目前对于裂纹扩展问题的数值模拟方法，主要可以分为两类：一类是裂纹基于网格扩展的几何描述方法，如单元删除法（单元失效法）、界面单元法等，这类方法中裂纹只能在网格上或者网格边界上扩展；另一类是非几何描述方法，如扩展有限元法（XFEM）和相场（Phase-Field Methods）断裂方法等，该类方法中裂纹可以脱离网格，在网格内部扩展。单元删除法是较简单的一种断裂处理方式，只需当单元的某物理量达到断裂判据时使其应力为零^[3]，或在总体质量阵中移除断裂单元的质量^[4]。界面单元法则在单元与单元间的界面处插入界面单元，界面单元节点间具有内聚力，当达到断裂判据时，界面单元失效而断开，主要有Xu等^[5]和Camacho等^[6]几种表述方式。扩展有限元是由Belytschko等^[7]和Moës等^[8]提出的，其核心思想是通过扩充形函数把计算域的位移场所具有的某种特性添加到变分函数空间和试函数空间中，断裂的间断性被扩充形函数隐式地包含，从而间断本身与网格无关，裂纹可在网格内扩展^[9]。相场方法的核心思想是利用弥散的相边界描述实际上较为尖锐的边界，通过引入序参量，便可用连续函数描述断裂模型，并通过相场控制方程控制序参量的演化，使得在模拟时不用显式地追踪裂纹面，而是通过序参量的自动演化获取裂纹路径及位置^[10]。

Song等^[11]详细对比了单元删除法、界面单元法和扩展有限元法对于动态裂纹扩展的优劣，本文结合Borden等^[12]的动态裂纹扩展相场方法进行对比分析。模拟结果分别与预置裂纹玻璃片I型拉伸裂纹的分叉现象^[13]和KW试验（Kalthoff-Winkler Test）冲击加载裂纹以70°角方向扩展现象(材料为马钉钢Maraging steel 18Ni1900)^[14]的实验结果做对比，对比结果见表1。从表1中可以看出，单元删除法和界面单元法在不同的网格划分（结构网格和非结构网格）下，对同一算例的模拟结果有较大的差别，表明初始网格划分决定着裂纹扩展路径，这种情况下即使网格细分，也不能得到收敛结果；其次，采用三角形网格等非结构网格时，模拟出来的裂纹崎岖不平，必定造成比实际更大的裂纹表面能耗散，Bourdin等^[15]、Giacomini等^[16]也给出了相同的论断。这也是此类方法被称为几何描述的原因。表1中非几何描述方法（XFEM和相场断裂方法）可以得出较为准确的动态裂纹扩展模拟结果，如相场方法，当网格尺寸减小到一定程度，即使再减小网格尺寸，模拟结果也不会有太大的变化，表明了相场方法的网格收敛性。

XFEM和相场断裂方法的比较体现在对复杂裂纹系统的模拟上，主要视方法的裂纹面追踪技术。XFEM属于间断界面处理方法，需要通过特殊的裂纹追踪技术（如水平集法Level Sets^[17]、快速推进法Fast Marching^[18]）来追踪裂纹面，这些方法在处理三维以及多裂纹问题上显得尤为繁琐，目前大多处理一些单裂纹面的简单三维问题及较简单的多裂纹问题（见表2）。而相场方法属于弥散界面处理方法，计算过程无需显式追踪裂纹面，而是通过序参量的演化自动获得，因此无需对三维及多裂纹问题做特殊处理，所以没有专门针对这方面的文献。Miehe等^[19]在考虑热诱导的裂纹扩展问题时给出了较为复杂的三维裂纹扩展模拟结果，此外，在其模拟多相物质裂纹萌生发展过程的结果中可以观察到较为复杂的多裂纹相互作用问题（见表2），都表明相场方法在处理复杂裂纹问题时的能力。

综上所述，相场断裂方法不仅可以给出较为准确的动态裂纹扩展模拟结果，而且相较于其他方法，在复杂裂纹问题方面表现出了一定的特点。因此，相场断裂方法是动态裂纹扩展模拟的一种重要手段。

