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离子阱是一种利用电磁场实现囚禁、操控带电粒子的装置[1], 在质谱分析[2,3]、精密光谱[4]、量子模拟[5,6]和量子计算[7,8]等领域中具有广泛应用. 在量子信息科学领域中, 离子阱系统因其具有天然全同的稳定量子比特[9]、长相干时间[10]、量子态制备和读取保真度高[11]、单/双量子逻辑门操作保真度高[12]、比特间全连通[13]等多重优点而广泛受到关注. 离子阱系统的现阶段发展面临着可扩展性欠缺和噪声引起离子退相干等问题, 寻找在满足保持高保真度量子态、高保真度量子态操控能力的前提下扩展可操控量子比特成为离子阱量子计算机的研究趋势[14].
2002年Murali等[15]提出量子电荷耦合器件(QCCD)架构, 利用微纳加工技术在同一芯片上实现了小型化离子阱电极组, 结合已实现的小规模高保真度离子操控技术和离子输运技术, 实现大规模的高保真度、全连通离子比特. 目前, 已经有许多扩展性实验对QCCD构架的离子芯片进行了多功能集成[16], 如与光波导[17]、片上电子学[18]、探测器[19]等集成. 实验演示了超过16 qubits的量子计算原型机[20], 还完成了量子纠错码的实验演示[21]. 然而, 在涉及光学集成的离子阱实验中[22,23], 由于加工过程中环境变化、装配误差和机械漂移等问题, 会引起芯片样品材料折射率变化、光学对准中心漂移等现象, 使得离子囚禁鞍点位置偏离光学焦点[24], 虽然通过机械位移、重新制备芯片等方法可以修正, 但其实验复杂度高、实验周期长, 并且不能对鞍点位置进行实时矫正.
有研究指出, 通过电极结构的特殊设计, 结合可变的RF电压可以实现鞍点沿光轴方向的移动[25], 或径向移动[26]. 除此以外, 利用多射频场协同调控的方法, 还能定制二维平面内射频鞍点管道的形状, 实现2D表面离子阱结附近电场的调控[27]. 但以往在研究结果中只报告了相关鞍点位置可移动的实验现象, 并没有给出定量关系和对应数学模型. 因而在实际应用过程中, 只能使用尝试的方法, 对应加载的多个射频电压幅值进行测试、通过观察鞍点实际位置和预设位置的偏差调节加载实际射频电压幅值, 完成鞍点移动和调节任务. 在实际使用过程中, 试探法时间花费成本高、精度不可控、易受到非理想实验因素干扰, 因而很难从理论上定量确定一个最佳射频电压幅值.
在此, 本文提出一种基于数值模拟[28,29]电场分布结果建立的定量关系数学模型. 通过拟合方法建立RF电极产生的囚禁电场二维分布基函数, 再利用电场平衡原理导出RF电极加载电压与鞍点所处位置关系的恒等式组. 通过方程组反解求得应加载RF电压关于鞍点位置的函数关系, 完成定量关系数学模型的建立. 该模型的建立方法简单、通用性强, 可以在不关心电极形状的前提下, 仅采用数值模拟得到的电场分布结果就完成数学模型的建立, 而其鞍点调控精度和可调节范围仅取决于拟合过程中使用的多项式阶数. 并且, 该数学模型的建立在实际应用中可以直接给出准确的射频电压加载幅值, 避免了繁琐的求解过程, 因而大大增加了鞍点位置调节的响应速度, 更适用于快速鞍点位置调节的场景.
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利用方块电极产生的空间静电势解析模型[30], 将单射频情况扩展到多射频场, 能得到加载频率、相位相同, 幅值不同的多射频场条件下的空间静电势表达式:
其中, i表示不同射频电极的编号, VRFi为编号i方块射频电极加载的电压幅值, 对应电极图形对角坐标为
$ \left( {{x_{i1}}, 0, {z_{i1}}} \right) $ ,$ \left( {{x_{i2}}, 0, {z_{i2}}} \right) $ , 由(1)式可知表面离子阱的空间静电势分布情况由加载电压幅值和电极图形确定.有研究通过迭代射频电极图形坐标参数改变空间静电势分布以实现鞍点移动, 设计不对称的射频电极图形使鞍点移动[31], 迭代优化结电极图形调节轴向传输路径中的鞍点轨迹[32,33]. 然而, 这种迭代过程耗费大量时间成本, 并且伴随着复杂和尖锐电极图形要求, 高精度的制造工艺是不可避免的[34]. 单射频电极结构的表面阱中, 调节射频电极的加载电压幅值, 势场强度会按幅值权重整体变化, 但径向面内电势场始终对称分布, 无法改变鞍点的位置[30]. 多射频场协同调控方法对射频电极分段处理后, 各射频电极的电压幅值可独立调节, 当径向面内两侧电极的电压幅值不同时, 电势分布的对称状态被改变, 离子囚禁鞍点会在新的位置达到平衡, 这使得多射频场能实时驱动鞍点的独立移动[27,35].
