拓扑相变作为凝聚态物理的前沿领域, 其物理内涵与传统相变存在本质区别^[1,2]. 传统相变通常由对称性破缺主导, 而拓扑相变则由系统拓扑不变量的突变表征, 与对称性变化无关^[3]. 这种独特的相变机制催生了拓扑绝缘体、拓扑超导体等新奇量子物态, 它们表面或边缘的拓扑保护态为低能耗电子器件和拓扑量子计算提供了潜在载体^[4]. 近年来, 非厄米物理的兴起进一步拓展了拓扑相变的研究图景^[5–23]: 非厄米系统中复能谱^[24–29]、非厄米趋肤效应等特性^[30–36], 颠覆了传统能带闭合方式与拓扑结构. 例如, 非厄米趋肤效应使得基于广义布里渊区理论的非布洛赫能带理论重构了体边对应关系^[30,31,36], 这不仅丰富了拓扑相变的理论框架, 更为探索非厄米体系的实际应用开辟了新路径.

周期驱动作为非平衡物理的重要调控手段, 为动态操控非厄米系统的拓扑性质提供了新维度^[37–43]. 在周期性外场 (如光场、声场)作用下, 系统哈密顿量呈现时间周期性, 其动力学演化由Floquet理论描述^[44–47]. 不同于静态体系, 周期驱动可诱导出Floquet准能谱的分层结构 (如零模能隙与π模能隙), 并打破热力学极限下的平衡约束, 实现拓扑数的动态调制^[48,49]. 这种由时间周期性驱动引发的物理效应, 为精准操控物质状态提供了新途径, 在量子信息处理、量子计算等领域展现出重要潜力.

另一方面, 长程跃迁在拓扑物态调控中扮演着愈发重要的角色^[50–54]. 相较于短程跃迁, 次近邻乃至更远程的粒子耦合会显著改变系统的局域化特性与能带拓扑. 例如, 静态系统中的次近邻跃迁可诱导出大拓扑数, 并和其强度成正相关关系. 另外, 跃迁幅度的相位自由度为改变体系的物理性质提供了新维度^[55–58]. 例如, 通过改变跃迁幅度的相位, 可诱导具有非平庸缠绕数的新型拓扑相, 进而改变拓扑相边界. 然而, 在动态非厄米系统中, 长程跃迁的效应尚未得到充分研究, 尤其是次近邻跃迁的强度与相位如何影响Floquet拓扑不变量及准能谱结构, 仍需深入探讨.

本文聚焦于周期驱动下含次近邻跃迁的非厄米系统, 系统研究了其拓扑相变与调控规律. 通过广义布里渊区框架下的非布洛赫Floquet理论, 数值求解系统的准能谱与拓扑不变量, 揭示长程跃迁、非厄米参数与周期驱动的协同效应对拓扑相结构的影响. 具体而言, 周期驱动不仅改变了零模的拓扑相边界, 还诱导出独特的π模能隙, 形成由零模相和π模相共同表征的复合拓扑相. 次近邻跃迁的引入可诱导大拓扑数, 但其在动态体系中的稳定性受非线性调控. 此外, 次近邻跃迁的相位同样可实现拓扑相边界的调制. 本研究旨在为理解非厄米体系中长程跃迁与动态调控的交叉效应提供理论框架, 并为相关实验研究和潜在应用开发提供理论支持.

考虑周期驱动下含有长程跃迁的非厄米模型, 其哈密顿量为

其中$ t_{1} $代表原胞内部跃迁幅度; $ t_{2} $代表相邻原胞之间的跃迁; $ t_{3} $代表次近邻原胞的跃迁; γ为非厄米参数; λ为驱动幅度, ω为驱动频率, 它们共同决定了外部周期驱动对系统的作用强度和频率特性; $ C^\dagger_{n, A(B)}( C_{n, A(B)}) $为在第n个原胞A(B)子格点处的产生 (湮灭)算符; $ \displaystyle\sum\nolimits_{n} $表示对一维晶格所有原胞 (n为原胞索引, 涵盖系统全部空间格点)求和. 在周期性边界条件下, 利用傅里叶变换, 该哈密顿量可改写为如下形式的Bloch哈密顿量:

其中$ d_{x} = t_{1} + t_{2}\cos(k) + t_{3}\cos(2 k) - \dfrac{1}{2}\text{i}\gamma\sin(k) $, $ d_{y} = \dfrac{1}{2}\text{i}\gamma\cos(k)+t_{2}\sin(k)+t_{3}\sin(2 k) $, ${{ \sigma}}_{x, y} $代表泡利矩阵, 求和符号表示对动量空间所有波矢进行求和. 显然, 该体系具有手征对称性: ${\boldsymbol{ \sigma}}_{z}{\boldsymbol H}({\boldsymbol k}, t){\boldsymbol{\sigma}}_{z}^{-1} = -{\boldsymbol H}({\boldsymbol k}, -t) $, 这种对称性确保该体系的能量值以成对形式$ (E, -E) $存在^[59], 这对于理解系统的能谱结构和拓扑性质具有重要意义.

基于上述理论模型, 对该体系的准能谱进行 数值计算. 为了准确得到开边界能谱, 对非厄米 矩阵对角化时, 应当保留足够多的位数, 即使用高精度计算. 对于边带n, 含时薛定谔方程可表示为$ {\rm{i}} \dfrac{\partial |\varPsi_{n}(k, t)\rangle}{\partial t} = {\boldsymbol{H}}(k, t)|\varPsi_{n}(k, t)\rangle $, 对其波函数进行傅里叶分解$ |\varPsi_{n}(k, t)\rangle = {\rm{e}}^{-{\rm{i}} \varepsilon_{n}(k)t} \displaystyle\sum\nolimits_{\alpha}{\rm{e}}^{{\rm{i}} \alpha \omega t} $, 其中$ \varepsilon_{n}(k) $是体系的准能量, 将其代入可以得到Floquet哈密顿量$ {\boldsymbol{H}}_{{\rm{F}}} $^[59,60]:

其中$ {\boldsymbol{H}}_{0} = d_{x}{\boldsymbol{\sigma}}_{x}+d_{y}{\boldsymbol{\sigma}}_{y} $, $ {\boldsymbol{H}}_{\pm 1} = \dfrac{\lambda}{2}{\boldsymbol{ \sigma}}_{x} $. 由于Floquet哈密顿量是无穷维的, 在实际计算和展示准能谱时, 需要对其进行合理截断.

如图1(a)所示, 当体系不存在周期驱动时, 能谱中没有出现零模. 当引入周期驱动后, 零能模依然未出现, 但是一个非同寻常的能隙出现在无能隙准能量值$ \epsilon = \pi $处 (图1(b)中的红色点), 其中$ \epsilon = \dfrac{2\pi}{\omega}\varepsilon $. 这一能隙的出现意味着系统在周期驱动下产生了全新的能量状态和拓扑特性.