相场断裂方法的研究路线可分为物理领域和力学领域，二者的理论和技术背景有较大差别。物理领域基于Ginzburg-Laudau理论，代表模型如Hakim和Karma提出的模型^[20]，所给出的断裂系统自由能为

式中：$\phi $为序参量；$g\left( \phi \right)$为插值函数，文中$g\left( \phi \right) = {\phi ^{2 + \alpha }}$，当$\phi $趋近于零时，$\alpha $取正值保证应力完全释放；${\psi _0}$为应变能密度；${\psi _{\rm{c}}}$为临界应变能密度，当应变能密度超过${\psi _{\rm{c}}}$时，裂纹开始起裂扩展；$V\left( \phi \right) = {{{\phi ^2}\left( {1 - {\phi ^2}} \right)} / 4}$，是典型的双势阱函数，势阱位置为0和1。（1）式中前两项称为体自由能项，第一项类似相场方法中的熔化温度项，通过其调整双势阱函数的稳态与亚稳态；最后一项为表面项。该模型完全可与相场方法最初的应用—熔化固化相变的相场方法类比，体现的是相场方法的思想，但自由能中各项的物理意义并不清晰。Pons和Karma^[21]于2010年成功模拟了I、III型混合模式产生的锯齿状裂纹，如图1所示，标志着物理领域相场断裂模型的成功。

力学领域基于Francfort和Marigo^[22]提出的断裂变分原理

式中：${G_{\rm{c}}}$为临界能量释放率，${\psi _{\rm{e}}}$为弹性能密度，${\varGamma} $为裂纹表面，${\varOmega} $为求解区域。等号右边第一项为弹性应变能，第二项为断裂表面能，变分原理认为裂纹的扩展都应使自由能取极小值并遵循不可逆条件。该原理从传统的Griffith理论发展而来，表达式及各参数都有各自的物理意义，是对传统断裂理论的继承和发展。

由以上对比可以看出，物理领域和力学领域最大的区别在于其源于不同的理论基础。由于力学领域相场断裂模型与传统断裂理论的紧密联系，接下来仅介绍力学领域相场断裂方法，物理领域相场断裂方法可参见Spatschek等^[23]的综述。

1920年，Griffith^[24]突破强度理论范畴，提出了基于能量的断裂理论—Griffith能量理论。但Griffith理论最大的缺点是只能应用于简单构型，难以对复杂构型中的裂纹问题进行求解分析。1998年，Francfort和Marigo^[22]基于Griffith能量理论提出了断裂变分模型，克服了上述问题，可表述为(2)式。断裂问题系统自由能由弹性应变能和断裂表面能构成，裂纹的扩展受自由能最小化原理控制。但在裂纹边界待求的情况下（并不事先知道裂纹边界），表面能中的边界积分不易处理，于是Bourdin和Francfort等^[15]于2000年结合相场理论，通过引入序参量，给出了断裂面的弥散表达式

式中：被积函数称为面积密度；$s \in \left[ {0, 1} \right]$称为序参量，这里1表示材料完好，0表示完全断裂（有些文献相反）。断裂面的弥散宽度（$0 < s < 1$的区域）受$\ell $（具有长度量纲）控制：$\ell $越大，裂纹弥散宽度越宽；$\ell $越小，裂纹弥散宽度越窄；当$\ell \to 0$时，裂纹弥散宽度趋于零，（3）式中约等号可取等号，表明（3）式趋于真实裂纹面积，称为${\varGamma} $-convergence。代入(2)式，可得自由能

式中：${{\psi} _{\rm{e}}}\left( {{{\varepsilon }}, s} \right) = g\left( s \right){{\psi} _{\rm{e}}}\left( {{\varepsilon }} \right)$，表示弹性能由应变${{\varepsilon }}$及序参量s共同确定；$g\left( s \right)$为插值函数，需保证${{\psi} _{\rm{e}}}\left( {{{\varepsilon }}, 0} \right) = 0$和${{\psi} _{\rm{e}}}\left( {{{\varepsilon }}, 1} \right) = {{\psi} _{\rm{e}}}\left( {{\varepsilon }} \right)$，如$g\left( s \right) = {s^2} + \eta $，$\eta $为一极小量，用以避免发生数值奇异。（4）式成功将裂纹面边界积分转变成体积分，使数值求解变得容易，所以（4）式也被称为“断裂变分原理的具体数值形式”。Francfort和Marigo提出的断裂变分理论及Bourdin和Francfort给出的具体数值实现形式为相场断裂模型的发展奠定了坚实的理论基础，为断裂的模拟提供了新的解决途径，他们在2008年出版了断裂变分理论的专著^[25]，体现了该理论重要的学术价值。

