本文利用一维流体力学模型进行模拟，以Ar和O₂作为背景气体，考虑了电子，正负离子，中性粒子等15种粒子，涉及到上百种化学反应，粒子间的反应及其参数可见参考文献[26]。模拟中包含的粒子见表1。

本文采用一维流体力学模型，电子密度n_e由连续性方程给出：

其中R_e是电子的源项，也就是电子的产生项和损失项，电子通量Г_e是通过漂移−扩散近似的方法得到的：

式中μ_e和D_e分别代表电子的迁移率和扩散系数。为了求解方便有效，对离子通量也采用漂移近似的方法：

其中n_i和Г_i分别为离子的密度和通量，R_i是离子的反应源项，μ_i和D_i分别代表离子的迁移率和扩散系数。但是离子的质量较大，无法瞬时响应电场，而式（4）是在假设粒子能够瞬时响应电场的条件下得到的。因此引入了有效电场$ {E_{{\text{eff,i}}}} $来代替电场$ E $。有效电场既考虑离子的运动状态又考虑离子质量，是离子实际受到的电场，因此使用有效电场能够更加准确的描述离子的运动轨迹。有效电场由式（5）给出：

其中ν_m,i = e/m_iµ_i代表离子的动量运输频率，m_i是离子的质量, µ_i是离子的迁移率。

中性粒子由于不带电荷，不会受到电场的影响，其密度用n_n表示，扩散系数用D_n表示，R_n代表O，O₃等中性粒子的反应源项。其式如下：

通过泊松方程将所有粒子耦合在一起：

其中$ {\varepsilon _0} $是真空介电系数，n₊为正离子密度，n₋为负离子密度，$ \phi $为电势，E为电场强度。

最后，电子能量方程可由式（9）表示：

其中T_e是电子温度，R_w是电子的能量损失项，电子能流密度Г_w可以由式（10）表示：

离子温度和中性气体温度均假设为300 K，因此不考虑其热能方程。 但离子的动能E_i在等离子体工艺中有很重要的作用，将在讨论部分进行重点研究，其式如下：

其中m_i和v_i分别为离子的质量和速度。

图1为本文采用的放电装置，容性耦合反应器的下极板接地，上极板接电压V=V₀sin(ωt)的驱动电源。上、下极板处的电子通量为：

式中Θ= 0.25，是电子器壁上的反射系数。电子平均热运动速度${u_{{\text{th}}}} = \sqrt {8{k_{\text{B}}}{T_{\text{e}}}/{\text{π }}{{\text{m}}_{\text{e}}}} $，上下极板处的电子能流密度可以由式（13）表示：

负离子流通量在边界处为0，而正离子通量在边界处连续，也就是在边界处的梯度为零，那么对于离子式，则有：

对于中性粒子及其自由基，边界处的中性粒子流为：

其中${u_{{\text{th,n}}}} = \sqrt {8{k_{\text{B}}}{T_{\text{n}}}/{\text{π }}{{\text{m}}_{\text{n}}}} $代表中性粒子的热运动速度。s_n为其粘附系数。当碰到器壁时，气体分子会反射，而激发态气体会变成去激发态，所以可以认为气体分子粘附系数为0，激发态气体的粘附系数为1。

本文在对低频容性耦合Ar/O₂放电的研究中采用一维流体力学模型，重点讨论了电压、气压、极板间距对电离率，电子密度、电子温度、离子能量等放电参数的影响。电源频率为40 kHz，气体组分为Ar/O₂=8:2，二次电子发射系数γ_se=0.2，以下讨论均基于稳定流体模型，也就是相邻2个周期内放电参数的相对变化小于10⁻⁶。

本节主要讨论了电压幅值变化对低频气体放电的影响，控制气压为300 mTorr，极板间距为3 cm，令电压幅值V₀分别为150，200，250 V。图2给出了不同电压下电离率的时空分布。可以看出，该混合气体始终为γ放电模式主导的γ-DA混合模式，但由于γ模式峰值为4.8×10¹⁶ cm⁻³s⁻¹，DA模式峰值为3.09×10¹⁴ cm⁻³s⁻¹（以V₀=200 V为例），γ模式远强于DA模式，这导致DA模式没有显现。在这种放电模式下，离子和中性粒子轰击极板，会产生大量的二次电子。随着电压的升高，电离率的最大值呈指数型增长，从150 V时的8×10¹⁵ cm⁻³s⁻¹增加到了250 V时的4.84×10¹⁸ cm⁻³s⁻¹。这种变化可能的原因是，随着电压的升高，电场强度增大，二次电子在鞘层电场中获得的能量增加，并发生雪崩式的电离，电离率迅速增大。此外，电源频率很低，放电接近于直流放电，而电压施加在上极板上，这导致上极板的电离率峰值较高，出现了不对称性。