本文对常规五线阱结构[30]的射频电极分段处理, 得到图1(a)所示包含射频电极组RFi (i = 0—2)的仿真结构, 电极RF0施加固定的电压幅值为表面阱提供基本径向囚禁势, 通常希望设计电极RF0尽可能往外延伸, 以降低边缘效应的影响. 电极RF1, RF2作为驱动鞍点径向移动的基本结构, 加载频率固定、幅值可变的射频电压. 电极间隙宽度g = 7 μm, 紫色电极为RF电极, 其宽度b = 120 μm, 幅值可调电极RF1, RF2, 尺寸为200 μm×120 μm, 黄铜色电极为中心地电极或DC电极, 中心地电极宽度a = 100 μm, 黄铜色电极可分段设置为DC电极组, 用于形成轴向囚禁势. 本文仅研究射频电场对离子鞍点的径向囚禁影响, 暂时不考虑DC电极及其轴向囚禁作用, 因此图中略去DC电极的画出. 电极平面设定为XZ面, 垂直于电极表面向外的方向设定为Y轴, 坐标原点建在阱电极中心. 常规五线阱结构中, 调节RF电压幅值无法改变鞍点高度Y及横向X位置[30]. 将射频电极分段后, 可以通过调节射频电极RF1, RF2的电压幅值大小, 实现径向面内鞍点位置的独立移动.
如图1(b)所示, 在
$ Z = 0 $ 处对多射频场协同调节赝势分布以实现鞍点移动原理进行研究, 利用赝势近似方法[36]将时变的射频电场的捕获效应等效表示为准静态形式, 计算赝势分布获取鞍点位置. 当加载电压VRF0 = VRF1 = VRF2时, 鞍点的初始位置为$ {P_0}\left( {{X_0}, {Y_0}, 0} \right) $ , 同五线阱鞍点位置. 加载电压VRF1, VRF2改变后, 赝势不再对称分布, 鞍点移动到新的目标位置:其中ΔXobj和ΔYobj为鞍点沿两个方向的目标移动量. 依次将相同编号的RF电极施加单位电压且其他电极接地处理后, 通过边界元软件CPO (charged particle optics)[28,29]进行数值计算得一组射频电极空间电场分布的基函数, 编号i的RF电极施加单位电压的情况下空间静电势为
$ {\varphi _{{\text{RF}}i}} $ . 计算过程中, 使用的离子为171Yb+, 固定射频电压幅值为VRF0 = 300 V, 可调射频电压幅值为VRF1, VRF2, 频率$ {\varOmega _{{\text{RF}}i}} $ 均为30 MHz.赝势近似是分析射频电场的有效方法[33,36], 能将直流电压幅值为VRF产生的空间静电势
$ \varphi {}_{{\text{RF}}}\left( {x, y, z} \right) $ 转化为射频电压$ {V_{{\text{RF}}}} \cdot \cos \left( {{\varOmega _{{\text{RF}}}}t} \right) $ 产生的等效势, 赝势的计算公式为其中, e为离子电荷量, m为离子质量,
$ {\varOmega _{{\text{RF}}}} $ 为射频频率. 设置VRF0 = VRF1 = VRF2产生初始囚禁赝势分布, 见图2(a). 赝势近似后的势能最低点为离子囚禁鞍点, 即标注的红点, 并以此鞍点位置作为初始位置(X0, Y0, Z0) = (0, 92.6 μm, 0)进行后续分析. 黄色逃逸点为赝势极大值点, 离子逃逸点与囚禁鞍点的赝势能差值为表面阱的阱深$ {\psi _{{\text{depth}}}} $ , 当离子受到的外部扰动超出阱深时, 离子会从逃逸点处越过势垒发生逃逸. 此处基本囚禁势场中阱深约为0.2534 eV, 满足离子囚禁实验的基本要求[28,37]. 调节分段射频电极的加载电压幅值VRF1, VRF2, 可改变赝势的对称分布, 驱动鞍点在径向面内独立移动[27].囚禁鞍点对应赝势极小值点, 由(2)式中电势梯度的平方和项, 可知赝势零点与各方向电场均处平衡状态的点是条件等价的. 为建立多射频电压幅值与鞍点径向位置间的模型, 先利用数值计算得到射频电极组RFi (i = 0—2)中各电极电场分布的基函数, 即VRFi依次设置1 V, 其余电极接地时产生的电场分布, 如图3所示.