此外，还需一些细节上的处理，Bourdin的自由能描述的是一个拉压对称形式——弹性应变能对于应力和应变区分不了正负，拉应力和压应力将产生相同的应变能来驱动裂纹，从而在受压时产生不真实的裂纹。于是Amor等^[26]和Miehe等^[27]先后提出将弹性应变能进行拉压分解

其中

式中：${\varepsilon _1}{\text{、}}\!\!{\varepsilon _2}{\text{、}}\!\!{\varepsilon _3}$为应力状态${{\varepsilon }}$的3个应力主值；$\lambda $和$\mu $为拉梅常数；符号${\left\langle a \right\rangle _ \pm }: = \dfrac{1}{2}\left( {a \pm \left| a \right|} \right)$，正号表示受拉，负号表示受压。该分解只将拉伸情况下的应变能作为裂纹扩展驱动力，避免受压时产生的不真实裂纹。此外，还可得到引入序参量的弹性本构——应力释放模型

式中：等号右侧第1项表示拉应力，完全断裂时将释放为零；第2项表示压应力，断裂后不释放。在此基础上，(4)式对序参量求变分（${{{\text{δ}} E} / {{\text{δ}}s}} = 0$）便可得到静态/准静态的相场控制方程。Miehe等^[27–28]给出的控制方程应用较广，其相场模型序参量0表示完好，1表示断裂，序参量用d表示（为保持符号与原文一致，上下文符号略有不同），断裂面弥散表达式与（3）式稍有不同，为

式中：l同(3)式的$\ell $。插值函数为$g\left( d \right) = {\left( {1 - d} \right)^2}$时，相场控制方程

静态模型方面，Miehe成功模拟了I、II型裂纹在不同加载强度下裂纹的扩展长度和发展方向，结果如图2(a)所示。此外，在准确性方面：Miehe等^[27]给出了带有预置裂纹的非对称三点弯曲裂纹扩展模拟与实验对比结果；Mesgarnejad等^[29]对脆性断裂模型通过多种实验分别进行了定性和定量的对比，图2(b)为L形薄板弯曲时的裂纹扩展结果与实验的定性对比以及载荷-位移曲线的定量对比结果。

在静态脆性断裂相场模型的基础上，各研究者提出了自己的动态模型，如Bourdin和Larsen^[30]、Larsen等^[31]、Borden等^[12]、Hofacker和Miehe^{[28, 32–33]}、Schlüter等^[34]。获得动态裂纹控制方程最直接方法是利用相场方程${{\partial \phi } / {\partial t}} = - M\left( {{{{\text{δ}}F} / {{\text{δ}}\phi }}} \right)$对自由能求变分，此外，还需添加不可逆条件，防止卸载后弹性能释放导致裂纹愈合。Miehe等^[28]提出了一种对裂纹愈合非常简洁而有效的解决办法，引入一历史场变量

其表示裂纹驱动力取历史最大拉伸弹性能。用${\mathcal{H}}$替换弹性能${\psi} _{\rm{e}}^ + $，即表示在卸载后，驱动力仍维持在从加载到当前时刻的最大值，从而防止裂纹愈合。Miehe基于此给出了动态裂纹扩展的相场控制方程

