非平衡量子多体系统的热化问题在凝聚态物理和量子信息科学领域具有重要的研究价值^[1–3]. 对于不可积量子多体系统, 通常借助本征态热化假说(eigenstate thermalization hypothesis, ETH)描述系统的热化过程: 热化后量子态的局域可观测量由与其能量一致的微正则系综决定, 使得演化后的量子态与热系综之间无法通过局域测量进行区 分^[4,5]. 尽管ETH在许多数值分析和实验中得到 了验证, 但并非适用于所有情况, 可积的量子多体系统^[6,7]和多体局域化的量子相^[8,9]就是两个典型的反例.

理论和实验研究发现了一类新的违反ETH的动力学过程. 例如, 在Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki自旋链^[10]、PXP模型^[11]和自旋-1的XY模型^[12]中, 一些特殊初态在淬火动力学下呈现出弱热化现象, 称为量子多体伤痕(quantum many-body scar). 这些初态被称为量子多体伤痕态, 通常位于能谱的中部, 由等间隔的本征激发态组成. 这些初态的二分纠缠熵(bipartite entanglement entropy)呈现出亚体积定律$ S\propto \log{L} $, 与能谱主体中的各个本征态纠缠熵明显分离, 以异常值存在于本征能谱中^[13–15]. 彩虹伤痕态(rainbow scar)的出现进一步加深了人们对多体伤痕态的理解^[16–22], Langlett等^[16]指出, 彩虹伤痕态在保持简单纠缠结构的同时, 具备大量的二分纠缠熵, 满足独特的体积定律$ S\propto L $关系. 该态由大量长程的爱因斯坦-波多尔斯基-罗森(EPR)纠缠对构成. 由于EPR对具有最大纠缠的特性, 该态的纠缠熵与能谱中其他本征态显著分离, 成为彩虹伤痕态存在的证据之一^[23,24].

彩虹伤痕态为各类非平衡量子系统的弱热化问题研究提供了全新的工具, 其概念最初被提出用于研究自旋-1/2的XYZ模型^[16]. 随后Wildeboer等^[17]将其推广至双层的海森伯模型、玻色哈伯德模型和费米哈伯德模型, 并系统分析了其在这些模型中的能级组成与最大纠缠特性. 此外, 通过在海森伯模型中引入外磁场噪声, 文献[18, 25]进一步探讨了多体局域化现象与彩虹伤痕态之间的联系. 近年来, 分形子模型由于具有独特的拓扑特性^[26–29]在量子信息科学和凝聚态物理中引起了广泛的关注^[30–32]. 该模型的子系统对称性极大地限制了粒子的运动, 阻碍热平衡的建立, 从而导致了一系列新奇的非平衡动力学过程, 例如, 在三维系统中的玻璃态动力学^[33,34]以及低维系统中的各类避免热化过程^[24,35–37], 其中态空间破碎化现象分别在一维和二维倾斜的费米哈伯德模型中得到实验观测和验证^[38–40]. 当前, 该领域的重要研究方向之一是在分形子模型中寻找并构造多体伤痕态^[35,36,41]. 为此, 本文利用彩虹伤痕态这一新颖工具, 研究其在模型中的能级组成、纠缠特性和动力学行为, 从而为理解分形子模型的弱热化过程提供新的视角.

本文对分形子模型中的彩虹伤痕态进行研究. 模型基于四体交换相互作用, 具备子系统$\hat U(1) $对称性和时间反演对称性. 在准一维的梯子晶格中, 我们提出由远距离四体GHZ态(Greenberger-Horne-Zeilinger state)组成的彩虹伤痕态(图1(a)). 该态由一系列高能激发态构成, 二分纠缠熵遵循体积定律. 通过Python的QuSpin库计算本征能谱的纠缠熵^[42], 发现该模型下, 彩虹伤痕态并未和能谱的主体分离, 却在淬火动力学中展现出弱热化的动力学特性. 保真度随时间演化产生周期振荡, 证明出现了违反ETH的现象. 引入横场破坏子系统的对称性后, 弱热化特性随即消失. 此外, 本文在分形子模型中提出制备彩虹伤痕态的理论方案(图1(b)), 通过调制局域四体交换相互作用和$ \hat{\sigma}^z $门实现高保真度的态制备. 对过程中相互作用的强度噪声进行分析, 证明方案具备一定的鲁棒性.