通过多项式拟合处理数值计算所得的基函数, 可将离散的电场数据按不同径向进行公式化, 得到射频电极组各电极依次加载单位电压时不同径向电场 (EX或EY)与径向坐标(X, Y)间的函数表达式. 其中, 相同编号i的电极均有两个函数式:
$ {E_{X{\text{RF}}i}}\left( {X, Y} \right) $ ,$ {E_{Y{\text{RF}}i}}\left( {X, Y} \right) $ , i = 0, 1, 2. 按编号依次加载电压幅值VRFi时得到实际电场分布表达式:$ {V_{{\text{RF}}i}} \cdot {E_{X{\text{RF}}i}}\left( {X, Y} \right) $ ,$ {V_{{\text{RF}}i}} \cdot {E_{Y{\text{RF}}i}}\left( {X, Y} \right) $ . 由电场的矢量关系和叠加原理, 径向面内X方向的总电场强度分布为$\displaystyle \sum\nolimits_{i = 0}^2 {{V_{{\text{RF}}i}}} \cdot {E_{X{\text{RF}}i}}\left( {X, Y} \right) $ , 径向面内Y方向的总电场分布为$ \displaystyle\sum\nolimits_{i = 0}^2 {{V_{{\text{RF}}i}}} \cdot {E_{Y{\text{RF}}i}}\left( {X, Y} \right) $ . 由(2)式中赝势零点与电场平衡条件等价, 可建立平衡模型描述多射频场协同驱动下鞍点所处空间位置(X, Y) = (X0+ΔXobj, Y0+ΔYobj)与射频电压幅值VRFi间的关系:其中, X0, Y0分别为鞍点初始位置的值, ΔXobj, ΔYobj分别为X, Y方向上预设的鞍点目标移动量. 将预设的鞍点目标位置(X, Y)代入(3)式模型中, 可计算出射频电极组所需的电压幅值加载情况. 将反解得到的可调射频电压幅值VRF1, VRF2, 施加到相应分段射频电极上, 能大大简化实验中电压参数调节的周期.
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为验证这套建模方法的有效性, 设定鞍点的目标位置坐标为(X, Y), 反解(3)式得到应加载的射频电压幅值VRF1, VRF2, 再利用数值方法计算加载VRF1, VRF2时鞍点的位置(X', Y'), 通过计算鞍点位置误差(Xerr, Yerr) = (X', Y') – (X, Y) = (X0+ΔXBEM, Y0+ΔYBEM) – (X0+ΔXobj, Y0 +ΔYobj) = (ΔXBEM – ΔXobj, ΔYBEM – ΔYobj), 得到目标位置与数值计算结果之间的偏差, 对模型构建的准确程度进行判断. 其中, 鞍点目标位置(X, Y) = (X0+ΔXobj, Y0+ΔYobj), 模拟位置(X', Y') = (X0 +ΔXBEM, Y0+ΔYBEM), X0, Y0分别为鞍点初始位置处X, Y方向的坐标值, ΔXobj, ΔYobj分别为鞍点从初始位置沿不同径向X, Y的目标移动量, ΔXBEM, ΔYBEM分别为数值计算中鞍点从初始位置沿不同径向X, Y的模拟移动量.
本节中选取ΔXobj∈[–18, 18] μm, ΔYobj∈[–6, 30] μm两组鞍点目标移动量(步长均为3 μm, 每组共13个数值), 遍历两个方向鞍点目标移动量组合, 作为样本点集合. 由图3所示, 射频电极组各电极对径向面Z = 0处电势场的贡献情况不同, 构建(3)式模型的公式化过程中, 会涉及到变量X, Y阶数选取. 下面通过径向X, Y的电场贡献, 利用样本点集合对不同拟合条件下所构模型的有效性进行验证和讨论.