式中：$\eta $为黏性系数，与相场公式动力学系数关系为$\eta = {1 / M}$。

动态裂纹扩展方面，研究者们也给出了丰富的模拟结果。Bourdin等^[30]模拟了相同加载大小、不同加载速率下不同的裂纹扩展形式：加载速率越大，裂纹扩展形式越复杂，高加载速率下会出现分叉，并且分叉数量随着加载速率的增大而增大。Borden等^[12]模拟了I型动态拉伸裂纹的分叉现象和KW试验在较低加载速率下产生的70°角裂纹扩展形式两种经典动态裂纹扩展问题，模拟结果与实验结果相吻合，同时模拟所得裂纹传播速度上限为0.6倍Rayleigh声速，与理论值相符，如图3(a)、图3(b)所示。KW试验是目前检验裂纹扩展模拟准确性的一个标准，几乎所有动态相场断裂方法的文献都以此验证其方法的准确性。Hofacker等^[32]给出了几种三维形式的KW试验模拟结果，如图3(c)所示，展示了相场断裂方法对三维情况的模拟能力，值得注意的是，真实KW试验并没有三维结果，这种模拟结果仅是相场断裂方法三维模拟能力的展示。

目前，相场断裂的发展方向在于解决多场问题。相场断裂方法的基本框架如图4所示。从中可以看出，相场断裂方法由力学平衡方程和相场控制方程构成，基于该框架，两组方程可分别解耦求解，再通过驱动力模型和应力释放本构进行耦合。Miehe等^{[19, 35–36]}相继发表了3篇论文用相场断裂方法解决多场耦合问题。首先，其对脆性断裂相场方法进行了总结，给出了如下脆性断裂相场方程

其中（12）式为相场控制方程，（15）式为力学方程。力学对相场的影响通过驱动力模型（（14）式）体现，而相场对力学的影响通过考虑应力释放本构（（16）式）体现。而对于不同的多场问题，只需引入相应的场方程（如电场、温度场等）并补充如（14）式和（16）式的耦合关系式即可。

多场问题的关键是建立正确的自由能系统，相场断裂方法的自由能密度可作如下表述

式中：$ {\psi _{\rm els}}$、$ {\psi _{\rm plas}}$、$ {\psi _{\rm therm}}$、$ {\psi _{\rm frac}}$分别表示弹性能、塑性能、热能和断裂表面能，省略号表示可以添加或去掉任意形式影响裂纹扩展的能量，如脆性断裂，只需考虑弹性能和断裂表面能。然后需对各能量进行合理的分解：一部分不驱动裂纹扩展（（18）式不带插值函数项），存储在物质内部或以其他形式耗散；一部分因断裂而释放，是裂纹扩展驱动力（带插值函数项）。如弹性能${\psi _{\rm els}}$分解成压缩状态弹性能$\psi _{\rm e}^ - $和拉伸状态弹性能$\psi _{\rm e}^ + $，只有$\psi _{\rm e}^ + $驱动裂纹扩展，而$\psi _{\rm e}^ - $仍存储在物质内部。

以上讨论给出了相场断裂方法解决多场问题的途径，目前也取得了一定的成果，比如压电材料中裂纹传播时的电场分布^[37]（见图5）、铁电材料中裂纹传播的电畴分布（极化矢量）^[38]（见图6）、考虑塑性大变形橡胶聚合物^[39]、玻璃聚合物^[36]中的裂纹扩展。此外，还可模拟考虑温度场的热致裂纹扩展（表2）^[19]，考虑断裂后流体进入裂缝的水力压裂等。值得一提的是，近年来，水力压裂相场方法的研究非常火热，如Miehe等^[35]、Ziaei-Rad等^[40]、Santillán等^[41]，列举一二。Santillán等模拟了大坝（Koyna Dam）在水压下裂纹的扩展问题（见图7），并称其相场断裂方法已开始解决实际工程问题。

在高速冲击领域，高速冲击状态下的断裂问题多涉及延性断裂，所以本文关注相场断裂方法在延性断裂的发展。目前延性断裂相场模型研究相对较为匮乏，少数几位研究者进行了初步尝试。

可将目前已有的延性断裂相场模型分为两类，一类从插值函数入手。2015年，Duda等^[42]给出了一种考虑塑性变形的脆性断裂模型，将塑性能引入自由能方程中，自由能表达式如下