图3中的电子密度和电子温度取同一周期内的平均值。从图3（a）中能够看出，电子密度整体在放电区域内呈抛物线形，也就是说，等离子体区的电子密度比鞘层区的等离子体密度高。伴随着电压的增大，电子密度呈指数型上升，极板中心处的电子密度从3.01×10⁹ cm⁻³提高到了1.81×10¹² cm⁻³，增加了近三个数量级。在图3（b）中能够看出，鞘层区的电子温度很高且下降十分迅速，相比之下，等离子体区的电子温度只有不到2 eV且分布均匀。随着电压的增加，电子温度的最大值也有所上升，而等离子体区的电子温度减小。

出现这种变化规律可能的原因如下：二次电子穿过鞘层区时会发生雪崩式电离^[27]，电子密度迅速增加，电子温度下降，而在等离子体区由于DA模式极其微弱，电场强度几乎为零，电子与气体碰撞频率较低，电子密度和电子温度的变化趋于平缓。由于电源电压几乎全部加在极板上，当电压增大时，极板边缘处的电子由于电场的加速作用获得了更高的初始速度，也就具有了更大的初动能及初始温度，与此同时，更大的动能也使得二次电子与中性粒子发生更多的碰撞，电子密度上升，电子也由此失去了更多的能量，电子温度下降的更快，等离子体区的电子温度更低。

在Ar/O₂放电中，氧原子O等活性粒子和O₂⁺等高能离子在等离子体清洗，半导体，刻蚀等应用中发挥重要作用。图4展示了氧原子和O₂⁺密度的空间分布，可以看出，两种粒子的密度都随着电压的增加而迅速增大。这是由于这两种粒子是由电子和O₂碰撞发生电离产生的，而电压的增大使得电子密度迅速增加，碰撞加剧，更多的O₂被分解、电离产生了大量的O原子和O₂⁺离子。

等离子体中的高能离子在材料处理方面有重要应用，图5给出了不同电压下上极板处O₂⁺能量随时间的变化。由式（4） $ {\Gamma _{\text{i}}}{\text{ = }}{\mu _{\text{i}}}{n_{\text{i}}}E - {D_{\text{i}}}\partial {n_{\text{i}}}/\partial x $可知，离子速度的变化趋势与电场强度相同。为了验证这一结论，图6给出了V₀=200 V时一个周期内上极板边界处电场强度的变化规律。

从图6中能够看出，电场强度在前半周期先减小后增大（由于前半周期电场强度较小，故将前半周期变化趋势放大后置于图6左侧），在后半周期先增大后减小，且前半周期电场强度远小于后半周期。导致这一变化的原因可能是，前半周期上极板电压增加，抬高了体区电势，不利于形成鞘层和发生电离，在后半周期，由于电源频率过低近似直流放电，且极板电位在下降，有利于形成阴极鞘层和发生电离。图6中电场变化趋势与图5中V₀=200 V时的离子能量变化趋势相同，验证了上述结论。此外，根据图5能够看出，整体上离子能量随着电压的上升成指数型上升。导致这一结果可能的原因是，电源电压增大时，鞘层就会有更大的电位降，离子在穿过鞘层的过程中就会获得更高的能量，进而产生更多的二次电子，使电子密度进一步上升。

本节控制电压V₀ = 200 V，极板间距为3 cm，改变气压分别为200，300和450 mTorr。图7给出不同气压下电离率的时空分布，有图可知随着气压的增加电离率迅速增大。导致这一现象的原因是：气压增大意味着背景气体增多，从而增大了电子与背景气体的碰撞频率，从而使气体发生更多电离，使得电离率迅速增加。此外，需要强调的是，虽然气压会增强气体的电负性^[28]，但放电仍然处于γ模式，DA模式没有显现，这说明在低频放电下γ模式远强于DA模式。

由图8可以看出，电子密度主要分布在等离子体区，电子温度主要分布在鞘层区，随着气压的升高，电子密度的峰值从气压为200 mTorr时的8.32×10⁹ cm⁻³提升到了450 mTorr时的4.56×10¹¹ cm⁻³，增加了近2个数量级。而电子温度却在整个放电区域内略有下降。电子密度和温度的这些变化是与平均自由程有关。由$\lambda = kT/\sqrt 2 \sigma P$可知，平均自由程会随着气压升高而减小，鞘层区的二次电子与中性粒子的碰撞更加剧烈，更多的气体被电离，电子密度增大，但这也使电子损失了更多的能量，电子温度减小。