由图3的电场分布趋势, 结合评估指标: 调整后拟合优度(Adj R-sq), 将变量X, Y的阶数按表1设置, 得到射频电极组各电极不同径向X, Y的电场分布公式:
$ {E_{X{\text{RF}}i}}\left( {X, Y} \right) $ ,$ {E_{Y{\text{RF}}i}}\left( {X, Y} \right) $ , i = 0, 1, 2, 均满足: Adj R-sq > 0.99, 说明射频电极组中各电极X, Y方向的电场分布均取得较好的初步拟合, 见表1.图4显示鞍点目标移动量ΔXobj∈[–18, 18] μm, ΔYobj∈[–6, 30] μm对应范围内的误差分布情况. 由图4(a)中Xerr分布可知 Xerr (–ΔXobj, ΔYobj) = –Xerr (ΔXobj, ΔYobj), 任意指定高度条件下, 鞍点目标移动量ΔXobj越大, 绝对误差| Xerr |越大, 模型对鞍点目标位置在X方向上的预测准确性越差, 最大偏差量
$ {\left| {{X_{{\text{err}}}}} \right|_{\max }} $ 约为8.2 μm, 样本点集合X方向上的平均绝对误差$ {\text{MA}}{{\text{D}}_X} = \displaystyle\sum\nolimits_{k = 1}^n {\left| {{X_{{\text{err, }}k}}} \right|} $ (n = 132)约为1.598 μm; 由图4(b)中Yerr分布可知 Yerr (–ΔXobj, ΔYobj) = Yerr (ΔXobj, ΔYobj), 任意指定高度条件下, 鞍点目标移动量ΔXobj越大, 误差Yerr的数值越大, 最大偏差量$ {\left| {{Y_{{\text{err}}}}} \right|_{\max }} $ 约为2.7 μm, 样本点集合Y方向上的平均绝对误差$ {\text{MA}}{{\text{D}}_Y} = \displaystyle\sum\nolimits_{k = 1}^n {\left| {{Y_{{\text{err, }}k}}} \right|} $ ( n = 132 )约为0.942 μm.实验中光学焦点与离子囚禁鞍点错位程度增大会造成激光冷却离子效果明显减弱, 为提高计算模型准确预测鞍点位置的能力, 在更大的调节范围内实现精准调控. 下面将对表1所得的拟合公式
$ {E_{X{\text{RF}}i}}\left( {X, Y} \right) $ ,$ {E_{Y{\text{RF}}i}}\left( {X, Y} \right) $ , i = 0, 1, 2, 引入修正项提高射频电极组各电极电场分布公式化的准确程度, 以实现模型精度及适用范围的提高.前面分析赝势分布时, 分析过表面阱的囚禁 离子受扰动时更易从垂直阱表面的Y方向逃逸. 这说明鞍点受到Y方向的电场扰动时, 会有更明显的位置偏移. 按表2提高变量Y阶数以引入修正项,
$ {E_{X{\text{RF}}i}}\left( {X, Y} \right) $ ,$ {E_{Y{\text{RF}}i}}\left( {X, Y} \right) $ , i = 0, 1, 2的拟合均满足: Adj R-sq > 0.999.图5为对平衡模型引入四阶修正项后, 鞍点目标移动量ΔXobj∈[–18, 18] μm, ΔYobj∈[–6, 30] μm范围内的误差分布. 图5(a)中
$ {\left| {{X_{{\text{err}}}}} \right|_{\max }} $ 为0.6 μm, 相较图4(a)中Xerr最大偏差量8.2 μm降低超过一个数量级; 图5(b)中$ {\left| {{Y_{{\text{err}}}}} \right|_{\max }} $ 为1.6 μm, 相较图4(b)中Yerr最大偏差量2.7 μm, 同样得到优化. 此外, 样本点集合X, Y两个方向上的平均绝对误差$ {\text{MA}}{{\text{D}}_X} $ ,$ {\text{MA}}{{\text{D}}_Y} $ 分别降至约为0.285 μm, 0.364 μm, 整体误差水平明显下降, 模型预测鞍点移动的有效范围明显增大.此外, 如果进一步提高变量X, Y拟合的阶数(表3),
$ {E_{X{\text{RF}}i}}\left( {X, Y} \right) $ ,$ {E_{Y{\text{RF}}i}}\left( {X, Y} \right) $ , i = 0, 1, 2的拟合均满足: Adj R-sq > 0.9999. 结果如图6所示, 鞍点目标移动量ΔXobj∈[–18, 18] μm, ΔYobj∈[–6, 30] μm范围内的误差分布情况. 图6(a)中$ {\left| {{X_{{\text{err}}}}} \right|_{\max }} $ 为0.4 μm, 图6(b)中$ {\left| {{Y_{{\text{err}}}}} \right|_{\max }} $ 最大偏差量为0.4 μm, 样本点集合X, Y两个方向上的平均绝对误差MADX, MADY分别约降至0.127 μm, 0.153 μm.本节探讨了3种不同拟合条件下, 所构建数学模型的正确性和有效范围. 综合图4—图6的结 果, 可以发现鞍点移动时的误差基本随移动量的增大而增大, 拟合阶数低时误差最大(图4拟合1), 拟合阶数越高误差越小(图5拟合2和图6拟合3), 甚至在图5的拟合2结果中, 误差下降可以 超过一个数量级. 相比拟合2的结果, 拟合3中最大偏差量和平均绝对误差下降程度较低, 因此说 明利用四阶多项式即可在较大范围内对电场进 行精确描述, 且随着所使用拟合参数的阶数提高, 结果越精确, 模型预测鞍点移动的有效范围就 越大.