为了深入剖析系统的拓扑性质, 拓扑不变量是必不可少的研究工具. 在非厄米静态系统中, 描述边缘模的拓扑不变量不再依赖于传统的Bloch理论, 而是基于非Bloch能带理论. 该理论的核心在于对广义布里渊区的计算. 具体操作时, 将Bloch哈密顿量$ {\boldsymbol{H}}(k) $中的k由实数域扩充到复数域, 并记$ \beta = {\mathrm{e}}^{\text{i}k} $, 从而得到非Bloch哈密顿量$ {\boldsymbol{H}}(\beta) $. 此时, $ \det[{\boldsymbol{H}}(\beta)-{\boldsymbol{E}}] $成为关于β的代数方程. 将该代数方程的解记为$ \beta_{{i}}~({i} = 1, 2, \cdots, 2 N) $, 并按照模的大小进行排序: $ \left|\beta_{1}\right| \leqslant \left|\beta_{2}\right|\leqslant\cdots\leqslant\left|\beta_{2 N}\right| $. 广义布里渊区由满足$ |\beta_{N}| = |\beta_{N+1}| $的$ \beta_{N} $和$ \beta_{N+1} $决定^[30,31]. 这一概念突破了传统布里渊区的限制, 能够更准确地刻画非厄米系统的拓扑特性, 图1(c)中的蓝色线展示了静态体系的广义布里渊区. 这一结论可以直接应用于非厄米周期驱动体系, 但需要注意, 由于周期驱动体系的准能量ϵ具有2π的周期性, 因此需将其准能量值限制在一个周期之内. 图1(d)的蓝色线显示了其广义布里渊区. 通过对比可以发现, 一般情况下, 非厄米周期驱动体系的广义布里渊区和布里渊区并不相同, 这种差异反映了非厄米系统与传统厄米系统在能带结构上的区别.

在确定了广义布里渊区后, 接下来定义周期驱动系统的非Bloch拓扑不变量. 对于本文所研究的体系, 哈密顿量呈现周期含时特性: ${\boldsymbol{ H}}(\beta, t+T) = {\boldsymbol{H}}(\beta, t) $, 周期为$ T = \dfrac{2\pi}{\omega} $. 基于此, 将非Bloch时间演化因子$ {\boldsymbol{U}}(\beta, t) $定义为满足微分方程$ {\rm{i}}\partial_{t}{\boldsymbol{U}}(\beta, t) = {\boldsymbol{H}}(\beta, t){\boldsymbol{U}}(\beta, t) $的解. 那么$ {\boldsymbol{U}}(\beta, t) $在形式上可写作:

其中$ {\cal{T}} $代表时间排序算符, 它确保了哈密顿量在含时作用下, 时间演化的顺序性. 哈密顿量的周期性导致$ {\boldsymbol{U}}(\beta, t) $的准周期性: $ {\boldsymbol{U}}(\beta, t+nT) ={\boldsymbol{U}}(\beta, t)\times [{\boldsymbol{U}}(\beta, T)]^{n} $, 我们称演化一个周期的$ {\boldsymbol{U}}(\beta, T) $为非布洛赫Floquet算符. 当$ {\boldsymbol{U}}(\beta, T) $的准能谱在$ {\rm{e}}^{-{\rm{i}} \epsilon} $附近存在能隙时, 可以定义非布洛赫有效哈密顿量

其中$ \ln_{\alpha} $代表沿着与角度α的轴进行割线的复对数, 当$ \epsilon-2\pi < \phi < \epsilon $时, 定义$ \ln_{\epsilon}{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\phi} = {\mathrm{i}}\phi $^[61]. 这是构建非布洛赫Floquet拓扑不变量的一个关键要素. 需要注意的是, 根据定义, 有效哈密顿量$ {\boldsymbol{H}}_{\text{eff}}^{\epsilon}(\beta) $不具有手征对称性: $ {\boldsymbol{\sigma}}_{z}{\boldsymbol{H}}^{\epsilon}_{\text{eff}}(\beta){\boldsymbol{\sigma}}_{z} = -{\boldsymbol{H}}^{-\epsilon}_{\text{eff}}(\beta)+ \omega $, 并且它并不包含每个周期内的详细演化信息. 因此, 为了更全面地描述系统性质, 定义非布洛赫周期演化算符

$ {\boldsymbol{U}}_{\epsilon}(\beta, t) $满足周期性$ {\boldsymbol{U}}_{\epsilon}(\beta, t+T) = {\boldsymbol{U}}_{\epsilon}(\beta, t) $. 重要的是, 其在准能量$ \epsilon = 0 $和π时的半周期处具有手征对称性:

因此, $ {\boldsymbol{U}}_{0}\left( {\beta, {T}/{2}} \right) $和$ {\boldsymbol{U}}_{\pi}\left( {\beta, {T}/{2}} \right) $分别具有非对角和对角形式:

基于此, 非布洛赫拓扑不变量可定义为

显然, $ W_{\epsilon = 0, \pi} $由当β沿着广义布里渊区移动时, $ U^{+}_{\epsilon = 0, \pi}(\beta) $的相位改变所决定. 在复平面上, 当β沿广义布里渊区逆时针方向变化时, $ U^{+}_{\epsilon = 0, \pi}(\beta) $会在复平面形成曲线, $ W_{\epsilon = 0, \pi} $则由该曲线环绕原点的次数决定. 该拓扑不变量在物理上对应准能量零模与π模是否出现. 如图1(e)和图1(f)所示, $ U^{+}_{\epsilon = 0}(\beta) $和$ U^{+}_{\epsilon = \pi}(\beta) $环绕原点的次数分别为$ 0 $和$ 1 $, 代表$ W_{\epsilon = 0} = 0 $和$ W_{\epsilon = \pi} = 1 $. 这为研究系统的拓扑性质提供了定量描述, 有助于深入理解系统中边缘态的拓扑起源和稳定性.

接下来, 基于上述理论, 阐述长程跃迁对系统拓扑性质的影响.

图2(a)首先描绘了不具有长程跃迁 ($ t_{3} = 0 $)时非厄米静态体系的相图, 展示了拓扑数$ W = 0 $和$ W = 1 $, 这表明静态系统的拓扑结构相对简单, 主要由这两种拓扑数描述. 当仅加入周期驱动后, 对比图2(b)和图2(a)可以发现, 在图2(b)的四个角落边界处, 出现非平庸零模相. 这一现象说明周期驱动对系统的拓扑结构产生了显著影响, 它改变了零模拓扑相的分布区域. 更为重要的是, 图2(c)显示周期驱动同时诱导了非平庸π模相的出现. 这进一步丰富了系统的拓扑相图, 体现了外部周期驱动对系统拓扑性质的重要调制作用. 图2(d)展示了以$ t_{1} $为自变量的静态系统的开边界能谱, 可以清晰观察到零能模, 且其范围与图2(a)相对应, 验证了前面关于静态系统拓扑特性的结论. 图2(e)展示了加入周期驱动后零能模的范围发生了改变, 在特定的参数范围内会出现零能模, 并且准能量值π也会出现. 再次证明了周期驱动对系统准能谱和拓扑结构的重要影响, 它不仅改变了零能模的分布范围, 还引入了新的能量状态 (π模). 此外, 如图2(f)所示, 在加入次近邻跃迁$ t_{3} $后, 出现了一个新的拓扑相$ W_{0} = 2 $, 这有力证明了长程跳跃可以诱导出新的周期驱动拓扑相.

为了更清晰全面地研究长程跃迁对拓扑结构的影响, 图3(a)展示了随着$ t_{3} $变化的相图. 可以发现, 随着$ t_{3} $的变化, 体系的零模和π模对应的相均出现了新的拓扑数$ W_{0, \pi} = 2 $, 这进一步证实长程跃迁确实可以诱导长程拓扑相. 但有趣的是, 图3(a)显示并非是随着$ t_{3} $的增大, 相$ W_{0, \pi} = 2 $随之出现, 反而是$ t_{3} $的增大会导致$ W_{0, \pi} = 2 $的消失. 这表明在某些情况下, 长程跃迁反而会对体系的大拓扑数产生抑制作用. 为了更全面地验证该现象, 图3(b)和图3(c)以$ t_{3} $和γ为自变量, 分别刻画了零模和π模对应的相图. 可以看到对于任意固定的γ, 随着$ t_{3} $的增大, 大拓扑数确实突变消失, 这再次表明长程跃迁对周期驱动体系大拓扑数并非起单调调制作用. 图3(d)和图3(e)显示了以$ t_{3} $和$ t_{1} $为自变量的相图. 同样发现随着$ t_{3} $增大, 大拓扑数消失. 为了突出次近邻对周期驱动的非单调行为, 图3(f)展示了静态体系的拓扑相图. 可以发现在静态体系中随着$ t_{3} $增大, 大拓扑数随之出现, 并且不会消失, 这和周期驱动情况形成鲜明对比.