在链长为L的准一维梯子晶格中, 每个格点由一个自旋为1/2的粒子占据, 假定L为偶数, 系统的总自旋为0. 如图1(a)所示, 参考文献[16]的方式, 可以将晶格从中间均匀地分为两个长度相等的子空间: $ A = \left\{(j) \mid j = 1, \cdots, L \right\} $和$ B = \{(j) \lvert\, j = L+1, \cdots, 2 L \} $, 其中指标为奇数和偶数的格点分别代表梯子晶格的上下两条链, 哈密顿量具有如下的形式:

式中$ \hat{H}_{{\mathrm{A(B)}}} $为两个子空间$ A(B) $的哈密顿量, 假定A和B具备中心对称性$ \hat{H}_B = \pm {\cal{M}} \hat{H}_A {\cal{M}} $, 其中$ {\cal{M}} $为中心对称算符, 将格点j映射为$ 2 L-j+1 $. $ \hat{H}_{AB} $将两个子空间相连接. 本文考虑哈密顿量为四体相互作用($ \hat{{\cal{R}}} = -J_{\mathrm{R}} \hat{S}_1^+ \hat{S}_2^- \hat{S}_3^- \hat{S}_4^+ + {\mathrm{h.c.}} $)的分形子模型^{[43] 1}, 哈密顿量写作:

模型具备全局的时间反演对称性$ \hat{{\cal{T}}} = {\cal{K}} {\mathrm{i}} \hat{\sigma}^y $和子系统的$ \hat{U}(1) = \displaystyle\prod\nolimits_{j \in \{\text {row/col}\}} {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}} \frac{\theta}{2} \hat{\sigma}_j^z} $对称性^[44]. 全局时间反演对称性禁止了自旋的极化, 在外磁场存在的情况下会自发地被破坏. 子系统$\hat{U}(1) $对称性保证了晶格的任何一行或列保持总的$ \hat{S}^z $不变. 单个的四体相互作用已经在超冷原子^[45,46]和超导比特^[47]平台中实现, 通过周期性调制理论可以等效地实现哈密顿量$ \hat{H} $. 假定$ J_i = J_{AB} = 1 $, 由于子系统$\hat{U}(1) $对称性, 分形子模型中存在一些特殊的避免热化的量子态, 例如, 对于畴壁态$ \left|010101\cdots \right\rangle $, 每一行的总自旋$ \displaystyle\sum\nolimits_{{\mathrm{row}}} \hat{S}^z_i = \pm L/2 $, 子系统对称性导致的态空间破碎现象^[38–40,48], 使对应的破碎空间仅包含这一个态, 因而在演化中避免热化. 然而对于$ \displaystyle\sum\nolimits_{\{\text {row/col}\}} \hat{S}^z_i = 0 $, 即每行和每列的总自旋均为0的情况, 破碎空间维度与系统尺寸呈现指数关系^[49]. 在这个破碎空间中构建彩虹伤痕态:

式中直积的每一项均为四体GHZ态(图1(a)中的$ |I\rangle $或$ |Z\rangle $). 得到的彩虹伤痕态$ |\psi_{\mathrm{S}}\rangle $布局在分形子模型高能激发态上, 由$ E = 0 $的部分简并本征态叠加而成, 即$ \hat{H}|\psi_{\mathrm{S}}\rangle = 0 $. 通过将梯子晶格分为两个连通部分(如图2(a)), 计算二分冯·诺依曼纠缠熵$ S_{{\mathrm{VN}}} = -{\mathrm{Tr}}({\boldsymbol{\rho}}_a \log {\boldsymbol{\rho}}_a) $描述其纠缠特性, 其中$ {\boldsymbol{\rho}}_a $为a的约化密度矩阵. 纠缠熵随a的尺寸线性增加, 展现出了体积定律, $ \hat{H} $的基态则与系统尺寸之间呈对数关系. 需要说明的是, 体积定律的出现依赖于子空间a的选择, 某些特殊划分下彩虹伤痕态也可以写作直积态的形式. 图2(b)展示了周期性条件下哈密顿量$ \hat{H} $各个本征态的二分纠缠熵. 与一般的多体伤痕态不同, 分形子模型中彩虹伤痕态并未明显从能谱中分离. 在$ \hat{H}_A $中引入单格点的相互作用$ \hat{H}_{{\mathrm{lift}}} = \displaystyle\sum\nolimits (-1)^i h_z \hat{S}^z $, 分析简并本征态的组成^[50,51]. 外场破坏了$ E = 0 $本征态的局域简并性和哈密顿量的可积性, 形成一系列分裂的本征能级$ |{\mathrm{eig}}\rangle $. 对应的伤痕空间哈密顿量为

如图2(c)所示, 在外场影响下, $ |\psi_{\mathrm{S}}\rangle $由等间隔的本征能级$ |{\mathrm{eig}}\rangle $组成, 纵坐标为测得能量为E的本征态概率$ P = \displaystyle\sum\nolimits |\langle\psi_{\mathrm{S}}|{\mathrm{eig}}\rangle|^2 $, 呈现塔的构型. 图2(d)中绘制了保真度$ {\cal{F}} = |\langle\psi(t) |\psi(t = 0) \rangle |^2 $的淬火动力学演化, 假定$ h_z = 2, \;J_i = J_{AB} = 1 $, 计算的时间步长为$ {\mathrm{d}}t = 0.0025 $. 彩虹态

出现了明显的热化现象.