未来, 我们希望将该理论应用拓展到多个鞍点联合调控的问题解决中[27,38], 通过提高射频电极的分段数量、增加更多调控自由度, 使可同时处理的需精确控制空间位置的鞍点个数提高到Z轴向上的N个.
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本研究对单条射频电极进行分割, 利用数值方法对分割后得到的每个子电极进行计算、得到其产生的离散电场, 并通过这一组子电极产生电场的线性组合构建出多射频场驱动下鞍点移动的数学模型. 该模型能准确、快速地反解出各子电极应加载的射频电压, 从而缩短实验中电压调节过程、减小实验过程中引起的相干性损失. 本方法有利于研究人员使用表面离子阱开展量子计算、量子模拟研究, 对二维离子晶体及其相变的研究[26]也可提供帮助.
多射频场驱动下鞍点移动的建模方法
A method of modeling saddle point movement driven by multiple radio frequency fields
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摘要: 在集成光学模块的一体化离子阱中, 极易出现光学焦点与囚禁离子鞍点错位的问题, 严重阻碍了该实验方法的实用性. 为解决该问题, 可利用多射频场方法对离子鞍点位置进行补偿和移动. 然而, 在实际实验过程中, 多射频方法的应用, 需要知道鞍点实际空间位置对应的应加载射频电压幅值. 这就需要建立一套数学模型, 对二者关系进行描述. 模型的精确程度决定了鞍点空间位置的控制精度、模型的简易程度决定了求解过程的速度. 因此, 本文提出一种基于数值仿真电场分布结果和多项式拟合方法而建立的多射频电场电压和鞍点位置关系的数学模型, 可以在无需考虑物理机制和模型基础上, 快速、准确地给出二者之间的数学描述. 本文利用数值方法对该模型的正确性和适用范围进行了验证和讨论, 可以在实验中快速准确地给出应加载射频电压幅值, 使鞍点移动并与光学焦点重合, 该方法极大地降低了由于求解引起的时间延迟、提高了鞍点位置移动过程中反馈环路带宽.Abstract: In an integrated ion trap with integrated optical modules, the problem of misalignment between the optical focus and the trapped ion saddle point is very likely to occur, which seriously hinders the practicality of the experimental method. To solve this problem, the multi-RF field method can be used to compensate for and move the ion saddle point position. However, in the actual experimental process, the application of the multi-RF method requires the knowledge of the amplitude of the RF voltage to be loaded corresponding to the actual spatial position of the saddle point. Therefore, a set of mathematical models is established to describe the relationship. The accuracy of the model determines the control accuracy of the spatial position of the saddle point, and the simplicity of the model determines the speed of the solution process. Therefore, in this work, a mathematical model of the relationship between the multi-RF electric field voltage and the saddle point position is proposed based on the numerically simulated electric field distribution and the polynomial fitting method. It can quickly and accurately give a mathematical description between the two without considering the physical mechanism or model. Numerical method is adopted to verify and discuss the correctness and scope of application of the model, and can quickly and accurately provide the amplitude of the RF voltage to be loaded in the experiment, causing the saddle point to move and coincide with the optical focus. This method greatly reduces the time delay caused by the solution and improves the feedback loop bandwidth during the movement of the saddle point position.
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Key words:
- surface ion trap /
- saddle point movement /
- multiple RF fields control /
- boundary element analysis .