接下来探究次近邻跃迁具有相位时对体系拓扑性质的影响, 即$ t_{3}\rightarrow t_{3}{{{\mathrm{e}}}}^{{{{\mathrm{i}}}} \theta} $, 同时其厄米共轭位置变换为$ t_{3}\rightarrow t_{3}{\rm{e}}^{-{\rm{i }}\theta} $, 该变换保证了次近邻跃迁的厄米性. 首先在图4(a)和图4(b)中展示了不含相位的拓扑相图. 可以看到, 随着$ t_{3} $增大, 大拓扑数消失的现象依然存在, 这再次验证了长程跃迁对大拓扑数具有非单调关系的结论. 同时, 图4(c)和图4(d)展示了$ \theta = {\pi}/{2} $, 即$ {\rm{e}}^{{\rm{i}} \theta} = {\mathrm{i }}$时的相图, 此时非零相位使得各个拓扑相出现的位置发生变化. 这意味着在不改变跃迁幅度大小的前提下, 仅仅通过调整相位, 就可以得到新的拓扑数. 这为调控体系的拓扑性质提供了一个全新的维度, 使得我们可以从相位调控的角度出发, 探索更多新颖的拓扑态. 为了更全面展示相位对体系拓扑性质的影响, 在图4(e)和图4(f)中以$ {\rm{e}}^{{\rm{i}}\theta} $为自变量画出了相图, 可以看到此时零模相仍具有大拓扑数, 但π模相的大拓扑数已完全不存在. 这一结果说明了相位对不同准能量模拓扑性质的影响存在差异, 揭示了相位调控拓扑性质的复杂性和多样性. 最后, 图4(g)和图4(h)展示了相位$ {\rm{e}}^{{\rm{i}}\theta} $与$ t_{3} $之间的协同调控效应. 可以看到对于任意固定的相位, 随着$ t_{3} $的增大, 大拓扑数也是消失不见的. 这种特性在实际应用中具有重要意义, 例如在设计新型量子器件时, 可以利用相位调控来实现特定的拓扑态, 为实验上实现拓扑态的可控调制提供了新的思路和方法.

本文聚焦于周期驱动下含次近邻跃迁的非厄米系统, 通过构建理论模型, 结合广义布里渊区理论与Floquet拓扑不变量方法, 探究了其拓扑相变与调控规律. 研究发现, 周期驱动不仅改变了零模的拓扑相边界, 还诱导出独特的π模能隙, 丰富了系统的拓扑相图, 形成由零模相和π模相共同表征的复合拓扑相结构. 这一结果揭示了周期驱动作为非平衡物理的调控手段, 能够打破静态体系的限制, 为拓扑性质的调控开辟新途径.

次近邻跃迁在该系统也展现独特的作用. 它可以诱导大拓扑数, 然而与静态体系不同, 在周期驱动下, 大拓扑数仅在特定参数区间出现. 随着次近邻跃迁强度增大, 大拓扑数相反而消失, 体现出动态体系区别于平衡态的非单调调控特性. 这一现象表明, 在动态非厄米系统中, 长程跃迁对拓扑数的影响更为复杂, 不再遵循静态体系中的简单规律. 此外, 次近邻跃迁相位的引入为拓扑相边界的调制提供了新的维度. 通过改变相位, 在不调整跃迁幅度大小的情况下, 就能够改变拓扑相的边界, 得到不同的拓扑数, 并且相位对零模相和π模相的拓扑性质影响存在差异. 这种相位调控特性在实际应用中意义重大, 例如在设计新型量子器件时, 可利用相位调控实现特定拓扑态, 为实验上实现拓扑态的可控调制提供了新的思路和方法.