图9为不同气压下O₂⁺离子和氧原子O密度的空间分布。由图可见与电子密度分布类似，O₂⁺和O密度主要分布在等离子体区，且随着气压上升，其密度也迅速增大，增加近2个量级。这是由于随着气压的增加，O₂的密度增大，电离更加频繁所导致的。由于电源频率非常低且电压加在上极板，上极板处的等离子体密度略大于下极板处的等离子体密度。与图4相比可以看出，气压对等离子体密度的影响小于电压的影响。

图10为不同气压下上极板处O₂⁺离子能量的变化，可以看出，气压每增加100 mTorr左右，离子能量峰值增加约一到两个数量级。这一现象可能的原因是，随着气压的升高，电子密度增大，生成了更多的离子，使得离子密度也随之增大，单位面积内撞击到极板处的高能离子增多，致使极板处的离子能量增大。此外，一个周期内的离子能量变化趋势与图5相同。

本节讨论了极板间距对低频气体放电的影响，控制电压V₀=200 V，气压为300 mTorr，调节极板间距分别为2，3，4 cm，得到电离率和电场强度的时空分布如图11所示。

由图11（a）可以看出，伴随着极板间距的增加，电离率会增大。这是由于当极板间距比较小时，鞘层区的电场强度较弱，电子在鞘层的电场中获得的能量较小，与此同时，等离子体区为碰撞提供的有效体积很小。由图11（b）可以看出当极板间距增大时，鞘层区电场增强。电子被电场加速到更高的能量，并且等离子体区变大，电子与背景气体碰撞的有效体积增大，二次电子经历充分的碰撞，使电离率进一步上升。

图12给出了电子密度和电子温度的空间分布，由图12（a）可以看出随着极板间距增大，电子密度上升，其峰值从d=2 cm时的2.1×10¹⁰ cm⁻³增大到了d=4 cm时的2.52×10¹¹cm⁻³，增加了一个数量级。由图12（b）能够看出电子温度呈下降趋势。

发生这一现象可能的原因是，极板间距增大，电离率上升，电子密度增大，电子损失了更多的能量，与此同时，更大的等离子体区使得能量被分散，导致电子温度进一步下降。

由图13中可以看出，O和O₂⁺的密度都随着极板间距增加而增大。发生这一现象是由于极板间距的增加使电子与背景气体有更大的碰撞有效体积，进而生成更多的氧原子和O₂⁺离子。相对比于图4和图9，可以发现极板间距对离子密度和中性粒子的影响弱于电压和气压的影响。

图14给出了不同极板间距下上极板处O₂⁺能量的变化。可以看出，O₂⁺能量在一个周期内变化趋势与图5相同。离子的能量随着极板间距的增大而增大。这是因为随着极板间距的增加，离子在电场中的加速路径变长，电场强度随着极板间距变大而增强，这使得离子在电场中获得了更高的能量。但相比于电压和气压对离子能量的影响，极板间距的影响相对较弱。

本文在对40 kHz的Ar/O₂放电特性研究中使用了一维流体模型，关注了电压、气压、极板间距对电子密度、电子温度、中性粒子密度(O)、O₂⁺离子密度和能量的影响，等离子体参数随外界条件变化如下：

（1）当增加电压时，电子密度上升了接近三个数量级，等离子体区的电子温度降低但鞘层的电子温度升高，而在等离子体清洗，刻蚀等领域有重要作用的氧原子和O₂⁺离子也随着电压升高而大幅度增加，离子能量更是增大了近三个数量级，由此可见，电压对低频等离子体特性起着非常重要的作用。

（2）当增大气压时，电子密度随着气压的升高增大了两个数量级，鞘层区和等离子体区的电子温度均下降。氧原子和O₂⁺离子的密度也随着气压升高而增大，但气压对等离子体密度的影响小于电压的影响。

（3）当增大极板间距时，电子密度随着极板间距的增大而增大，电子温度则有所下降。氧原子和O₂⁺离子的密度也有所上升。从整体上看，其影响弱于电压和气压产生的影响。

此外，需要强调的是，当改变各种外界条件时，放电一直处于γ模式，DA模式由于十分微弱没有显现，这说明在低电源频率下γ模式远强于DA模式。

综上所述，本文展现了低频等离子体的放电特性，放电始终由γ模式主导，具有较高的离子能量。电压、气压、极板间距的增加均会增大等离子体密度和离子能量。其中电压对等离子体密度产生的影响是最大的，这对材料表面处理，材料改性等工艺是非常有意义的。