与之相反, 彩虹伤痕态$ |\psi_{\mathrm{S}}\rangle $即使未与能谱中各个本征态分离, 仍然呈现出周期约为$ \tau\approx 0.77 $的近乎完美的相干振荡, 表明违反ETH的现象出现. 外场的引入在保证子系统$\hat U(1)$对称性的同时, 破坏了系统的时间反演对称性. 进一步在伤痕空间内引入均匀横场$ \hat{H}_{{\mathrm{BS}}} = \displaystyle\sum\nolimits \hat{S}^x $破坏伤痕空间的子系统$\hat U(1) $对称性, 该态的保真度随时间降低, 发生了明显的热化. 这说明该弱热化的现象可能来源于子系统对称性的保护, 与分形子模型中激发运动受限的特性相关^[52]. 值得一提的是, 图2(d)中彩虹伤痕态的相干振荡幅度随时间逐渐衰减, 这一现象与先前多体伤痕态的研究结果一致^[53,54], 同样表明了弱热化的过程.

为进一步探究彩虹伤痕态的非平衡动力学特性, 研究了其在更长时间尺度上的淬火演化. 如图2(e)所示, 在较短的时间尺度下($ t\lesssim 29 $), 保真度振荡的幅度逐渐降低至$ 17{\text{%}} $. 然而, 随着演化的继续, 在更长的时间尺度下($ 29 \lesssim t\lesssim 58 $), 振幅又逐渐恢复至$ 96{\text{%}} $. 这一长周期下的保真度恢复现象进一步验证了彩虹伤痕态的弱热化特性, 并表明模型中独立伤痕空间的存在, 使得初态信息在长时间演化后仍能得到保留.

彩虹伤痕态可以通过调制不同格点间的相互作用强度^[55,56]和$ \hat{\sigma}^z $门操作实现高保真度的动力学制备. 具体应用于四体相互作用下的分形子模型时, 设定四体相互作用强度为$ J_{{\mathrm{e(o)}}} $交错排列, 系统哈密顿量为

如图1(b)所示, (5)式中$ J_{{\mathrm{e}}} $或$ J_{{\mathrm{o}}} $作用于空间独立的格点, 已在超冷原子和超导比特实验中得到验证^[46,47]. 通过周期性调制理论将单个四体交换相互作用扩展至整个梯子晶格, 其动力学过程为重复的两步调制序列. 每步调制作用于对应的偶数或奇数$ 2\times2 $的格子中, 演化过程表示为

其中$ T_{\mathrm{e}} $和$ T_{\mathrm{o}} $分别表示偶奇格子相互作用的时间, j代表虚数. 在高频近似下$ (J_{\mathrm{R}} T_{{\mathrm{e(o)}}}\ll1) $, 舍弃时间高阶项的影响, 可以等效实现上述的分形子模型. 调节$ T_{\mathrm{e}} $和$ T_{\mathrm{o }}$的比例即可对哈密顿量中$ J_{\mathrm{e}} $和$ J_{\mathrm{o}} $相互作用强度进行调制.

考虑到计算资源的有限性, 仅在$ L = 12 $的梯子晶格中模拟动力学制备过程. 初始哈密顿量设定为$ J_{{\mathrm{o}}} = 0, \;J_{\mathrm{e}} = 1 $(图1(b)), 初态为尼尔态$ |\uparrow \downarrow \uparrow \downarrow \cdots \rangle $.之后再经历$ 1/4 $个周期的振荡和相移门操作: $ R = \displaystyle\prod\nolimits {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\pi/4(\hat{S}_{m}^z +\hat{S}_{n}^z)} $, 其中$ (m, n) $为$ 2\times2 $格子中对角的两个格点, 得到初始哈密顿量的基态:

此时, 晶格的两个子空间A和B相互独立, 可以表示为直积的形式, 冯·诺依曼纠缠熵$ S_A = 0 $(图3(b)). 计算边界上四个格点$ (1, 2, 23, 24) $的约化密度矩阵, 其与GHZ态的保真度$ {\cal{F}}_{\rho_{\mathrm{c}}} = |\langle I|\rho_{\mathrm{c}}|I \rangle| = 0.25 $. 如图3(c)所示, 此时的自旋关联仅在交错的最近邻四个格点中产生. 随后线性地关闭四体相互作用$ J_{\mathrm{e }}$并开启$ J_{\mathrm{o}} $, 直至边界的四个格点逐渐与梯子晶格主体分离. 当$ t = 40 $时, 形成$ J_{{\mathrm{o}}} = 1, \;J_{\mathrm{e}} = 0 $的晶格构型(图1(b)). 由于子系统$\hat U(1) $对称性的保护, 边界的四个格点形成一组长程纠缠的四体GHZ态$ |I \rangle $, 保真度$ {\cal{F}}_{\rho_{\mathrm{c}}} = 95.2{\text{%}} $. 通过可观测量$ \hat{\sigma}_l^z\hat{\sigma}_k^z $和$ \hat{\sigma}_l^{\mu}\hat{\sigma}_{l+1}^{\mu}\hat{\sigma}_k^{\mu}\hat{\sigma}_{k+1}^{\mu} (其中\mu = x, y) $理论分析远距离四体GHZ态的自旋关联建立过程. 其中$ l, k $为梯子晶格中第一行的不同格点坐标. 如图3(c)所示, 晶格两端的格点间自旋关联成功建立, 证明了远距离GHZ的制备, 完成第一步的调制过程. 此时, 晶格中间的格点构成了链长$ L = 10 $的基态, 对应的波函数近似写作:

在保持两端四体相互作用关闭的情况下, 将四体相互作用$ J_{\mathrm{o}} $线性降低至0并开启$ J_{\mathrm{e}} $. 在$ t = 80 $的时候, 可以在$ (3, 4, 21, 22) $的四个格点中形成四体GHZ态, 保真度$ {\cal{F}}_{\rho_{\mathrm{c}}} = 93.9{\text{%}} $, 保真度较低来源于第一步调制中$ |\psi_1\rangle $的保真度不纯. 随后不断重复上述流程, 生成由$ |I \rangle $构成的长程纠缠态:

如图3(b)所示, 子空间A的冯·诺依曼纠缠熵$ S_A = 5.88\log2\approx L/2\log2 $, 体现了体积定律下的纠缠熵. A与B两个子空间中心对称的格点间也依次产生自旋关联. 在梯子晶格中第一行的格点上交错作用$ \hat{\sigma}^z $算符, 对远距离GHZ态的相位调制, 形成$ |IZIZ\cdots\rangle $的交错排列, 最终在分形子模型中完成彩虹伤痕态$ |\psi_{\mathrm{S}}\rangle $的制备. 每次调制中, 均以$ \tau = 40 $线性驱动, 对系统的相干时间存在较高的要求. 通过最优控制理论调节线型^[57,58], 可以将每一步的驱动时间缩短至量子速度极限. 进一步对方案的鲁棒性进行分析, 考虑因系统缺陷引起的四体相互作用的不均匀性. 假定每一步调制中, 四体相互作用强度符合$ J_i\sim {\cal{N}}(1, 0.2^2) $标准差为20%的高斯分布. 图3(a)和图3(b)中的蓝色曲线分别展示了含噪情况下保真度和纠缠熵的演化, 阴影部分为统计标准差. 发现含噪情况下每一组四体纠缠的保真度仍然在90%以上, 末态的二分纠缠熵$ S_A = 5.88\log2 $, 基本满足体积定律, 表明该方案具备一定的鲁棒性.

本文研究了四体交换相互作用下分形子模型中的彩虹伤痕态. 该态由一系列四体纠缠组成, 分布于中心对称的四个格点. 其二分纠缠熵呈现体积定律, 处于能谱的主体中, 并没有出现明显的分离现象. 在淬火动力学的演化中, 该态保真度的相干振荡现象证明了其弱热化特性. 引入横场破坏子系统的$\hat U(1) $对称性后, 该态则迅速发生热化, 导致初始信息的丧失. 随后, 本文提出通过调制四体相互作用和$ \hat{\sigma}^z $门操作, 在分形子模型中实现彩虹伤痕态的理论方案. 对制备过程中相互作用的强度噪声的影响进行分析, 证明方案具备一定的鲁棒性. 对分形子模型中非平衡动力学过程进行研究, 证明了该模型下彩虹伤痕态的存在, 为各类运动受限的量子系统和拓扑序系统中的动力学问题^[59,60]研究提供了新的途径. 在未来的工作中, 我们将基于彩虹伤痕态, 进一步研究量子信息扰动下的量子态重构过程^[61,62].

感谢中国科学技术大学苑涛博士、毛一屹博士的讨论.