式中：${W_{\rm elas}}$、${W_{\rm plas}}$和${W_{\rm frac}}$分别表示弹性能、塑性能和断裂表面能。注意其插值函数$g\left( d \right)$只作用于弹性能，表明只有弹性能驱动裂纹扩展，而塑性能作为耗散项不驱动裂纹扩展。对(19)式求变分后会发现相场控制方程和脆性断裂相同，所以该模型只能称为考虑塑性变形的脆性断裂模型。其后，Ambati等^[43]在Duda模型的基础上，在插值函数中引入了“等效塑性变形参数”来考虑塑性应变的累积和局部效应。该模型将脆性断裂插值函数$g\left( s \right) = {s^2} + \eta $修改为$g\left( s \right) = {s^{2p}} + \eta $，式中等效塑性变形参数p表示为$p = {{\varepsilon _{{\rm{eq}}}^{\rm{p}}} / {\varepsilon _{{\rm{eq}}{\rm{, \,crit}}}^{\rm{p}}}}$，从而实现了延性断裂的相场模拟。随后，Ambati等^[44]将该模型扩展至三维，并通过大量与实验对比的模拟结果来验证其模型的准确性。他们模拟了I型、材料为钢的平板在拉伸时随边界位移载荷增大发生的弹性-塑性变形、紧缩变形、断裂的整个过程，如图8所示，同时还给出了大量与实验结果对比的力-位移曲线，定量表征其模拟的准确性。但Ambati的模型仅为静态模型，且等效塑性变形参数的引入较为经验，同时在用有限元求解时，对于p很大的高阶项，会引起较大的离散误差。

另一类则是从“断裂能级”的角度出发，认为延性断裂和脆性断裂所耗散的表面能具有较大差异，通过延性断裂和脆性断裂不同的临界能量释放率G_c来实现脆性断裂和延性断裂相互转变的延脆耦合模型。Miehe等^[36]和McAuliffe等^[45]认为应变率主导断裂能级的转变，给出了随应变率变化的临界能量释放率（图9(a)），柳占立等^[46]则认为应力状态是决定断裂能级转变的主要因素，给出了随应力三轴度变化的临界能量释放率（图9(b)）。上述研究者虽通过不同的参量影响临界能量释放率，但都成功模拟了KW试验在低加载速度下的脆性断裂和较高加载速度下产生的绝热剪切带断裂，如图10所示。该结果表明了相场断裂方法有模拟绝热剪切带等延性断裂模式的能力，此外，延脆耦合模型还表明相场断裂方法可用于考虑多断裂模式竞争的问题。

首先对比了不同裂纹扩展数值模拟方法，总结出相场断裂方法在断裂问题模拟中的特点：较几何描述方法有更为准确的裂纹扩展模拟能力；通过序参量的演化自动追踪裂纹面，不需要特殊的裂纹表面追踪技术，所以易于处理三维及多裂纹等复杂的裂纹扩展系统。其次，介绍了脆性断裂相场方法的发展现状，其核心主要有两点：利用序参量离散表达尖锐的裂纹面，从而使断裂变分问题在数学上易于求解（数学上连续）；建立准确的断裂问题自由能系统是利用相场方法准确模拟裂纹扩展的关键。到目前为止，由于脆性断裂的能量体系较为简单，仅需考虑弹性能及断裂表面能，所以脆性断裂相场方法已发展得较为成熟，基本形成了固定的物理模型和求解方式，文献中也有诸多成功的模拟案例。随后分析了相场断裂方法的基本框架和自由能系统，指出了相场断裂方法处理多场耦合断裂问题的方法，这也是目前相场断裂方法的主要发展趋势。

最后，简单介绍了延性断裂相场方法的研究现状，目前该方向的研究文献相对较少，而这却是我们希望相场断裂方法有所发展的领域。希望相场断裂方法能用于模拟诸如金属壳体膨胀断裂等问题。金属壳体膨胀断裂的特点在于存在如层裂、绝热剪切及环向拉伸断裂等多种断裂模式的耦合竞争，以上断裂模式一般均为延性断裂。但要模拟壳体膨胀断裂问题，还有待延性断裂相场模型的进一步发展。不过目前的研究现状也为我们提供了一些线索，如Miehe等、McAuliffe等和柳占立等建立的延脆转变模型，表明相场断裂方法有考虑多断裂模式竞争的能力，不同的断裂模式的差异由不同的断裂能级（不同能量释放率G_c）体现。这些研究成果都表明，很有希望通过相场方法建立考虑壳体膨胀断裂问题中多断裂模式耦合竞争的断裂模型，从而实现该类问题的模拟。