHz}}) $内, 相比于图3(b), 左侧反射率明显降低. 即非互易性有所增强. 考虑到布拉格条件的周期性, n的取值范围线性增加将周期性调制非互易. 因此, 在$ n \in \left[ {8, 17} \right] $的情况下将对其他参量进行调制.

接下来, 进一步考虑每个准周期中满晶格数量a变化对左右反射非互易的调制. 如图4所示, 随着a值的减小左反射带产生蓝移现象并呈现降低的趋势, 同时新的反射带逐渐形成. 这是由于探测光在准周期结构的原子晶格中传播, 不同频率域内周期性满足布拉格条件所致. 可见, a和n是布拉格条件的关键参数, (12)式可以清楚地得到对带隙的周期性调制, 这导致左反射带周期性地与右反射带错开. 特别地, 当a值较大时带隙未能完成很好的错位, a值较小时虽然能够完美的错位, 但新的带隙也已形成. 参考左右反射的对比度和非互易频率范围, 我们选择a = 20时对左右反射的非互易性进一步优化.

在图4(b)的基础上增大准周期数c的值, 图5清晰地展示了左右反射和对比度随着c值的变化规律. 由图5(a)可见, 当c = 20时, 在$ {\varDelta _{\mathrm{p}}} \in ( - 5{\text{ }}{\mathrm{MHz}}, 5{\text{ }}{\mathrm{MHz}}) $的频率范围内可以实现对比度高达90%的非互易反射区. 我们更加期待增大非互易反射的频率范围, 因此, 继续增大c值试图降低左反射率. 由图5(b)和图5(c)可见, 随着c值的增大非互易区域的左反射率在降低. 值得注意的是, 左反射带没有明显的频移现象. 可见, 准周期数对带隙的位置几乎不影响, 但能够很好地抑制左反射率. 此时, 非互易反射区可增大到$ {\varDelta _{\mathrm{p}}} \in ( - 5{\text{ }}{\mathrm{MHz}}, \;7{\text{ }}{\mathrm{MHz}}) $.

在对单个准周期中满晶格数量a、斐波那契数列b(n)和准周期数c进行优化后, 我们已经得到对比度高于90%, 带宽频率域大于10 MHz的非互易反射. 进一步地, 考虑强耦合场失谐$ {\varDelta _{\mathrm{c}}} $对非互易反射的调制. 我们绘制了左右反射率随$ {\varDelta _{\mathrm{c}}} $和$ {\varDelta _{\mathrm{p}}} $的变化, 如图6(a)和图6(b)所示. 不难发现, 在完美的右反射带频率域内, 红移左反射带已经完全和右反射带错开, 而再次满足布拉格条件形成的新反射带也未进入右反射带的频率域. 另外, 随着$ {\varDelta _{\mathrm{c}}} $的增大, 非互易反射频率域发生蓝移, 且范围明显增大. 这样可以通过对耦合场失谐的设置调节非互易反射的位置、宽度等, 使得该系统中非互易光传播的操控更加灵活.

本文提出了一种一维准周期缺陷原子晶格, 用斐波那契数列调控空晶格的分布, 实现非互易反射的操控. 在这种特殊的缺陷原子晶格中, 通过优化每个准周期中满晶格数量a, 空晶格数量b(n)和准周期的周期数c, 可以实现对比度高于90%, 带宽大于10 MHz的非互易反射区. 并给出了以上几个参数的变化对非互易的调制规律, 具体分析了产生影响的物理实质. 进一步地, 通过改变耦合场的失谐能够有效地调制左右反射带的频率范围和宽度等, 使得非互易光传播的操控更具灵活性. 我们的结果为高品质光学二极管、隔离器以及循环器等新型非互易光子器件的设计提供了理论依据, 在量子计算和信息处理中具有潜在的应用价值.