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图 1 建立多射频场驱动鞍点移动的基本电极结构 (a) 射频电极经分段处理的表面离子阱结构; (b) 调节多射频电压幅值驱动鞍点径向移动
Figure 1. Establishing the basic electrode structure for multi-RF field driven saddle point movement: (a) Surface ion trap structure after radio frequency electrode segmentation treatment; (b) adjusting the amplitude of multiple RF voltages to drive the radial movement of the saddle point.
图 2 赝势分布情况 (a) 研究对象Z = 0处初始赝势分布; (b) 径向面内赝势梯度变化最小方向上的赝势分布
Figure 2. Pseudopotential distribution: (a) Initial pseudopotential distribution on the radial plane Z = 0; (b) pseudopotential distribution in the direction with the smallest pseudopotential gradient change in the radial plane.
图 3 射频电极组各电极RFi (i = 0—2)依次施加单位电压时, Z = 0处电场分布情况 (a) RF0作用下X方向的电场分布EXRF0; (b) RF1作用下X方向的电场分布EXRF1; (c) RF2作用下X方向的电场分布EXRF2; (d) RF0作用下Y方向的电场分布EYRF0; (e) RF1作用下Y方向的电场分布EYRF1; (f) RF2作用下Y方向的电场分布EYRF2
Figure 3. When unit voltage is applied to each electrode RFi (i = 0—2) of the RF electrode group in turn, the electric field distribution at Z = 0: (a) Electric field distribution EXRF0 in the X direction under the action of electrode RF0; (b) electric field distribution EXRF1 in the X direction under the action of electrode RF1; (c) electric field distribution EXRF2 in the X direction under the action of electrode RF2; (d) electric field distribution in the Y direction under the action of electrode RF0; (e) electric field distribution in the Y direction under the action of electrode RF1; (f) electric field distribution in the Y direction under the action of electrode RF2.
图 4 鞍点模拟移动量ΔXBEM, ΔYBEM与目标移动量ΔXobj, ΔYobj间的误差情况 (a) 模型1的Xerr分布; (b) 模型1的Yerr分布
Figure 4. Error between the simulated displacements of the saddle point (ΔXBEM, ΔYBEM) and the target displacements (ΔXobj, ΔYobj): (a) Xerr distribution of model 1; (b) Yerr distribution of model 1.
图 5 鞍点模拟位移量(ΔXBEM, ΔYBEM)与目标移动量(ΔXobj, ΔYobj)间的误差情况 (a) 模型2的Xerr分布; (b) 模型2的Yerr分布
Figure 5. Error between the simulated displacements of the saddle point (ΔXBEM, ΔYBEM) and the target displacements (ΔXobj, ΔYobj): (a) Xerr distribution of model 2; (b) Yerr distribution of model 2.
图 6 鞍点模拟位移量(ΔXBEM, ΔYBEM)与目标移动量(ΔXobj, ΔYobj)间的误差情况 (a) 模型3的Xerr分布; (b) 模型3的Yerr分布
Figure 6. Error between the simulated displacements of the saddle point (ΔXBEM, ΔYBEM) and the target displacements (ΔXobj, ΔYobj): (a) Xerr distribution of model 3; (b) Yerr distribution of model 3.
表 1 初步拟合1的拟合情况
Table 1. The fitting situation of the preliminary fit 1.
EXRF0(X, Y) EXRF1(X, Y) EXRF2(X, Y) EYRF0(X, Y) EYRF1(X, Y) EYRF2(X, Y) X阶数 1 2 2 1 2 2 Y阶数 3 3 3 1 3 3 Adj R-sq 0.9979 0.9977 0.9977 0.9992 0.9963 0.9963 
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表 2 拟合2的拟合情况
Table 2. The fitting situation of the fit 2.
EXRF0(X, Y) EXRF1(X, Y) EXRF2(X, Y) EYRF0(X, Y) EYRF1(X, Y) EYRF2(X, Y) X阶数 1 2 2 1 2 2 Y阶数 4 4 4 1 4 4 Adj R-sq 0.9996 0.9997 0.9997 0.9992 0.9994 0.9994
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表 3 拟合3的拟合情况
Table 3. The fitting situation of the fit 3.
EXRF0(X, Y) EXRF1(X, Y) EXRF2(X, Y) EYRF0(X, Y) EYRF1(X, Y) EYRF2(X, Y) X阶数 5 5 5 5 5 5 Y阶数 5 5 5 5 5 5 Adj R-sq 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999
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